Brevet Blanc n 1. Mathématiques

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1 Brevet Blanc n 1 Novembre 2010 Mathématiques Durée de l'épreuve : 2h00 Le candidat répondra sur une copie L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. Activités Numériques Activités Géométriques Problème Qualité de la rédaction et de la présentation 12 points 12 points 12 points 4 points 1/8

2 Activités Numériques (12 points) Exercice n 1 :(3 points) Calculer et donner les résultats sous forme de fraction irréductible: A= et B= Exercice n 2: (5 points) On donne ci-dessous les représentations graphique de trois fonctions. Ces représentations sont nommées C1, C2 et C3. L'une d'entre elles est la représentation graphique de la fonction f: x -0,4 x Lire graphiquement les coordonnées du point B. 2. Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C3 avec l'axe des abscisses. 3. Calculer l'image par la fonction f du nombre 0. En déduire quelle est la courbe représentative de la fonction f. 4. A est le point de coordonnées (4,6 ; 1,2). A appartient-il à la courbe C2? Justifier par lecture graphique puis par un calcul. 5. Si on appelle g la fonction qui a pour courbe représentative la courbe C1. Donner par lecture graphique le(s) antécédent(s) par g du nombre -2. Exercice n 3 : (4 points) Soit h(x)=(2x+7)(3x-1). 1. Monter que h x =6 x 2 19 x 7 2. Calculer h(0) et h Max affirme que 18 est un antécédent du nombre 1 pour cette fonction h. A-t-il raison? Justifier votre réponse par un calcul. Activités Géométriques (12 points) 2/8

3 Exercice n 1 : (6 points) On donne : AI=8 cm ; IB=10 cm; IC=14 cm ; ID=11,2 cm et AB= 6 cm. La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. 1. Montrer que le triangle IAB est rectangle en A. 2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 3. Quelle est la nature du triangle IDC? Justifier votre réponse. Exercice n 2 :(6 points) L'unité est le centimètre. On considère le cercle C1 de diamètre [BC] et le cercle C2 de diamètre [BD]. A est un point de C1 et la droite (AB) coupe le cercle C2 au point E. On donne BA=4 cm ; BC=5 et BD=9. La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. 1. Expliquer pourquoi les triangles ABC et EBD sont rectangles. 2. Dans le triangle ABC rectangle en A, calculer AC. 3. En vous aidant du résultat de la question 1., montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles. 4. Montrer que BE=7,2. 3/8

4 Problème (12 points) 4/8

5 Correction Activités numériques Exercice n 1: A= A= A= A= 6 2 A=3 B= B= B= B= B= B= 2 3 Exercice n 2: 1 Les coordonnées de B sont (-4 ; 4,6) 2 les abscisses des points d'intersection de la courbe C3 avec l'axe des abscisses -1;2 et 4 3 f 0 = 0,4 0 3=0 3=3 Donc la courbe représentative de la fonction f passe par le point (0;3), c'est donc la courbe C2. 4 Le point A n'appartient pas à la courbe C2 car : par lecture graphique le point A n'est pas situé sur la courbe C2 par calcul : f 4,6 = 0,4 4,6 3= 1, L'antécédent par la fonction g du nombre -2 est l'abscisse du point de la courbe C1 qui a pour ordonnée -2 : c'est -1,2. Exercice n 3 : 1 h x = 2 x 7 3 x 1 h x =2 x 3 x 2 x x 7 1 h x =6 x 2 2 x 21 x 7 h x =6 x 2 19 x 7 2 h 0 = =0 0 7= 7 ou h 0 = =7 1 = 7 h 1 3 = h 1 3 = h 1 3 = h 1 3 = h 1 3 = h 1 3 =0 5/8

6 3 Pour dire que 18 est un antécédent du nombre 1 par la fonction h, il faut que h(18)=1 Calculons h(18) h 18 = h 18 = h 18 =43 53 h 18 =2279 Donc Max n'a pas raison. Activités géométriques Exercice n 1: 1 Dans le triangle IAB, on a : IB 2 =10 2 =100 AB 2 AI 2 = =36 64=100 donc IB 2 = AB 2 AI 2 D'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle IAB est un triangle rectangle en A. 2 D'une part les points D,I,A et C,I,B sont alignés dans le même ordre. D'autre part: IA ID = 8 IB et 11,2 IC = = 5 7 comme 7 8=56 et 11,2 5=56, on a IA ID = IB IC D'après la réciproque de la propriété de Thalès, on a (AB)//(CD) 3 On sait que : (AB)//(CD) et (ID) (AB) Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre. Donc (CD) (ID) Donc le triangle CID est un triangle rectangle en D. Exercice n 2: 1 Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] Si on relie un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre alors le triangle formé est un triangle rectangle. Donc ABC est rectangle en A. Le triangle EBD est inscrit dans le cercle de diamètre [BD]. Pour la même raison que ci-dessus, on a : BED est un triangle en E. 2 Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après la propriété de Pythagore on a: BC 2 = AB 2 AC 2 AC 2 =BC 2 AB 2 AC 2 = AC 2 =25 16 AC 2 =9 donc AC=3 cm 6/8

7 3 B,A et E sont alignés donc (BA)=(BE) On sait que : BED est un triangle rectangle en E d'où (ED) (EB) ABC est un triangle rectangle en A d'où (AB) (AC) et donc (BE) (AC) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AC)//(ED) 4 Dans le triangle BED : A [BE] ; C [BD] et (AC)//(ED) D'après la propriété de Thalès, on a: BA BE = BC BD = AC ED donc 4 BE = 5 9 = 3 ED d'où BE= 9 4 =7,2 cm. 5 Partie A: Problème 1. Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après la propriété de Pythagore, on a: BC 2 = AB 2 AC 2 BC 2 = BC 2 =9 16 BC 2 =25 donc BC= 25=5. BC= 5 cm. 2. On sait que : (AP) (AQ), (AP) (PM) et (AQ) (MQ) Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c'est un rectangle. Donc APMQ est un rectangle. 3. APMQ est un rectangle. Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles 2 à 2. Donc (PM)//(AQ). Comme Q appartient à (AC), on a (PM)//(AC) M appartient à [BC] et P appartient à [AB] D'après la propriété de Thalès, on a : BP BA = BM BC = PM AC BP 3 = BM 5 = PM 4 Partie B: 1.En reprenant les résultats de la partie A, on a: BP 3 = BM 5 = PM et comme BM=2 cm, on a : 4 7/8

8 BP 3 = 2 5 = PM 4 d'où : 3 2 BP= 5 =6 5 =1,2 cm et PM = = 8 =1,6 cm 5 et on a AP= AB BP=3 1,2=1,8 cm. 2. A APMQ =AP PM =1,8 1,6=2,88 cm 2. Partie C: 1.En reprenant les égalités obtenues à la partie A, on a : BP 3 = x 5 = PM 4 et donc BP=3 x 5 et PM =4 x 5 c'est-à-dire : BP =0,6 x et PM =0,8 x. 2. AP= AB BP=3 0,6 x 3.Pour que le rectangle APMQ soit un carré, il suffit que deux côtés consécutifs soient de la même longueur. Il suffit donc que AP=PM Donc que : 3 0,6 x=0,8 x 3=0,8 x 0,6 x 3=1,4 x x= 3 1,4 x= = A APMQ =A x = AP PM = 3 0,6 x 0,8 x A x =3 0,8 x 0,6 x 0,8 x A x =2,4 x 0,48 x 2 5.a. Les valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ soit égale à 1 cm 2 sont les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée 1. Par lecture graphique, on a x 0,5 et x 4,5 5.b. Par lecture graphique, la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale est égale à 2,5 et la valeur de cette aire est de 3 cm 2. 8/8

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