Calcul numérique et activités

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1 Classe de Seconde Calcul numérique et activités. Mettre de l ordre. Interro (c). Interro 4. Interro (c). Interro 4 (c) 6. Interro (c) 7. Interro 6 8. Interro 7 9. Interro 8 0. Comparer a, a², a et /a. Vrai / Faux Sûr / Pas Sûr : les pourcentages. Pourcentages Situations concrètes. Notation scientifique 4. Atomes. Pliages 6. Bactéries 7. Calcul de fractions 8. Calcul de distances 9. Quelques calculs 0. Fraction. Somme d inégalités. Valeurs absolues. Inégalités 4. Encadrements. Encadrements 6. Vrai ou Faux? (c) 7. Nature d un nombre (c) 8. Irrationalité de 7 9. Simplifications sur les puissances 0. Simplifications de racines carrées. Simplifications d expressions (fractions). Ensembles de nombres. Devinette 4. Pavages (c). Module en calcul numérique : fractions FICHE ENSEIGNANT FICHE ELEVE. Mettre de l ordre Un segment [AB] de longueur 9 cm est le point de départ d une construction que l on vous propose de réaliser. Mais pour cela, il vous faut d abord remettre un peu d ordre dans les consignes ci-dessous... Vous devez :. Réordonner et recopier les consignes.. Justifier le choix de l ordre après chaque consigne par une phrase simple.. Réaliser soigneusement la construction à la règle et au compas en partant du segment [AB]. 4. Repasser (en couleur par exemple) la courbe AB A BED. Voici la liste des consignes : - Le cercle de centre B et de rayon AB coupe en D la demi-droite [BC). - On appelle B le symétrique de B par rapport à C. - A et B sont deux points de [AB] tels que AA =A B =BB. 4 - Tracer l arc A B du cercle de centre C et de rayon C A. - La droite (AB) partage le plan en deux demi-plans, C n appartient pas au même demi-plan que C. le point C est tel que ABC soit rectangle en C et isocèle. 6 - Tracer l arc DE du cercle de centre C et de rayon CE. 7 - On appelle C un point tel que A B C soit un triangle équilatéral. 8 - Tracer l arc BA du cercle de centre A et de rayon A B. 9 - Le cercle de centre A et de rayon AB coupe en E la demi-droite [AC). 0 - Tracer l arc AB du cercle de centre B et de rayon B A. - On appelle A le symétrique de A par rapport à C.. Interro (c). Déterminer le PGCD de 0 et 646. Seconde F. Laroche

2 . Calculer, puis simplifier les fractions suivantes : a. 4 b Ecrire les résultats suivants sous forme de multiplication de puissances de, et : a. 4 b = ( ).( )..7 et 646 =.( )(7 ) donc PGCD(0;646) = x x x 7 = 6.. a. = ( /).(/) = /. 4 7 b. + = + = a. =. b. 6 = = Interro Ensembles : Compléter le tableau suivant avec le signe ou. x N Z Q R 9, π 9 Nombres premiers :. est-il un nombre premier? Justifier la réponse. Même question avec 7.. Décomposer 980 en produit de facteurs premiers.. Décomposer 60 en produit de facteurs premiers.. ² < < 6² or,,, 7,, ne divisent pas donc est un nombre premier. 6² < 7 < 7² or,,, 7,, ne divisent pas 7 donc 7 est un nombre premier = x 490 = x x 4 = x x x 49 = ² x x 7².. 60 = 6 x 0 = 7 x 9 x x = x ² x x 7. Seconde F. Laroche

3 4. Interro (c) EXERCICE. Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles : a b ( ) c. 0 d Mettre le nombre suivant sous forme a 7 où a est un entier relatif : Donner la valeur exacte du nombre suivant : ( 4 )( + ).. a. b = + + = = = =. = ( ) c. = 0 =. 0 0 d. 8 7 = = = ( 4 + ) 7 = ( 4 )( + ) = 8 + = 0 7. EXERCICE. Résoudre les équations suivantes. a. x = x b. 7x + 6 = 4x 7 c. x + = 7 x. Résoudre les inéquations suivantes et représenter en couleur sur un axe gradué les solutions. a. x > x b. 7x + 6 4x 7 c. x + < 7 x. a. x = x <=> x = <=> x = /. b. 7x + 6 = 4x 7 <=> x = <=> x = /. c. x + = 7 x <=> x = 4 <=> x = 4/.. a. x > x <=> x < <=> x < /. b. 7x + 6 4x 7 <=> x <=> x /. c. x + < 7 x <=> x < 4 <=> x< 4/. EXERCICE Soit un triangle ABC quelconque.. Donner la définition de : - médiatrice du segment [AB] : - médiane issue de A : Seconde F. Laroche

4 - bissectrice de l angle ABC : - hauteur issue de B :. Faire une figure différente pour chaque question. a. Les trois médiatrices du triangle ABC se coupent en O. Placer O. Quelle est la particularité du point O? b. Les trois médianes du triangle ABC se coupent en G. Placer G. Comment l appelle-t-on? Quelle est la particularité du point G? c. Les trois hauteurs du triangle ABC se coupent en H. Placer H. Comment l appelle-t-on? d. Les trois bissectrices du triangle ABC se coupent en I. Placer I. Quelle est la particularité du point I?. Qu arrive-t-il à ces droites dans le cas où le triangle ABC est équilatéral? Et s il est isocèle en A? Et s il est rectangle en A? 4. Justifier la construction à chaque fois. a. Reproduire le segment [AB] et le point I extérieur à [AB]. Construire le point C de façon à ce que le point I soit le point d intersection des bissectrices du triangle ABC. A I B b. Reproduire le segment [AB] et le point H extérieur à [AB]. Construire le point C de façon à ce que le point H soit le point d intersection des hauteurs du triangle ABC. A H B c. Reproduire le segment [AB] et le point G extérieur à [AB]. Construire le point C de façon à ce que le point G soit le point d intersection des médianes du triangle ABC. A B G. Interro 4 (c) Ex : Nombres premiers. Le nombre 40 est-il premier? Justifier.. Le nombre 07 est-il premier? Justifier.. Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : A = ; B = Ex : Avec des fractions. Donner à l aide de la calculatrice une valeur approchée de Simplifier B =. 6 A = 4 puis développer A. +. Ecrire sous forme de fraction irréductible : C = 4. Ex : Avec des puissances Simplifier les expressions suivantes en montrant les étapes de simplification : Seconde 4 F. Laroche

5 9 0 6 A = 4 Ex 4 : Montrer et utiliser une égalité, B =, Montrer que pour tous nombres a et b de R on a l égalité suivante : ( ) a b = ( a b)( a + ab + b ). Utiliser cette égalité pour factoriser ( 8 ) Ex : Avec des racines x C = Ecrire A = 98 + sous la forme a b où b est le plus petit possible. Ce nombre est il un élément de Q? Ex : nombres premiers. 40= ; 40 est divisible par, ce n est pas un nombre premier.. 07 non divisible par (impair), par (somme des chiffres ), par (finit par 7 ). De plus : 07 4,9 7, 07 7,9, 07,6, 07 8,0 7, 07 6, (aucune des divisions «ne tombe juste» ). 9 Inutile de continuer les divisions car les quotients seraient plus petits que 7 et on aurait déjà trouvé un diviseur entier ) 07 est premier.. Décomposons en produit de facteurs premiers : A = = 6 = 6 = 9 7 = 7. B = 8 44 = = 7 = 4 7. Ex :. A = 0,06 ; 4. ( + ) B = = = C = 4 = 4 = =. 4 0 Ex : A = 90, 9 B = 9 0, Ex 4 :. Développer pour vérifier.. Avec a = x, et b = : ( ) A = = = = = C =. x 8 = ( x )( x + x + 4) Ex : A = 8 qui n est pas un rationnel. 6. Interro (c) Exercice : Ecrire plus simplement : A = ( x ) B = ( x ) C = x y y( xy ) ( x ) A = = 4x² ( x ) B = = 8x D = x x Seconde F. Laroche

6 ( ) C = x y y xy = x²y ( ) = x y D = x x = x². Exercice : Ecrire les nombres suivants sous la forme 0 = x x ² 6 = 6² = ² x ² 0/6 = x x² 0 ; 6 ; 0 0 x 6 = ( x x ²)²² x ² = 4 x 4 x 4 (0 )/6 = ( x x ²) / (² x ²) = x x 6 0² 6 6 ; (0) 6 ; ( 0 ) 6 = ( x ) / ( ( x x ²)² x ²) = x 6 ; 0² 6. Exercice. Décomposer 400 en produit de facteurs premiers.. Ecrire tous les diviseurs de 400. Compléter par un nombre entier : 400 est le carré d un nombre entier. 400 est le cube d un nombre entier = 7 x x 00 = 7 x x x x x. Div (400) = { ; ; 4 ; ; 7 ; 8 ; 0 ; 4 ; 0 ; ; 8 ; ; 40 ; 0 ; 6 ; 70 ; 00 ; 40 ; 7 ; 00 ; 80 ; 0 ; 700 ; 400}. 400 x 4 est le carré d'un nombre entier : 40 (4 = x 7). 400 x 4 est le cube d'un nombre entier : 70 ( 4 = x 7 x 7). Exercice 4 : a, b et c sont des nombres non nuls. Ecrire les nombres suivants sous la forme c A = a b c A = = a b c a b ( ) 6 0 D = a b = a b. 7. Interro 6 Exercice ( ) B = a bc ( a b ) ; ( ) ( a b ) C ab² ca B = a bc = a c ; p q r a b c : = ( ) D = a b ab² C = = a b c ; ca. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter. Que remarque-t-on? (Faire plusieurs essais) Seconde 6 F. Laroche

7 a a a ( a ). Montrer que, pour tout réel a, on a ( )( ) Expliquer le résultat observé à la question. Exercice = ( a a ) Calculer la somme de entiers consécutifs. Que remarque-t-on? (Faire plusieurs essais). Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de Exercice. Un nombre pair s écrit sous la forme.. Un nombre impair s écrit sous la forme... Montrer que le carré d un nombre pair est un nombre pair.. Montrer que le carré d un nombre impair est un nombre impair. 4. a. Calculer la somme de trois entiers impairs consécutifs. Le résultat est-il un nombre premier? (Faire plusieurs essais). b. Démontrer ce que vous avez observé à la question a. n+ n.. a. Développer et réduire l expression ( ) b. En déduire que tout nombre impair s écrit comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs. c. Appliquer ce résultat aux entiers, 4 et Interro 7 Compléter les tableaux suivants : Nombre Valeur approchée par défaut à 0 près Valeur approchée par excès à 0 près Valeur approchée par défaut à 0 près Valeur approchée par excès à 0 près Valeur arrondie à 0 près Valeur arrondie à 0 près π π 4, 0, Nombre Valeur arrondie à chiffres significatifs Valeur approchée par excès à 0 près Valeur approchée par défaut à 0 près Valeur arrondie à chiffres significatifs Valeur arrondie à 0 près π + 4 Seconde 7 F. Laroche

8 ,0 7, Nombre Valeur arrondie à chiffres significatifs Valeur arrondie à 4 chiffres significatifs 9 0 4, , Interro 8. Opposés et inverses a. Parmi les réels suivants, entourer l opposé de : CALCULS NUMERIQUES ET LITTERAUX * rép ; ; ; ; ; * rép ; ; ; ; ; * rép: ; ; ; ;. b. Quel est l opposé de chacun des réels suivants : x x x + x x x ; / ; x ; x ; x ; x ; x² ; /x. c. Parmi les réels suivants, entourer l inverse de : * rép : ; ; ; * rép : ; ;; ; * -4 rép : 4; ; ; 4 4 * rép : - ; ;. Seconde 8 F. Laroche

9 d. Quel est l inverse de chacun des réels suivants : 4 x x x + x x x / ; /4 ; /x ; x ; /(x+) ; /(x ) ; ( x)/.. Quotients, puissances, racines carrées a. Quotients : calculer * + 4 = * 4 = * 7 = * : 4/ ; 0/ ; / ; /49. 7 = 7 b. Puissances : calculer et donner la réponse sans puissances négatives * 4 4 = * 0 * 0 = = * ( ) /4² ; /² ; / 6 ; /0 ; (/)² ; /0 6. = * = * = Et avec des lettres (on ne se préoccupe pas du signe des puissances!) * a = * 0 p 0 = * * p + p = a a a = ( ) a+ = * ( ) * p+ P = p c. Racines carrées : simplifier ou développer * 6 * * 08 * ( 6 ) p Seconde 9 F. Laroche

10 * ( x )( x + ) * * * * + : ; 7 ; 4 9 = 6 = 4 ; = ; x ;0 ; ( ) = ; = ; = PUISSANCES DE DIX a. Compléter 0 = 0 = 0 = 00 = 0,00 = 4, = 4,4 = 4 0,49 = = = =, 4 0 = 9 0,0 0 = 46, 0 =, 0 = 0 0 = = 0 ²,4 = 4 x = 704 x 0 0,0 x 0 ² =, 0 = /0 = 0, 0,00 = 0 0,49 = 49 x 0 x 0 4 = 0,000 46, x 0 =,46 0 = 0,00 4, = 4 x = x 0,4 x 0 ² = 40, x 0 = x 0 9 b. Mettre en notation scientifique 4, = 400 = 0,0078 = 68 = 0,00008 = = 4, =, = 6,8.0 ² 400 = 4,.0 0,00008 = 8,.0 0,0078 = 7, = 7, c. Donner un ordre de grandeur de chacun des nombres suivants x = , ,00000 y = 0,0 7 9 z = 8,97 0,09 0 4,09 0 9,8 0 t = 9, 0 Seconde 0 F. Laroche

11 Vérifier à la calculatrice. 0. Comparer a, a², a et /a Activité préparatoire Compléter le tableau suivant en vous aidant de votre calculatrice. a a² a 0 0, 4 0.8,9 0,99 0,0 a Classer les valeurs trouvées dans l ordre croissant Dans quelle situation peut-on dire que a > a² > a? Dans quelle situation peut-on dire que a < a² < a? Dans quelle situation peut-on dire que a >? a Dans quelle situation peut-on dire que a <? a Démonstration de a < a² lorsque a >. Faire une démonstration Comparer a et a² lorsque a > c est étudier le signe de leur différence. Etudions le signe de a a² lorsque a > : on peut factoriser a a² en écrivant a a² = a( a). a est positif car a > mais a est négatif car < a et le produit d une valeur positive par une valeur négative donne une valeur négative. On en déduit que a a² est négatif donc que a² > a lorsque a >. En vous inspirant de la démonstration précédente faites la Démonstration que a > a² lorsque a < Seconde F. Laroche

12 Mêmes questions : la démonstration que a > lorsque a > ; la démonstration que a a < lorsque a <. a. Vrai / Faux Sûr / Pas Sûr : les pourcentages Remplir le tableau suivant : Il revient au même d augmenter le prix d un article de 0% puis de 0% que de l augmenter de 0% puis de 0%. Pour augmenter un prix de 0,6% on le multiplie par,06. 4% de 40 euros font euros et soixante cents. Quand on augmente de 7%, puis, diminue de 7%, on ne change rien. Un Compteur EDF sous estime de 0% la consommation. Quand on lit 00 kw, la consommation réelle est de 6 kw. Pour diminuer de 7%, on multiplie par 0, euros représente % du salaire d un riche homme d affaire. Il gagne donc 6 euros. Il revient au même d augmenter le prix d un article de 0% puis de le baisser de % que de le baisser de % puis de l augmenter de 0%. Pour augmenter de 8%, on multiplie par,8. Une balance exagère de 0%. On pèse de la farine et on lit 60 g. Il y a en fait 8 g de farine. Augmenter de % puis de %, c est augmenter de 8%. Vrai Faux Sûr Pas sûr. Pourcentages Situations concrètes. Le magasin : un magasin accorde une remise de % sur une veste coûtant 400 euros et une autre remise de 0% sur un pantalon de 40 euros. Quel est le pourcentage global de remise sur un ensemble constitué d une chemise et d un pantalon? Justifier. Un commerçant veut solder une paire de chaussures. Il applique d abord une baisse de 40% sur son prix. Après réflexion, trouvant le nouveau prix trop bas, il décide de le réaugmenter de %. Il peut alors afficher sur son écriteau : «SOLDES! 07 euros la paire de chaussures!». Quel était le prix initial?. Le prix d un vêtement a augmenté de 0% la première année puis de % la seconde année. De quel pourcentage a donc augmenté le prix de cet article au cours de ces deux années? Heureusement la période des soldes arrive ; de quel pourcentage environ doit diminuer le prix de ce vêtement pour retrouver son prix initial (on donnera le résultat à % près )?. a. L'inflation galopante : dans un pays, l'inflation atteint 6 % par mois. Quel est environ le taux d'inflation annuel : 6 %, 7 %, 66 %, 00 %, 00 %? b. Un paquet de café en promotion contient % de café gratuit en plus. De combien le prix au kilo a-t-il baissé? (Donner la réponse sous la forme d'un pourcentage) Seconde F. Laroche

13 4. Le prix d une calculatrice : une calculatrice coûtait 4 euros en 00. Son prix en 006 a été ramené à 9,60 euros. a. De quel pourcentage a-t-elle baissé entre 00 et 006? b. On annonce pour 007 une baisse de 0% car le modèle va changer. Quel sera son prix en 007? c. Suite à son lancement en 00, elle avait augmenté de 0% entre 00 et 00. Quel était son prix de lancement?. Notation scientifique. Les constantes universelles : les formules de physique comportent souvent des nombres très particuliers que l'on appelle constantes universelles (par exemple la célérité de la lumière c = m. s ). Ecrire les constantes universelles suivantes en notations scientifiques : F = 96484, 6 u = 66, h = 0, c = g = 980,66 x0 ; N = 6 0,04 ; A m e = 90,94 e = 60,89 Seconde F. Laroche 0 0 ; 0 0. Ecrire en notation scientifique les nombres suivants : 4. Atomes d =,4 f = 0000 g = 0 0 Un atome d Argon peut être considéré comme une sphère de rayon 0,98 Å ( un Å est un Angström soit 0 0 mètres).combien d atomes d Argon doit on placer en file pour obtenir une longueur de mm? L atome de Cuivre a un rayon de,7 Å et sa masse volumique est de 9 g/cm. En admettant que les atomes sont bien rangés et en ne tenant pas compte des espaces libres entre eux, calculez le nombre d atomes présents dans cm de Cuivre. Calculez alors la masse d un atome de Cuivre et comparez au résultat que donnent les tables : m Cu =9,6.0-6 kg.. Pliages. Combien de fois pensez vous pouvoir plier en deux (à chaque fois sur elle-même) une feuille de papier machine?. Supposons que l on dispose d une feuille d épaisseur /0 mm, assez grande pour être pliée en deux, puis de nouveau en deux, etc., et cela 0 fois de suite. Quelle serait l épaisseur de la «feuille» ainsi obtenue?. Et si on pliait 0 fois de suite?.. 6. Bactéries Tous les résultats seront donnés en écriture scientifique avec un chiffre significatif (style,.0 8 ). Par ailleurs le volume d une sphère de rayon r est environ 4r et celui d un cylindre de hauteur h et de rayon r est environ r h. On étudie les possibilités de développement d une bactérie cylindrique d une longueur de 4 microns et de section circulaire dont le rayon est égal à micron ( micron = micromètre = 0 9 m). Dans des conditions optimales chaque bactérie se dédouble toutes les 0 minutes.. Quel est le nombre théorique de bactéries au bout de 0 mn, d une heure, de heures, de 40 heures, de 0 jours?

14 . Quel est le volume occupé par les bactéries au bout de 0 jours? Quel est le pourcentage du volume terrestre occupé par ces bactéries (rappelons que la Terre est assimilable à une sphère de 6400 km de rayon)?. Au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il supérieur au volume de la Terre? 7. Calcul de fractions En moins d une minute donner une fraction égale à la somme Seconde 4 F. Laroche S = Indication : Calculer d abord puis et. Enfin, calculer S Calcul de distances L année lumière (a.l.) est la distance parcourue par la lumière pendant une année. La vitesse de la lumière est environ c = km/s.. Mettre c en écriture scientifique. p. Donner une valeur approchée d une a.l. sous la forme n.0 km où n et p sont des nombres entiers, n compris entre 0 et 9.. On considère que une a.l. correspond environ à 0 km. La distance Terre-Soleil étant d environ millions de km combien de temps la lumière met-elle pour nous parvenir du Soleil? 4. Une Unité Astronomique (U.A.) est une unité de mesure égale à la distance Terre-Soleil. Combien y-at il d U.A. dans une a.l. (environ)? 9. Quelques calculs. Simplifier a =., Combien vaut 0? Donner un ordre de grandeur de 0, 64. Combien de chiffres au moins sont-ils nécessaires pour écrire 64?. Soient a=7,.0, b = 0,86.04 et c =,.0 7. Ecriture scientifique de a, b et c. Donner un ordre de grandeur de ab c. 4. Calculer a = + : Un cm d air pèse,9.0 g. Quelle est la masse d air contenue dans une pièce de 4m sur 4,m sur,m? Un cm de plomb pèse environ 0 g. Quel serait le volume de plomb dont la masse serait identique à l air contenu dans la pièce? Quel est le plus lourd? L air ou le plomb. 6. En moins d une minute il est facile de donner une fraction égale à la somme S = Calculer d abord puis et. Enfin, calculer S Fraction. Décomposer 78 et 999 en produit de facteurs premiers.. En déduire le PGCD des nombres 78 et Soit r =, =, 78

15 a. Quelle est la nature du nombre r? Justifier votre réponse. b. Montrer que 78 r =. 999 c. En déduire l'écriture fractionnaire irréductible de r.. Somme d inégalités. Si les deux inégalités a <a et b <b sont vraies, démontrer avec soin que l on a alors : a' + b < a + b.. Énoncer la propriété ainsi démontrée.. On suppose que a < b où a et b sont deux nombres négatifs. En justifiant chaque étape, montrer que 6 a² + 6 b² +.. Valeurs absolues Calculer les valeurs absolues suivantes : 6π 9, 8. Donner la valeur exacte en justifiant.. Inégalités. Choisir deux nombres strictement positifs et vérifier que le quotient de leur produit par leur somme est inférieur au quart de cette somme.. Ce qui a été constaté sur un exemple est toujours vrai. En effet : démontrer que si a > 0 et si b > 0 alors on a. En déduire que si a>0, b>0 et c>0 alors 4. Encadrements ab a+ b. Dans quel cas a-t-on l égalité? a+ b 4 ab bc ca a+ b + c + +. a+ b b + c c + a. A l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée par excès de réponse à l aide d un encadrement.. Donner un encadrement de d amplitude 0,. à 0 près. Justifier votre. Donner l approximation décimale par excès d ordre de. 4. Déduire de l encadrement de 7 suivant,6 7,7 un encadrement de 7.. Encadrements. Soient x et y deux nombres réels tels que, < x <,6 et, < y <,4. Encadrer les nombres suivants : a. x + b. Seconde F. Laroche x + c. x d. y x e. xy. Soient x et y deux nombres réels tels que, < x <,4 et, < y <,6. Encadrer les nombres suivants : a. 4y + b. 6. Vrai ou Faux? (c) Justifier la réponse. 4y +. Un nombre décimal ne peut pas être un entier.. Un nombre décimal est un rationnel. c. 7 y d. x y e. xy

16 . Un nombre décimal est un réel. 4. Un nombre irrationnel peut être un entier.. Un nombre entier relatif est un décimal. 6. L opposé d un entier naturel est un entier naturel. 7. L inverse d un entier autre que 0 est un décimal. 8. a b et b a sont deux nombres inverses. 9. l inverse d un rationnel non nul est un rationnel.. FAUX : il peut l être. est un décimal = 0. VRAI : Un décimal a d = est un rationnel 0 n 0 et il est entier. a b.. VRAI : Tout nombre est réel (jusqu en Terminale S ). n 4. FAUX : Puisqu un entier est rationnel n =. n. VRAI : Bien sûr n = FAUX : Si un entier n est positif, son opposé n est négatif. 7. FAUX : est un entier mais son inverse n est pas décimal. 8. FAUX : a b et b a sont deux nombres opposés. 9. VRAI : l inverse d un rationnel p q non nul est un rationnel q p. 7. Nature d un nombre (c) Quelle est la nature du nombre A =? On pose A =. Calculons d abord le nombre B : B (0 + ) (0 ) B = + = (0 )(0 + ) (0 + )(0 ) B = + = + = ( ) 0 ( ) B = 0. 0 Donc, A = 0 = 0 est irrationnel car 0 n est pas un carré parfait. 8. Irrationalité de 7 Montrer que 7 est un nombre irrationnel. Seconde 6 F. Laroche

17 9. Simplifications sur les puissances. Simplifiez les expressions suivantes... ( ) 4 A = ( ) 4 B = ( ) C = D = E = F = G = 4 4 n. Ecrire les nombres suivants sous la forme où n et m désignent des entiers relatifs. 4 a = 0 b = ( 0 c = ) d = 0 m e = 0² f = ( ) 6 6. Simplifier en donnant le résultat sous forme d une fraction irréductible (on donnera le résultat sous la forme n m a b où n et m sont des entiers relatifs) : A = Simplifications de racines carrées. Simplifiez les expressions suivantes : A = B = C = D = Simplifiez les expressions suivantes : 6 4 a b =. 0 8 a b ; B ( a 0, b 0 ) E = F = G = H = ; ( )² ; 9 t² 4 t² ; 000 ; ( 7)² ; (4 a² + a². I = J = 7 0 K = L = Simplifiez les quotients suivants (écrire B, C, J et L avec un dénominateur entier) 6 B = C = 0. Simplifications d expressions (fractions). Soit a un nombre différent de 0 et de. On pose. Ecrire les nombres suivants sous forme de fraction irréductible : + a = f = b = ( ) 4 c = g = ( ). 7 8 J = + +. L = + A = a. Ecrivez A sous forme de quotient. a + + a 4 d = e = Seconde 7 F. Laroche

18 . Simplifiez les expressions suivantes : 4 a = + ; 4 9 a = ; b = ; 8 7 b = : ; 4 6. Ensembles de nombres c = ( + ) ; 4 c = + 6 ; d = 9 ; 6 6 e = ; d = + ; f =. 6 e =. Soient A { 8,,,,,,49}, B {,, 47 }, C {,,49} = = = trois ensembles.. Déterminez A B ; A C ; A B ; A C ; A N ; A Z ; A Q ; A R.. Complétez avec ou. A Q A R B N {,4} A B Z B A C A. Complétez avec ou. { }, A B, A C B,8 A 47 C. Devinette. Choisir trois chiffres distincts. Calculer leur somme s.. Ecrire les six nombres possibles que l'on peut obtenir en permutant ces trois chiffres.. Calculer la somme S de ces six nombres. Calculer le quotient de S par s. Recommencer deux fois avec trois autres chiffres. Que remarque-t-on? 4. Démontrer le résultat conjecturé à la deuxième question.. ; ; ; s = ++=9.. S = = S 998 s = 9 =. On remarque que le quotient de S par s est toujours égal à. 4. Soit c, d et u les trois chiffres choisis alors s = c+d+u. S = (00c+0d+u) + (00c+0u+d)+...+(00u+0c+d), S = 00(c+d+u) + 0(c+d+u)+(c+d+u) = s, d où 4. Pavages (c) S s = =. s s Une entreprise est chargée de paver une salle rectangulaire avec des carreaux. La pièce mesure,4 m de long sur,0 m de large. L entreprise dispose de deux sortes de carreaux : * des «petits» carreaux carrés de cm de côté et coûtant euros pièce ; pour poser ces carreaux elle paye un carreleur qui pose 0 carreaux de ce type par heure, le salaire du carreleur est 0 euros l heure. * des «grands» carreaux rectangulaires de 0 cm de large sur 0 cm de long, coûtant 8 euros pièce ; le carreleur pose 60 carreaux de ce type par heure, le salaire du carreleur est toujours de 0 euros l heure. Les carreaux sont posés tous dans le même sens. Seconde 8 F. Laroche

19 L entrepreneur doit-il choisir de poser des «petits» ou des «grands» carreaux pour avoir la dépense totale la plus petite? Avec des carreaux de côté cm il faut 4/=6,, soit 7 carreaux dans la longueur et 0/=0,7, soit carreaux dans la largeur (on pourrait réutiliser la chute de 0 cm de large pour remettre dans la longueur mais le temps passé à la découpe risque d être trop coûteux, sans compter les pertes). On a donc besoin de 777 carreaux, ce qui représente 6,47 heures = 64,7 euros de pose d où un total de 9,7 euros. Avec des grands carreaux de 0 par 0 posés dans le sens de la largeur il faut 4/0=7,, soit 8 cx dans la longueur et 0/0=0,, soit cx dans la largeur, soit un total de 08 cx, ce qui représente, heures de pose et donc un coût total de 08*8+,=, euros. Avec des grands carreaux de 0 par 0 posés dans le sens de la longeur il faut 4/0=8,7, soit 9 cx dans la longueur et,, soit 6 dans la largeur, soit un total de 04 cx, ce qui représente,07 heures de pose et donc un coût total de 04*8+0,7=48,67 euros.. Module en calcul numérique : fractions FICHE ENSEIGNANT Ce module est proposé aux élèves avec les consignes suivantes : ils sont répartis en petits groupes de quatre élèves de niveaux différents : l objectif est l aide de ceux qui ont des difficultés par ceux qui ont bien compris la notion. Pour cela, les quatre pages sont distribuées à chaque élève et un autre exemplaire est donné au groupe : c est celui-là qui sera rendu par le groupe. La consigne principale est : «ce qui est écrit sur le document commun doit être compris par tous les membres du groupe.» L objectif n est pas de finir le module mais de comprendre ce qui est fait. On peut proposer aux élèves de travailler sur leur propre feuille et de périodiquement mettre en commun leurs résultats (on leur conseillera alors de faire fréquemment cette démarche : par exemple, à la fin du I, du II ), du II ), du II 4), du III et du IV). L enseignant peut corriger de temps en temps mais seulement sur la feuille commune : à priori, les élèves sont suffisamment nombreux dans chaque groupe pour se mettre d accord sur les consignes et pour critiquer leurs résultats. De temps en temps, il faut malgré tout débloquer les groupes qui prennent trop de retard par rapport aux autres. Ce module a déjà été remanié après avoir été essayé dans deux classes. Il semblerait qu il soit encore un peu long si l on souhaite laisser un maximum de liberté aux élèves. Le II leur paraît souvent fastidieux (particulièrement pour l addition) mais il me semble important de montrer aux élèves que la reformulation claire en langage courant d une démarche est une bonne méthode pour s assurer de sa bonne compréhension. Auteur : Fredéric Pasco Seconde 9 F. Laroche

20 FICHE ELEVE I. J entoure la (ou les) réponse(s) exacte(s) :... + est égal à : est égal à : est égal à : II. Je mets en place une démarche de calcul :. Le calcul a effectuer est : a. une multiplication : j utilise alors la méthode du ) ; b. une division : j utilise alors la méthode du ) ; 0, c. une addition ou une soustraction : j utilise alors la méthode du 4).. Une multiplication : a. Je multiplie deux fractions en b. Je donne un exemple :. Une division : a. Je sais que diviser une fraction par une autre revient à b. Je donne un exemple (je n effectue pas la multiplication) : Seconde 0 F. Laroche

21 c. Une fois cette transformation effectuée, j utilise la méthode du ). d. Je poursuis mon exemple : 4. Une addition ou une soustraction : a. Pour ajouter ou soustraire deux fractions, il faut (si ce n est pas déjà fait) tout d abord b. Je donne deux exemple : l un pour lequel il faut effectuer la démarche du a) (je l effectue alors), l autre pour lequel ce n est pas nécessaire (je n effectue pas l addition ou la soustraction!) : c. J écris le résultat du calcul sous la forme d une seule fraction : * au numérateur, je place * au dénominateur, je place * Enfin, d. Je poursuis mes deux exemples du b) : Seconde F. Laroche

22 III. J effectue les opérations suivantes : Au fur et à mesure, je remplis le tableau appelé «RECAPITULATIF DES ERREURS» : j écris les éventuelles difficultés de certains membres du groupe et les corrections qui y ont été apportées. a. + = 4 b. 7 = 4 c. = 46 4 d. = 4 e. = = f. ( ) g. + = RECAPITULATIF DES ERREURS Numéros Erreurs et corrections IV. Je corrige les exercices suivants en écrivant les commentaires dans le tableau ci-dessous : Seconde F. Laroche

23 a. 4 = = = 4 6 b. = = c. = = d. 4 = 4 = 6 4 e. = 0 8 f = = = = = = = = = Numéros Erreurs et corrections Seconde F. Laroche