M ATHÉMATIQUES MENTALES Apprntissag ds faits Calcul mntal Estimation d calcul 3 anné Guid d nsignmnt 2010
Rmrcimnts L présnt manul d mathématiqus mntals a été adapté avc la prmission du ministèr d l'éducation d la Nouvll-Écoss. Nous rmrcions chalurusmnt ls nsignants t ls consillrs n programms d'étuds d'avoir contribué à l'élaboration d ctt rssourc. Bill MacIntyr Spécialist ds programms n anglais d scincs t d mathématiqus à l élémntair Ministèr d l Éducation t du Dévloppmnt d la ptit nfanc Eamon Graham Spécialist ds programms n français d scincs t d mathématiqus à l élémntair Ministèr d l Éducation t du Dévloppmnt d la ptit nfanc
Tabl ds matièrs Introduction...1 Ls mathématiqus mntals dans l programm d mathématiqus dans l écol élémntair... 3 Résultats d apprntissag ds mathématiqus mntals.................. 5 Définitions t lins....1 1 Raison d êtr....1 2 Stratégis d nsignmnt du calcul mntal............................ 1 2 Présntation ds stratégis d raisonnmnt aux élèvs.................. 1 3 Mis n pratiqu t rnforcmnt...1 5 Tmps d répons...1 6 Élèvs n difficulté t pédagogi différncié........................... 1 7 Classs combinés....1 9 Évaluation...1 9 Tsts chronométrés ds faits d bas................................ 2 0 Parnts t tuturs : ds partnairs dans l dévloppmnt d aptituds aux mathématiqus mntals...2 1 Apprntissag ds faits....2 3 Apprntissag d faits - Addition...2 3 Révision ds faits d addition t ds stratégis d apprntissag ds faits.. 2 3 Faits d addition avc somms jusqu à 18.......................... 2 5 Faits d addition appliqués aux dizains t aux cntains.............. 2 6 Doubls...2 6 Quasi-Doubls...2 7 Faits «bond d 2» (faits «doubl plus 2»)....................... 2 8 Faits «plus zéro» («aucun changmnt»)....................... 2 9 «Obtnir 10 ou 100»...2 9 Faits plus 1, plus 2, plus 3...3 0 Apprntissag ds faits Soustraction.............................. 3 2 Faits d soustraction t stratégis d apprntissag ds faits........... 3 2 En avant jusqu à 10....3 2 À rbours jusqu à 10...3 2 Faits d soustraction avc un diminund maximal d 18............. 3 3 Faits d soustraction appliqués aux dizains t aux cntains......... 3 4 Apprntissag ds faits Multiplication............................. 3 5 Stratégis d apprntissag ds faits d multiplication................ 3 5 Faits «multiplication par 2»...3 6 Faits «multiplication par 5»...3 6 Faits «multiplication par nuf»...3 7 Faits «multiplication par 1»...3 7 Faits «multiplication par zéro»...3 8 Faits «multiplication par 4»...3 8
Faits «multiplication par 3»...3 8 Calcul mntal....3 9 Calcul mntal - Addition...4 1 Addition n commnçant par la gauch........................... 4 1 Décomposition t liaison...4 2 Rchrch ds compatibls...4 3 Compnsation....4 3 Calcul mntal Soustraction...4 5 À rbours jusqu aux dizains...4 5 En avant jusqu aux dizains....4 6 Estimation....4 7 Addition t soustraction...4 9 Estimation n commnçant par la gauch........................... 5 0 Arrondissmnt n addition t n soustraction........................ 5 2 Estimation ajusté n commnçant par la gauch..................... 5 3 Annxs....5 5 Stratégis d raisonnmnt n mathématiqus mntals............... 5 7 Grandur t ordr...6 1
Introduction Mathématiqus mntals 3 anné 1
2 Mathématiqus mntals 3 anné
Ls mathématiqus mntals dans l programm d mathématiqus d l'écol élémntair Dans l présnt guid, ls mathématiqus mntals rnvoint à l'apprntissag ds faits, au calcul mntal t à l'stimation d calcul. L Programm d'étuds d mathématiqus pour l Îl-du-Princ-Édouard soutint l'acquisition d cs aptituds par l'élaboration d stratégis d raisonnmnt à tous ls nivaux scolairs. Ls mathématiqus mntals rnvoint à l'apprntissag ds faits, au calcul mntal t à l'stimation d calcul. L Programm d'étuds d mathématiqus pour l Îl-du-Princ- Édouard soutint l'acquisition d cs aptituds par l'élaboration d stratégis d raisonnmnt à tous ls nivaux scolairs. Baucoup d'nfants commncnt l'écol n ayant un compréhnsion limité ds nombrs t ds rlations ntr ls nombrs. L habilité d comptr/énumérr, qui st ssntill au classmnt t à la comparaison ds nombrs, st un élémnt important du dévloppmnt d'un sns ds nombrs. L comptag n avant, l comptag à rbours, ls concpts d plus t d moins, t la capacité à rconnaîtr ds nsmbls structurés sont xmpls d'aptituds faisant état d progrès n matièr d dévloppmnt d'idés numériqus chz ls nfants. Ls faits d bas sont ls opérations mathématiqus auxqulls crtains élèvs n sont pas nécssairmnt préparés sur l plan concptul. Ls faits d bas sont ls opérations mathématiqus auxqulls crtains élèvs n sont pas nécssairmnt préparés sur l plan concptul. Ls nfants dvraint au moins possédr ls aptituds suivants avant qu l'on s'attnd à c qu'ils acquièrnt ls faits d bas. Mathématiqus mntals 3 anné 3
Ls élèvs puvnt immédiatmnt nommr l nombr qui suit un nombr donné compris ntr 0 t 9, ou qui précèd un nombr donné compris ntr 2 t 10. Quand on lur montr un arrangmnt familir d points 10 sur un cadr à dix compartimnts, ds dés ou ds carts à points, ls élèvs puvnt rapidmnt indiqur l nombr sans comptr. Pour ls nombrs 10, ls élèvs puvnt rapidmnt nommr l nombr situé un ou dux positions au-dssus ou au-dssous. (L concpt du moins a tndanc à êtr plus problématiqu pour ls nfants mais il st lié aux stratégis rlativs aux faits d soustraction.) Ls mathématiqus mntals doivnt toujours fair parti d l'nsignmnt du calcul, d l'écol élémntair à l'écol intrmédiair. 4 Mathématiqus mntals 3 anné
Résultats d apprntissag n mathématiqus mntals Résultats d apprntissag Stratégis mntals Prmièr anné N1. Énoncr la suit ds nombrs d 0 à 100 n : N2. Rconnaîtr du prmir coup d oil ds arrangmnts familirs d 1 à 10 objts (ou points) t ls nommr. N3. Démontrr un compréhnsion d la notion du comptag n : N5. Comparr ds nsmbls comportant jusqu à 20 élémnts pour résoudr ds problèms n utilisant ds : N6. Estimr ds quantités jusqu à 20 n : comptant un par un t par ordr croissant t décroissant, ntr dux nombrs donnés; comptant par sauts d 2 t par ordr croissant jusqu à 20 à partir d 0; comptant par sauts d 5 t d 10 par ordr croissant jusqu à 100 à partir d 0. indiquant qu l drnir nombr énoncé précis «combin»; montrant qu tout nsmbl a un «compt» uniqu; utilisant la stratégi d comptr n avançant; utilisant ds partis ou ds groups égaux pour comptr ls élémnts d un nsmbl. référnts; corrspondancs biunivoqus. utilisant ds référnts. N8. Idntifir l nombr, jusqu à 20, qui st un d plus, dux d plus, un d moins t dux d moins qu un nombr donné. N9. Démontrr un compréhnsion d l addition d nombrs dont ls solutions n dépassnt pas 20 t ls faits d soustraction corrspondants, d façon concrèt, imagé t symboliqu n : utilisant l langag courant t clui ds mathématiqus pour décrir ds opérations d addition t d soustraction tirés d son vécu; créant t n résolvant ds problèms contxtualisés qui comportnt ds additions t ds soustractions; modélisant ds additions t ds soustractions à l aid d objts t d imags, puis n notant l procssus d façon symboliqu. Mathématiqus mntals 3 anné 5
N10. Décrir t utilisr ds stratégis d calcul mntal (autrs qu la mémorisation) tlls qu : pour ls faits d addition jusqu à 18 t ls faits d soustraction corrspondants. comptr n suivant l ordr croissant ou décroissant; obtnir 10; partir d un doubl connu; s srvir d l addition pour soustrair; Résultats d apprntissag Stratégis mntals 2 anné N1. Énoncr la suit d nombrs d 0 à 100 n : N6. Estimr ds quantités jusqu à 100 n : comptant par sauts d 2, 5 t 10, par ordr croissant t décroissant, à partir d multipls d 2, d 5 ou d 10 slon l cas; comptant par sauts d 10 à partir d un ds nombrs d 1 à 9; comptant par sauts d 2, à partir d 1. utilisant ds référnts L apprntissag ds faits st un xrcic mntal qui comprnd un rappl visul t/ou oral; au liu s srvir d papir t crayon on mt l accnt sur l oral. Ls xrcics doivnt êtr brfs suivis d un rétroaction immédiat tout au long d l anné. N9. Démontrr un compréhnsion d l addition (s limitant à ds numéraux à 1 ou à 2 chiffrs) dont ls solutions puvnt attindr 100 t ls soustractions corrspondants n : N10. Appliqur ds stratégis d calcul mntal tlls qu : pour détrminr ls faits d addition jusqu à 18 t ls faits d soustraction corrspondants. appliquant ss proprs stratégis pour additionnr t soustrair avc ou sans l aid d matéril d manipulation; créant t n résolvant ds problèms qui comportnt ds additions t ds soustractions; xpliquant qu l ordr ds trms d un addition n affct pas la somm obtnu; xpliquant qu l ordr ds trms d un soustraction put affctr la différnc obtnu. utilisr ds doubls; obtnir 10; plus un, moins un; plus dux, moins dux; s référr à un doubl connu; s srvir d l addition pour soustrair; 6 Mathématiqus mntals 3 anné
Résultats d apprntissag Stratégis mntals 3 anné N1. Énoncr la suit ds nombrs d 0 à 1 000 par ordr croissant t décroissant n : N4. Estimr ds quantités infériurs à 1 000 n utilisant ds référnts. N6. Décrir t appliqur ds stratégis d calcul mntal pour additionnr dux numéraux à dux chiffrs, tlls qu : N7. Décrir t appliqur ds stratégis d calcul mntal pour soustrair dux numéraux à dux chiffrs, tlls qu : comptant par sauts d 5, 10, 100, à partir d n import qul nombr; comptant par sauts d 3, à partir d multipls d 3; comptant par sauts d 4, à partir d multipls d 4; comptant par sauts d 25, à partir d multipls d 25. ffctur ls additions d gauch à droit; ramnr l un ds trms d l addition au multipl d dix l plus proch, t nsuit, compnsr; utilisr ds doubls. ramnr l diminutur au multipl d dix l plus proch, puis compnsr; s srvir d l addition pour soustrair; utilisr ds doubls. N8. Appliqur ds stratégis d stimation pour prédir ds somms t ds différncs d dux numéraux à dux chiffrs dans un contxt d résolution d problèm. N9. Démontrr un compréhnsion d l addition d nombrs dont ls solutions puvnt attindr 1 000 t ls soustractions corrspondants (s limitant à ds numéraux à 1, 2 ou 3 chiffrs) n : utilisant ss proprs stratégis pour additionnr t soustrair ds nombrs, avc ou sans l aid d matéril d manipulation; créant t n résolvant ds problèms contxtualisés d addition t d soustraction, d façon concrèt, imagé ou symboliqu. N10. Appliqur ds stratégis d calcul mntal t ds propriétés du nombr, tlls qu:...pour détrminr ls faits d addition jusqu à 18 t ls faits d soustraction corrspondants. utilisr ds doubls; obtnir 10; utilisr la commutativité; utilisr la propriété d zéro; s srvir d l addition pour soustrair; Mathématiqus mntals 3 anné 7
N11. Démontrr un compréhnsion d la multiplication, jusqu à 5 x 5 n: Par la 5 anné ls élèvs dvraint avoir acquis un variété d stratégis d calcul mntal. Il import qu cs stratégis s dévloppnt t s améliornt à travrs ls annés grâc aux xrcics régulirs rprésntant t n xpliquant ds multiplications à l aid d groups égaux ainsi qu d matrics; créant ds problèms comportant ds multiplications t n ls résolvant; modélisant ds multiplications d façon concrèt t imagé, t n notant symboliqumnt l procssus; établissant un lin ntr la multiplication t ds additions répétés; établissant un lin ntr la multiplication t la division. 8 Mathématiqus mntals 3 anné
Résultats d apprntissag Stratégis mntals 4 anné N3. Démontrr un compréhnsion ds additions dont ls solutions n dépassnt pas 10 000 t ds soustractions corrspondants (s limitant aux numéraux à 3 ou à 4 chiffrs) n : utilisant ss proprs stratégis pour additionnr t soustrair; faisant ds stimations d somms t d différncs; résolvant ds problèms d addition t d soustraction. N5. Décrir t appliqur ds stratégis d calcul mntal, tlls qu : comptr par sauts à partir d un fait connu; utilisr la notion du doubl ou d la moitié; utilisr la notion du doubl ou d la moitié, puis ajoutr ou rtranchr un autr group; utilisr ls régularités qui s dégagnt ds faits d multiplication par 9; utilisr ds doubls répétés;...pour détrminr ls faits d multiplication jusqu à 9 x 9 t ls faits d division rliés. N6. Démontrr un compréhnsion d la multiplication (d 2 ou 3 chiffrs par 1 chiffr) pour résoudr ds problèms n : utilisant ss proprs stratégis d multiplication avc ou sans l aid d matéril d manipulation; utilisant ds matrics pour rprésntr ds multiplications; établissant un lin ntr ds rprésntations concrèts t ds rprésntations symboliqus; stimant ds produits. N7. Démontrr un compréhnsion d la division (dividnds d un à dux chiffrs par un divisur d un chiffr) pour résoudr ds problèms n : utilisant ss proprs stratégis d division avc ou sans l aid d matéril d manipulation; stimant ds quotints; établissant un lin ntr la division t la multiplication. N11. Démontrr un compréhnsion d l addition t la soustraction ds nombrs décimaux (s limitant aux cntièms) n : utilisant ds nombrs compatibls; stimant ds somms t ds différncs; utilisant ds stratégis d mathématiqus mntals;...pour résoudr ds problèms. Mathématiqus mntals 3 anné 9
5 anné Résultats d apprntissag N2. Effctur ds stimations dans ds contxts d résolution d problèms n : Stratégis mntals appliquant la stratégi d arrondissmnt slon l prmir chiffr; ffctuant ds compnsations; utilisant ds nombrs compatibls. N3. Appliqur ds stratégis d calcul mntal t ds propriétés du nombr, tlls qu :...pour détrminr ls faits d multiplication jusqu à 81 t ls faits d division corrspondants. N4. Appliqur ds stratégis d calcul mntal pour la multiplication, tlls qu : comptr par sauts à partir d un fait connu; utilisr la notion du doubl ou d la moitié; utilisr ls régularités qui s dégagnt ds faits d multiplication ou d division par 9; utilisr ds doubls répétés ou ds moitiés répétés; annxr puis ajoutr ds zéros; utilisr la notion du doubl ou d la moitié; s srvir d la distributivité. Résultats d apprntissag Stratégis mntals 6 anné N2. Résoudr ds problèms comportant d grands nombrs à l aid d la tchnologi. idntifir l opération rquis pour résoudr un problèm donné, puis résoudr c problèm. détrminr la vraismblanc d un répons ou d un solution. stimr la solution à un problèm donné t l résoudr. N8. Démontrr un compréhnsion d la multiplication t d la division d nombrs décimaux (où l multiplicatur st un nombr ntir positif à un chiffr t l divisur st un nombr ntir strictmnt positif à un chiffr). 10 Mathématiqus mntals 3 anné
Ls élèvs dvraint fair du calcul mntal aisémnt n s srvant ds stratégis énumérés dans ls guids ds Mathématiqus mntals. Définitions t lins L'apprntissag ds faits rnvoi à l'acquisition ds 100 faits numériqus s rapportant aux chiffrs simpls d 0 à 9 dans chacun ds quatr opérations. La maîtris st défini comm l fait d pouvoir donnr la bonn répons n trois sconds ou moins. L calcul mntal rnvoi à l'mploi d stratégis prmttant d'obtnir ls bonns réponss n faisant la plupart ds calculs d têt. En fonction du nombr d'étaps n ju, l procssus put êtr appuyé par d brèvs nots d'étaps intrmédiairs prmttant d soutnir la mémoir à court trm. L'stimation d calcul rnvoi à l'mploi d stratégis prmttant d'obtnir ds réponss approximativs n faisant du calcul mntal. Ls élèvs mttnt au point t mploint ds stratégis d raisonnmnt lur prmttant d s rapplr ls réponss aux faits d bas. Cs stratégis sont à la bas d l'élaboration d'autrs stratégis d calcul mntal. Lorsqu ls faits sont automatiqus, ls élèvs n'mploint plus d stratégis lur prmttant d s ls rmémorr. Ls faits d bas t ls stratégis d calcul mntal constitunt ls fondmnts d l'stimation. Ls ssais d'stimation sont souvnt contrcarrés par l manqu d connaissanc ds faits connxs t ds stratégis d mathématiqus mntals. Mathématiqus mntals 3 anné 11
Raison d'êtr Dans la société modrn, l dévloppmnt d'aptituds au calcul mntal doit êtr un objctif d tout programm d mathématiqus pour dux raisons importants. Prmièrmnt, dans l cadr d lurs activités quotidinns, ls gns puvnt répondr à la plupart d lurs bsoins d calcul n adoptant ds procssus d calcul mntal bin élaborés. Duxièmmnt, mêm si la tchnologi a rmplacé l papir-crayon comm principal outil srvant à ffctur ds calculs complxs, ls gns ont ncor bsoin d'mployr ds stratégis mntals bin élaborés pour avoir conscinc du caractèr raisonnabl ds réponss générés par la tchnologi. Dans la société modrn, l dévloppmnt d'aptituds au calcul mntal doit êtr un objctif d tout programm d mathématiqus Outr l fait qu'il st à la bas du dévloppmnt d'un sns ds nombrs t ds opérations, l'apprntissag ds faits st ssntil au dévloppmnt général ds mathématiqus. Ls mathématiqus rposnt sur ds motifs t ds rlations dont baucoup sont numériqus. Si l'on n maîtris pas ls faits d bas, il st très difficil d détctr cs motifs t cs rlations. Par aillurs, rin n donn plus d confianc t d'autonomi n mathématiqus à un élèv qu la maîtris ds faits numériqus.... rin n donn plus d confianc t d'autonomi n mathématiqus à un élèv qu la maîtris ds faits numériqus. Stratégis d'nsignmnt du calcul mntal L dévloppmnt d'aptituds aux mathématiqus mntals n class dvrait allr au-dlà d l'xrcic d'ntraînmnt t d répétition; ls xrcics dvraint êtr utils au sns mathématiqu. Touts ls stratégis figurant dans l présnt guid mttnt l'accnt sur l'apprntissag fondé sur 12 Mathématiqus mntals 3 anné
un compréhnsion d la logiqu sous-jacnt ds mathématiqus. Tout n apprnant par xmpl ls faits d'addition, d soustraction, d multiplication t d division, ls élèvs apprnnnt ls propriétés d cs opérations afin d miux ls maîtrisr. Ils appliqunt la commutativité d l'addition t d la multiplication, notammnt lorsqu'ils découvrnt qu 3 + 7 équivaut à 7 + 3 ou qu 3 x 7 = 7 x 3. L fait d connaîtr ctt propriété réduit considérablmnt l nombr d faits à mémorisr. Ils appliqunt la distributivité quand ils apprnnnt qu 12 x 7 équivaut à (10 + 2) x 7 = (7 x 10) + (2 x 7), c qui rvint à 70 + 14 = 84. Il st ssntil d comprndr l systèm d numération à bas dix pour dévloppr un aisanc n calcul. À tous ls nivaux, n partant d l'addition d nombrs à un chiffr, on soulign la position spécial du nombr 10 t d ss multipls. Il st ssntil d comprndr l systèm d numération à bas dix pour dévloppr un aisanc n calcul. À tous ls nivaux, n partant d l'addition d nombrs à un chiffr, on soulign la position spécial du nombr 10 t d ss multipls. En outr, on ncourag ls élèvs à fair d'abord un addition pour obtnir 10, puis d poursuivr l'addition au-dlà d la dizain. On mt l'accnt sur l'addition du dix t ds multipls d dix, ainsi qu sur la multiplication par 10 t ss multipls. Ls lins ntr ls nombrs t la rlation ntr ls faits numériqus dvraint srvir à facilitr l'apprntissag. Plus on établit d lins, miux on comprnd, t plus il nous st facil d maîtrisr ls faits. Dans l cas d la multiplication, par xmpl, ls élèvs apprnnnt qu'ils puvnt obtnir l produit d 6 x 7 s'ils connaissnt l produit d 5 x 7, parc qu 6 x 7 a un spt d plus. Présntation ds stratégis d raisonnmnt aux élèvs En général, un stratégi dvrait êtr présnté indépndammnt ds autrs stratégis. Divrs travaux pratiqus dvraint nsuit êtr proposés jusqu'à c qu la stratégi soit maîtrisé, laqull dvrait nsuit êtr combiné avc d'autrs stratégis précédmmnt acquiss. C n'st pas tant l nom d'un stratégi qu son mod d fonctionnmnt qu'il import d connaîtr. Cla dit, connaîtr l nom ds stratégis put crtainmnt êtr util sur l plan d la communication n class. Dans ls guids d Mathématiqus mntals 3 anné 13
mathématiqus mntals corrspondant à chaqu nivau, ls stratégis sont toujours nommés d la mêm façon; toutfois, dans crtains autrs rssourcs, on put trouvr la mêm stratégi évoqué sous un autr nom. Lorsqu vous présntz un nouvll stratégi, utilisz l tablau, un rétroprojctur ou un projctur ACL pour montrr aux élèvs un xmpl d calcul pour lqul la stratégi fonctionn. Crtains élèvs d la class mploint-ils déjà un stratégi d calcul mntal? Si c'st l cas, ncouragz-ls à xpliqur la stratégi à la class avc votr aid. Sinon, vous pourriz partagr la stratégi vous-mêm. L'xplication d la stratégi dvrait nglobr tout c qui aidra ls élèvs à n discrnr l motif, la logiqu t la simplicité. Il pourrait s'agir d documnts concrts, d schémas, d tablaux ou d'autrs supports visuls. L'nsignant dvrait égalmnt «pnsr tout haut» pour modélisr ls procssus mntaux srvant à appliqur la stratégi t discutr ds situations dans lsqulls ll st la plus approprié t la plus fficac ainsi qu ds situations dans lsqulls ll n srait pas du tout approprié. L'xplication d la stratégi dvrait nglobr tout c qui aidra ls élèvs à n discrnr l motif, la logiqu t la simplicité. Il pourrait s'agir d documnts concrts, d schémas, d tablaux ou d'autrs supports visuls. Dans ls prmièrs activités mttant n ju un stratégi, vous dvriz vous attndr à c qu ls élèvs fassnt l calcul comm vous l'avz modélisé. Cpndant, vous pourriz rmarqur plus tard qu crtains élèvs mploint lur propr variant d la stratégi. S'ils la trouvnt logiqu t fficac, c'st tant miux. Vous avz pour mission d'aidr ls élèvs à élargir lur réprtoir d stratégis d raisonnmnt t à dvnir ds pnsurs plus soupls, pas d lur dictr c qu'ils doivnt utilisr. Vous avz pour mission d'aidr ls élèvs à élargir lur réprtoir d stratégis d raisonnmnt t à dvnir ds pnsurs plus soupls, pas d lur dictr c qu'ils doivnt utilisr. 14 Mathématiqus mntals 3 anné
Il s put qu vous découvriz qu crtains élèvs maîtrisnt déjà ls faits simpls d'addition, d soustraction, d multiplication t d division avc ds nombrs à un chiffr. Un fois qu l'élèv maîtris cs faits, il n'a pas bsoin d'apprndr d nouvlls stratégis à ct égard. Autrmnt dit, il n'st pas nécssair d'nsignr d nouvau un aptitud qui a été acquis d'un autr manièr. Par aillurs, la plupart ds élèvs puvnt tirr ds problèms plus difficils mêm s'ils savnt commnt utilisr l'algorithm écrit pour ls résoudr. L'accnt st mis ici sur l calcul mntal t sur la compréhnsion d la logiqu d valur d position associé aux algorithms. Dans d'autrs cas, comm clui d la multiplication par 5 (multiplir par 10, puis divisr par 2), ls aptituds n ju sont utils pour ls nombrs d touts grandurs. Mis n pratiqu t rnforcmnt En général, c'st la fréqunc d la pratiqu plutôt qu sa duré qui stimul la mémoir. Ainsi, un brèv pratiqu quotidinn d 5 à 10 minuts st plus suscptibl d vous mnr sur la voi du succès. En général, c'st la fréqunc d la pratiqu plutôt qu sa duré qui stimul la mémoir. Ainsi, un brèv pratiqu quotidinn d 5 à 10 minuts st plus suscptibl d vous mnr sur la voi du succès. Un fois qu'un stratégi a été nsigné, il st important d la rnforcr. Ls xrcics d rnforcmnt ou d mis n pratiqu dvraint êtr d natur varié t êtr axés autant sur la discussion rlativ à la manièr dont ls élèvs ont obtnu lur répons qu sur ls réponss lls-mêms. La sélction ds xrcics appropriés au rnforcmnt d chaqu stratégi st d'un importanc crucial. Ls nombrs dvraint êtr cux pour lsquls la stratégi pratiqué s'appliqu l miux t, outr ls lists d'xprssions numériqus, ls itms d pratiqu dvraint souvnt nglobr ds applications dans ds contxts tls qu l'argnt, ls msurs t la visualisation d donnés. Ls xrcics dvraint êtr accompagnés d'invits à la fois visulls t orals, t ls invits orals qu vous donnz dvraint xposr ls élèvs à Mathématiqus mntals 3 anné 15
un variété d dscriptions linguistiqus rlativs aux opérations. Par xmpl, 5 + 4 pourrait êtr décrit d la manièr suivant : la somm d 5 t 4 4 ajouté à 5 5 ajouté à 4 5 plus 4 4 d plus qu 5 5 t 4, tc. Tmps d répons Faits d bas Dans l guid du programm, la maîtris ds faits st défini comm étant la capacité à donnr la bonn répons n trois sconds ou moins t indiqu qu l élèv connaît ls faits par cœur. C but d répons n trois sconds srt simplmnt d lign dirctric pour ls nsignants t n st pas à êtr partagé avc ls élèvs s il st suscptibl d ls inquiétr inutilmnt. Au début, vous accordrz plus d trois sconds aux élèvs tandis qu ils apprnnnt à appliqur ls nouvlls stratégis, puis vous réduirz l tmps à msur qu ils acquièrnt d la maîtris. C but d répons n trois sconds srt simplmnt d lign dirctric pour ls nsignants t n st pas à êtr partagé avc ls élèvs s il st suscptibl d ls inquiétr inutilmnt. Stratégis d calcul mntal Avc ls autrs stratégis d calcul mntal, vous dvriz accordr d 5 à 10 sconds, slon la complxité d l activité mntal rquis. Encor un fois, au début, vous accordrz probablmnt plus d tmps t réduirz progrssivmnt l tmps d attnt jusqu à c qu ls élèvs attignnt un tmps d répons raisonnabl. Bin qu ls stratégis visnt principalmnt l xécution d calculs mntalmnt, il arriv parfois qu ls élèvs doivnt consignr crtains élémnts durant l procssus. C st l cas notammnt avc ls stimations pour lsqulls ls nombrs sont arrondis. Ls élèvs puvnt avoir bsoin d notr ls nombrs arrondis pour nsuit fair l calcul mntalmnt avc cux-ci. 16 Mathématiqus mntals 3 anné
Dans baucoup d activités d mathématiqus mntals, il st raisonnabl qu l nsignant présnt un problèm d mathématiqus mntals aux élèvs, dmand qu ls élèvs qui connaissnt la répons lèvnt la main, puis n choisiss un pour obtnir un répons. Dans d autrs situations, il vaut miux qu tous ls élèvs participnt nsmbl t qu l nsignant ait un moyn d vérifir ls réponss d tout l mond n mêm tmps. Ls tablaux d répons individull ou ls tablaux blancs sont ds outils qui puvnt êtr utilisés pour attindr ct objctif. Élèvs n difficulté t pédagogi différncié Il st impératif qu ls nsignants trouvnt la millur façon d maximisr la participation d tous ls élèvs aux activités d mathématiqus mntals. Il st impératif qu ls nsignants trouvnt la millur façon d maximisr la participation d tous ls élèvs aux activités d mathématiqus mntals. Sans aucun dout, crtains élèvs vont éprouvr ds difficultés importants avc ls stratégis associés à lur nivau ou auront bsoin d un attntion particulièr. Vous pourriz décidr d posr à cs élèvs d autrs qustions qu clls dstinés à l nsmbl ds élèvs, put-êtr avc ds nombrs plus ptits ou plus facils à manir. Vous pourriz aussi dmandr aux élèvs d répondr à un moins grand nombr d qustions ou lur donnr plus d tmps. Plus vous stimulz ls sns lorsqu vous présntz ls faits, plus ls chancs d réussit sont grands pour tous ls élèvs t notammnt pour cux qui sont n difficulté. Il s put qu crtains élèvs ds nivaux supériurs n maîtrisnt pas ls faits d bas. Pour l nsignant, cla put signifir qu il dvra rvnir sur ls stratégis vus aux nivaux infériurs pour assurr la réussit ds Mathématiqus mntals 3 anné 17
élèvs t accélérr l procssus d rattrapag. Par xmpl, si ls élèvs sont n 6 anné t qu ils n connaissnt pas ncor ls faits d addition, vous pouvz trouvr ls stratégis d nsignmnt dans l guid ds mathématiqus mntals d 2 anné t dans l guid du programm d 2 anné. Toutfois, ls élèvs sont plus mûrs intllctullmnt t vous pouvz donc appliqur immédiatmnt cs stratégis aux dizains, aux cntains t aux millirs ainsi qu à l stimation d somms d nombrs ntirs t d décimals. Plus vous stimulz ls sns lorsqu vous présntz ls faits, plus ls chancs d réussit sont grands pour tous ls élèvs t notammnt pour cux qui sont n difficulté. Un grand nombr ds stratégis d raisonnmnt appuyés par la rchrch t brièvmnt décrits dans l programm d mathématiqus préconisnt un variété d mods d apprntissag. Par xmpl : Visul (imags pour ls doubls n addition; aiguills d un horlog pour ls faits «fois cinq») Auditif (dictons t rims drôls : «6 fois 6, dans la tnt il y a ds saucisss; 6 x 6 font 36») Modèls numériqus (l produit d un nombr pair par 5 s trmin par 0 t l chiffr ds dizains st égal à la moitié du nombr multiplié) Tactil (cadrs à dix compartimnts, blocs d bas dix) Faits qui aidnt (8 x 9 = 72, alors 7 x 9 st égal à un group d 9 d moins; 72-9 = 63) Qull qu soit la différnciation qu vous fait, ll dvrait visr à facilitr l dévloppmnt d l élèv n matièr d calcul mntal, t ll dvrait êtr documnté t xaminé périodiqumnt afin d s assurr qu ll st toujours nécssair. 18 Mathématiqus mntals 3 anné
Classs combinés C qu il faut fair dans d tlls situations put varir slon la stratégi utilisé. Ls élèvs puvnt parfois tous utilisr la mêm stratégi, parfois avc ds nombrs d mêm grossur ou d mêm typ, parfois avc ds nombrs différnts. Par xmpl, dans un class combinant la 2 t la 3 anné, ls élèvs puvnt travaillr avc la stratégi «Obtnir 10» pour l addition. L nsignant dmandrait aux élèvs d 2 anné ds qustions comm 9 + 6 ou 5 + 8, tandis qu ils posrait ds qustions comm 25 + 8 ou 39 + 6 aux élèvs d 3 anné; la mêm stratégi st appliqué, mais à ds dgrés d difficulté différnts. À d autrs occasions, vous pouvz décidr d présntr différnts stratégis à différnts momnts l prmir jour, mais d fair ls rnforcmnts n mêm tmps ls jours suivants, n utilisant ds xrcics appropriés pour chaqu nivau. Il st important d s rapplr qu crtains élèvs du nivau infériur pourront maîtrisr un parti ou la totalité ds stratégis prévus pour l nivau supériur, t qu crtains élèvs du nivau supériur bénéficiront du rnforcmnt ds stratégis dstiné au nivau infériur. Évaluation Votr évaluation d l apprntissag ds faits t du calcul mntal dvrait s présntr sous différnts forms. Outr ls intrrogations traditionnlls qui supposnt qu ls élèvs consignnt lurs réponss à ds qustions qu vous posz ls uns après ls autrs dans un crtain délai, vous dvriz égalmnt consignr ls obsrvations qu vous faits pndant ls séancs d travaux pratiqus. Vous dvriz aussi dmandr ds réponss orals t ds xplications aux élèvs, t ls invitr à xpliqur ls stratégis par écrit. Ls ntrtins individuls puvnt vous fournir un bon aprçu d c qu pns un élèv, surtout dans ls situations où ls réponss écrits sont faibls. Ls ntrtins individuls puvnt vous fournir un bon aprçu d c qu pns un élèv, surtout dans ls situations où ls réponss écrits sont faibls. Mathématiqus mntals 3 anné 19
Tsts chronométrés ds faits d bas Crtains ds ancinns approchs d l'apprntissag ds faits étaint fondés sur l stimulus-répons, à savoir la croyanc slon laqull ls élèvs donnraint automatiqumnt la bonn répons s'ils réntndaint l fait plusiurs fois. C'st crtainmnt d ctt manièr qu la plupart d'ntr nous avons appris nos faits. Cs approchs s fondaint souvnt sur un séri complèt d tsts chronométrés d 50 à 100 itms pour attindr l'objctif.... l'approch ds stratégis d raisonnmnt prscrit par notr programm consist à nsignr aux élèvs ds stratégis qui puvnt êtr appliqués à un group d faits, la maîtris étant défini comm la capacité à donnr la bonn répons n trois sconds ou moins. En rvanch, l'approch ds stratégis d raisonnmnt prscrit par notr programm consist à nsignr aux élèvs ds stratégis qui puvnt êtr appliqués à un group d faits, la maîtris étant défini comm la capacité à donnr la bonn répons n trois sconds ou moins. L tst chronométré traditionnl aurait un utilisation limité dans l'évaluation d ct objctif. Pour n êtr sûr, si vous donniz à votr class 50 faits numériqus auxquls répondr n trois minuts t qu crtains élèvs répondaint corrctmnt à la totalité ou à la majorité d cs faits, vous scomptriz qu cs élèvs connaissnt lurs faits. Toutfois, si d'autrs élèvs n répondaint qu'à un parti d cs faits t qu'ils répondaint corrctmnt à la plupart d cs faits, vous n sauriz pas combin d tmps ils ont consacré à chaqu qustion t vous n disposriz pas d l'information nécssair à l'évaluation du résultat. Vous pourriz toutfois utilisr cs fuills n mployant d'autrs moyns. Par xmpl : Dmandz aux élèvs d'ncrclr rapidmnt ls faits qui lur smblnt «difficils» t d n répondr qu'aux autrs. C typ d'auto-évaluation put fournir aux nsignants d préciux rnsignmnts sur l nivau d confianc t d maîtris prçu d chaqu élèv. Dmandz aux élèvs d n'ncrclr qu ls faits pour lsquls un 20 Mathématiqus mntals 3 anné
stratégi précis srait util t d'y répondr. Par xmpl, ncrclr tous ls faits «doubl plus 1» t y répondr. Dmandz-lur d'ncrclr tous ls faits «obtnir 10» t d'ncadrr tous ls faits «bond d dux». C typ d'activité offr aux élèvs la pratiqu important d sélction ds stratégis t prmt à l'nsignant d détrminr si ls élèvs rconnaissnt ds situations pour lsqulls un stratégi particulièr fonctionn. Parnts t tuturs : ds partnairs dans l dévloppmnt d'aptituds aux mathématiqus mntals Ls parnts t ls tuturs sont ds partnairs préciux dans l rnforcmnt ds stratégis qu vous dévloppz à l'écol. Vous dvriz aidr ls parnts à comprndr l'importanc d cs stratégis dans l dévloppmnt global d la réflxion mathématiqu d lurs nfants t ls ncouragr à fair fair du calcul mntal à lurs nfants dans ds situations naturlls à la maison t dans la communauté. Au moyn d divrss forms d communication, vous dvriz tnir ls parnts au courant ds stratégis qu vous nsignz t ds typs d calcul mntal qu'ils dvraint s'attndr à c qu lurs nfants soint capabls d fair. Mathématiqus mntals 3 anné 21
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Apprntissag ds faits Mathématiqus mntals 3 anné 23
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Apprntissag ds faits Addition Révision ds faits d addition t ds stratégis d apprntissag ds faits En 2 anné, on s attnd à c qu ls élèvs maîtrisnt ls faits d addition avc somms jusqu à 18. Au début d la 3 anné, il st important qu ls élèvs révisnt cs faits t ls stratégis d apprntissag ds faits ds nivaux précédnts. Faits d addition avc somms jusqu à 18 Doubls 1+1 2+2 3+3 4+4 5+5 6+6 7+7 8+8 9+9 Quasi-doubls 2+3 3+2 3+4 4+3 4+5 5+4 5+6 6+5 6+7 7+6 7+8 8+7 8+9 9+8 Faits «plus 1» 2+1 1+2 3+1 1+3 4+1 1+4 5+1 1+5 6+1 1+6 7+1 1+7 8+1 1+8 9+1 1+9 Faits «plus 2» 3+2 2+3 4+2 2+4 5+2 2+5 6+2 2+6 7+2 2+7 8+2 2+8 9+2 2+9 Faits «plus 3» 4+3 3+4 5+3 3+5 6+3 3+6 7+3 3+7 8+3 3+8 9+3 3+9 Faits «bond d 2» 1+3 3+1 2+4 4+2 3+5 5+3 4+6 6+4 5+7 7+5 6+8 8+6 7+9 9+7 Plus ou moins zéro Dmandz aux élèvs d s rprésntr ds problèms simpls à l aid d jtons t d un tablau à dux clluls. Par xmpl : «Marc a trouvé 4 balls d golf samdi (l élèv plac 4 jtons d un côté du tablau). Il n a trouvé aucun ball dimanch. Combin d balls Marc a-t-il trouvés n tout?» (L élèv n put placr d autrs jtons dans l autr cllul du tablau t la répons rst donc 4.) Faits «Obtnir 10» 2+8 8+2 3+8 8+3 4+8 8+4 5+8 8+5 6+8 8+6 7+8 8+7 9+8 8+9 2+9 9+2 3+9 9+3 4+9 9+4 5+9 9+5 6+9 9+6 7+9 9+7 7+3 3+7 4+7 7+4 5+7 7+5 6+7 7+6 7+7 Mathématiqus mntals 3 anné 25
Un stratégi mntal st un façon d raisonnr qui aid à résoudr un fait rapidmnt. Ell doit s ffctur mntalmnt t êtr fficac. Ls élèvs qui maîtrisnt ls faits numériqus n ont plus bsoin d s fir aux stratégis d raisonnmnt pour s ls rapplr. Faits d addition appliqués aux dizains t aux cntains Voici ls stratégis d faits d addition accompagnés d xmpls ainsi qu ds xmpls ds mêms faits appliqués aux dizains t aux cntains : a ) Faits ds doubls : 4 + 4, 40 + 40, 400 + 400 b ) Faits «plus 1» : (nombr suivant) 5 + 1, 50 + 10, 500 + 100 c ) Faits «plus 2» : (faits «2 d plus qu») 7 + 2, 70 + 20, 700 + 200 d ) Faits «plus 3»: 6 + 3, 60 + 30, 600 + 300 ) Quasi-doubls : (faits «bond d 1») 3 + 4, 30 + 40, 300 + 400 f ) Faits «plus zéro» : (aucun changmnt) 8 + 0, 80 + 0, 800 + 0 g ) Faits «doubl plus 2»: (faits «doubl du nombr situé dans l intrvall» ou «bond d 2») 5 + 3, 50 + 30, 500 + 300 h ) Faits «Obtnir 10» : 9 + 6, 90 + 60, 900 + 600; 8 + 4, 80 + 40, 800 + 400 I ) Faits «Obtnir 10» poussés plus loin : (avc un 7) 7+ 4, 70 + 40, 700 + 400 Doubls Il n y a qu dix doubls compris ntr 0 + 0 t 9 + 9, t la plupart ds élèvs ls apprnnnt rapidmnt. Ls affichs d doubls, qui ont été créés spécialmnt n vu d êtr utilisés n class présntnt cs faits dans un contxt visul. Ls nsignants d 3 anné dvraint révisr brièvmnt ls doubls n addition, puis poussr plus loin n ls appliquant aux dizains t aux cntains. 26 Mathématiqus mntals 3 anné
Exrcics 40 + 40 = 70 + 70 = 90 + 90 = 800 + 800 = 100 + 100 = 20 + 20= 10 + 10 = 80 + 80 = 30 + 30 = 300 + 300 = 200 + 200 = 400 + 400 = 500 + 500 = 900 + 900 = 700 + 700 = Quasi-doubls (faits «bond d 1») Ls quasi-doubls, aussi applés faits «doubl plus 1», comprnnnt touts ls combinaisons où un cumulatur équivaut à l autr cumulatur plus 1. La stratégi consist à doublr l plus ptit nombr t à ajoutr 1. Par xmpl, 6 + 7 st égal à doubl 6 plus 1. Passz n rvu ls faits ds quasi-doubls, puis poussz plus loin n ls appliquant aux dizains t aux cntains. Exrcics Nombrs dans ls dizains 30 + 40 = 50 + 60 = 80 + 90 = 30 + 2 0 = 20 + 30 = 60 + 70 = 70 + 80 = 10 + 20 = 50 + 40 = Nombrs dans ls cntains 400 + 500 = 400 + 300 = 200 + 100 = 600 + 500 = 700 + 800 = 900 + 800 = 700 + 600 = 300 + 400 = 800 + 900 = 300 + 200 = 600 + 700 = Mathématiqus mntals 3 anné 27
Faits «bond d 2» (faits «doubl plus 2») Il s agit d faits dont un ds cumulaturs équivaut à l autr cumulatur plus 2, comm 3 + 5, 4 + 6 ou 5 + 7. Dux stratégis sont possibls t rposnt sur la connaissanc ds doubls. Doublr l plus ptit nombr t ajoutr 2. Par xmpl, 4 + 6 st égal à doubl 4 plus 2. Doublr l nombr situé dans l intrvall. Par xmpl, dans 5 + 7, on put doublr 6, soit l nombr situé ntr 5 t 7, pour obtnir 12. Passz n rvu ls faits «bond d 2», puis poussz plus loin n ls appliquant aux dizains t aux cntains. Exmpls a) 30 + 50 = doubl 30 plus 20 = 60 + 20 = 80 b) 70 + 90 = (70 + 10) + (90-10) ou 80 + 80 = 160 Exrcics Nombrs dans ls dizains 40 + 60 = 30+ 10 = 60 + 80 = 20+ 40 = 90 + 70 = 50+ 30 = 10 + 30 = 40 + 20 = 30 + 50 = 60 + 40 = 50 + 70 = 70 + 50 = 80 + 60 = 70 + 90 = 28 Mathématiqus mntals 3 anné
Nombrs dans ls cntains 100 + 300 = 700 + 900 = 700 + 500 = 800 + 600 = 300 + 500 = 600 + 400 = 200 + 400 = 300 + 100 = 400 + 600 = 400 + 200 = 500 + 700 = 600 + 800 = 900 + 700 = 500 + 300 = Faits «plus zéro» («aucun changmnt») Zéro st l élémnt nutr d l addition parc qu quand on ajout 0 à n import qul nombr, on obtint c nombr. Ls élèvs doivnt bin comprndr la signification d zéro t d l addition (7 + 0 = 7, 0 + 7 = 7) t rconnaîtr qu l addition d 0 n produit «aucun changmnt». Exrcics 5 + 0 = 0 + 9 = 6 + 0 = 90 + 0 = 50 + 0 = 0 + 40 = 800 + 0 = 300 + 0 = 0 + 400 = «Obtnir 10 ou 100» «Obtnir 10» st un stratégi d raisonnmnt introduit n 2 anné pour ls faits d addition où un ds cumulaturs st 8 ou 9 t cll-ci put mêm êtr appliqué aux faits dont un cumulatur st 7. Pour aidr à assimilr ctt stratégi, ls élèvs utilisnt dux cadrs à dix compartimnts t ds jtons pour rprésntr cs faits numériqus, puis ils rdisposnt ls jtons d façon qu ls faits xprimnt «10 plus». Par xmpl, ls élèvs rprésntnt l fait «Obtnir 10» 8 + 6 n plaçant 8 jtons sur un cadr à dix compartimnts t 6 sur l autr. Ensuit, ils déplacnt 2 jtons du cadr qui n compt 6 vrs l cadr qui n compt 8 pour obtnir 10 + 4. Ls élèvs doivnt comprndr qu l objctif d ctt stratégi st d obtnir l nombr 10 qui st facil à additionnr. Pour qu ctt stratégi soit fficac, ls élèvs doivnt êtr n msur d rconnaîtr immédiatmnt tous ls nombrs ntr 10 t 20, t savoir, par Mathématiqus mntals 3 anné 29
xmpl, qu 10 + 6 = 16, sans hésitation. Il faut travaillr baucoup avc ls cadrs à dix compartimnts pour aidr ls élèvs à comprndr la rlation afin qu ils puissnt n vnir à ffctur l procssus mntalmnt. Pour qu ctt stratégi soit fficac, ls élèvs doivnt êtr n msur d rconnaîtr immédiatmnt tous ls nombrs ntr 10 t 20, t savoir, par xmpl, qu 10 + 6 = 16, sans hésitation. En 3 anné, ls élèvs appliqunt un stratégi «Obtnir 10» à l addition d nombrs à un chiffr avc ds nombrs à dux chiffrs ainsi qu d dux nombrs à dux chiffrs qui sont ds multipls d 10. Exmpls Pour 28 + 6, pnsz : «28 plus 2 (parti d 6) font 30 t 30 plus 4 (l rst d 6) font 34». Pour 80 + 40, pnsz : «80 plus 20 (parti d 40) font 100 t 100 plus 20 (l rst d 40) font 120». Exrcics 4 + 18 = 19 + 8 = 17 + 5 = 4 +18 = 19 + 6 = 6 +18 = 19 + 5 = 8 + 19 = 17 + 6 = 18 + 8 = 19 + 4 = 30 + 90 = 80 + 30 = 50 + 80 = 90 + 30 = 60 + 80 = 40 + 70 = 60 + 90 = 70 + 30 = 80 + 70 = 30 + 80 = 80 + 40 = 70 + 70 = 70 + 60 = 40 + 90 = 50 + 90 = Ajoutz vos proprs xrcics Faits «plus 1», «plus 2», «plus 3» La stratégi d raisonnmnt pour ls faits d addition dont un ds cumulaturs st 1 ou 2 corrspond à la rlation «un d plus qu» ou «dux d 30 Mathématiqus mntals 3 anné
plus qu». Si ls élèvs n maîtrisnt pas cs rlations, alors l comptag put êtr utilisé. L comptag put aussi êtr utilisé pour ls faits dont un ds cumulaturs st 3. Ls élèvs font souvnt l rrur d inclur l prmir nombr lorsqu ils comptnt. Par xmpl, pour 7 + 3, crtains élèvs vont pnsr : «spt, huit, nuf». L utilisation d un lign d nombrs pour assimilr ctt stratégi d comptag aidra à corrigr c problèm. Ls nsignants dvraint fair attntion lorsqu ils présntnt l comptag comm un stratégi d raisonnmnt. Bin ds élèvs vont ssayr d l appliqur à d autrs faits numériqus t n s rndront pas compt à qul point ctt stratégi put êtr lnt t infficac. Ls nsignants doivnt aidr ls élèvs à rconnaîtr lorsqu la stratégi d comptag convint ou non aux faits numériqus. Exmpls Pour 70 + 20, pnsz : «70 : 80 90». Pour 500 + 300, pnsz : «500 : 600 700 800». Exrcics 70 + 20 = 60 + 20 = 30 + 20 = 40 + 20 = 50 + 20 = 10 + 20 = 80 + 20 = 200 + 700 = 600 + 200 = 300 + 200 = 200 + 400 = 800 + 200 = 500 + 200 = 50 + 30 = 90 + 30 = 80 + 30 = 30 + 60 = 30 + 10 = 30 + 70 = 20 + 30 = 40 + 30 = 400 + 300 = 600 + 300 = 700 + 300 = 100 + 300 = 900 + 300 = 300 + 800 = 400 + 500 = 200 + 300 = 300 + 500 = Ajoutz vos proprs xrcics Mathématiqus mntals 3 anné 31
Apprntissag ds faits Soustraction Un fois qu ls élèvs ont maîtrisé chaqu group d faits d addition, il convint d lur fair apprndr ls faits d soustraction corrspondants. Baucoup d élèvs vont appliqur un stratégi «pnsr addition» à tous ls faits d soustraction. Faits d soustraction t stratégis d apprntissag ds faits r Ls faits d soustraction sont d abord présntés n 1 anné, mais l accnt sur cux-ci st davantag mis n 2 t n 3 anné. Ils sont dirctmnt liés aux faits d addition avc somms jusqu à 18 t dvraint êtr résolus au moyn d un stratégi «pnsr addition». À msur qu ls élèvs maîtrisnt ls groups d faits d addition, il st prtinnt d intégrr ls faits d soustraction corrspondants afin qu ls élèvs puissnt mttr n pratiqu lurs connaissancs d un façon différnt. Par xmpl, si ls élèvs maîtrisnt ls doubls n addition, il convindrait d lur présntr ds faits d soustraction comm 12 6 = t ls ncouragr à pnsr : «6 plus quoi st égal à 12? Doubl six st égal à 12, alors 12 6 = 6». Il y a égalmnt d autrs stratégis d raisonnmnt qui aidront ls élèvs a maîtrisr ls faits d soustraction. Par xmpl : En avant jusqu à 10 : Ctt stratégi consist à détrminr la différnc ntr ls dux nombrs à partir du plus ptit, n comptant l écart jusqu à 10, puis n ajoutant c nombr au rst d l écart jusqu au nombr l plus grand. Exmpls a) Pour 12 7, pnsz : «À partir d 7, il y a 3 pour attindr 10, puis ncor 2 pour obtnir 12, c qui donn 5 au total». b) Pour 16 9, pnsz : «À partir d 9, il y a 1 pour attindr 10, puis ncor 6 pour obtnir 16, c qui donn 7 au total». À rbours jusqu à 10 : Avc ctt stratégi, vous commncz avc l plus grand nombr auqul vous soustrayz un parti du diminutur pour arrivr à 10, puis l rst du diminutur. 32 Mathématiqus mntals 3 anné
Exmpls a) Pour 15 8, pnsz : «15 moins 5 (un parti d 8) font 10 auqul j soustrais ncor 3 (l rst d 8), c qui donn 7». b) Pour 13 4, pnsz : «13 moins 3 font 10 auqul j soustrais ncor 1, c qui m donn 9». Faits d soustraction avc un diminund maximal d 18 Doubls 2-1 12-6 4-2 14-7 6-3 16-8 8-4 18-9 10-5 Quasi-doubls 5-2 5-3 7-3 7-4 9-4 9-5 11-5 11-6 13-6 13-7 15-7 15-8 17-8 15-9 Faits «plus 1» 3-1 3-2 4-1 4-3 5-1 5-4 6-1 6-5 7-1 7-6 8-1 8-7 9-1 9-8 10-1 10-9 Faits «plus 2» 5-2 5-3 6-2 6-4 7-2 7-5 8-2 8-6 9-2 9-7 10-2 10-8 11-2 11-9 Faits «plus 3» 7-3 7-4 8-3 8-5 9-3 9-6 10-3 10-7 11-3 11-8 12-3 12-9 Faits «bond d 2» 4-3 4-1 6-4 6-2 8-5 8-3 10-4 10-6 12-5 12-7 14-6 14-8 16-7 16-9 Faits «Obtnir 10» 10-2 10-8 11-3 11-8 12-4 12-8 13-5 13-8 14-6 14-8 15-7 15-8 17-9 17-8 11-2 11-9 12-3 12-9 13-4 13-9 14-5 14-9 15-6 15-9 16-7 16-9 10-3 10-7 11-4 11-7 12-5 12-7 13-6 13-7 14-7 Mathématiqus mntals 3 anné 33
Faits d soustraction appliqués aux dizains t aux cntains a) Doubls t quasi-doubls 60 30 = 100 50 = 20 10 = 40 20 = 180 90 = 140 70 = 160 80 = 120 60 = 200 100 = 1600 800 = 800 400 = 1800 900 = 1000 500 = 1200 600 = 70 30 = 50 20 = 130 60 = 50 20 = 150 70 = 900 400 = 1700 800 = 500 200 = 1100 500 = 1300 600 = 1500 700 = b) Obtnir ds dizains t ds cntains 110 30 = 130 80 = 130 60 = 120 30 = 100 80 = 150 90 = 140 60 = 160 90 = 120 70 = 150 70 = 1500-800 = 1400 500 = 1100 400 = 1100 900 = 1300 600 = 1400 600 = 1000 400 = 1100 800 = 34 Mathématiqus mntals 3 anné
Apprntissag ds faits Multiplication Stratégis d apprntissag ds faits d multiplication L concpt d la multiplication t la rlation avc la division sont présntés n 3 anné. On s attnd à c qu la plupart ds élèvs maîtrisnt ls faits d multiplication dont l produit maximal st 36 à la fin d l anné scolair. Faits d multiplication dont l produit maximal st 36 Faits «multiplication par 2» (Doubls n addition) 2x1 1x2 2x2 2x3 3x2 2x4 4x2 2x5 5x2 2x6 6x2 2x7 7x2 2x8 8x2 2x9 9x2 Faits «multiplication par 10» (Pas officillmnt un «fait d bas», mais inclus parc qu notr systèm d numération st d bas dix.) 10x1 1x10 10x2 2x10 10x3 3x10 10x4 4x10 10x5 5x10 10x6 6x10 10x7 7x10 10x8 8x10 10x9 9x10 10x10 Faits «multiplication par 5» (Faits d l horlog) 5x1 1x5 5x2 2x5 5x3 3x5 5x4 4x5 5x5 5x6 6x5 5x7 7x5 Faits «multiplication par 9» (Modèls) 9x1 1x9 9x2 2x9 9x3 3x9 9x4 4x9 Faits «multiplication par 1» (Faits «aucun changmnt») 1x1 1x2 2x1 1x3 3x1 1x4 4x1 1x5 5x1 1x6 6x1 1x7 7x1 1x8 8x1 1x9 9x1 Faits «multiplication par 0» (Produits d zéro) 0x0 0x1 1x0 0x2 2x0 0x3 3x0 0x4 4x0 0x5 5x0 0x6 6x0 0x7 7x0 0x8 8x0 0x9 9x0 Faits «au carré» (Cs faits t d autrs comm ux formnt ds carrés.) 3x3 4x4 6x6 Faits «multiplication par 4» (Doublr-doublr) 4x1 1x4 4x2 2x4 4x3 3x4 4x4 4x5 5x4 4x6 6x4 4x7 7x4 4x8 8x4 4x9 9x4 Faits «multiplication par 3» (Doubl, plus 1 nsmbl supplémntair) 3x6 6x3 3x7 7x3 3x8 8x3 Mathématiqus mntals 3 anné 35
Stratégis d raisonnmnt Faits «multiplication par 2» (t lur invrsion) : 2x2, 2x3, 2x4, 2x5, 2x6, 2x7, 2x8, 2x9 Cs faits sont dirctmnt liés aux doubls n addition. Ls affichs rlativs aux doubls dstinés à la 3 t à la 4 anné aidnt à établir l lin clairmnt. Par xmpl, pour 4 x 2 t 2 x 4, ls élèvs dvraint pnsr à «doubl 4» t s rapplr ls «patts doubls d l araigné» 4 + 4 = 8. Faits «multiplication par 5» (t lur invrsion) : 5x3, 5x4, 5x5, 5x6, 5x7 Il st facil d établir ls lins avc ls faits d multiplication par 5 au moyn d un horlog analogiqu. Par xmpl, si l aiguill ds minuts st sur 6 t qu ls élèvs savnt qu cla corrspond à 30 minuts après l hur, alors l lin 6 5 = 30 put êtr établi. C st pourquoi ls faits «multiplication par 5» sont aussi applés ls faits «d l horlog». Il s agirait d la millur stratégi pour ls élèvs qui savnt lir l hur sur un horlog analogiqu, un résultat d apprntissag spécifiqu du programm d 3 anné. Vous dvriz aussi présntr ls dux modèls qui sont produits lorsqu ds nombrs sont multipliés par 5 : 1. Dans l cas ds nombrs pairs multipliés par 5, l produit s trmin toujours par zéro, t l chiffr d la dizain corrspond à la moitié d l'autr nombr. Ainsi, dans l cas d 8 x 5, l produit s trmin par 0, t la moitié d 8 st 4. Par conséqunt, 5 x 8 = 40. 2. Dans l cas ds nombrs impairs multipliés par 5, l produit s trmin toujours par 5, t l chiffr d la dizain corrspond à la moitié du nombr qui précèd l nombr multiplié. Ainsi, dans l cas d 5 x 9, l produit s trmin par 5, t la moitié du nombr qui précèd 9 (8) st 4. Par conséqunt, 5 x 9 = 45. 36 Mathématiqus mntals 3 anné
Faits «multiplication par nuf» (t lur invrsion) : 6x9, 7x9, 8x9, 9x9 Il y a dux modèls associés à la tabl d multiplication par nuf qu ls élèvs doivnt découvrir : 1. Lorsqu vous multipliz un nombr par 9, l chiffr à la plac ds dizains dans l produit corrspond au nombr multiplié moins 1. Par xmpl, dans 6 x 9, l chiffr à la plac ds dizains du produit sra 5 2. La somm ds dux chiffrs du produit doit donnr 9. Alors dans ct xmpl, l chiffr qui s ajout à 5 pour donnr 9 st 4. La répons st donc 54. En mathématiqus, ls modèls sont notammnt utils parc qu ils prmttnt d fair assz facilmnt ds choss qui smblnt difficils. L modèl d multiplication par nuf illustr clairmnt la valur du modèl t d la régularité n mathématiqus. Crtains élèvs puvnt aussi élucidr ls faits d multiplication par 9 n multipliant d abord par 10, puis n faisant un soustraction. Par xmpl, pour 7 x 9 ou 9 x 7, vous pourriz pnsr : «7 dizains font 70, alors 7 fois 9 st égal à 70-7 ou 63. Faits «multiplication par 1» (t lur invrsion) : 1x1, 1x2, 1x3, 1x4, 1x5, 1x6, 1x7, 1x8, 1x9 Bin qu ls faits «multiplication par 1» corrspondnt aux faits «aucun changmnt», il st important qu ls élèvs comprnnnt pourquoi il n y a pas d changmnt. Baucoup d élèvs confondnt cs faits avc ls faits d addition mttant n ju l nombr 1. Par xmpl, 6 1 signifi six groups d 1 ou 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 t 1 6 signifi un group d 6. Il st important d évitr d nsignr ds règls arbitrairs comm «tout nombr multiplié par 1 donn c nombr». Ls élèvs trouvront ux-mêms ctt règl par la compréhnsion. Mathématiqus mntals 3 anné 37
Faits «multiplication par zéro» Comm pour ls faits «multiplication par 1», ls élèvs doivnt comprndr pourquoi cs faits donnnt tous zéro parc qu on put facilmnt ls confondr avc ls faits d addition mttant n ju zéro. Ls nsignants doivnt aidr ls élèvs à comprndr la signification d la formul numériqu. Par xmpl : 6 0 signifi «six 0» ou «six nsmbls d rin». On pourrait l illustrr n dssinant six boîts qui n continnnt rin. 0 6 signifi «zéro nsmbls d 6». Dmandr aux élèvs d utilisr ds jtons ou ds blocs pour formr dux nsmbls d 6, puis un nsmbl d 6 t nfin zéro nsmbl d 6 pour lqul ils n utilisnt aucun jton ni bloc. Ils comprndront rapidmnt pourquoi zéro st l produit. Comm pour la stratégi rlativ aux faits «multiplication par 1», il st important d n pas nsignr un règl comm «tout nombr multiplié par zéro donn zéro». Ls élèvs trouvront ux-mêms ctt règl par la compréhnsion. Faits «multiplication par 4» (t lur invrsion) : 4x4, 4x6, 4x7, 4x8, 4x9 Un stratégi qui donn ds résultats pour tout nombr multiplié par 4 st «Doublr-doublr». Par xmpl, pour 6 x 4, vous doublriz l 6 (12), puis doublriz ncor (24). Un autr stratégi qui donn ds résultats chaqu fois qu au moins un ds facturs st pair consist à divisr l nombr pair par dux, puis à fair la multiplication t à doublr nsuit la répons. Ainsi, pour 7 x 4, vous pourriz multiplir 7 x 2 (14), puis doublr c nombr pour obtnir 28. Pour 16 x 9, pnsz : 8 x 9 (72) t 72 + 72 = 70 + 70 (140) plus 4 = 144. Faits «multiplication par 3» (t lur invrsion) : 3x3, 3x4, 3x6, 3x7, 3x8, 3x9 Dans c cas-ci, la stratégi pour ls élèvs consist à pnsr : «fois 2, plus un autr group». Alors, pour 7 x 3 ou 3 x 7, l élèv dvrait pnsr : «7 fois 2 font 14, plus ncor 7 font 21». 38 Mathématiqus mntals 3 anné
Calcul mntal Mathématiqus mntals 3 anné 39
40 Mathématiqus mntals 3 anné
Calcul mntal Addition Addition n commnçant par la gauch (suit d la 2 anné) Ctt stratégi st présnté d abord n 2 anné t consist à additionnr ls valurs d plac ls plus élvés d chaqu nombr, puis à ajoutr la somm ds valurs d plac suivants. Commncz par rprésntr l addition d dux nombrs à dux chiffrs à l aid d blocs d bas dix. Pour 24 + 35, vous utilisriz 2 régltts t 4 cubsunités pour fair 24, t 3 régltts plus 5 cubs-unités pour obtnir 35. Rgroupz ls dux quantités n combinant d abord ls régltts, puis ls cubs-unités. Il faudrait aussi donnr aux élèvs l occasion d fair ds additions d ctt manièr. Exmpls Pour 32 + 26, pnsz : «3 dizains plus 2 dizains donnnt 5 dizains ou 50; t 2 unités plus 6 unités donnnt 8 unités (8); alors 50 + 8 = 58». Pour 42 + 17, pnsz : «40 t 10 font 50, t 2 plus 7 font 9; alors 50 plus 9 font 59». Pour 24 + 12, pnsz : «20 + 10 = 30, t 4 + 2 = 6; 30 plus 2 font 32». Exrcics 27 + 31 = 16 + 32 = 32 + 65 = 25 + 63 = 72 + 26 = 63 + 33 = 74 + 19 = 32 + 28 = 45 + 35 = 37 + 44 = 56 + 3 6 = 34 + 27 = Mathématiqus mntals 3 anné 41