Mathématques dscrètes - Automne 0 Feulle d exercce 6 Remarques sur les données des exercces : Quelques modfcatons ont été apportées à la donnée des exercces. Notamment : Dans le 6.., l faut montrer qu un arbre à plus de deux sommets possède exactement deux feulles s et seulement s c est un chemn smple. Dans le 6.., l faut donner une borne nféreure n d sur le nombre de sommets d un raphe G de crconférence 5 dont le deré de tout sommet est supéreur ou éal à d, et dessner un tel raphe G à exactement n d sommets quand le deré des sommets est exactement éal à d = et d =. Exercce 6.. On se propose de démontrer qu l exste une nfnté de raphes avec e et v tendant vers l nfn satsfasant e = (v ). On consdère la sute de raphes suvante : G 0 G G G 0 est un tranle, et chaque raphe G est obtenu du précédent en ajoutant un sommet au centre de chaque face (sauf la face extéreure) et en ajoutant des arêtes relant ce sommet à chacun des tros sommets de la face qu le content. Sot v n le nombre de sommets de G n, e n son nombre d arêtes et t n le nombre de faces qu l content (sauf la face extéreure). Trouver des formules closes pour t n, v n et e n, et conclure. Soluton 6... t 0 = et t n = t n, d où t n = n. v 0 = et v n = v n + t n. Donc e 0 = et e n = e n + t n. Donc v n = v n + n = v 0 + + + + + n = + n = n + 5. e n = e n + n = e 0 + + + + n = + n = n+ +.. On a ben pour tout n (v n ) = ( n ) + 5 = n+ + = e n, et la famlle de raphes {G n } n N satsfat donc la relaton e (v ) avec éalté. Exercce 6.. On rappelle qu un arbre est un raphe connexe acyclque. On appelle feulle tout sommet de deré.
Mathématques dscrètes - Automne 0 Feulle d exercce 6. Montrer que tout arbre à plus de deux sommets possède au mons deux feulles, et qu l possède exactement deux feulles s et seulement s c est un chemn smple. (Indcaton : que vaut la somme des derés de l arbre?). Soent G un raphe et v une feulle de G. Sot G le raphe obtenu en enlevant de G la feulle v et l unque arête qu la touche. Montrer que G est un arbre s et seulement s G est un arbre.. Montrer qu un raphe G est un arbre s et seulement s quels que soent les sommets dstncts v et w de G l exste exactement un chemn relant v et w.. Sot G un raphe à plus de deux sommets. Montrer que G est un arbre s et seulement s G n est pas le raphe complet et ajouter à G une arête quelconque crée un seul cycle. Soluton 6... Soent v,..., v n les sommets de l arbre. Pusque l arbre a n arêtes, on sat que de v = (n ). () On note que tout sommet qu n est pas une feulle est de deré au mons. S l arbre possédat au plus une feulle, on aurat de v + (n ) > (n ), ce qu est une contradcton. Un chemn est ben un arbre à exactement deux feulles ; l reste à prouver l autre drecton. Sot un arbre à exactement deux feulles, c est-à-dre deux sommets de deré, avec tous les autres sommets de deré au mons. Alors de v + (n ) = (n ). Par l équaton (), on a donc que tous les autres sommets sont exactement de deré. Il reste à prouver qu un raphe à n sommets avec deux sommets de deré et n sommets de deré est ben un chemn. On peut faclement le prouver par nducton sur n. Une autre preuve ntutve est la suvante : rajoutons une arête entre les deux feulles : le raphe obtenu est connexe avec chaque sommet de deré, c est donc un cycle. Le raphe ornal état donc ben un chemn.. S G est un arbre, G est encore acyclque. Par alleurs, s x et y appartennent à G, ls sont relés par un chemn dans G qu ne peut passer par v car v est de deré. Donc x et y sont encore relés dans G. Récproquement, s G est connexe, G est trvalement connexe éalement. D autre part, ajouter v ne peut pas créer de cycle car v est de deré.. On rasonne par récurrence sur le nombre n de sommets. Le cas n = est clar. S G compte n + sommets, on retre une feulle de G, ce qu est possble d après la premère queston. Par hypothèse de récurence, l n y a qu un chemn dans G entre deux sommets de G, de plus aucun nouveau chemn ne pourrat passer par v à cause de son deré éal à. D autre part, un chemn partant de v passe forcément par la seul arête ssue de v pus ne peut se proloner que d une seule manère.. S G est un arbre, alors G n est clarement pas le raphe complet. De plus en ajoutant l arête dsons (u, v), comme l n y a qu un unque chemn de u à v, on ne crée qu un cycle supplémentare. Récproquement, on suppose que G n est pas le raphe complet et que l ajout de n mporte quelle arête crée exactement un cycle. Alors G est forcément connexe : en effet, s l n état pas connexe, l exsterat u, v G tels qu l n exste aucun chemn entre
Mathématques dscrètes - Automne 0 Feulle d exercce 6 u et v dans G. Alors l ajout de l arête (u, v) ne créerat aucun cycle. On prouve éalement que G dot être acyclque. En effet, s G content un cycle v 0 v l v 0 et qu l exste v, v j non relés par une arête, l ajout de l arête (v, v j ) crée au mons deux cycles. S tous les sommets du cycle sont relés entre eux par des arêtes, alors l exste au mons un sommet u G hors du cycle (pusque G n est pas complet), relé par une arête à au mons un sommet v du cycle (pusque G est connexe). S l exste v j dans le cycle qu n est pas vosn de u, l ajout de l arête (u, v j ) crée au mons deux cycles : u v v + v j u et u v j v j+ v u. S tous les sommets hors du cycle sont relés à tous les sommets du cycle, alors l exste au mons deux sommets u et w hors du cycle non relés par une arête, snon le raphe serat complet. L ajout de l arête (u, w) crée plus de deux cycles (au mons l tranles u v w u). Exercce 6.. Sot G = (V, E) un raphe planare, sans pont et de crconférence. Montrer que E V. Soluton 6.. Soluton : Pusque G n a pas de pont, toute arête est contenue dans exactement deux faces. En posant f le nombre de faces à arêtes et f le nombre total de faces de G, on a donc D autre part, n f = = n f = E. = n f = f = f f, d où f E /. De plus, en utlsant la formule d Euler, on a ce qu nous donne E / V. = f E + V E / E + V, Soluton : Il sufft de remarquer que = pusque la foncton x x x est décrossante sur son domane de défnton, et d applquer le théorème du cours qu dt que E ( V ). Cette soluton vaut éalement pour les raphes contenant des ponts. Exercce 6... Donner une borne nféreure n d sur le nombre de sommets d un raphe G de crconférence 5 dont le deré de tout sommet est supéreur ou éal à d. Dessner un tel raphe G à exactement n d sommets où tous les sommets sont de deré exactement éal à d = et d =.. Même queston s G est de crconférence. Soluton 6... On consdère un sommet v du raphe. v a au mons d vosns ; on consdère ses d premers vosns v,..., v d. Chaque v a au mons d vosns dstncts de v ; appelons v,..., v,d les d premers tels vosns de v. Les sommets v, {v } et {v j } dovent être tous dstncts, snon l exsterat un cycle de lonueur nféreure à 5. G content donc au mons + d + d(d ) = d + sommets dstncts. Pour le cas d =, on prend un cycle de lonueur 5. Pour le cas d =, on prend le raphe de Petersen.
Mathématques dscrètes - Automne 0 Feulle d exercce 6. On consdère un sommet v du raphe et soent w, v,..., v d ses d premers vosns. Comme G est de crconférence, v,..., v d ne peuvent pas être vosns de w (snon l exsterat un cycle de talle ). Les d premers vosns de w dstncts de w sont donc tous dfférents de v,..., v d. En comptant ces vosns avec v, w, et v,..., v d, on obtent que G content au mons + + (d ) + (d ) = d sommets. Pour d =, on prend un cycle sur sommets. Pour d =, on prend K,. En fat, on peut construre une nfnté de tels raphes : pour tout d, on prend le raphe bpart complet K d,d. Exercce 6.5. Sot G un raphe planare tel que tout sommet sot de deré par. Montrer qu on peut colorer les faces de G avec couleurs de telle sorte que deux faces partaeant une arête soent de couleurs dfférentes. (Indce : fare une récurrence sur le nombre d arêtes de G). Soluton 6.5. On rasonne par récurrence sur le nombre m d arêtes du raphe. Pour m = 0, l y a qu une face nfne et on peut trvalement colorer les faces du raphe avec deux couleurs (même une seule). Supposons mantenant que l affrmaton sot vrae pour tout < m et prenons un représentaton planare d un raphe avec m arêtes dont tous les derés sont pars. On chost une face f de ce raphe et on enlève toutes les arêtes de son bord pour obtenr un raphe G. On peut remarquer que la face f de G est strctement ncluse dans une face f de G ; f est la réunon de f et des faces contües de f. De plus, tous les derés de G sont encore pars, car on a juste dmnué le deré de certans sommets de. Par hypothèse de récurrence on peut colorer les faces de G avec deux couleurs. On colore alors la face f de la couleur opposée à celle de f, les faces contües restant de la même couleur. Ce nouveau colorae est ben un -colorae. Il est par alleurs admssble. En effet, prenons une arête quelconque de G. Sot elle appartent à f, alors elle est ntéreure à f. Or on a chané la couleur de f par rapport à celle de f. Sot cette arête appartent à G et par hypothése de récurrence, les couleurs des faces de part et d autre sont dstnctes. Exercce 6.6. Trouver le nombre chromatque de l cosaèdre (auche) et du dodécaèdre (drote). Soluton 6.6. D une part, on peut trouver un colorae de l cosaèdre à couleurs (c-dessous à auche), d où le nombre chromatque de l cosaèdre est nféreur ou éal à. D autre part, on ne peut pas colorer l cosaèdre avec couleurs. En effet, consdérons la numérotaton des sommets c-dessous à drote et supposons que l on peut colorer le raphe avec couleurs. v, v et v dovent être colorés de tros couleurs dfférentes : sans perte de énéralté, supposons qu ls sont colorés avec les couleurs, et respectvement. v, étant adjacent à des sommets de couleurs et, dot oblatorement être de couleur. De même, v 5 dot être de couleur. Mas alors v 6, étant adjacent à des sommets de couleurs, et, ne peut être coloré avec aucune de ces tros couleurs, une contradcton.
Mathématques dscrètes - Automne 0 Feulle d exercce 6 v v v D une part, on peut trouver un colorae du dodécaèdre à couleurs. D autre part, le raphe content C 5 comme sous-raphe, et son nombre chromatque est donc au mons. Ans, le nombre chromatque du dodécaèdre est éal à. v 6 v v 5 Exercce 6.7. Montrer qu un raphe G a au mons ( ) χ(g) arêtes (où χ(g) désne le nombre chromatque de G). Soluton 6.7. On peut observer que s c est un colorae du raphe G avec χ(g) couleurs, alors pour chaque couple de couleurs utlsées c et c, l exste une arête relant un sommet de couleur c à un sommet de couleur c. En effet, s tel n état pas le cas, en prenant une seule et même couleur à la place de c et c, on obtendrat encore un colorae avec χ(g) couleurs, ce qu est absurde. Ans le raphe content au mons ( ) χ(g) arêtes. 5