Mécanique des fluides C. Coste

Univesité Pais 7 Pépaation à l Agégation Intene de Physique 2013-2014 Mécanique des fluides C. Coste 15 Janvie 2014 (Un fomulaie est founi à la fin du texte) Bibliogaphie E. Guyon, J.-P. Hulin & L. Petit, Hydodynamique physique (InteEditions/CNRS, 2001) M. Soutif, Vibations, popagation, diffusion (Dunod Univesité, 1970) 1 Statique des fluides 1.1 Pession a) À quel type de foce macoscopique se amène l effet des inteactions moléculaies à l intéieu d un fluide au epos? b) Défini la pession en un point du fluide. Quelle est sa popiété essentielle? c) Monte que les foces de pession execées su une paticule fluide située en à la date t, pa le fluide envionnant, sont équivalentes à une distibution volumique de foce gadp. d) Quelle est l oigine micoscopique de la pession d un gaz pafait? Détemine cette pession P pa analyse dimensionnelle en supposant qu elle dépend de la densité du gaz n (nombe de molécules pa unité de volume), de la masse m des molécules et de leu vitesse caactéistique u. e) En vous basant su la valeu caactéistique de la pession atmosphéique, estimez la masse totale et la hauteu de l atmosphèe teeste. Pouquoi la lune n a-t-elle pas d atmosphèe? 1.2 Le ludion On note espectivement κ e et κ a la compessibilité de l eau et de l ai. On considèe une chambe emplie d eau (gis) et d ai (blanc) dont on contôle la pession à l aide d un piston. On y dispose un ludion, c est-à die un petit tube (noi) contenant de l ai, ouvet su l eau à une de ses extémités.!"#$%& a) Enonce et démonte le théoème d Achimède, elatif à la ésultante des foces de pession s exeçant su un cops immegé au sein d un fluide. b) Quel est le point d application B de la foce d Achimède? c) Que se passe-t-il losque l on appuie su le piston? d) B est-il nécessaiement confondu avec le cente de gavité G du ludion? 1

e) Discute la stabilité du ludion losqu il est à l équilibe au sein du fluide. f) En quoi la stabilité d un navie est-elle plus délicate à étudie? 2 Cinématique des fluides Les champs de vitesse ci-dessous sont définis dans un éféentiel othonomé diect (O, x, y, z), et on note t le temps. 2.1 Ecoulement indépendant du temps On considèe le champ de vitesse v = (αx, αy, 0) où α est une constante. a) L écoulement est-il compessible? Est-il iotationnel? b) Tace les lignes de couant associées à cet écoulement. Calcule à l instant t la position d une paticule située en (x 0, y 0, 0) à t = 0. c) Calcule la vitesse lagangienne. Calcule l accéléation lagangienne, et compae à l accéléation euléienne. 2.2 Ecoulement dépendant du temps a) On considèe dans un pemie temps le champ de vitesse v = (αy, αx, 0) où α est une constante. L écoulement est-il compessible? Est-il iotationnel? Détemine les lignes de couant et les tajectoies des paticules. Calcule la vitesse lagangienne. Calcule l accéléation lagangienne, et compae à l accéléation euléienne. b) Mêmes questions pou le champ de vitesse v = (αy, α(x βt), 0) où α et β sont deux constantes.. 3 Dynamique des fluides 3.1 Effet visqueux vs effet inetiel a) On considèe un objet de taille caactéistique L en mouvement elatif à vitesse V pa appot à un fluide (densité ρ, viscosité η). Quel nombe sans dimension pemet de difféencie égime visqueux et égime inetiel (ou tubulent, bien que ce ne soit pas exactement la même chose)? b) Expime, à un coefficient numéique pès, la foce execée pa le fluide su l objet en égime visqueux. c) Expime, à un coefficient numéique pès, la foce execée pa le fluide su l objet en égime inetiel (ou tubulent). Quelle est la signification du nombe sans dimension appelé C x? d) Calcule pa analyse dimensionnelle la vitesse de sédimentation d un petit gain de sable (taille de 10 µm) dans l eau et la vitesse de emontée d une bulle de gaz cabonique dans une eau pétillante. e) Calculez la vitesse teminale d un homme en chute libe, en supposant le fottement visqueux, en supposant le fottement tubulent, puis en le dotant d un paachute. f) Nous nous intéessons à pésent à une bactéie (taille 10 µm, vitesse typique 10 µm/s) dans l eau. C est une situation de tès bas nombe de Reynolds. On le véifiea. Quel est la longueu d aêt d une bactéie lancée à pleine vitesse et décidant de s aête? 2

3.2 Bouteilles pecées... La figue ci-dessous est tiée du live de Lauence Viennot 1. Elle epend des schémas pédagogiques tiés de plusieus lives d intoduction à la Mécanique des Fluides. L objet de l execice est de compende si ces figues sont coectes! a) Quelle popiété de la statique des fluides ces figues veulent-elles illuste? b) Sous quelle(s) hypothèse(s) le théoème de Benouilli est-il applicable? c) Dans le but de compende le mouvement du fluide on décit la situation physique à l aide du modèle le plus simple possible, coespondant au schéma ci-dessous. Le fluide est considéé comme pafait (non visqueux), et la hauteu H comme indépendante du temps. L eau sot de la bouteille pa un tou pecé au point B. La ligne joignant A à B epésente une ligne de couant. Sous quelle(s) hypothèse(s) ces appoximations peuvent-elles ête valables? d) Calcule la vitesse V h du fluide à la sotie de la bouteille, en B. e) Calcule la duée de chute t ch de l eau, depuis l altitude h > 0 jusqu à l altitude 0 qui est celle du plan su lequel la bouteille est posée. f) En déduie la potée d du jet, c est-à-die la distance à laquelle il enconte l altitude 0, en fonction de h et H. Pou quelle valeu de h est-elle maximale? g) Discute à la lumièe de ce ésultat les schémas de la figue 1. 1. L. Viennot, En Physique, pou compende, (EDP-Sciences, 2001) 3

4 Ecoulement d eau à taves un nanotube de cabone (Extait de l A.I. 2009) Des expéiences publiées écemment 2 ont pemis la mesue de l écoulement d eau à taves une membane poeuse de nitue de silicium dont les poes sont des nanotubes de cabone alignés les uns avec les autes (Figue ci-dessous). Le diamète des nanotubes est compis ente 1,3 et 2 nm tandis que l épaisseu de la membane est 3 µm. La densité sufacique de nanotubes est 0,25 cm 2. On cheche ici à compae les ésultats de ces mesues à un modèle hydodynamique simple. 4.0.1 Ecoulement de Poiseuille Pou modélise le tansfet de liquide à taves un nanotube de cabone, on considèe l écoulement, dit de Poiseuille, d un fluide de masse volumique ρ et de viscosité η à taves un cylinde de ayon R. On s intéesse à l écoulement stationnaie induit pa une difféence de pession P su une longueu L du tube. On utilise les coodonnées cylindiques, θ, z définies ci-dessous. L oigine (z = 0) de l axe des z est notée O. On note P (M) la pession au point M et on pose P (z = 0) P (z = L) = P. On cheche le champ des vitesses du fluide sous la fome v(m) = v() u z. On néglige les effets de la 13 pesanteu. a) Ecie l équation locale taduisant la consevation de la masse. Monte que dans le cas où le fluide peut ête considéé comme incompessible, elle se amène à : div v = 0 Un champ de vitesse de la fome v() u z véifie-t-il cette équation? À quelle condition peut-on considée le fluide comme incompessible? Dans la suite, on supposea cette condition éalisée. b) On considèe l élément de fluide epésenté ci-dessous. On appelle que la foce de viscosité execée su cet élément pa le fluide situé ente 0 et s écit : d 2 F = η dv d dθdz u z. 2. J, K Hait et al, Fast mass tanspot though Sub-2-Nanomete cabon nanotubes, Science, 312, 1034 (2006) 4!"#$%&'()*(+*,&(-./.0.

Quelle est l oigine micoscopique de la foce de viscosité? c) Calcule la ésultante des foces de viscosité qui s execent su l élément de fluide de la Fig.?? et monte que la densité volumique de foce de viscosité s écit : ( η d dv ) u z. d d d) L équation, dite de Navie-Stokes, qui égit le champ des vitesses du fluide en égime stationnaie et en géométie cylindique s écit : ( ρ v gad ) v = gadp + η ( d dv ) u z. d d Intepéte chacun des temes de cette équation.!"#$%&'()*(+*,&(-./.0. ( e) Monte que le teme ρ v ) gad v est nul dans la géométie considéée. Déduie de l équation de Navie-Stokes que P ne dépend que de z et monte que le gadient de pession est indépendant de z. En déduie : Comment vaie la pession dans le tube? dp dz = P L f) En utilisant les conditions aux limites au cente et su le bod du tube, monte que : v() = P ( 2 R 2) 4ηL Repésente schématiquement le pofil de vitesse dans le tube. g) Monte que le débit volumique D de l écoulement est donné pa : D = P 8ηL πr4 Quelle est la vitesse moyenne v d une paticule de fluide? h) En compaant les débits induits pa un même gadient de pession dans un tube de ayon R et dans 100 tubes de ayon R/10, commente la dépendance en R de D. Quelle est l oigine physique de ce compotement tès difféent de celui obsevé dans le tanspot du couant électique pa exemple? i) On se popose de etouve apidement les ésultats pécédents en faisant le bilan des foces qui s execent su le système femé constitué du fluide à l intéieu d un cylinde de ayon < R à l instant t et de la masse dm de fluide qui y pénète ente t et t + dt (la figue ci-dessous monte ce système à l instant t). 5

Repésente le système femé considéé à l instant t + dt. On note p(t) la quantité de mouvement du système femé à l instant t et on suppose que la pession est unifome su une section doite du cylinde. Monte que p(t) = p(t + dt). Quelles sont les foces qui s execent su le système femé considéé ente t et t + dt? Monte que l application du théoème de la ésultante cinétique pemet de etouve diectement : dv d = P 2ηL j) On définit le nombe de Reynolds de l écoulement pa Re 2ρvR. η Quelle est la signification physique de Re? Dans quelle limite les calculs faits ci-dessus sont-ils petinents? 4.0.2 Analyse des ésultats expéimentaux a) En supposant un écoulement de type Poiseuille, évalue numéiquement le débit volumique d eau D à taves un nanotube de cabone de ayon R = 1 nm, de longueu L = 3 µm pou une difféence de pession p = 1 ba. b) Evalue la distance moyenne ente molécules d eau dans l eau liquide. c) En déduie le nombe de molécules d eau qui tavese un nanotube de cabone pa nanoseconde. Dans leus expéiences, Holt et al. obsevent un flux de l ode de 5 10 1 molécules pa nanotube et pa nanoseconde. Compae ce ésultat à celui pédit pa le modèle de Poiseuille. Commente en pécisant quelles peuvent ête les oigines physiques du désaccod obsevé. 5 Écoulements de Hele-Shaw La figue?? ci-dessous epésente une cellule de Hele-Shaw 3. Il s agit d un dispositif confinant un fluide visqueux ente deux plaques sépaées d une distance 2a tès faible devant leu extension latéale, et tès faible devant la taille de l obstacle L. Comme nous allons le voi, ce dispositif pemet d obseve expéimentalement, à l aide d un fluide visqueux, les caactéistiques d un écoulement bidimensionnel de fluide pafait! a) On appelle voticité le otationnel du champ de vitesse ω v. Monte que la voticité obéit, pou un fluide incompessible, à l équation de Helmholtz d ω dt = ( ω ) v + ν ω. 3. D apès Heny Selby Hele-Shaw, FRS, (1854 1941), mécanicien et ingénieu automobile Anglais. Il est pa ailleus l inventeu de l hélice à pas vaiable, qui a contibué à la bataille d Angletee en assuant une supéioité aéienne aux Anglais. 6

b) Commente le lien ente cette équation et l execice??. c) En déduie que si l écoulement d un fluide pafait (sans viscosité, ν = 0) est initialement iotationnel, il le este au cous du temps. Qu appelle-t-on dans ce cas le potentiel des vitesses φ? d) On étudie désomais l écoulement d un fluide incompessible dans une cellule de Hele-Shaw (Fig.??), où z est aligné selon la veticale. L hypothèse cuciale est a L. Déduie de l équation de consevation de la masse que la composante veticale du champ de vitesse v z est tes inféieue à sa composante hoizontale v h = v h où v h = (v x, v y ). e) Identifie le teme dominant de v h. Sous quelle condition, potant su le nombe de Reynolds, peut-on néglige le teme non-linéaie de l équation de Navie-Stokes devant le teme visqueux? Cette appoximation pote le nom d appoximation de lubification. f) Simplifie l équation de Navie-Stokes. Monte que la pession dépend, dans l appoximation de lubification, seulement des coodonnées x et y. g) En déduie la dépendance en z de la vitesse hoizontale. On définit la vitesse moyenne pa V h 1 2a a Monte que cette vitesse déive d un potentiel. a v h (x, y, z)dz h) À pati de quelle distance de l obstacle les lignes de champs obsevées expéimentalement sont elles identiques à celles d un écoulement iotationnel de fluide pafait? Fomulaie Relations usuelles div ( gad U) = U div ( ot A) = 0 ot ( gad U) = 0 ot ( ot A) = gad div A A gad (UW ) = U gad W + W gad U div (UA) = U div A + A gad U ot (UA) = gad U A + U ot A gad ( A B) = A otb + B ot A + ( B gad ) A + ( A gad ) B div ( A B) = B ot A A ot B ot ( A B) = A div B B div A + ( B gad ) A ( A gad ) B 7

Consevation de la masse et équation de Navie Stokes Pou un fluide Newtonien et incompessible on a : div ( u) = u = 0 u t + ( u ) u = 1 ρ p + f m + ν 2 u En coodonnées catésiennes avec u = (u, v, w) su l axe x su l axe y su l axe z u t + u u x + v u y + w u z = 1 ρ v t + u v x + v v y + w v z = 1 ρ w t + u w x + v w y + w w z = 1 ρ u x + v y + w z = 0 p x + f x + η ρ p y + f y + η ρ p z + f z + η ρ [ ] 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z 2 [ ] 2 v x + 2 v 2 y + 2 v 2 z 2 [ ] 2 w x + 2 w 2 y + 2 w 2 z 2 En coodonnées cylindiques avec u = (u, u θ, u z ) su l axe 1 (u ) + 1 u θ θ + u z z = 0 u t +u u + u θ u θ +u u z z u2 θ = 1 p ρ +f + η ρ [ 2 u 2 + 1 u u + 1 2 u 2 2 θ 2 + 2 u z 2 2 ] u θ 2 θ su l axe θ u θ t +u u θ +u u θ +u θ u θ θ +u u θ z z = 1 1 p ρ θ +f θ+ η [ 2 u θ ρ 2 + 1 u θ u θ + 1 2 u θ 2 2 θ 2 + 2 u θ z 2 + 2 ] u 2 θ su l axe z u z t + u u z + u θ u z θ + u u z z z = 1 ρ p z + f z + η ρ [ 2 u z 2 + 1 u z + 1 2 u z 2 θ 2 ] + 2 u z z 2 8