1 Liaisons mécaniques Liaisons mécaniques Quel est le comble de la science? Un cheval-vapeu, qui mange des acines caées dans un champ magnétique! 1 1.1 Liaisons élémentaies Une liaison élémentaie ente deu solides S1 et S2 est obtenue à pati du contact d'une suface géométique élémentaie liée à S1 su une suface géométique élémentaie liée à S2. Les sufaces géométiques élémentaies obtenues à pati des pincipau pocédés d'usinage sont le plan, le clinde et la sphèe. Le tableau ci dessous donne les difféentes combinaisons : Contact plan/sphèe ponctuelle, Contact plan/clinde linéaie ectiligne, Contact plan/plan appui plan, Contact clinde/sphèe linéaie annulaie, Contact clinde/clinde pivot glissant, Contact sphèe/sphèe otule ou sphéique. 1.2 Liaisons composées Sphèe Clinde Plan Plan Clinde Sphèe Une liaison composée est obtenue pa association cohéente de liaisons élémentaies. Le tableau ci dessous donne les difféentes associations possibles : Encastement Pivot Glissièe Sphéique à doigt 1 Moteu de Dion Bouton ves 1900 Lcée auban, Best classe de PTSI - 1
ute liaison tès utilisée : la liaison hélicoïdale 1.3 Degés de libeté ou de mobilité d'une liaison. Les degés de liaison Les degés de libeté d'une liaison ente deu solides S1 et S2 coespondent au mouvements elatifs indépendants autoisés au sein de cette liaison ente S1 et S2. 6 mouvements élémentaies possibles d'un solide dans l'espace appoté à un epèe(,,, ). 3 tanslations : T, T, T, 3 otations :,,. Notons m le degé de libeté d'une liaison. Le degé de liaison d'une liaison vaut, dans l'espace, 6 m Dans le plan (,, ), les 3 mouvements possibles d'un solide sont : 2 tanslations : T, T 1 otation :. Le degé de liaison d'une liaison vaut, dans le plan, 3 m 1.4 Toseu d'action mécanique tansmissible d'une liaison (pou mémoie) 1.5 Toseu cinématique d'une liaison (pou mémoie) 1.6 Toseu des petits déplacements d'une liaison (pou mémoie) 1.7 Caactéistiques des difféentes liaisons Les caactéistiques d'une liaison pafaite sont : des contacts sans fottement ente les sufaces ; des sufaces de contact géométiquement pafaites ; aucun jeu. 1.7.1 Liaison encastement Deu solides S1 et S2 sont en liaison encastement s'il n'eiste aucun degé de libeté ente les solides éféentiel local de éduction des toseus Lcée auban, Best classe de PTSI - 2
L'oientation du éféentiel peut ête quelconque Degé de mobilité T T T 0, ou Le degé de mobilité est nul. Toseus mécaniques 0 0 ( 1/ 2), T ( 2 1) X + Y + Z ( ) L + M + N Eemple technologique ssemblage de deu solides pa goupille cannelée. 1.7.2 La liaison pivot Deu solides S1 et S2 sont en liaison pivot si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible est une otation autou d'un ae. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est l'ae de otation elative de la liaison, le point de éduction appatient à l'ae. Degé de mobilité ou utilise 1, le degé de mobilité est égal à 1. Toseus mécaniques associés ω p ( 1/ 2), T ( 2 1) 0 Eemple technologique X + Y + Z ( ) M + N ticulation su coussinet. 1.7.3 Liaison glissièe Lcée auban, Best classe de PTSI - 3
Deu solides S1 et S2 sont en liaison glissièe si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible est une tanslation le long d'un ae. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est l'ae de tanslation elative de la liaison, le point de éduction appatient à l'ae. Degé de mobilité ou T 1, le degé de mobilité est égal à 1. Toseus mécaniques associés 0 ( 1 / 2) ( ) u, Y + Z T ( 2 1) L + M + N ( ) Eemple technologique Liaison glissièe pa queue d aonde avec attapage du jeu. 1.7.4 Liaison hélicoïdale Deu solides S1 et S2 sont en liaison hélicoïdale si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte d'une otation et d'une tanslation popotionnelles pa appot à un ae. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est l'ae de otation et de tanslation elatives de la liaison, le point de éduction appatient à l'ae. Degé de mobilité T et sont dépendants. Si k est le pas, on a k θ 2 π. Le degé de libeté est égal à 1. ou ou utilise Toseus mécaniques associés ω p ( 1 / 2) ( ) u, T ( 2 1) X + Y + Z ( ) L + M + N Lcée auban, Best classe de PTSI - 4
k k avec u p 0, et L + X 0 2π 2π Eemple technologique Tansmission de mouvement pa vis en acie et écou en bone à filets tapéoïdau. 1.7.5 Liaison pivot glissant Deu solides S1 et S2 sont en liaison pivot glissant si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte d'une otation et d'une tanslation pa appot à un ae. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est l'ae de otation et de tanslation elatives de la liaison, le point de éduction appatient à l'ae. ou Degé de mobilité T 1 et 1, le degé de mobilité est égal à 2. Toseus mécaniques associés ω p ( 1 / 2) ( ) u Y + Z, T ( 2 1) M + N ( ) utilise Eemple technologique Piston de gicleu de moteu à injection. 1.7.6 Liaison sphéique à doigt Deu solides S1 et S2 sont en liaison sphéique à doigt si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte de la otation pa appot à deu aes concouants. éféentiel local de éduction des toseus Lcée auban, Best classe de PTSI - 5
L'ae(, ) est confondu avec le doigt et l'ae(, ) est paallèle à la nomale au contact ente le doigt de S2 et S1. Le point de éduction est à l'intesection des aes,,. ( ) et ( ) Degé de mobilité 1 et 1, le degé de mobilité est égal à 2. Toseus mécaniques associés ( 1/ 2) ω q + ( ) 0, T ( 2 1) Eemple technologique ccouplement sphéique à egots 1.7.7 Liaison sphéique ou otule X + Y + Z ( ) L Deu solides S1 et S2 sont en liaison sphéique ou otule si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible est une otation autou d'un point. éféentiel local de éduction des toseus Les aes, liés à un solide, peuvent ête quelconque. Le point de éduction est au cente de la liaison. Degé de mobilité 1, 1 et 1, le degé de mobilité est égal à 3. Toseus mécaniques associés ( 1/ 2) ω p + q + ( ) 0, T ( 2 1) Eemple technologique Patin de see joint. 1.7.8 Liaison appui plan X + Y + Z ( ) 0 Lcée auban, Best classe de PTSI - 6
Deu solides S1 et S2 sont en liaison appui plan si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte d'une otation autou d'un ae et de la tanslation le long de deu aes pependiculaies au pemie. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est nomal au plan de contact. Le point de éduction appatient au plan. Degé de mobilité 1, T 1 et T 1, le degé de mobilité est égal à 3. Toseus mécaniques associés ω p ( 1 / 2) ( ) v + w, T ( 2 1) X ( ) M + N Eemple technologique Butée à billes. 1.7.9 Liaison linéaie annulaie Deu solides S1 et S2 sont en liaison linéaie annulaie si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte d'une otation autou d'un point et d'une tanslation suivant un ae passant pa ce point. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est l'ae de tanslation elative de la liaison. Le point de éduction est le cente de otation. Degé de mobilité T 1, 1, 1 et 1, le degé de mobilité est égal à 4. Toseus mécaniques associés ω p + q + ( 1 / 2) ( ) u, T ( 2 1) Y + Z ( ) 0 Eemple technologique Piston de longueu faible devant le diamète dans clinde. 1.7.10 Liaison linéaie ectiligne Lcée auban, Best classe de PTSI - 7
Deu solides S1 et S2 sont en liaison linéaie ectiligne si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte d'une otation autou de deu aes et de la tanslation le long de deu autes aes, l'une des otations et l'une des tanslations étant elatives au même ae. éféentiel local de éduction des toseus L'ae(, ) est l'ae commun à la otation et à la tanslation elatives de la liaison. L'ae (;) est l'ae de l'aute otation, et l'ae(, ) est l'ae de l'aute tanslation. Le point de éduction est su l'ae(, ). Degé de mobilité T 1, T 1, 1, et 1, le degé de mobilité est égal à 4. Toseus mécaniques associés ω p + q ( 1 / 2) ( ) v + w, T ( 2 1) X ( ) N Eemple technologique Contact galet/came 1.7.11 Liaison ponctuelle Deu solides S1 et S2 sont en liaison ponctuelle si, au cous du fonctionnement, le seul mouvement elatif possible ésulte de la otation autou d'un point et de la tanslation le long de deu aes concouants en ce point. éféentiel local de éduction des toseus Les aes(, ) et(, ) sont les aes des tanslations elatives de la liaison. Le point de éduction est le cente de la liaison. Degé de mobilité T 1, T 1, 1, 1, et 1.le degé de mobilité est égal à 5. Lcée auban, Best classe de PTSI - 8
Toseus mécaniques associés ω p + q + ( 1 / 2) ( ) v + w, T ( 2 1) Eemple technologique ppui des vis 8 su le plateau 5. X ( ) 0 1.8 Modélisation d'un mécanisme, méthode d'analse Un mécanisme étant un ensemble de solides et de liaisons oganisé, il est indispensable d'en faie une analse et une epésentation logique, confome à sa stuctue. Pou cela, on dispose d'outils appopiés : Le gaphe de stuctue (ou gaphe des liaisons) et le schéma cinématique dans le cas d'une étude géométique et/ou cinématique ; Le gaphe des liaisons et effots, et le schéma d'achitectue dans le cas d'une étude des effots dans les liaisons, en statique ou dnamique. 1.8.1 Modélisation cinématique L'analse d'un mécanisme débute pa l'identification des goupes cinématiquement liés et des sufaces de contact qui les lient (liaisons), ce qui pemet de constuie son gaphe de stuctue et son schéma cinématique. On appelle goupe cinématiquement lié un ensemble de solides liés pa encastement. Pa conséquent, cet ensemble sea également epésenté pa un seul solide. On appelle gaphe des liaisons, une epésentation plane qui pemet de décie l'agencement des liaisons ente les solides constituant le mécanisme. On appelle schéma cinématique d'un mécanisme, une epésentation géométique simplifiée des pièces et des liaisons qui le constituent et qui fait appaaîte claiement sa cinématique. 1.8.2 Modélisation d'achitectue Dans le cas de la echeche des actions mécaniques s'eeçant su un mécanisme, et notamment les actions de liaisons, il convient de s'appue su un modèle espectant plus fidèlement la éalité des liaisons que ne le pemet le schéma cinématique et le gaphe de stuctue. Lcée auban, Best classe de PTSI - 9
On appelle goupe de solides associés, un ensemble de pièces en liaison encastement pou lesquelles les actions ne sont pas echechées. On appelle gaphe des liaisons effots, une epésentation plane qui pemet de faie appaaîte les liaisons ente les solides ainsi que les actions etéieues agissant su le mécanisme. On appelle schéma d'achitectue, une epésentation géométique simplifiée des pièces et des liaisons qui le constituent ainsi qu'une epésentation smbolique des actions mécaniques etéieues. Eemple d application Pompe hdaulique Détemine les goupes cinématiquement liés, puis tace le gaphe de stuctue et le schéma cinématique. emaques généales su les mécanismes À pati du dessin d'ensemble ou du sstème éel, on egoupe les pièces mécaniques qui sont en liaison encastement (liaison à mobilité nulle). En eaminant les sufaces de contact, et en enlevant les éléments intemédiaies comme les oulements, les essots, il faut ensuite défini les liaisons ente ces solides, deu à deu, en déteminant les mouvements elatifs possibles. Lcée auban, Best classe de PTSI - 10
fin d'avoi une meilleue compéhension du mécanisme, il est possible de tace un schéma simplifié donnant les pincipales fonctions éalisées pa les liaisons du mécanisme. Il n'est pas nécessaie ici de visualise toutes les liaisons du mécanisme mais seulement celles pemettant de compende le fonctionnement. Il faut numéote les solides en attibuant conventionnellement le numéo 0 au bâti ou au solide de éféence. gaphe associé à un mécanisme. L'utilisation du modèle de la théoie des gaphes pemet une mise en œuve infomatique et une compéhension plus fine des difféents cas. Le gaphe associé au mécanisme est constuit en associant à chacun des solides un sommet et à chacune des liaisons mécaniques un ac matéialisé pa un segment de doite. Les sommets sont numéotés en coespondance avec le schéma cinématique. Le gaphe se pésente sous la fome de polgones plus ou moins imbiqués. On touve les pincipales stuctues ci apès : Boucle ou chaîne femée simple ou ccle Une boucle est un chemin du gaphe qui pat d'un sommet et evient sans passe plus d'une fois pa un sommet. On appelle γ le nombe de boucles indépendantes d'un gaphe. 1 3 2 eemple : éducteu à tain simple. 0 1 2 Il a autant de solides que de liaisons. Chaîne ouvete 2 3 4 Un mécanisme est dit à chaîne ouvete s'il n'eiste pas de boucle. En patant du bâti, on va de solide en solide ves un solide teminal. 0 1 0 1 2 3 4 eemple : bas de obot. Lcée auban, Best classe de PTSI - 11
Chaîne femée complee Un mécanisme est dit à chaîne femée complee, s'il eiste des boucles aant un ou plusieus acs communs. 3 2 3 4 2 4 1 0 1 eemple : éducteu à tain épiccloïdal. 0 emaque : La théoie des gaphes monte que le nombe de ccles indépendants d'une chaîne femée complee se calcule pa la elation : γ l n + 1 Dans laquelle : γ : nombe de ccles indépendants, l : nombe de liaisons, n : nombe de solides ( compis le bâti). Le nombe γ pemetta de détemine le degé de mobilité 2 d'hpestatisme 3 d'une chaîne complee femée. et le degé epèes et paamétage On attibue à chaque solide un epèe de éféence. Ce denie doit teni compte des points paticulies du solide. Les oientations des vecteus unitaies doivent ête déteminées avec soin. Les epèes doivent ête mis en position, de manièe unique, les uns pa appot au autes. On installe un paamétage de longueus et d'angles, qui doit ende compte de façon biunivoque de la configuation du mécanisme. Il est utile d'établi des schémas de passage d'un epèe à l'aute. emaque : les schémas font appaaîte des angles petits (inféieus à 30 ) et positifs, afin de ne pas se tompe dans les signes et d'avoi un cosinus plus gand que le sinus. De plus, le vecteu pependiculaie au plan sea diigé ves l'avant. j θ ij i i j θ ij j i 2 Temes définis dans la suite du cous 3 Lcée auban, Best classe de PTSI - 12
caactéisation des liaisons On établia, pou chaque liaison, le toseu cinématique associé, elativement au paamétage effectué. Ce toseu sea epimé en un point où sa fome est simple. Chaque liaison intoduia n c inconnues cinématiques indépendantes (son degé de mobilité). On notea N c le nombe total de paamètes indépendants du mécanisme. ésolution Elle sea envisagée dans la suite du cous. Chales ugustin Coulomb Le savie-vous? oici un pincipe élémentaie de cptogaphie : veut envoe un nombe N caché au autes à B. Il choisit p, un nombe pemie et envoie N p à B. B choisit q, un nombe pemie et envoie N p qà. divise N p qpa p et envoie N q à B qui le divise pa q et obtient N. Lcée auban, Best classe de PTSI - 13