Feuille Primiives e équaions diérenielles linéaires. ed Déerminer, pour les équaions diérenielles suivanes, les ensembles de soluions. y y = sin 3 y + y = e 3 y + y coan = sin 4 + y + y = + 5 y + y = sin 6 y iy = ch 7 y iy = cos 8 y + y = e + sin 9 y + y = cos Chercher les soluions à valeurs réelles sauf pour 6 e 7 où l'on cherchera les soluions à valeurs complees.. ed Chercher les soluions réelles de + 3 = + = 3 + + = 4 + + 4 = 3. ed3 Chercher les soluions complees de + 4 = + + i = 4. ed4 Calculer la soluion prenan, ainsi que sa dérivée la valeur en de y = + y 5y = + 3 y 5y + 6y = + 5. ed5 Chercher les soluions réelles de y 5y = + e 5 y + 6y + 9y = + e 3 3 y + 4y + 3y = e sin 3 4 y 4y + 3y = e cos 3 5 y + y = cos 6 y 3y + y = cos 7 y y + y = + e 8 y y + y = + e 9 y + y = + e 6. ed6 On considère les équaions diérenielles y + y = y + y = + arcan don l'inconnue y es une foncion dénie dans R e à valeurs complees. a. Soi un nombre réel quelconque, préciser un argumen puis l'epression eponenielle de + i. b. Calculer une soluion de par la formule du cours eponenielle de l'opposée d'une primiive. Cee soluion sera eprimée avec la primiive de + z avec z C R donnée dans le formulaire de cours. Vérier que cee soluion es une fracion raionelle simple à préciser. c. Vérier que la foncion suivane es soluion de. d. Déerminer l'ensemble des soluions à valeurs complees de. Pour le calcul de primiive dans la méhode de variaion de la consane, on pourra passer en noaion inégrale e uiliser une inégraion par paries. 7. ed7 Déerminer les foncions dérivables dans R e véri- an : R : f + f = e 8. ed8 Déerminer les foncions C dans R e vérian : R : f =f + fd f = 9. ed9 On adme que l'équaion diérenielle cos4y + sin4y 8y = don l'inconnue es une foncion dénie dans ], π [ adme deu soluions sricemen monoones e inverses l'une de l'aure le produi des deu es la foncion consane de valeur. On se propose de les rouver. a. Vérier que ln cos ln + cos es une primiive de sin b. Pour ], π [, simplier + cos cos c. Résoudre siny + y = siny y = 3 d. On noe u e v les soluions de l'équaion qui son inverses l'une de l'aure. Monrer que sin u v = 4 En déduire les foncions u e v. Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7
Feuille Primiives e équaions diérenielles linéaires. ed On considère les équaions diérenielles don les inconnues y son des foncions dénies dans R e à valeurs réelles. + y + y 4y = 3 + y + y 4y = + y + y = 3 a. Calculer, sous forme facorisée, la dérivée de + + b. Déerminer une soluion polynomiale y de. c. Déerminer une soluion polynomiale non nulle y de. d. Pour oue foncion z, on déni w par : w = z y z y Monrer que z es soluion de si e seulemen si w es soluion de 3. e. Calculer les soluions de 3. Résoudre l'équaion y y y y = w lorsque w es une soluion de 3. En déduire l'ensemble des soluions de.. Eed On considère deu soluions f e g à valeurs réelles d'une équaion diérenielle linéaire homogène du second ordre à coeciens consans e I un inervalle dans lequel g ne s'annule pas. a. On déni W par le déerminan W = f g f g Monrer que la foncion W es soluion d'une équaion diérenielle linéaire du premier ordre à coef- ciens consans. b. Soi ϕ une primiive de f g, monrer qu'il eise des nombres complees a, b, c els que I, ϕ = a + b ln g + c. ed Changemen de variable. On considère une équaion diérenielle du second ordre à coeciens non consans. E Ay + By + cy = Les foncions A e B son dénies dans un inervalle J e la foncion A es à valeurs sricemen posiives, c es un réel é. On considère une foncion f C J don la dérivée première es à valeurs sricemen posiives. a. La foncion f es-elle bijecive? b. Soi z = u f. Former une équaion diérenielle elle que : u soluion de z soluion de E Sous quelles condiions cee équaion es-elle à coeciens consans? c. Appliquer l'idée de la quesion précédene pour résoudre l'équaion y y + 9y = dans l'inervalle J =], [. 3. ed3 Sysèmes diéreniels. Déerminer les couples ou les riples de foncions véri- an les sysèmes suivans : { =4 y 3 y = + y { = + 8y + e y = + y + e 3 + + y = y + y + z = z + z = 4. ed4 Variaion de consanes. Chercher les soluions à valeurs réelles de y y = ch y + y = an dans 3 y + y = ] π, π [ cos dans ] π 4, π 4 4 y + y + y = e 5 y + y = sin 3 dans ], π[ [ dans ], + [ 6 y y + y = e cos dans ] π, π dans les inervalles indiqués. 5. ed5 Méhode de variaion d'une consane pour une équaion diérenielle linéaire d'ordre. Soi I un inervalle de R e a, b, f des foncions coninues à valeurs réelles. On considère les équaions suivanes d'inconnue y E y + ay + by = f H y + ay + by = Soi z une soluion de H qui ne prend pas la valeur dans I. Former une équaion L d'inconue y elle que qz soluion de E q soluion de L Applicaion. Résoudre les équaions suivanes par la méhode précédene en uilisan la foncion z indiquée y 4y + 3y = e + cos + cos z = e + y y + y = e z = e 3 y y + y = z = e Pour, se limier à ], + [. Pour 3, se limier à ], +[. [ Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7
Feuille Primiives e équaions diérenielles linéaires 6. Eed6 Recollemen. Pour chacune des équaions suivanes, on noe Z l'ensembles des réels où la foncion coecien de y prend la valeur. On noe C l'ensemble des foncions coninues dans R e dérivables dans R \ Z e vérian la relaion. On noe D l'ensemble des foncions coninues e dérivables dans R e vérian la relaion. Il s'agi de déerminer pour chaque équaion les ensembles C e D y y = + y + y = y y = y y = 7. Eed7 Soi f une foncion de classe C sur R, à valeurs complees non ideniquemen nulle e elle que, y R, f + y + f y = ffy a. Calculer f e f. b. Monrer que, pour ou y réel, f y = f fy. c. En déduire les soluions de l'équaion foncionnelle. 8. Eed8 Déerminer les foncions f dérivables dans R e vérian R, f + f = f + f 9. Eed9 Déerminer les foncions de classe C dans ], + [ e vérian f = f On dénira une foncon g par R, g = fe e on formera une équaion diérenielle vériée par g.. Eed Déerminer les foncions f de classe C dans ], + [ elles que, pour ou poin M de la représenaion graphique de f, ce poin M soi le milieu du segmen don les erémiés son les poins d'inersecion de la angene en M à la représenaion graphique avec les aes.. Eed Dans I = ], [, calculer en ransforman I = I = par une inégraion par paries.. Eed Monrer que >, 3 d d e d = e + e 4 3 3e 4 + 3 4 3. Eed3 Déerminer les nombres complees λ els que y + λy =, y = y = admee une soluion non ideniquemen nulle e 4 d Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ 3 Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7
. Ced Soluions des équaions diérenielles proposées. Le paramère λ es réel sauf pour 6 e 7 où il es complee. 3 8 sin 3 8 cos + 4 sin3 + 3 4 cos3 e + λe 3 4 + 5 6 7 sin cos λ + + λ sin sin cos + cos + λe sh + i ch + λei ei + i 4 e i + λe i 8 e cos + sin + λe 9 + cos + sin + λe 5 + λe Remarques sur les méhodes. Pour l'équaion, il fau commencer par linéariser le second membre. Deu méhodes son possibles. Première méhode : uiliser sin = cos puis sin a cos b = sina + b + sina b. Deuième méhode : uiliser la formule du binôme sin 3 = i 3 e i e i 3 Par les deu méhodes, on rouve sin 3 = 4 sin3 + 3 4 sin. Ced Résulas. Les paramères λ e µ son réels. λe + µe 3 λ + µe 3 λ + µe 4 λ cos 3 + µ sin 3 e 3. Ced3 Résulas. Les paramères λ e µ son complees. 4. Ced4 Résulas. λe i + µe i λe i + µe i 4 + 7 65 + 7 65 e5 5 3 5 7 5 3 3 4 e + 7 e3 + 6 + 5 8 + 37 8 5. Ced5 Résulas. Les paramères λ e µ son réels. 3 λ + 5 5 + 7 5 + µ e 5 4 + + λ + µ e 3 3 λ cos 3 + µ sin 3 + 3 4 λe + µe 3 + cos 3 3 sin + 4 cos 3 + 35 sin 3 e 5 λ cos + µ sin + sin + cos 4 6. Ced6 6 λe + µe + 3 8 + 4 + 5 4 7 λe + µe + 8 λe + µe + cos 7 + 3 4 + 4 e 3 + + 6 3 9 λ cos + µ sin + + e e sin 9 λ cos + µ sin + 4 sin + 4 cos a. Comme la parie réelle de +i es sricemen posiive, arcan es un argumen de ce nombre complee. On en dédui l'epression rigonomérique : + i = + e i arcan b. On rappelle que pour un nombre complee z = a + ib avec b, d'après le formulaire du cours, une primiive de es + z ln + z i arcan + a b On en dédui qu'une primiive de es F = ln i arcan e = ln + i arcan D'après le cours, une soluion fondamenale de l'équaion homogène es e F = + ei arcan = Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ 4 Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7
c. Dénissons z par Comme z = z = = z On rerouve le résula de la quesion précédene c'es à dire que z es soluion de l'équaion homogène. d. Méhode de variaion de la consane. Une foncion z = λz es soluion de si e seulemen si λ z = + arcan λ = + arcan Pour calculer une primiive, on uilise une epression inégrale e une inégraion par paries : arcan d On en dédui = [ arcan ] z = + arcan 7. pas de correcion pour Eed7.e 8. pas de correcion pour Eed8.e 9. pas de correcion pour Eed9.e. Ced + d = arcan + arcan = i arcan a. Après calculs, on rouve + = + + + b. Avec des coeciens indéerminés, on rouve que le degré doi êre inférieur ou égal à. On vérie que y el que y = es soluion de l'équaion. c. Avec des coeciens indéerminés, on rouve que le degré doi êre inférieur ou égal à. On rouve que y el que y = + es soluion de l'équaion. on pourrai muliplier y par une consane arbiraire d. À parir de la déniion de w, e du fai que y es soluion de, il vien + w + w = + y + y z }{{} =4y + z z y = + z z 4z y Comme y ne s'annule pas, on peu bien en déduire que w es soluion de 3 si e seulemen si z es soluion de. e. Recherche des soluions de 3. primiive de + : ln + Les soluions de 3 son donc les foncions λ + avec λ R Pour w = +, l'équaion proposée s'écri y 4 + y = + + 4 L'epression avec le déerminan monre clairemen que y es une soluion de l'équaion homogène associée à 4. On cherche donc une soluion de 4 sous la forme λy. Une elle foncion es soluion si e seulemen si λ = + + On peu alors uiliser le calcul de dérivée de la première quesion. On en dédui une soluion de 4 qui, d'après la quesion d es soluion de. + On en dédui que les soluions de son les foncions + λ + + µ + avec λ e µ réels.. Eed On écri l'équaion diérenielle don f e g son soluions sous la forme y + ay + by = a. On dérive la foncion W wronskien W = fg f g = aw b. Comme l'équaion es à coeciens consans, la foncion g es encore soluion de la même équaion diérenielle. On en ire que le wronskien de g e g es soi ideniquemen nul soi jamais nul. Si le wronskien n'es jamais nul, en raisonnan comme dans la démonsraion de cours sur l'ensemble des soluions de l'équaion homogène, on monre que f es combinaison linéaire à coeciens consans de g e g. On en ire l'epression demandée de la primiive. Si le wronskien es ideniquemen nul, comme il es le numéraeur de la dérivée du quoien, la foncion g es de la forme e λ e lui même se me sous la forme λ lng. Ced Changemen de variable. a. Calculons les dérivées de z = u f z = u f z = f u f z = f u f + f u f Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ 5 Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7
On en dédui que z es soluion de E si e seulemen si avec Lu f + Mu f + cu f = L = Af M = Af + Bf L'équaion es à coeciens consans si e seulemen si L e M son des consanes. L doi êre posiive donc à une consane muliplicaive près f = f = A A A 3 En remplaçan dans l'epression de M, on rouve que M es consane si e seulemen si A + B = La foncion f éan alors donnée comme primiive de. A b. Dans ce eemple A = B = = A donc la condiion de la quesion précédene es vériée. Pour f = arcsin, l'équaion s'écri alors u + 9u = don les soluions son les foncions dénies dans ] π, π [ λ cos 3 + µ sin 3 Les soluions de E son alors les foncions dénies dans ], [ λ cos3 arcsin + µ sin3 arcsin En uilisan cos 3 = cos 4 cos sin 3 = 3 sin 4 sin 3 on peu les écrire aussi sous la forme λ 4 + µ3 4 3 3. Ced3 On eprime en foncion de y avec la deuième équaion puis on remplace dans l'aure pour former une équaion du second ordre en y seulemen. On la résoud e on eprime avec l'epression en foncion de y rouvée. Équaion = λe + µe 3 Équaion y = λe + µe 3 = λe 5 µe 3 8 e 3 y = λe 5 8 e + µ + e 3 4. Ced4 En uilisan la méhode de cours pour la démonsraion de l'eisence de soluions pour une équaion linéaire d'ordre e à coeciens consans, on rouve après le longs e pénibles calculs λe + µe + lnch e + lnch e λ cos + µ sin + sin ln cos sin 3 λ cos + µ sin + ln + sin sin 4 λe + µe + + ln e sin 5 λ cos + µ sin + + cos sin + sin 6 λe cos + µe sin e + ln e sin sin Les paramères λ e µ son réels. 5. Ced5 En combinan linéairemen les dérivées de z = qz, on aboui à l'équaion L z y + z + ay = f Les soluions de l'équaion 3 son nalemen les foncion arcsin + λ + µ 6. pas de correcion pour Eed6.e 7. Ced7 a. On dérive par rappor à e on prend y =. On obien R, f = f f Si f es consane de valeur alors f =. Sinon, il eise un el que f e f =. Donc on a oujours f =. On dérive par rappor à y e on prend y =. On obien y R, = ff Comme f n'es pas ideniquemen nulle, il eise el quef donc f =. b. On dérive une fois par rappor à une fois par rappor à y e on ajoue. On obien, y R, f + y = f fy + ff y On dérive encore par rappor à y puis on prend y =. On obien y R, f = ff c. Soi δ une racine carrée de f. Les soluions de l'équaion diérenielle son de la forme αe δ + βe δ Les condiions f = e f = enrainen α = β =. On vérie que, pour ou δ complee non nul, les foncions e δ + e δ son soluions de l'équaion foncionnelle. Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ 6 Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7
8. pas de correcion pour Eed8.e 9. Ced9 à compléer... les soluions son les foncions de la forme λ 3 cos ln π 3. Ced à compléer... foncions de la forme λ C'es une propriéé géomérique des hyperboles équilaères.. pas de correcion pour Eed.e. pas de correcion pour Eed.e 3. pas de correcion pour Eed3.e Paernié-Parage des Condiions Iniiales à l'idenique. France disponible en ligne hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/./fr/ 7 Rémy Nicolai _fe_edpdf du 8 novembre 7