DYNAMIQUE DES FLUIDES 1 Décollage d un Aibus A80 a) Calcule sa vitesse au décollage au niveau de la me, à une tempéatue de 0 C, pou une masse de 1 tonnes, une suface potante de 85 m et un coefficient de potance C z 1, 8 Calcule la vaiation elative de cette vitesse due à une vaiation d altitude de + 50 m (altitude de Meico) Calcule la vaiation elative de cette vitesse due à une vaiation de tempéatue de +0 C Commente b) Le décollage se fait-il face au vents dominants, avec le vent aièe, ou de taves? Losque la vitesse de décollage est atteinte, le pilote actionne la gouvene de pofondeu, ce qui povoque la otation de l avion (le n s élève) Identifie cette gouvene su le schéma ci-dessous À quoi sevent les autes paties mobiles (tangage? lacet? oulis? Tace les aes de otation dans chaque cas Que se passe-t-il losque l avion entame sa otation? Des éléments hypesustentateus (becs au bod d attaque des ailes, ou volets au bod de fuite) peuvent ête oientés ves le haut ou ves le bas Commente leu influence los des phases d atteissage et de décollage c) La finesse de l avion est le appot du coefficient de potance su celui de taînée Sa valeu maimale est de pou l A80 Monte que c est le appot de la distance hoizontale pacouue su la pete d altitude los d un vol «plané» (moteus coupés) Quelle est sa signification dans le digamme paamétique donnant C z (i) et fonction de C (i) (polaie d Eiffel) pou difféentes incidences? éponse : a) -1 v v v 76 kmh, altitude : 1%, tempéatue :,% v v Écoulements etenes Écoulement de Stokes autou d une sphèe (sujet classique) On considèe l écoulement stationnaie incompessible à faible nombe de Reynolds ( R e < 1 ), unifome à l infini (vitesse u ue z ), autou d une sphèe lisse de ayon R et de cente O On epèe un point M de l écoulement en coodonnées sphéiques On néglige l action de la pesanteu a) Simplifie l epession de la vitesse euleienne en analysant les syméties du poblème R R v u cos θ 1 + On monte que le champ de vitesse de l écoulement est donné pa R R vθ u sin θ 1 Monte que les conditions au limites du poblème sont bien véifiées, ainsi qu une des équations locales 1 1 1 vϕ On donne divv [ v ] + [ vθ sin θ] + en coodonnées sphéiques sin θ θ sin θ ϕ
uηr b) On donne la pession p (, θ) p0 cos θ obtenue en penant p p 0 Calcule la ésultante F p des actions de pession su la sphèe Comment faudait-il modifie ce ésultat si l on tenait compte de la pesanteu? c) Le fluide eece également su un élément de suface d S de la sphèe une foce visqueuse : vθ d Fv η ( R)d S eθ Justifie cette epession et calcule F v d) En déduie le foce de taînée eecée pa le fluide su la sphèe Monte que l on obtient bien la fomule de Stokes Ft 6πηRu pou une sphèe mobile avec u dans un fluide au epos à l infini éponse : b) Fp πuηr avec la pesanteu, on a un gadient de p dû à g et il se ajoute la poussée d Achimède c) Fv πuηr d) Ft 6πuηR soit Ft 6πηRu si u est la vitesse de la sphèe Chute d une bille (sujet classique) On laisse chute sans vitesse initiale une bille de masse m 0, g, de ayon,5 mm dans de la glycéine de masse - volumique ρ 100 kg m et de viscosité dynamique η 0,60 Pl On suppose que la foce de taînée qu eece la glycéine su la bille vaut F 6πηv, où v est le vecteu vitesse de la bille t On donne l intensité du champ de pesanteu : - g 9,8 m s a) Détemine la loi donnant v ( en pojection su un ae vetical descendant et en déduite la vitesse limite v lim de la bille ainsi que la duée caactéistique τ d obtention du égime stationnaie On intoduia la masse volumique ρ 0 de la bille Commente les valeus numéiques de v lim et de τ b) Calcule le nombe de Reynolds caactéisant l écoulement autou de la bille et commente l epession utilisée pou la foce de taînée Comment évolue Re avec? c) Popose une méthode pou mesue η d) Pouquoi la bille ne doit-elle pas ête placée top pès des paois du écipient contenant la glycéine? éponse : a) (Re en -1 lim g ρ0 v ( ρ0 ρ) 10,9 cm s ; τ 1,1 ms 9η 9η b) Re 1, 18 convenable, mache mieu avec plus petit ) c) mesue de v lim en chonométant les passages de la bille au niveau de gaduations égulièement espacées Écoulements intenes Écoulement su un plan incliné (sujet classique) On cheche à modélise l écoulement de la lave le long des pentes d un volcan On considèe pou cela l écoulement stationnaie d une fine couche de fluide visqueu de viscosité dynamique η, incompessible, de masse volumique ρ, su un plan incliné d un angle α avec l hoizontale On suppose l épaisseu h de la couche constante, et l écoulement paallèle à la ligne de plus gande pente : v v (, y) e L ai est supposé ête un fluide pafait à la pession p 0 y h p 0 O g a) Monte que v v ( y) e Donne les conditions au limites potant su v (y) On étudiea pou la condition en y h l équilibe de la suface libe du fluide b) En déduie le champ de pession dans le fluide, puis le champ de vitesse Repésente le pofil des vitesses Calcule v ma c) Calcule le débit volumique q V pou une tanche de fluide de lageu L selon Oz d) Détemine la containte (foce pa unité de suface) tangentielle eecée pa le fluide su le plan incliné
éponse : a) v ρg sin α y ( y h) 0 b) p p cos ( ) 0 ρg α y h indépendant de ; v y h c) η q V ρgl sin αh η 5 Établissement d un écoulement de Couette à une dimension (égime instationnaie) (sujet classique) On considèe un fluide incompessible ente deu plaques hoizontales d équations y 0 et y h Le fluide de viscosité cinématique ν est au epos pou t 0 À t 0, la plaque inféieue est mise en mouvement instantanément avec une vitesse u ue On suppose que la vitesse en un point du fluide est potée pa e à un instant t > 0 dv v ( y, a) Monte que v v ( y, e En déduie que l accéléation d une paticule fluide peut s écie e dt t b) On considèe une paticule paallélépipédique de côtés d, dy et dz (et donc de volume d V ddydz ) Su quelles faces du paallélépipède s eecent des foces de viscosité? En déduie que la ésultante de ces foces su la paticule fluide vaut : v d Fv η d V e c) En appliquant le pincipe fondamental à la paticule fluide, monte qu en l absence de gadient hoizontal de pession v 1 v appliqué, v ( y, est égi pa l équation de diffusion (analogue à l équation de diffusion themique ou de ν t paticules) En déduie la duée τ caactéistique de l établissement d un égime stationnaie Faie l application numéique 6-1 avec ν 10 m s et h 10 cm y d) Monte que dans le cas h, v ( y, u[ 1 ef ( ξ) ] avec ξ est solution du poblème étudié νt On donne ef ( ξ) π ξ e X 0 dx et + 0 π e X dx Dans quel intevalle de temps la solution donnée est-elle une bonne appoimation si h est fini? e) Calcule la containte visqueuse subie la plaque inféieue à la date t dans l appoimation pécédente Commente le cas t 0 éponse : b) incompessibilité d) σ : impossible de mette la plaque en mouvement en une duée nulle v t 0 6 Coefficient de petes de chages linéaies / diagamme de Moody Dans une conduite ciculaie de diamète D, de ugosité ε et de longueu L s écoule un fluide de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η avec une vitesse débitante u a) Justifie que la pete de chage ente l entée et la sotie de la conduite est popotionnelle à la longueu L, toutes choses égales pa ailleus On cheche donc une elation de la fome f, D, ε, u, ρ, η 0 L α β1 β n i D γ δ λ Pou cela, on cheche à fome des coefficients n i sans dimension de la fome ε u ρ η L b) Monte que l on se amène à un système linéaie en α, β β1 + β, γ, δ et λ Il y a-t-il unicité des solutions de ce système? Monte que l on peut se fie les valeus de α et β η ρud ε c) α et β étant supposés connus, ésoude ce système et monte que n i Combien peut-on fome Lρ u η D de coefficients sans dimension indépendants? d) Défini la ugosité elative de la conduite et le nombe de Reynolds de l écoulement Identifie à chaque fois les valeus coespondantes de α, β et β e) On définit la coefficient de petes de chages linéaies pa λ Identifie à chaque fois les valeus coespondantes 1 L ρ u D de α, β et β De quels autes nombe sans dimension dépend-il? Eplique la constuction du diagamme de Moody f) Pa lectue su le diagamme de Moody, donne la pete de chage pa mète dans un tube de cuive de diamète intéieu de 5-1 1cm, de ugosité elative 5 10, pou un débit d eau de 7,8 10 m s Commente α β β
éponse : e) α 1, β 0 et β 1 7 Écoulement de Poiseuille dans une conduite cylindique (sujet classique) Un fluide visqueu incompessible, de masse volumique ρ et de viscosité η, s écoule dans un tube cylindique d ae Oz, de ayon R et de longueu L On néglige l action de la pesanteu et on suppose que l écoulement est stationnaie et paallèle à Oz : v v (, θ, z e z On note p p e ps la difféence de pession ente l entée du tube ( z 0 ) et la sotie ( z L ) a) Monte que v vz ( ) et p p(, b) Monte que v z ( ) ( R ) et calcule p (, ηl c) Monte que le débit volumique s écit A (loi de Poiseuille) Epime A en fonction de R, η et L q V d) Calcule la foce qu eece le fluide su le tube Commente le ésultat e) On applique les ésultats pécédents afin de détemine la viscosité dynamique d un fluide incompessible Pou cela, on alimente la conduite en plaçant en amont un écipient cylindique d ae vetical, de ayon a >> R L écoulement est alos quasi-stationnaie La pession etéieue est unifome et vaut p 0 Pendant une duée t, le fluide passe d une hauteu H 1 à H < H1 En déduie l epession de η en justifiant soigneusement les appoimations faites éponse : a) utilise l incompessibilité et les syméties b) ρgr t η H 8La ln H 1 πr p( p e z c) q V L 8 ηl d) Fv πr e) 8 Viscosimète On considèe deu disques de même ayon a en otation autou de l ae Oz Le disque D1 est à la cote z 0 et toune à la vitesse angulaie ω 1, le disque D est à la cote z e << a et toune à la vitesse angulaie ω On néglige les effets de bod en a On a placé ente les deu disques un fluide incompessible de viscosité η Aucun gadient de pession n est appliqué a) Justifie que l on echeche un champ de vitesse de la fome v( M, ω( z, e θ b) La foce eecée pa une couche de fluide de suface d S su celle du v dessous est df η ds eθ On considèe un volume élémentaie de fluide compis ente et + d, θ et θ + d θ, z et z z + dz Détemine les foces s eeçant su ce volume c) Applique le théoème du moment cinétique en pojection su Oz à ce volume, en déduie que ω ( z, est solution d une équation de diffusion d) On se place en égime stationnaie Calcule ω ( En déduie le moment du couple qu eece le fluide su D1 Défini et calcule le coefficient de fottement fluide λ ente les deu plaques - e) On donne pou l huile de icin ρ 965 kg m et η 1,015 Pl On donne également a 10 cm et e 5 mm, ω 1 Ω 10 tous/min et ω 0 Véifie que l on est bien en égime laminaie Donne également le temps caactéistique d établissement du égime stationnaie quand à pati du epos, ω 1 passe butalement à Ω πηa éponse : d) Γ ( ω ω1 ) e Quelle est la loi eliant la vitesse de vol d un oiseau à sa masse? 9 Vol des oiseau (ésolution de poblème)