ves JAOT Oobre 5
TABLE ES MATIERES LA OTIO ERREUR ET E BRUIT E MESURE METHOES ESTIMATIO 3. Paramères lés par une relaon lnéare 4.. Méhode des mondres arrés lnéares 4.. Méhode de Gauss-Marov 6. Paramères lés par une relaon non-lnéare 8.. Méhode du graden 9.. Méhode de ewon 9..3 Méhode de Marquar..4 Méhode dhoomque..5 Evaluaon de la préson de l esmaon 3 EXEMPLES ESTIMATIO E PARAMETRES 3 3. Esmaon d un seul paramère 3 3. Esmaon des oeffens d une droe 5 3.. Equaon 5 3.. Equaon + 5 3.3 Esmaon de paramères lés par une relaon non lnéare 3.3. Inerudes de mesures onsanes : exemple du «Plan haud» 3.3. Inerudes de mesure varables : ourbe de séhage 5 3.3.3 Esmaon de 4 paramères fablemen déorrélés : Méhode flash «long» 3 Bblographe 3 AEXES 33 Rappel sur la ovarane 33 Exemple 4 : Programme Malab 34 Exemple 5 : Programme Malab 35 Exemple 6 : Programme Malab 36 Exemple 7, Modèle : Programmes Malab 39 Exemple 7, Modèle : Feulle de alul Exel 4 Exemple 7, Modèle 3 : Programme Malab 43 Exemple 8 : Programmes Malab 46 Méhodes d esmaon de paramères
LA OTIO ERREUR ET E BRUIT E MESURE On adopera les noaons e défnons suvanes pour une grandeur physque : - Valeur exae de la grandeur - Résula de la ème mesure de - e Erreur ommse lors de la ème mesure : e - - Moyenne de valeurs mesurées - Ear-ype des erreurs de mesures auour de ee moyenne - d Inerude de mesure sur : valeur maxmale possble de - Par défnon, l erreur ommse lors de la ème mesure d une grandeur physque don la valeur réelle es vau : e -. Cee erreur peu avor pluseurs auses : - Erreur dûe à l opéraeur : mauvase leure par exemple. - Erreur sysémaque : déalage du zéro de l apparel, mauvas éalonnage, dérve de l éleronque - Bru de mesure : erreur de mesure aléaore auour d une valeur moyenne. S une grandeur es esmée à parr de la mesure d une aure grandeur, l erreur d esmaon peu nlure une «erreur de modèle» (modèle nomple ne prenan pas en ompe erans phénomènes) en plus des erreurs préédemmen ées. ous nous plaerons dans e qu su dans le as où la seule soure d erreur es le bru de mesure. Ce bru es d enré s l es de moyenne nulle. Il es gaussen s sa lo de dsrbuon de valeur es une lo normale (gaussenne). Supposons que l on enregsre les valeurs mesurées oben un graphe du ype suvan : d une grandeur que l on herhe à esmer, on e Fgure : Enregsremen ype d une mesure au ours du emps Les valeurs mesurées érre : son répares de manère aléaore auour d une valeur moyenne e nous pouvons + e () Où : e Erreur de mesure varable aléaore à moyenne nulle (on fa l hypohèse que la mesure es sans bas) Valeur exae que l on herhe à esmer L ensemble des valeurs mesurées peu êre araérsé par deux grandeurs : - la moyenne que l on onsdérera omme le résula fnal de la mesure de. - une deuxème grandeur araérsan la varablé des mesures auour de la valeur moyenne. eux grandeurs peuven êre ulsées pour araérser la varablé des mesures d une grandeur auour de la valeur moyenne observée : Méhodes d esmaon de paramères
- L nerude (absolue) d : elle es elle que % des valeurs mesurées apparennen à l nervalle [ -d, +d ]. Cee grandeur es ben adapée à des mesures réalsées ave des nsrumens peu sensbles à leur envronnemen : mère, ped à oulsse, balane, Par onre,elle peu s avérer nadapée pour eranes mesures elles que la mesure de rès fables ensons par un osllosope. On rouvera sur la fgure une représenaon shémaque d une elle mesure. On remarque que sur un rès grand nombre de mesures, seules quelques unes s élognen de manère mporane de la moyenne orrespondan par exemple à une perurbaon élerque ponuelle au momen de es mesures. L ulsaon de l nerude absolue d pour araérser la varablé des mesures présenées sur la fgure ondura à penser que es mesures présenen une rès grande varablé e qu n es pas le as. e d Fgure : Représenaon shémaque des résulas de mesure d une rès fable enson par un osllosope - L éar-ype auour de la moyenne défn par : ( ). Cee grandeur araérse la façon don les valeurs son dspersées auour d une valeur moyenne e peu êre meux adapée dans erans as/ Selon le as de fgure, on ulsera l une ou l aure des deux noons pour araérser la préson de la mesure. ans e qu su, on ulsera la noaon d qu l suffra de remplaer par lorsque l on onsdérera pluô un éar-ype. Relaon enre nerude (absolue) e éar-ype On peu reler smplemen éar-ype e nerude dans le as où le bru de mesure su une lo de normale ou e em de Laplae-Gauss, 'es-à-dre de densé de probablé : P (e ) exp. On π rouvera sur la fgure 3 une représenaon de la densé de probablé de la lo normale enrée (moyenne nulle) rédue (éar-ype égal à ). ans le as d une erreur de mesure enrée (à moyenne nulle), la probablé P[e,e ] pour que l erreur de mesure e [e,e ] se alule par : e x P e, π [ e ] exp dx e ans le as d une erreur de mesure enrée d éar-ype, on peu aluler que : - 68% des erreurs de mesure son omprses enre e + - 95% des erreurs de mesure son omprses enre e + - 99,7% des erreurs de mesure son omprses enre 3 e +3 On rera don que s l erreur de mesure e sur une grandeur su une lo normale enrée alors l éarype es égal à un ers de l nerude (absolue) d. Méhodes d esmaon de paramères
.3.5..5..5-4 -3 - - 3 4 68% 95% 99,7% Fgure 3 : ensé de probablé d une lo normale enrée rédue Relaon enre nerude e nombre de mesures On monre par alleurs que l nerude d sur l esmaon vare omme l nverse de la rane arrée du nombre de mesures ayan serv à aluler : d d () On rera qu en mulplan le nombre de mesures d une même grandeur par on mulple la préson de son esmaon par. METHOES ESTIMATIO On réalse, à des nsans, mesures d une grandeur dépan de n paramères,,, n e évenuellemen du emps. On suppose que l on onnaî le modèle physque exa permean de reler la valeur de à elles des paramères,,, n sous la forme f(,, n, ). Exemples : - Forme lnéare : () f (,, ) + - Forme exponenelle : () f (,, ) exp( ) Le problème posé es double : - Trouver les valeurs de,, n, elles que la ourbe f(,, n, ) représene au meux les ouples de pons expérmenaux [, ] - Esmer la préson ave laquelle les valeurs,, n son esmées. Un des problèmes annexes qu se pose es de hosr un rère don la mnmsaon permera d affrmer que les valeurs esmées,, n son elles qu représenen au meux les pons expérmenaux par la ourbe héorque. L dée la plus smple sera de hosr omme rère la somme S des dsanes des pons à la ourbe héorque mas les éars négafs peuven ompenser des éars posfs e rre e rère nadapé ans que représené sur la fgure 4. Méhodes d esmaon de paramères 3
S ( ) mod mas mauvase esmaon Fgure 4 : Shémasaon de la somme des éars Le rère le plus souven reenu es la somme des éars quadraques, so la somme des arrés des dsanes des pons expérmenaux à la ourbe héorque el que représené sur la fgure 5. d d ( ) mod mnmum, esmaon orree Fgure 5 : Shémasaon de la somme des éars quadraques Pluseurs méhodes d esmaon von êre déres, les deux premères : Mondres arrés lnéares e Gauss- Marov ne s applquen que s les fonons f son ndépanes des. C es le as du premer exemple f (forme lnéare) mas pas du seond (forme exponenelle) ar exp ( ) dép de e de. On peu ouefos dans e as paruler se ramener à des fonons f ndépanes des paramères à esmer en onsdéran la fonon g (,, ) ln[ f (,, )] ln() ln( ) +. On esmera alors les paramères ln( ) e. Il n es epan pas oujours possble de se ramener au as de fgure de fonons f ndépanes des, les méhodes des mondres arrés lnéares e de Gauss-Marov ne son don pas oujours applables e l faudra alors avor reours à d aures méhodes : méhode érave, du graden, de ewon ou dhoomque.. Paramères lés par une relaon lnéare On suppose dans e paragraphe que les fonons f.. Méhode des mondres arrés lnéares... Cas d une relaon lnéare son ndépanes des. Consdérons, à re de démonsraon de la méhode des mondres arrés lnéares, une relaon du ype + où e son les onsanes nonnues à esmer. On dspose de ouples (, ) de pons expérmenaux e l on herhe à esmer les valeurs de e qu Méhodes d esmaon de paramères 4
Méhodes d esmaon de paramères 5 ; mnmsen le rère d so ( ). Les valeurs de e qu mnmsen son elles que : e So : ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] + + ( ) [ ] + e son don els que : ( ) [ ] + + ou ( ) [ ] + + ou Que l on peu érre sous forme marelle : On en dédu : (3)... Cas général Supposons que la relaon lan aux paramères, l, n à déermner so de la forme : mod f (,,. n, ) On peu érre sous forme d un développemen lmé au premer ordre : () j d f d On en dédu : n j e f e + + So sous forme marelle pour les mesures : n n n n e e x f f f f f f f f f - -, on noera [ ] n B [e ] [X] [e B ]
La mare [X] es appelée la mare de sensblé. S les ondons suvanes son remples :. La mare de sensblé [X] es ndépane de la mare [B]. La mesure ou l esmaon de es sans bas (erreur de moyenne nulle). 3. Le veeur [B] es onsan e nonnu avan esmaon 4. La mare [X] es onnue sans erreur (nerude nulle sur ) 5. L erreur de mesure ou d esmaon sur es d éar-ype onsan onnu (à une onsane mulplave près). Alors une esmaon de la mare [B] peu êre obenue par : [B] [X X] - [X] [ ] (4) Cee esmaon mnmse l éar quadraque [ ] [ ], so la somme des arrés des dsanes des pons expérmenaux à la ourbe (droe) esmée. C es la formule de «régresson lnéare» ulsée par les ableurs e les alulares. On pourra vérfer que la relaon (3) perme ben de rerouver les résulas obenus au... dans le as d une relaon de la forme +. S l nerude (ou l éar-ype de l erreur) de mesure ou d esmaon de oues les valeurs mesurées es denque e a pour valeur, on peu esmer l éar-ype de l erreur sur l esmaon des paramères,,. n à l ade de la formule : [ ov( e )] [ X X] B a a n a a n nn (5) Les varables a, a,.. a nn représenen respevemen les arrés des éars-ypes de l erreur d esmaon de,,.. n : a Ces valeurs ne doven pas êre onfondues ave le oeffen de régresson alulé par les programmes de régresson lnéare qu donne des nformaons sur la manère don les pons son dspersés auour de la ourbe esmée mas pas sur la fablé de l esmaon. A re d exemple, une régresson lnéare sur deux pons ondura à un oeffen de régresson de même s les deux pons son onnus ave une nerude relave de %! L applaon de la formule préédene perme au onrare de défnr un nervalle de onfane des valeurs esmées enan ompe de la fablé de haque pon expérmenal ayan serv à l esmaon. Remarques : - La méhode ne s applque qu s la mare [X X] es nversble. - ans le as où l on reherhe une relaon de ype polynômale : mod + +..+ n n, la mare de sensblé [X] s ér smplemen : n.. Méhode de Gauss-Marov [ X ] ans la méhode des mondres arrés lnéares, on arbue à haque ouple de valeurs expérmenales le même pods ndépammen de l erreur don peu êre enahée la mesure, araérsée par son nerude ou par son n n Méhodes d esmaon de paramères 6
éar-ype. On renonre des as où l nerude ou l éar-ype de l erreur de mesure ou d esmaon d une grandeur n es pas onsan pour oues les mesures ou esmaons de ee grandeur. Exemple : éermnaon de la onsane de emps τ d un phénomène par mesures de à des nsans,,, n, vérfan une lo de la forme : exp, éan supposé onnu sans erreur. τ Chaque ouple de valeurs (, ) perme de aluler une esmaon ˆτ de τ par : τˆ. Les formules ln lassques de alul d nerude permeen de reler l nerude de mesure sur ˆτ à l nerude de mesure sur par : dτ d en fasan l hypohèse que les erreurs de mesure sur e sur les emps ln son néglgeables. ans e as, l nerude d esmaon sur ˆτ n es pas onsane pour oues les mesures. Ce exemple es raé de manère omplèe au 3. La méhode de Gauss-Marov dére -après perme de pondérer l mporane aordée à une mesure par l éar-ype de l erreur de mesure. Un pon expérmenal «peu fable» aura un pods fable dans le résula de l esmaon. Les ondons suvanes doven êre remples pour que l applaon de ee méhode so valde :. La mare de sensblé [X] es ndépane de la mare [B]. La mesure de es sans bas (erreur de moyenne nulle). 3. Le veeur [B] es onsan e nonnu avan esmaon 4. La mare [X] es onnue sans erreur (nerude nulle sur ) 5. L erreur de mesure sur es d éar-ype onnu (à une onsane mulplave près). Une esmaon de la mare [B] peu êre obenue par : [B] [X P - X] - [X] [P] - [ ] (6) où [P] es une mare proporonnelle à [ov(e )] : [P] s [ov(e )] Cee esmaon mnmse l éar quadraque [ ] [ ov( e )] [ ], so la somme des arrés des dsanes des pons expérmenaux à la ourbe esmée pondérées par l éar-ype de la mesure orrespondane. e ( ) e mod mnmum, esmaon orree d Fgure 6 : Shémasaon de la somme des éars quadraques pondérés Comme dans le as de la méhode des mondres arrés lnéares, on peu esmer l éar-ype de l erreur ommse sur l esmaon des paramères,,. n à l ade de la formule : Méhodes d esmaon de paramères 7
[ ov( e )] s [ X P X] B a a n a a n nn (7) Les varables a, a,.. a nn représenen respevemen les arrés des éars-ypes de l erreur d esmaon de,,.. n. Le prnpal problème lé à l applaon de ee méhode es le alul de la mare [ov(e )] : Méhode smplfée On suppose que les mesures ne son pas orrélées 'es-à-dre que l erreur de mesure observé sur la ème mesure es ndépan de l erreur de mesure sur la j ème mesure j. On monre qu alors la mare de ovarane des erreurs de mesures e es dagonale e s ér : ov ( e ) α s ( ) ( ) ( ) n s [ P] Méhode omplèe ans le as où les mesures son orrélées 'es-à-dre que l erreur de mesure observée sur la ème mesure n es pas ndépane de l erreur de mesure sur la j ème mesure j, la mare de ovarane des erreurs de mesures e n es pas dagonale e s ér alors : [ ov ( e) ] ov ov ov ( e,e) ov( e,e ) ov( e,e ) ( e,e ) ov( e,e ) ( ) ( ) e,e ov e,e (8) On rouvera en annexe un rappel de la formule permean de aluler la ovarane.. Paramères lés par une relaon non-lnéare Le problème à résoudre es le suvan : rouver les valeurs des paramères,, n els que la ourbe modèle mod f (,, n, ) représene au meux ouples de pons expérmenaux [, ]. La forme de la fonon f es supposée onnue, les paramères,, n son nonnus e à déermner. On se plae dans le as où les fonons f ne son pas ndépanes des, les deux méhodes préédenes ne peuven alors pas s applquer. On ne pourra pas omme dans la méhode de Gauss-Marov pondérer l mporane d une mesure par son éar-ype, on mnmsera oujours dans e qu su la somme des éars quadraques non pondérés enre les pons expérmenaux e héorques. On verra ouefos au..4 que l on peu ouefos évaluer la préson ave laquelle les paramères nonnus on éé déermnés. Méhodes d esmaon de paramères 8
Méhodes d esmaon de paramères 9.. Méhode du graden C es une méhode érave déallée enre aures par Trgeassou. On suppose omme dans les as préédens que l on dspose de ouples [, ] de pons expérmenaux. On onnaî la forme exple de la fonon non lnéare lan es pons dans laquelle fguren p paramères nonnus à déermner : mod () f (,,, p, ). On noe la somme des éars quadraques enre les ourbes expérmenales e smulées : [ ] ) ( ) ( ans la méhode du graden, la mare [B] des paramères nonnus se alule de manère érave par : (9) où ( ) e ( ) j son alulés ave les valeurs j, j, pj. λ es un nombre posf don le hox es mporan dans la sablé de la méhode. S la méhode dverge, l fau réessayer ave une aure valeur de λ. Ce nonvénen assoé au fa que la méhode du graden es une méhode d ordre lu fa souven préférer la méhode de ewon... Méhode de ewon C es égalemen une méhode érave mas d ordre déallée enre aures par Trgeassou. On suppose omme dans les as préédens que l on dspose de ouples [, ] de pons expérmenaux. On onnaî la forme exple de la fonon non lnéare lan es pons dans laquelle fguren p paramères nonnus à déermner : () f (,,, p, ). ans la méhode de ewon, la mare [B] des paramères nonnus j se alule de manère érave par : () La mare ["] es appelée le Hessen du rère de mnmsaon, ave omme préédemmen : [ ] [ ] λ + p B B ave : ( ) ( ) [ ] ( ) j j [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ' B B B " p p p p p p +
j l j [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j l j [ ] ( ) j l () En praque on néglge le seond erme devan le premer (approxmaon de Gauss-ewon) e on alule les ermes du pseudo-hessen par : j l ( ) ( ) ( ) j l () où ( ), ( ) j e ( ) j l son alulés ave les valeurs j, j, pj. Cee méhode n es sable que s la mare ["] es défne posve. Elle peu dverger s l on par rop lon de la soluon d où le son paruler à apporer au hox des valeurs de dépar qu pourra êre gudé par des onsdéraons physques. Cee méhode possède l avanage de la rapdé e ne néesse pas onraremen à la méhode du graden de hosr de manère un peu arbrare un paramère ( λ pour la méhode du graden) don peu dépre la onvergene...3 Méhode de Marquar La méhode du graden perme de s approher plus rapdemen du mnmum de que la méhode de ewon lorsqu on es lon de e mnmum mas onverge plus lenemen lorsqu on s approhe du mnmum. Marquar a proposé un algorhme qu ombne les avanages des deux méhodes. Il a proposé d applquer la méhode de ewon mas en remplaçan la mare " du Hessen (ou pseudo-hessen) par la mare A" défne de la manère suvane : A" " + λ I Où I es la mare uné e l un paramère auquel on arbuera les valeurs suvanes : - λ, au dépar par exemple. - Après haque la ème éraon, on ompare les valeurs de () e (-). S () < (-) alors on mulple la valeur de λ par pour effeuer l éraon suvane. Snon, on repr la ème éraon après avor dvsé la valeur de λ par...4 Méhode dhoomque ans le as où les méhodes préédenes ne s applquen pas où ne onvergen pas, on peu applquer la méhode suvane relavemen robuse mas qu ondu à des emps de aluls élevés (rère ouefos varable ave l augmenaon onnue de la pussane des ordnaeurs) : On hos pour haque paramère deux valeurs mn e max enre lesquelles l es omprs. On alule f() pour haque ensemble de valeurs [ +,5 ( max - mn ), +,5 ( max mn ),, n +,5 n ( nmax - nmn ),] où,.., n varen de à 4 pour varan de à. On reen l ensemble de valeurs [,,., n ] qu perme de mnmser l éar quadraque enre la ourbe () expérmenale e la ourbe f (,, n, ) alulée. On réère le alul en prenan omme nouvelles valeurs mnmales e maxmales : mn -,5 ( max mn ) ; max +,5 ( max mn ) mn -,5 ( max mn ) ; max +,5 ( max mn ) ) nmn n -,5 ( nmax nmn ) ; nmax n +,5 ( nmax nmn ) Méhodes d esmaon de paramères
Le shéma de prnpe de ee méhode es représené sur la fgure 5 dans le as de l esmaon de deux paramères e. La fonon f do êre alulée en 5 pons lors de la ère éraon pus 6 fos à haque éraon suvane dans le as de l esmaon de paramères. ans le as de l esmaon de p paramères, elle do êre alulée 5 p fos lors de la ère éraon, so par exemple 35 fos s p 5. Cee méhode es don applable pour un nombre lmé de paramères à esmer (deven rès longue pour plus de 4 paramères) e ben que relavemen sable peu dverger s l on démarre le alul ave des nervalles [ mn, max ] d ampludes rop mporanes. Le nombre d éraons suessves dép de la préson souhaée e de l amplude des nervalles de dépar, un nombre de 5 éraons es souven suffsan. En effe, s l éar relaf enre les valeurs mn e max des paramères à esmer es nalemen de %, e éar n es plus que de 3% après 5 éraons e qu es souven suffsan. max 3 mn mn max Fgure 7 : Shéma de prnpe de la méhode d esmaon dhoomque..5 Evaluaon de la préson de l esmaon..5. Inerudes sur mas pas sur La préson ave laquelle les paramères nonnus on éé esmés peur êre évaluée de manère approhée en supposan que la fonon mod (,, n, ) es lnéare par rappor à,,., p sur des nervalles de rès fables ampludes auour des valeurs opmales esmées. Cas où les brus de mesures ne son pas orrélés On suppose que les mesures ne son pas orrélées 'es-à-dre que l erreur de mesure observée sur la ème mesure es ndépan de l erreur de mesure sur la j ème mesure j. On monre qu alors la mare de ovarane des erreurs de mesures e es dagonale e s ér : [ ov( e )] ( ) ( ) ( ) Comme dans les as raés aux.. e.., on peu esmer l éar-ype de l erreur sur l esmaon des paramères,,. n à l ade de la formule (6). ans ee formule, [X] es la mare de sensblé alulée ave les valeurs opmales esmées des paramères,,.. n. Les varables a, a,.. a nn représenen respevemen les arrés des éars-ypes de n [ P] Méhodes d esmaon de paramères
l erreur d esmaon de,,.. n : a. Cas où les brus de mesures son orrélés ans le as où les brus de mesures son orrélés, 'es-à-dre où l erreur de mesure observée sur la ème mesure n es pas ndépane de l erreur de mesure sur la j ème mesure mesures e n es pas dagonale e peu se aluler ave la formule (7). j, la mare de ovarane des erreurs de S l on onnaî une mare [P] elle que [P] s [ov(e )] où s es une onsane, on peu esmer l éar-ype de l erreur sur l esmaon des paramères,,. n à l ade de la formule (6). Il n es pas oujours possble de déermner ee mare [ov(e)], on peu alors ulser une méhode sasque pour esmer les éars-ypes sur les paramères nonnus,,.. n. ans e as on applquera la méhode sasque dére dans le..5....5. Inerudes sur e sur A parr d une sére de ouples expérmenaux [ ˆ, ] ouples de l une des manères suvanes :, on smule numérquemen p aures séres de ère méhode : smulé + r e ˆ smulé ˆ + r, Où : - r es un nombre aléaore suvan une lo normale, de moyenne nulle e d éar-ype égal à. Ce nombre peu êre généré en langage Malab ave l nsruon : r Randn(). - e son les éars-ypes des mesures de e de. S on onnaî pluô les nerudes d e d, on d d prra e ar le nombre r su une lo normale. 3 3 On smule ans des mesures ave un bru suvan une lo normale enrée représenaf de la plupar des mesures. ème méhode : smulé + r d e ˆ smulé ˆ + r d, Où : - r es un nombre aléaore de moyenne nulle omprs enre - e +. Ce nombre peu êre généré en langage Malab ave l nsruon : r *(.5-Rand), ou dans Exel ave : r *(.5-Alea()), ou dans Vsual Bas ave r *(.5-Rnd). Malheureusemen, le nombre r généré n es pas gaussen mas es répar de manère unforme sur l nervalle [-,+] e qu es mons représenaf de la dsperson réelle de mesures expérmenales auour d une moyenne. L éar-ype des nombres r ans générés es égal à. 3 - d e d son les nerudes sur les mesures de e de. S on onnaî pluô les éars-ypes e, on prra don : d 3 e d 3 ompe-enu de l éar-ype sur les r. Après avor applqué l une de es deux méhodes, on esme les paramères,,.. n pour haune des p séres smulées. On dspose ans d une mare du ype : B n p np Méhodes d esmaon de paramères
On peu ensue former la mare [eb][ - j ] où es le résula de l esmaon du ème paramère à parr de la sére de pons expérmenaux e j es le résula de l esmaon de e même paramère à parr de la j ème sére de pons smulés. Le alul de la mare [ov(eb)] peu alors êre effeué en ulsan la formule rappelée en annexe. Les ermes dagonaux a de ee mare représenen les arrés de l éar-ype de l erreur d esmaon des. 3 EXEMPLES ESTIMATIO E PARAMETRES 3. Esmaon d un seul paramère On se propose de déermner la onsane de emps τ araérsque d un sysème araérsé par un grandeur U don l évoluon au ours du emps es de la forme : U mod ( ) U M exp τ Le problème es d esmer le seul paramère τ à parr de ouples de pons expérmenaux [ ], Û. On suppose que l erreur de mesure sur Û d éar-ype U e que l nerude sur U M es néglgeable. On se rouve don dans le as smple de reherhe de, les aures éan nuls. On peu esmer une valeur de τ ι à haque nsan par la relaon : τ U ln Û M (3) S l on dspose de ouples de mesures [, préédene. Méhode des mondres arrés lnéares : Û ], on peu aluler valeurs τ orrespondanes par la formule Elle fa l hypohèse que oues les esmaons de τ on le même éar-ype que nous noerons τ. Les dfférenes mares nervenan dans l applaon de la méhode des mondres arrés lnéares s érven dans e as smple : [X] [.] ; [B] [τ] ; [ ] [ Û. Û ] ; e [ P ] ov( eτ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) Une esmaon de τ peu alors êre obenue en applquan la formule : [B] [X X] - [X] [ ] qu se résume à : τ τ (4) Cee méhode d esmaon aorde à oues les valeurs τ le même pods ndépammen de l nerude don elles son enahées. es pons de mesure enahés d une fore nerude peuven alors fare dverger le résula fnal. Méhodes d esmaon de paramères 3
Méhode de Gauss-Marov : En fa, dans le as de fgure onsdéré dans e exemple, les erreurs d esmaon des τ ne son pas onsanes on va don applquer la méhode de Gauss-Marov qu perme de rédure l nfluene des pons expérmenaux foremen brués. ans e as paruler où les mesures ne son pas orrélées (la éme mesure n es pas nfluenée par les aures mesures) on peu applquer la méhode de Gauss-Marov smplfée. Les dfférenes mares nervenan dans l applaon de ee méhode s érven dans e as : [X] [.] ; [B] [τ] ; [ ] [ Û. Û ] e [ P ] ov( e ) α ( τ ) ( τ ) ( τ ) Une esmaon de τ peu alors êre obenue en applquan la formule : [B] [X P - X] - [X] ondu à : τ τ ( τ ) ( τ ) [P] - [ ] qu (5) où τ es l éar-ype des esmaons de τ. Ce éar-ype peu êre relé à l éar-ype de U par la relaon suvane ére en erme d nerudes : d τ du x Û U ln U M du que l on peu ransposer en erme d éar-ype : τ x U On peu esmer l éar-ype de la valeur esmée de τ en applquan la formule : [ov(e τ )] [X P - X] - qu ondu à : τ τ ( ) (6) Exemple On smule des relevés expérmenaux à parr de la ourbe obenue ave U M V e τ s en onsdéran un bru de mesure d éar-ype U, V de la manère suvane : U smulé U M exp + 3 r U τ où r es un nombre aléaore suvan une lo normale omprs enre - e +, le erme 3 r U es alors un nombre aléaore de moyenne nulle e d éar ype U. Méhodes d esmaon de paramères 4
Tableau : Valeurs exaes e valeurs expérmenales brués obenues par smulaon numérque (s) 5 5 5 3 35 4 45 5 U mod ( ) (V), 6,65 3,679,3,353,8,498,3,83,,67 Û (V),5 6,4 3,5,6,3,84,57,36,33,8, En applquan une méhode d esmaon de paramères à es relevés expérmenaux smulés, on devra rerouver la valeur τ s. En applquan la relaon (4) de la méhode des mondres arrés lnéares, on oben τ,45s. L applaon de la relaon (5) de la méhode de Gauss-Marov ondu à une esmaon plus prése : τ 9,94s à parr des mêmes pons expérmenaux. L applaon de la relaon (6) perme de aluler l éarype de l erreur d esmaon de τ e ondu à : τ,4s. On peu don affrmer que la probablé pour que apparenne à l nervalle [9,8s,,8s] es égale à,63 e que la probablé pour que apparenne à l nervalle [9,5s,,36s] es égale à,997. 3. Esmaon des oeffens d une droe 3.. Equaon On se plae dans le as /, les mesures éan déermnées ave une nerude d, on es ramené au as de l exemple prééden e on peu aluler de l une des deux manères suvanes : Méhode des mondres arrés lnéares : y (7) Méhode de Gauss-Marov : ( ) ( ) (8) Ave : y + 3.. Equaon + On do dans e as esmer les deux paramères e à parr de la onnassane de n ouples de pons expérmenaux (, ŷ ). La relaon es lnéare par rappor à e à, on peu don ulser la méhode des mondres arrés lnéares ou de Gauss-Marov. Cas d un bru de mesure nul sur les Méhode des mondres arrés lnéares : On se plae dans le as où les valeurs son onnues de manère exae ou ave une nerude néglgeable e où l éar-ype de l erreur (ou l nerude) sur les mesures ŷ es onsan. Les mares [X], [B] e [ ] s érven dans e as : Méhodes d esmaon de paramères 5
Méhodes d esmaon de paramères 6 ( ) ; ( ) ; [ ] n X [ ] B [ ] n Le développemen de la relaon marelle [B] [X X] - [X] [ ] ondu alors à : (9) On rerouve une expresson denque à la formule (3) éable préédemmen. L éar-ype de l erreur sur les valeurs esmées de e se alule par : ( ) [ ] [ ] B X X e ov So : ( ) [ ] n B e ov ( ) [ ] e ov B où : () La somme des arrés des dsanes des pons expérmenaux à la droe esmée s ér : [ ] [ ] S so dans e as : ( ) r S où : y es l éar ype des valeurs de y donné par : ( ) ( ) n, y éan la moyenne des y. r es le oeffen de régresson donné par : ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] n n n r Plus le oeffen de régresson r es prohe de, mons les pons (, ) son élognés de la droe. Exemple On smule des relevés expérmenaux à parr de la ourbe obenue ave 5 e en onsdéran une nerude de mesure onsane d de la manère suvane : smulé d r 5 + + où r es un nombre aléaore omprs enre - e +. Les valeurs obenues son reporées dans le ableau.
Méhodes d esmaon de paramères 7 Tableau : Valeurs exaes e valeurs expérmenales brués obenues par smulaon numérque 3 4 5 6 7 8 9 5 7 9 3 5 7 9 3 5 4,7 6,4 8,54,4 3,99 4,7 6,93 9,64,6, 4,4 En applquan une méhode d esmaon de paramères à es relevés expérmenaux smulés, on devra rerouver les valeurs 5 e. Une nerude de mesure d orrespond à un éar-ype 33, 3 d. En applquan la relaon (9) de la méhode des mondres arrés lnéares, on oben 4,579 e,3 soen des erreurs d esmaon e,4 e e,3. L applaon de la formule () ave 33, perme de aluler l éar-ype de l erreur d esmaon de es valeurs e l on oben :,9 e,3. Le oeffen de régresson es égal à r,99 alors que l éar-ype relaf sur par exemple es de % 4, x % 5,9, e qu monre ben que le oeffen r ne donne auune ndaon sur la préson de l esmaon de e de. Remarque : On vérfera en raçan la ourbe () dans un ableur e en lu applquan une ourbe de ane lnéare que l on rerouve ben les valeurs 4,579 e,3. Par onre, on n aura auune dée de l erreur d esmaon de e de. Méhode de Gauss-Marov : On se plae dans le as où les valeurs son onnues de manère exae ou ave une nerude néglgeable e où l nerude (ou l éar-ype de l erreur) sur les mesures n es pas onsan. Une esmaon de la mare [B] peu êre alulée par : S les nerudes de mesures sur les ne son pas orrélées enre elles, la mare [ov(e)] peu s érre sous la forme : ( ) [ ] [ ] P e ov n Calulons [B] : [ ] X P X [ ] X P X [B] [X P - X] - [X] [P] - [ ]
Méhodes d esmaon de paramères 8 ; ; [ ] X P X [ ][ ][ ] P X [ ] - - - [] [P] [X] X] P [X B On en dédu fnalemen : () Les éars-ypes des erreurs sur e peuven êre dédues de la relaon : ( ) [ ] [ ] B X P X e ov ( ) [ ] ( ) [ ] B X e ov X e ov On en dédu : () Exemple 3 On smule des relevés expérmenaux à parr de la ourbe obenue ave 5 e en onsdéran une
nerude de mesure d varable : d, de la manère suvane : smulé + 5 +, r où r es un nombre aléaore omprs enre - e +. Les valeurs obenues son reporées dans le ableau 3. Tableau 3 : Pons expérmenaux brués obenus par smulaon numérque 3 4 5 6 7 8 9 5 7 9 3 5 7 9 3 5 5, 7, 9,,5 3,3 4,58 6,99 8,3,3 3,6 4,9 En applquan une méhode d esmaon de paramères à es relevés expérmenaux smulés, on devra rerouver les valeurs 5 e. En applquan la relaon (9) de la méhode des mondres arrés lnéares, on oben 5,95 e,95 soen des erreurs d esmaon e,95 e e,75. L nerude d esmaon de e de n es pas alulable ar l nerude de mesure sur les n es pas onsane. d En applquan la relaon () de la méhode de Gauss-Marov ave, on oben 5,98 e 3,956 soen des erreurs d esmaon e,98 e e,44. Ces valeurs son nféreures aux erreurs d esmaon aenes ave la méhode des mondres arrés lnéares. Les éars-ypes sur l erreur d esmaon de e de alulés par la relaon () on pour valeurs :,4 e,6. La méhode de Gauss- Marov es don à préférer dans le as où les nerudes (ou éar-ype des erreurs) de mesures ne son pas onsanes ar elle amélore la préson de l esmaon e perme de aluler un éar-ype de l erreur d esmaon des paramères nonnus. Cas d un bru de mesure onsan mas non nul sur les e sur les ans e as de fgure, on mesure une valeur à un nsan exa don on réalse la mesure enahée d erreur ˆ. La valeur exae que l on aura du mesurer s l on n ava omms d erreur n sur n sur es * don mod ( ). L erreur oale e sur la ème mesure de peu s érre : e * ˆ + ˆ e + e mod ( ) mod ( ) mod ( ) mod ( ),5 L éar-ype sur e es don égal à [ var( e e )] var( e ) + var( e ),5 [ ] [ + ], 5 +. On peu don penser applquer la méhode des mondres arrés lnéares e remplaer par [ + ], 5 * pour le alul des éars-ypes e par la formule (). mod ( ) e e ( ) e d * e + mnmum ˆ Fgure 8 : Shémasaon de la somme pondérée * des éars quadraques On peu alors ulser la relaon (9) de la méhode des mondres arrés lnéares pour esmer e pus remplaer par * [ + ],5 dans les relaons () pour esmer les éars-ypes e. Ben que n éan pas dans le adre sr d applablé de la méhode d un pon de vue mahémaque, les résulas obenus son sasfasans. Méhodes d esmaon de paramères 9
Exemple 4 On smule des relevés expérmenaux à parr de la ourbe obenue ave 5 e en onsdéran une nerude de mesure d onsane sur les mesures de e une nerude de mesure d,5 onsane sur les mesures ˆ de, de la manère suvane : 5 r d / 3 smulé + + e ˆ + r d / 3 smulé, où r es un nombre aléaore suvan une lo normale enrée, d éar-ype égal à. Les valeurs obenues son reporées dans le ableau 4. Tableau 4 : Pons expérmenaux brués obenus par smulaon numérque 3 4 5 6 7 8 9 ˆ,9,8,5 3,44 3,74 4,83 5,74 6,99 7,86 8,88, 5 7 9 3 5 7 9 3 5 4,67 6,7 9,33,54 3,7 5, 7,6 8,76,3 3,5 4,79 En applquan une méhode d esmaon de paramères à es relevés expérmenaux smulés, on devra rerouver les valeurs 5 e. L applaon des formules (9) de la méhode des mondres arrés lnéares perme d obenr : ˆ 4,547 e ˆ,87, so e,453 e e,87. Ces grandeurs permeen de,5. L applaon de la formule () perme alors d esmer les éarsypes de l erreur d esmaon de e de :,8 e,49. aluler * [ + ], 48 La smulaon de séres de mesures e le alul pour haune d elles de e de par la méhode des mondres arrés lnéares, pus de e - 4.547 e de e,87 permeen d esmer de manère sasque l nerude (éar maxmal observé) e l éar-ype de l erreur sur e. Une sére de mesures nous a ondu à d,953, d,75,,7 e,46. Les valeurs des éars-ypes e son prohes des valeurs des éars-ypes alulées par la relaon (). Les valeurs alulées de manère sasque son plus préses que elles obenues par le alul de *. Cas d un bru de mesure varable e non nul sur les e sur les ans e as de fgure, on mesure une valeur d erreur. Les nerudes sur les mesures des à un nsan exa don on réalse la mesure ˆ enahée e des ˆ ne son pas onsanes. On peu applquer dans e as la méhode des mondres arrés lnéares pour esmer les paramères,,. p. Les formules permean de aluler les nerudes des paramères esmés ne s applquen plus. On esmera es nerudes de manère sasque : on smule numérquemen mesures bruées de la manère suvane : à parr d un ouple de valeurs exaes (, ) on smule un ouple mesuré (, ) + mod ˆ + r' ( ) r d d ˆ par : On applque par exemple la méhode des mondres arrés lnéares pour aluler les paramères,,. p. On répèe p fos ee smulaon suve d une esmaon par la même méhode. On dspose alors d une mare de résulas du ype : p [ B ] (p esmaons de n paramères) n n p On alule les valeurs moyennes des ouples expérmenaux (, ) paramère à esmer : de haun des paramères, on do rerouver les valeurs esmées à parr ˆ s p es suffsammen grand. On peu ensue aluler pour haque Méhodes d esmaon de paramères
- l nerude (absolue) : es la valeur maxmale aene par j - - l éar-ype de l erreur d esmaon : es l éar-ype des valeurs j - auour de la moyenne (nulle). Cee nerude es lée aux pons expérmenaux e à la méhode d esmaon ulsée. On pourra ulser la même proédure pour aluler l erreur d esmaon obenue s l on ulse une méhode d esmaon aure que elle des mondres arrés lnéares (mnmsaon d un rère aure que la dfférene des éars quadraques). Exemple 5 On smule des relevés expérmenaux à parr de la ourbe obenue ave 5 e en onsdéran une nerude de mesure d, varable sur les mesures de e une nerude de mesure d,5 onsane sur les mesures ˆ de, de la manère suvane : + 5 r d / 3 e smulé + ˆ smulé + r d / 3 où les nombres r son des nombres aléaores suvan une lo normale enrée, d éar-ype égal à. Les valeurs obenues son reporées dans le ableau 5. Tableau 5 : Pons expérmenaux brués obenus par smulaon numérque 3 4 5 6 7 8 9 ˆ,9,8,9,97 3,88 4,83 6,3 7, 8,6 9,4 9,95 5 7 9 3 5 7 9 3 5 4,94 6,88 8,97,86 3,38 5,7 7,65 8,9,,9 5,3 En applquan une méhode d esmaon de paramères à es relevés expérmenaux smulés, on devra rerouver les valeurs 5 e. L applaon des formules (9) de la méhode des mondres arrés lnéares perme d obenr : 5,553 e,99, so e,447 e e,9. On a ensue smulé numérquemen séres de mesures bruées de la manère suvane : à parr des, ˆ ', par : ouples expérmenaux de valeurs ( ˆ ), on smule séres de ouples de mesures ( ) ' 5,553 +,99 ˆ + ˆ + r d / 3 r d / 3 ' ˆ' où les nombres r son des nombres aléaores suvan une lo normale enrée, d éar-ype égal à. On réalse pour haune des séres smulées l esmaon des paramères e par la relaon (9) e on alule les valeurs moyennes e pus les éars maxmum à la moyenne e les éars-ypes de l erreur d esmaon, on oben : 5,57 ;,99 ; d,9 ; d,7 ;,7 ;,6. On onsae que les valeurs «exaes» 5 e se rouven ben dans les nervalles [ -d, +d ] e [ -d, +d ]. Pour valder ee méhode d'esmaon de l'erreur, on a reprs les mêmes aluls à parr des valeurs exaes 5 e. On a obenu les résulas suvans sur esmaons : 5,6 ;,997 ; d,6 ; d,7 ;,7 ;,63. Ces valeurs son rès prohes de elles obenues ave les valeurs esmées de e de. Le fa de aluler les erreurs d esmaon sur e à parr de valeurs esmées de e (don enahées d erreur) n a don pas une nfluene mporane, e qu valde la méhode sasque proposée. 3.3 Esmaon de paramères lés par une relaon non lnéare 3.3. Inerudes de mesures onsanes : exemple du «Plan haud» Problème posé ous allons raer l exemple de la méhode du plan haud : un réssane hauffane plane don on mesure la empéraure es nsérée enre deux éhanllons d un même maérau. On lu envoe un éhelon de enson qu Méhodes d esmaon de paramères
provoque le dégagemen d un flux de haleur ϕ. La haleur produe dffuse dans les éhanllons e on enregsre l évoluon de la empéraure T() de la réssane au ours du emps. On monre que la ransformée de Laplae θ(p) de ee empéraure obé à la relaon suvane : ϕ θ( p) p m p + + R E S p [ R m p + ] E S p (3) où : E Effusvé du maérau R Réssane hermque de ona enre le maérau e la réssane m Capaane hermque de la réssane. [ ] Le problème posé es d esmer es ros paramères à parr de ouples de pons expérmenaux, Tˆ ( ). S les ros paramères E, R e m son supposés onnus, la empéraure dans l espae réel peu se aluler en applquan la formule de Sehfes : T() ln() J V θ j ln() j j (4) dans laquelle θ es donné par la relaon (3). Un nombre de ermes J es suffsan pour assurer une préson sasfasane, les oeffens V j on alors pour valeur : V / V -385/ V3 7 V4-4687/3 V5 55465/6 V6-47395/ V7 7735/3 V8-5/3 V9 385/ V -6565/ Eude de sensblé Une ondon néessare pour que l esmaon séparée des ros paramères so possble es que les sensblés de T() à haun des paramères soen déorrélées. Cela sgnfe qu l ne do pas exser de relaon de proporonnalé enre les fonons T (), T () e T (). E R m A re d exemple, alulons es dverses sensblés pour les ondons nomnales suvanes : E 5, R,. -3 m. C.W -, m, On a représené sur la fgure 9 : ϕ 5 W.m - S - La ourbe smulée T() ave es ondons nomnales sur s. T T T - Les ourbes E (), R () e m () enre e s. E R m T T T E E R R E sur la fgure les ourbes E (), E () e () T T T R m m R m m enre e s. On onsae que la sensblé à E es fore e non orrélée aux sensblés à R e à m ar les deux rappors T T E E E e E ne son pas onsans. Il es don possble d esmer E à parr de la ourbe T T R m R m expérmenale Tˆ (). On onsae égalemen que les sensblés à R e à m son foremen déorrélées enre e Méhodes d esmaon de paramères
T R R s, l sera don possble de les esmer séparémen sur e nervalle de emps. Par onre, le rappor T m m deven presque onsan après s, l n es don plus possble d esmer R e m ave la poron de ourbe Tˆ () pour > s. 8 6 - () (b) T() 4-4 -6 (a) 4 6 8 (s) -8 4 6 8 (s) Fgure 9 : Courbe T() e ourbes de sensblés : (a) : T E E ; (b) : T m m ; () : T R R -3-6 -9 - -5 T E E T R R 7 6 5 4 3 T E E T m m -. -. -.3 R T R T m m -8 4 6 8 4 6 8 -.4 4 6 8 Fgure : Rappor des sensblés rédues aux ros paramères E, R e m Esmaon praque des paramères par la méhode de ewon On es dans le as d une relaon T() f (E, R,m, ) non lnéare par rappor à E, R e m. Les méhodes des mondres arrés lnéares e de Gauss-Marov ne peuven don pas s applquer. On va alors pluô ulser la méhode de ewon pour déermner les paramères E, R e m qu mnmsen de la somme des éars quadraques. Résoluon dans Exel : Le shéma d applaon es le suvan : - Ouverure d une feulle de alul Exel. - Affeaon de valeurs «arbrares» de E, R e m au onenu des ellules A, A, A3. - Affeaon des emps auxquels les mesures on éé effeuées au onenu de la olonne B. - Affeaon de la empéraure mesurée à l nsan orrespondan au onenu de la olonne C. - Calul dans les olonnes F à M de V j j ln() θ en fasan varer j de (olonne F) à (olonne M) Méhodes d esmaon de paramères 3
e où θ es alulé par la formule (4). Ce peu êre réalsé rapdemen en ulsan les possblés offeres par Exel d ére la formule de alul d une ellule à une olonne ou à une lgne. Cee remarque s applque à ous les aluls dérs -après. - Calul dans la olonne de la empéraure smulée en effeuan la somme des olonnes préédenes e ln() en mulplan ee somme par. - Calul dans la olonne E du arré de la dfférene des olonnes C e. - Calul dans la ellule A5 de la somme des ellules de la olonne E. - Ulsaon de la fonon «Solver» en enran omme paramères : - Cellule à défnr : A5 - Egale à : Mn - Cellules varables : A ; A ; A3 - Opons : Esmaon «quadraque», dérvée «enrée», méhode «ewon». - Clquer ensue sur «Résoudre», Exel effeue alors le alul de mnmsaon e modfe la valeur des ellules bles A, A e A3 onenan les valeurs de E, R e m quand la onvergene es aene. La feulle de alul ans réée peu êre réulsée pour la mnmsaon d aures relaons défnes dans l espae de Laplae. Le hangemen de fonon peu êre réalsé rès rapdemen en ulsan les possblés offeres par Exel d ére la formule de alul d une ellule à une olonne ou à une lgne. Résoluon sous Malab : On rouvera en annexe un programme Malab permean d esmer les paramères E, R e m à parr d un enregsremen de la empéraure d un plan haud en applquan la méhode de ewon. Ce programme perme égalemen de aluler l éar-ype des paramères esmés. Exemple 6 Esmer les paramères E, R e m à parr des relevés suvans de la empéraure T() obenue dans les ondons d expérenes suvanes : Elémen hauffan de surfae 4,3 m, de réssane élerque R 37,Ω almené sous une enson U 7,38V. L nerude sur les mesures de empéraure es onsane e vau dt, C. Tableau 6 : Relevés de empéraure lors d une expérene «Plan haud» 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 T(),,6,,3,6,8,,,4,5,7,8 3, 3, 3, 3, 3,3 3,5 3,6 3,7 3,8 3 4 5 6 7 8 9 3 3 3 33 34 35 36 37 38 39 4 4 T() 3,9 4, 4, 4, 4,3 4,4 4,5 4,6 4,6 4,7 4,8 4,9 4,9 5, 5, 5, 5, 5,3 5,3 5,4 5,6 La résoluon par la méhode de ewon dans Exel ou sous Malab ondu au même résula : E 34, J.m -. C -.s -/ ; R,3 C.W - ; m,747 J. C -. L applaon de la méhode de ewon néesse le alul des dérvées parelles que l on alule numérquemen de la façon suvane : T T T ( E, R, m, ) T(, E, R, m, ) T( E, R, m, ) E, E ( E, R, m, ) T( E,, R, m, ) T( E, R, m, ) R, R ( E, R, m, ) T( E, R,, m, ) T( E, R, m, ) m, m On rouvera sur la fgure la représenaon des pons expérmenaux e de la ourbe modèle esmée. Ayan alulé les dérvées parelles, on peu onsrure la mare de sensblé [X]. S l on fa l hypohèse que le modèle es lnéare pour de fables varaons des paramères E, R e m auour des valeurs esmées, on Méhodes d esmaon de paramères 4
peu ensue aluler la mare de ovarane des erreurs d esmaon des paramères E, R e m par : [ov(e B )] T [X X] -,, ave T,33 C 3 6 5 4 3 Tmod Texp 3 4 5 (s) Fgure : Pons expérmenaux e ourbe modèle esmée pour une expérene «Plan haud» On oben : [ ov ( eb) ],33 697 79,7 84, 79,7 3,5 4,5 84, 4,5,6 où : E,33 697 3, 89 J.m -. C -.s -/ R,33 3,5,7 C.W - m,33,6,59 J. C - 3.3. Inerudes de mesure varables : ourbe de séhage Exemple 7 On a réalsé l expérene de séhage suvane : un éhanllon de produ de masse nale M 46,3g e de eneur en eau nale X 4,559 g.g - ms a éé plaé dans un flux d ar de empéraure, humdé relave e vesse onsanes. On a relevé les valeurs Mˆ () de la masse du produ à dfférens emps supposés onnus sans erreur. Mˆ () Mˆ s La eneur en eau orrespondane du produ se alule par : Xˆ () Mˆ s Où Mˆ s es la masse sèhe mesurée du produ, elle se onserve au ours de l opéraon de séhage. Le problème posé es de rouver les valeurs opmales des paramères des dfférens modèles suvans : - A e pour le modèle : X( ) A exp( ) - A,, A e pour le modèle : ( ) A exp( ) + A exp( ) X Méhodes d esmaon de paramères 5
( α) V α + eq eq, dans ee relaon, X X eq X eq es la eneur en eau d équlbre qu sera aene au bou d un emps nfn. - α, V e X eq pour le modèle 3 : X () X + ( X X ) qu représenen au meux les ouples expérmenaux présenés dans le ableau 7. On veu égalemen onnaîre l éar-ype de l erreur d esmaon de es paramères. Tableau 7 : Relevés expérmenaux de la masse au ours du séhage. (h),7,5,4,5,75,5,5,75,5 3 M() 46,3 44, 43,9 4, 4,9 38,48 36,43 34,3 3,48 3,7 9,7 6,8 3,67 (h) 4 5 6 7 8 4 6 8 M(), 7,46 5,49 4,6 3,3,7,,43, 9,87 9,79 9,64 Les nerudes son : dx,43 g.g ms - ; dm,g ; dm,g. Il fau d abord aluler les valeurs Xˆ () e les nerudes orrespondanes. Mˆ 46,3 La masse sèhe du produ ms à séher se alule par : Mˆ + Xˆ + 4,559 L nerude sur ee masse sèhe vau : dmˆ s 8,39 g dm dx,,43 s + Mˆ s + 8,39 Mˆ + Xˆ 46,3 5,559,g [ ] dxˆ d Mˆ () Mˆ L nerude sur la eneur en eau vau : () Xˆ Mˆ () Mˆ s s dmˆ + Mˆ s s dmˆ () + dmˆ s dmˆ + Mˆ () Mˆ s Mˆ s s Elle n es pas onsane, elle dép de Mˆ () don de, on rouvera les valeurs alulées dans le ableau 8. Tableau 8 : Valeur des nerudes alulées sur la eneur en eau. (h),7,5,4,5,75,5,5,75,5 3 X() 4,559 4,96 4,86 4,45 3,933 3,6 3,374 3,8,9,687,49,3,84 dx() 9,8 8,76 8,63 8,46 8,3 7,95 7,65 7,35 7,8 6,83 6,59 6,6 5,8 (h) 4 5 6 7 8 4 6 8 X(),45,96,86,688,576,45,33,5,5,85,75,57 dx() 5,3 4,9 4,63 4,43 4,9 4,9 3,99 3,9 3,86 3,8 3,8 3,79 Modèle : () A exp( ) X On peu ulser la méhode du graden ou elle de ewon, on rouvera les programmes orrespondans à haune des deux méhodes en annexe. La méhode de ewon onverge beauoup plus rapdemen e aepe des valeurs nales plus élognées que la méhode du graden. Les deux méhodes onvergen vers la même soluon : A 4,4849;,85 ;,76 On peu auss lnéarser le modèle en alulan () ln[x()] ln(a ). Ben que les nerudes sur () ne son pas onsanes, on peu dans un premer emps applquer la méhode des mondres arrés lnéares pour esmer ln(a ) e, on abou à la soluon : A 3,46 ;,68. Méhodes d esmaon de paramères 6
La dfférene enre les deux soluons en au fa que l on ne mnmse pas le même rère dans les deux as : ans le premer as on mnmse : [ X() A exp( ) ] ans le deuxème as on mnmse : ' ' 5 4 3 X mesuré X alulé X alulé ( ) + ( ) X() A [ [ ] ( ) ] ( ) exp ex ln X() ln A + ln ln A exp A exp ln + A ex ex ( ) A exp( ) exp On mnmse don les éars relafs, e qu perme d aorder plus d mporane aux pons ayan une fable eneur en eau e d amélorer la représenaon de la fn du séhage. Le débu du séhage es par onre mons ben représené. 5 5 5 (h) Fgure : Pons alulés par les deux esmaons du modèle e pons expérmenaux Il es oujours néressan d analyser la dsperson des résdus, so des dfférenes ( ) ( ) : s les mesures son sans bas e s le modèle représene ben le phénomène éudé, on do observer un bru enré de dsperson aléaore. On rouvera sur la fgure 3 la représenaon des résdus pour la ourbe de séhage raée.,6 mod,,8 Résdus Résdus,4 -,4 5 5 5 -,8 Fgure 3 : Résdus des deux esmaons réalsées sur le modèle L analyse des résdus monre des valeurs assez élevées e une dsperson non aléaore e qu veu dre que le modèle ne représene pas orreemen le phénomène physque. Les erreurs éan prnpalemen dues à l nadéquaon du modèle, l n es pas ule d esmer l erreur due au bru de mesure ou d affner l esmaon par la méhode de Gauss-Marov. Cee onsaaon amène pluô à reherher un modèle meux adapé. (h) Modèle : () A exp( ) + A exp( ) X Le modèle n éan pas lnéare, on déermne les valeurs des paramères qu permeen de mnmser la somme des éars quadraques par la méhode de ewon. On peu ulser pour ela le Solveur d Exel omme déallé en annexe e l on abou à la soluon suvane : A 4,579 ;,3369 ; A,439 ;,439 ;,66 Méhodes d esmaon de paramères 7
On alule la mare de sensblé [X] omme dans l exemple 6. Ave la même hypohèse de lnéaré auour de l opmum, la mare de ovarane des erreurs d esmaon peu se aluler par : ov( e ) où la mare [P] es une mare proporonnelle à la mare [ov(e )]. [ ] s [ X P X] Les erreurs sur les mesures de (la eneur en eau X dans e exemple) ne son pas orrélées don on peu prre ( ) [ ] [ ( )] ( ) P ov e ( ) n B On oben ans : [ ( eb) ] 4 ov 3,3,384,7,3,384,5,347,367,7,347,57,5,3,367,5,347 où : Α 4,579 ; A, 74,3379 ;, 3 A,439 ; A, 6,439 ;, 86 L analyse des résdus représenés sur la fgure 4 monre que leur valeur es fable e que leur réparon semble relavemen aléaore. Ce valde à la fos la méhode d esmaon e le modèle reenu.,6 Résdus sur X,4,, -, 5 5 5 -,4 Modèle 3 : X () X + ( X X ) eq Fgure 4 : Résdus de l esmaon réalsée sur le modèle eq ( α) V α + X X eq Le modèle n éan pas lnéare, on déermne les valeurs des paramères qu permeen de mnmser la somme des éars quadraques par la méhode de ewon en sasfasan la onrane physque : X()-dX() > X eq pour ou pon. On peu ulser pour un programme Malab el que elu déallé en annexe e l on abou à la soluon suvane : α,6 ; V -,45 g.g ms -.s - ; X eq,33 g.g ms - ;,9. On rouvera sur la fgure 5 la représenaon des pons expérmenaux e de la ourbe modèle esmée. On alule la mare de sensblé [X] omme dans l exemple 6. Ave la même hypohèse de lnéaré auour de l opmum, la mare de ovarane des erreurs d esmaon peu se aluler par : ov( e ) où la mare [P] es une mare proporonnelle à la mare [ov(e )]. [ ] s [ X P X] B Méhodes d esmaon de paramères 8
Les erreurs sur les mesures de (la eneur en eau X dans e exemple) ne son pas orrélées don on peu prre : ( ) [ ] [ ( )] ( ) P ov e ( ) 5 4.5 4 3.5 3.5.5.5 n X mesuré X alulé 5 5 5 (h) Fgure 5 : Pons expérmenaux e ourbe modèle esmée pour une expérene de séhage On rouvera sur la fgure 6 la représenaon des résdus pour la ourbe de séhage raée. La réparon des résdus es enrée mas pas oalemen aléaore, e qu lasse supposer que le modèle ne représene pas parfaemen la physque. La représenaon des pons expérmenaux par le modèle n en es pas mons ou à fa sasfasane..5.4.3.. -. -. 5 5 5 3 -.3 -.4 Fgure 5 : Résdus de l esmaon réalsée pour une expérene de séhage On oben ans : [ ( eb) ] 4 ov,3536,889,486,889,359,887,486,887,84 où : α,6 ; α,,3536, 59 V -,45 g.g - ms.s - ; V,,359, 9 g.g - ms.s - X eq,33 g.g - - ms ; X eq,,84, 9 g.g ms Méhodes d esmaon de paramères 9
3.3.3 Esmaon de 4 paramères fablemen déorrélés : Méhode flash «long» On réalse une expérmenaon ave un monage de ype méhode flash mas ave une durée d élaremen de 3s. Le bu de l expérene es d esmer la dffusvé hermque a e la onduvé hermque λ de l éhanllon. On monre que la ransformée de Laplae θ(p) de la empéraure T () de la fae arrère de l éhanllon es donnée par : φ - exp( - p ) θ ( p) p C + ABh + h λqs ave : A osh( qe) ; B snh( qe) ; λ q S snh( qe) C ; q p a où : a ϕ h ffusvé hermque du maérau ensé de flux de haleur absorbé par la surfae hauffée Coeffen de ransfer de haleur par onveon sur les deux faes urée de l élaremen S les quare paramères a, λ, ϕ e h son supposés onnus, la empéraure dans l espae réel peu se aluler en applquan la formule de Sehfes : T() ln() J V θ j ln() j j dans laquelle θ es donné par la relaon préédene. Exemple 8 On rouvera dans le ableau 8 les valeurs enregsrées de la empéraure T () lors d une expérene Flash sur un éhanllon en erre ompaée d épasseur 5,3 m élaré pan 3s. Tableau 9 : Relevés expérmenaux de la empéraure T () au ours d une expérene Flash (h) 94 398 465 58 649 76 785 87 95 4 8 334 63 8 T (),,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,4 L ulsaon d un modèle approhé a ondu à une premère esmaon de la dffusvé hermque : a 4,36. -7 m.s -. Il s avère que les méhodes du graden e de ewon ne onvergen pas vers une soluon unque sasfasane sur e exemple ar la mare du hessen n es parfos pas nversble. e plus, le alul des dérvées parelles de T par rappor aux paramères nonnus a, λ, ϕ e h ne peu s effeuer que de manère numérque e qu alourd la programmaon. On ulse don pluô la méhode dhoomque qu onverge de manère rès sasfasane. En prenan les nervalles de dépar suvans : a [4. -7, 6. -7 m.s - ], λ [, 3 W.m -. C - ], ϕ [5, 5 W.m - ], h [, W.m -. C - ], on abou au valeurs esmées : a 4,97. -7 m.s -, λ,6 W.m -. C -, ϕ 348 W.m -, h 5, W.m -. C - qu permeen d obenr une rès bonne représenaon des pons expérmenaux omme le monre la fgure 6. Méhodes d esmaon de paramères 3
Fgure 6 : Courbe expérmenale e ourbe héorque ave les paramères esmés Une éude de sensblé monre que la empéraure T es nsensble au paramère h e que les paramères λ e ϕ son peu déorrélés : l esmaon séparée de es ros paramères n es don pas possble. En effe, s l on hange les nervalles de dépar, on rerouve une valeur rès prohe pour la dffusvé hermque a mas des valeurs rès dfférenes pour λ e ϕ ou en obenan une ourbe modèle représenan rès ben les pons expérmenaux. Les données expérmenales ne peuven don permere d esmer que la valeur de la dffusvé hermque a. Une esmaon de l éar-ype sur a peu êre obenue en smulan numérquemen p séres d expérenes en bruan la sére de pons expérmenaux obenus. On alule ensue l éar-ype des p esmaons de a. Ave p e dt,5 C so T,7 C, nous avons obenu : a 3,. -8 m.s - On rouvera sur la fgure 7 l hsogramme des valeurs esmées de a qu présene une forme en lohe araérsque d une dsrbuon gaussenne. Fgure 7 : Hsogramme des valeurs esmées de a(m.s - ) Méhodes d esmaon de paramères 3
Bblographe. Trgeassou J.Cl., Reherhe de modèles expérmenaux, Tehnque e oumenaon, Lavoser, 988.. Kurpsz K., owa A.J., Inverse hermal problems, Compuaonal mehans Publaons, 995. 3. Be J.V., Arnold K.J., Parameer esmaon n engneerng and sene, John Wleys & Sons, 977. Méhodes d esmaon de paramères 3
AEXES Rappel sur la ovarane Supposons que l on a répéé p fos la même expérene e que l on dspose don de p ourbes expérmenales f () omposées haune de ouples de pons ( j, j ), l nde ndquan le n de la ourbe ( varan de à p) e l nde j orrespondan au emps j auquel la mesure a éé effeuée (j varan de à ). Le shéma du alul de la mare de ovarane de l erreur e es alors le suvan : mesures de par expérene [e ] [e ] [e ] [ e ] e e e p e e e p e e e p p expérenes [ ov ( e )] ov ov ov ( e, e ) ( ) ( ) e, e e, e ( e, e ) ov( e, e ) ov( e, e ) ( ) ( ) ( ) e, e ov e, e ov e, e p ov(e, e ) ( e e )( e e ) j j j e e s e j (erreur de moyenne nulle) p p p Méhodes d esmaon de paramères 33
Exemple 4 : Programme Malab lear 4.547;.87; d; d.5; ; for j: a ; b ; ; d ; for : e() + * (-) + d* randn()/3; e - + d*randn()/3; a a + e^ ; b b + e; + e * e(); d d + e(); K(j) (a * d - b * ) / ( * a - b ^ ); K(j) ( * - b * d) / ( * a - b ^ ); ek(j)abs(k(j)-); ek(j)abs(k(j)-); Inerudemax(eK) Inerudemax(eK) Moyennemean(K) Moyennemean(K) EarType(var(K))^.5 EarType(var(K))^.5 Méhodes d esmaon de paramères 34
Exemple 5 : Programme Malab Esmaon de l'éar-ype des oeffens d'une droe onnassan la valeur des oeffens e les éarsypes des brus de mesure (varable sur e non nul sur ) lear 5.553;.99; d.; d.5; ; for j: a ;b ; ;d ; for : e() + * (-) + d*(+*(-))* randn()/3; e - + d*randn()/3; a a + e^ ; b b + e; + e * e(); d d + e(); K(j) (a * d - b * ) / ( * a - b ^ ); K(j) ( * - b * d) / ( * a - b ^ ); ek(j)abs(k(j)-); ek(j)abs(k(j)-); Inerudemax(eK) Inerudemax(eK) Moyennemean(K) Moyennemean(K) EarType(var(K))^.5 EarType(var(K))^.5 Méhodes d esmaon de paramères 35
Exemple 6 : Programme Malab Esmaon des paramères E, R e m par la méhode de ewon e esmaon des érs-ypes lear % Leure des données expérmenales e[.6..3.6.8...4.5.7.8 3. 3. 3. 3. 3.3 3.5 3.6 3.7 3.8]; e[e 3.9 4. 4. 4. 4.3 4.4 4.5 4.6 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9 5. 5. 5. 5. 5.3 5.3 5.4 5.6]; lengh(e); d; for : e()(-)*d; f.6364; S.43; % Fn leure % Coeffens de Sehfes ave ermes V[8.3333333333333333333e- -3.8333333333333e.79e3 -.563666666666667e4 8.44466666666666667e4]; V[V -.369575e5 3.759666666666e5-3.47666666666667e5.6465e5-3.85e4]; % Inalsaon des paramères E5; R5; m. B[E R m]; P3; % Fn nalsaon for m: % Calul des valeurs du modèle (); for :; (); for : p*log()/e(); X(f/p)*(+R*E*S*p^.5)/(m*p+(R*m*p+)*E*S*p^.5); ()()+V()*X; ()log()*()/e(); % Calul de ave E'.*E (); E.*E; for :; (); for : p*log()/e(); X(f/p)*(+R*E*S*p^.5)/(m*p+(R*m*p+)*E*S*p^.5); ()()+V()*X; ()log()*()/e(); EE/.; % Calul de ave R'.*R Méhodes d esmaon de paramères 36
(); R.*R; for :; (); for : p*log()/e(); X(f/p)*(+R*E*S*p^.5)/(m*p+(R*m*p+)*E*S*p^.5); ()()+V()*X; ()log()*()/e(); RR/.; % Calul de 3 ave m'.*m 3(); m.*m; for :; 3(); for : p*log()/e(); X(f/p)*(+R*E*S*p^.5)/(m*p+(R*m*p+)*E*S*p^.5); 3()3()+V()*X; 3()log()*3()/e(); mm/.; % Calul des dérvées parelles for : d(,)(()-())/(.*e); d(,)(()-())/(.*r); d(,3)(3()-())/(.*m); e()e()-(); % Fn du alul des valeurs du modèle e de ses dérvées parelles % Calul de la mares ' for : for j:p (j,); for : for j:p (j,)(j,)-*e()*d(,j); % Fn du alul de la mare ' % Calul de la mare " for :P for j:p (,j); for :P for j:p for : (,j)(,j)+*d(,)*d(,j); Méhodes d esmaon de paramères 37
% Fn du alul de la mare " % Calul des valeurs modfées de E, R e m BB-nv()*; EB(,) RB(,) mb(3,) f m< m; % Fn alul % Calul de l'éar quadraque ; for : +(e())^; % Fn alul % Affhage des résulas E R m % Fn affhage % Calul des sensblés rédues for : dr(,)e*d(,); dr(,)r*d(,); dr(,3)m*d(,3); % Fn alul % Calul des éars ypes 3nv(); de.*(3(,))^.5 dr.*(3(,))^.5 dm.*(3(3,3))^.5 % Fn alul Méhodes d esmaon de paramères 38
Exemple 7, Modèle : Programmes Malab Programme : Esmaon des deux paramères A e par la méhode du graden lear % Leure des données expérmenales e[.7.5.4.5.75.5.5.75.5 3 4 5 6 7 8 4 6 8 ]; Me[46.3 44. 43.9 4. 4.9 38.48 36.43 34.3 3.48 3.7 9.7 6.8 3.67. 7.46 5.49 4.6 ] Me[Me 3.3.7..43. 9.87 9.79 9.64]; lengh(e); X4.559;MsMe()/(+X); for : e()(me()-ms)/ms; % Fn leure % Inalsaon des paramères A4;.5; B[A ; ]; lam.; p; % Fn nalsaon for j: % Calul des valeurs du modèle e de ses dérvées parelles for : ()A*exp(-*e()); d(,)exp(-*e()); d(,)-a*e()*exp(-*e()); e()e()-(); %Fn du alul des valeurs du modèle e de ses dérvées parelles % Calul de la mares ' for : for j:p (j,); for : for j:p (j,)(j,)-*e()*d(,j); % Fn du alul de ' % Calul des valeurs modfées de A e BB-lam*; AB(,); B(,); % Fn alul % Calul de l'éar quadraque for : +(e())^; % Fn alul Méhodes d esmaon de paramères 39
% Affhage des résulas A % Fn affhage Programme : Esmaon des deux paramères A e par la méhode de ewon lear % Leure des données expérmenales e[.7.5.4.5.75.5.5.75.5 3 4 5 6 7 8 4 6 8 ]; Me[46.3 44. 43.9 4. 4.9 38.48 36.43 34.3 3.48 3.7 9.7 6.8 3.67. 7.46 5.49 4.6 3.3.7..43. 9.87 9.79 9.64]; lengh(e); X4.559;MsMe()/(+X); for : e()(me()-ms)/ms; % Fn leure % Inalsaon des paramères A;.5; B[A ]; p; % Fn nalsaon for m: %Calul des valeurs du modèle e de ses dérvées parelles for : ()A*exp(-*e()); d(,)exp(-*e()); d(,)-a*e()*exp(-*e()); e()e()-(); %Fn du alul des valeurs du modèle e de ses dérvées parelles % Calul de la mares ' for : for j:p (j,); for : for j:p (j,)(j,)-*e()*d(,j); % Fn du alul de ' % Calul de la mare " for :p for j:p (,j); Méhodes d esmaon de paramères 4
for :p for j:p for : (,j)(,j)+*d(,)*d(,j); % Fn du alul de la mare " % Calul des valeurs modfées de A e BB-nv()*; AB(,); B(,); % Fn alul % Calul de l'éar quadraque ; for : +(()-e())^; % Fn alul % Calul de la mare de ovarane Cov*nv() % Fn du alul % Affhage des résulas A da(cov(,))^.5 d(cov(,))^.5 % Fn affhage Méhodes d esmaon de paramères 4
Exemple 7, Modèle : Feulle de alul Exel Esmaon des paramères A,, A e par la méhode de ewon X alulé A exp(- )+A exp(- ) H3 ($C$6*EXP(-$C$7*E3)+$C$8*EXP(-$C$9*E3)) H7($C$6*EXP(-$C$7*E7)+$C$8*EXP(-$C$9*E7)) Calul du arré des erreurs : I3(G3-H3)^ I7(G7-H7)^ Calul de la somme des éars quadraques : I8SOMME(I3:I7) Calul des valeurs de A,, A e qu mnmsen : nalsaon des paramères à, par exemple, A 5,, A,. e ulsaon du Solveur ave les opons ndquées -dessous : Résulas : A 4,579,3369 A,439,439,66 Méhodes d esmaon de paramères 4