1 Introduction Contexte de l étude Contributions de ce travail... 3

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1 Table des matières Introduction. Contexte de l étude Contributions de ce travail Signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 5 2. Modélisation et simulation de variables aléatoires Méthode de la transformation inverse Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse α-stable Gaussien généralisé Simulation d un bruit gaussien généralisé pour α = / Fonction de Lambert Bruit gaussien généralisé d exposant α = / Évaluation numérique de W Évaluation de précision arbitraire Approximation rapide Génération du bruit gaussien généralisé d exposant α = / Conclusion Signaux aléatoires à longue dépendance statistique Définition de la densité de probabilité à deux instants d un signal aléatoire Une classification des signaux aléatoires Principaux modèles de processus à longue dépendance statistique Accroissements stationnaires de processus auto-similaires Les accroissements stationnaires du mouvement brownien fractionnaire Modèle différentiel non stationnaire Le modèle FARIMA

2 ii TABLE DES MATIÈRES 4.4 Méthodes de synthèses de processus à longue dépendance statistique Synthèse du bruit Gaussien fractionnaire Synthèse par modèle différentiel non-stationnaire Synthèse par le modèle FARIMA Dynamique (max,+) de base pour la longue dépendance Introduction Le système dynamique (max,+) du premier ordre Présentation du modèle Étude du modèle Étude théorique du modèle Étude théorique des propriétés statistiques du signal de sortie Simulation numérique Autres évolutions Conclusion Modèle dynamique (max,+) non stationnaire Présentation du modèle Étude du modèle Étude théorique Simulation numérique Conclusion Conclusion 85 Annexes 87 A 89 A. Méthodes de simulation et de génération des réalisations d une variable aléatoire 89 A.. Générateur de v.a uniforme sur [0,] A..2 Exemples de Générateurs : Générateurs Congruentiels A.2 Simulation de quelques lois usuelles A.2. Loi exponentielle A.2.2 Loi de Weibull A.2.3 Loi de χ 2 (Khi-deux) A.2.4 La loi Bêta A.2.5 La loi Gamma

3 TABLE DES MATIÈRES iii B 93 B. Encadrement des sommes par des intégrales C 0 C. Systèmes dynamiques (max,+) C.. Exemples de systèmes dynamiques à événements discrets C..2 Théorie algébrique des systèmes (max, +) C..3 Analogie avec les systèmes linéaires C..4 Approche stochastique des systèmes dynamiques à événements discrets.. 05 Bibliographie 07

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5 Chapitre Introduction. Contexte de l étude.. Systèmes complexes et modèles stochastiques non standard L étude des systèmes complexes a fait de grands progrès au cours des quinze dernières années, tant du point de vue des méthodes que de la formalisation et des outils de modélisation. Le champ des applications de la théorie de ces systèmes est extrêmement vaste : il touche de larges secteurs de la physique (les systèmes physiques désordonnés, la turbulence, etc.), de la biologie (le système gènes-protéines, le système immunitaire, les systèmes écologiques, etc.), de l économie (l évolution d indices financiers, etc.), de l ensemble des sciences humaines et sociales, mais aussi des nouvelles technologies (le trafic informatique, le trafic sur les réseaux de télécommunication, les séquences d images vidéo et les bruits de composants électroniques, etc.). Il s agit donc d un domaine très pluridisciplinaire, les outils développés essentiellement par des mathématiciens, des physiciens théoriciens et des informaticiens ayant vocation à être utilisés par toutes les disciplines travaillant sur des objets complexes. Un système complexe peut être défini comme un système composé de nombreux éléments différenciés interagissant entre eux de manière non triviale (interactions non-linéaires, boucle de rétroaction, etc.). La dynamique de ces systèmes peut varier en fonction des circonstances : il n y a pas de proportionnalité entre les causes et les effets. Beaucoup de systèmes complexes peuvent changer brutalement de comportement, ce qui suggère que les relations fonctionnelles qui les représentent ne sont pas linéaires, et même souvent non différentiables (du moins localement). Le comportement des systèmes complexes se caractérise donc par sa non-linéarité, son instabilité, sa sensibilité aux conditions initiales, son imprévisibilité, ainsi que par le grand nombre d agents en interaction. Cette dernière caractéristique justifie donc l utilisation d une description statistique afin de mieux appréhender ces systèmes.

6 2 Introduction En effet, les systèmes complexes peuvent dans certains régimes de fonctionnement présenter des propriétés statistiques non triviales ou non classiques. Dans cette opération de recherche seront discutées deux de ces propriétés. Tout d abord pour les statistiques du premier ordre, la propriété de la queue épaisse de la densité de probabilité, qui se manifeste par des queues qui décroissent moins vite qu exponentiellement (densité non gaussienne). Ensuite, pour les statistiques de deuxième ordre, la longue dépendance statistique qui se caractérise par des corrélations à longue portée, c est-à-dire des corrélations qui décroissent moins vite qu exponentiellement (la fonction d autocorrélation entre les états aux instants t et t+l décroît lentement avec le retard l). Toutefois, les signaux aléatoires issus de systèmes complexes fortement non linéaires ne peuvent pas être modélisés à partir de processus usuels de type ARMA ou Markoviens. Ces derniers sont certes utiles dans plusieurs applications [8, 6, 2], cependant ils présentent comme inconvénient une mémoire courte avec une fonction d autocorrélation qui décroît de façon exponentielle, contrairement aux propriétés statistiques évoquées précédemment. Quelques modèles stochastiques non standard ont été introduits récemment. Ils s appuient sur des techniques utilisées en physique non-linéaire [, 3], par exemple les lois d échelle, l analyse fractale, les théories statistiques des systèmes hors équilibre, etc. Nous allons maintenant, nous intéresser plus précisément à ces modèles stochastiques non standard et leurs caractéristiques statistiques.... Caractérisation statistique du premier ordre Les statistiques du premier ordre sont décrites par la densité de probabilité ou la fonction de répartition ou encore par la fonction caractéristique et les différents moments du premier ordre. Les signaux issus des modèles stochastiques linéaires classiques, ont une densité de probabilité gaussienne en vertu du théorème central limite (TCL), selon lequel lorsque l on superpose linéairement un grand nombre d agents (ou de variables) qui n interagissent pas, on obtient asymptotiquement une densité gaussienne. Les modèles stochastiques non standard étant non linéaires, et les agents étant interdépendants, la superposition de ces variables nous renvoie un résultat non gaussien. Cependant, la densité ne donne pas des informations complètes sur les signaux ; elle ne renseigne que sur la fréquence de visite des valeurs prises par le signal. Pour cette raison, il est souhaitable d élargir l étude aux statistiques du deuxième ordre (relation entre les statistiques prises à deux instants t et t 2 différents).

7 .2. Contributions de ce travail Caractérisation statistique du deuxième ordre Les statistiques du deuxième ordre sont décrites par la densité conjointe, ou la loi conjointe ou encore par la fonction caractéristique et les différents moments du deuxième ordre. En général, le calcul analytique de la densité conjointe est très difficile, nous utiliserons la fonction d autocorrélation qui est une propriété statistique du deuxième ordre, facilement accessible et calculable expérimentalement, plus pratique pour la description de la densité de probabilité conjointe. Contrairement aux modèles stochastiques usuels, qui possèdent une mémoire courte, les modèles non standard ont des corrélations qui décroissent moins vite qu exponentiellement. Pour aller plus loin, on pourrait étendre l étude aux statistiques d ordre supérieur ; néanmoins, cela ne sera pas fait ici puisqu il s agit d un domaine de recherche récent et peu exploré..2 Contributions de ce travail L objet de nos recherches, qui s inscrit dans une thématique de recherche actuelle, est de contribuer à la modélisation et à la synthèse de signaux aléatoires. Il s agira en particulier, des signaux à densité de probabilité à queue épaisse et des signaux à corrélation non exponentielle. Cette étude consistera en des analyses théoriques et des simulations numériques, afin de mieux comprendre ces phénomènes. Nous décrirons tout d abord les principales familles de densité de probabilité à queue épaisse. Nous passerons en revue les principales approches théoriques qui ont été développées à cet égard, ainsi que leurs limitations. Nous présenterons ensuite nos résultats obtenus dans l étude des signaux à densité de probabilité à queue épaisse, notamment dans une classe particulière des densités de probabilité, appelée gaussienne généralisée d exposant α. Nous proposerons un algorithme rapide, et en un seul coup, pour synthétiser des réalisations effectives dans le cas où α = /2. Nous avons établi explicitement une méthode qui s applique directement à l évaluation numérique de la fonction de Lambert, cette dernière nous sert à résoudre le problème de synthèse du bruit gaussien généralisé d exposant α = /2 [20]. Nous situerons et développerons ensuite nos contributions à l étude des signaux à longue dépendance statistique. Nous ferons au préalable une présentation des principaux modèles théoriques, qui ont été introduits dans l étude de ce type de signaux, ainsi que de leurs limitations ; puis nous exposerons nos résultats dans l étude des signaux à mémoire longue : nous y proposerons un nouveau modèle, qui s appuie sur une classe particulière des systèmes dynamiques non linéaires, que sont les systèmes dynamiques (max, +). Ceux-ci servent à modéliser des systèmes à événements discrets. Ce modèle prend la forme d une simple récurrence d ordre

8 4 Introduction un, excité par un bruit blanc en entrée. Les statistiques des premier et deuxième ordres du signal produit sont calculées théoriquement et testées numériquement. Elles établissent qu il peut être utilisé pour une génération en ligne de longue dépendance sur des horizons temporels potentiellement illimités. Nous analyserons finement les propriétés du modèle proposé. Nous chercherons aussi à faire évoluer le modèle, afin d accroître la maîtrise de cette longue dépendance statistique et de rendre ces modèles plus riches et d avoir plus de propriétés [2, 9, 8, 5, 7]. Finalement, dans la conclusion, nous donnerons une synthèse et des perspectives concernant ce type de signaux. Les annexes sont divisées en trois parties. Dans la première, nous rappellerons les techniques de simulation de variables aléatoires de quelques lois usuelles. Dans la seconde sera développée la suite des calculs théoriques de la partie étude du modèle de base pour la génération de la longue dépendance statistique. Nous présenterons enfin dans la dernière les systèmes dynamiques (max,+) et leur théorie algébrique, ainsi que des exemples pratiques de ces systèmes.

9 Chapitre 2 Signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 2. Modélisation et simulation de variables aléatoires Les signaux aléatoires issus des systèmes complexes, sont souvent des signaux non gaussiens qui, observés expérimentalement, présentent dans la plupart des cas des densités de probabilité à queue épaisse. Ces densités caractérisent des signaux pouvant prendre, avec une probabilité forte, des valeurs très éloignées de la valeur moyenne. Nous exposons ultérieurement les deux familles de densité à queue épaisse les plus largement étudiées pour modéliser ce type de signaux et en synthétiser des réalisations effectives dans certains cas. Il existe plusieurs méthodes, pour simuler numériquement des variables aléatoires. Nous détaillons ci-dessous l une d elles, que nous utiliserons plus tard pour simuler le bruit gaussien généralisé d exposant α = /2. Celle-ci est basée sur des transformations non linéaires, en vue d atteindre des densités en un seul coup [62]. 2.2 Méthode de la transformation inverse Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F qu on suppose inversible, et U une variable aléatoire distribuée uniformément dans [0, ], nous présenterons la procédure pour générer des réalisations indépendantes suivant la loi uniforme dans la section annexe A. Par la suite nous supposons que la procédure de simulation de U est vérifiée. Considérons la variable aléatoire Z = F (U) (2.)

10 6 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse Z et X ont même loi. En effet, P {Z x} = P { F (U) x } = P {U F (x)} = F (x) = P {X x}. F est ici l inverse à droite de F, c est-à-dire que F (α) = inf{x, F (x) α} Dans le cas où la fonction de répartition ne s inverse pas bien ou on ne peut pas trouver une expression explicite, mais on connaît la densité f, on utilise la méthode de rejet. Soit g une densité pour laquelle on sait simuler facilement des variables aléatoires dont la densité de la loi est g et telle que f(x) ag(x) pour un coefficient a donné. La méthode consiste à :. Générer un tirage de loi de densité g, avec x pour résultat; 2. Générer un tirage d une loi uniforme sur [0, ], avec u pour résultat; 3. Si u f(x)/ag(x), alors garder x sinon recommencer en. Les tirages ainsi suivent bien une loi de densité f. On est toutefois parfois obligé d avoir recours à des méthodes ad-hoc pour certaines lois comme les lois beta, gamma, etc. Des exemples de lois générées par cette méthode sont également présentés en annexe A. 2.3 Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 2.3. α-stable Parmi les familles de signaux à densité de probabilité à queue épaisse se trouve celle des α-stables. Elles ont été introduites pour la première fois en 925 dans les travaux de Paul Lévy [54] dans le théorème central limite généralisé. Depuis sa découverte, une vaste quantité de connaissance a été accumulée au sujet des propriétés de ces densités de probabilité. Elles se sont avérées très utiles pour fournir des modèles propres à décrire des signaux à densité de probabilité à queue épaisse. La première application largement connue de ce modèle est intervenue après le travail de Mandelbrot [55] sur les modèles de séries chronologiques financières. Par la suite, en 970, trois chercheurs de Bell Labs (Chambers, Mallow et Stuck) ont prouvé que ce modèle peut servir à modéliser le bruit dans les lignes téléphoniques [4] ; elle a eu aussi du succès dans

11 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 7 diverses applications en sciences de l ingénieur comprenant le traitement des signaux de radar [48], la modélisation en télétrafic [64], etc. Les signaux α-stables sont définis pour les valeurs du paramètre α dans l intervalle ]0, 2]. Si ce paramètre prend les valeurs de l intervalle ouvert ]0, 2[, ces signaux ont une densité de probabilité non-gaussienne, caractérisée par des queues épaisses. Par exemple, si α =, les signaux α-stables ont une densité de Cauchy ; si α = 2, les signaux sont gaussiens. Notons que les moments des signaux α-stables, à l exception des gaussiens, existent seulement dans les cas où les degrés sont strictement inférieurs à α (0 < α < 2) [58] Généralités Les variables aléatoires α-stable vérifient la propriété suivante : Définition 2.. Soit X une variable aléatoire réelle, X est appelée stable au sens de Lévy, ou α-stable, si pour tout couple C,C 2 > 0, il existe α ]0, 2] et D R tels que C X + C 2 X 2 d CX + D C α = C α + Cα 2 où d symbolise l égalité en distribution et où X et X 2 sont deux copies indépendantes de X. Dans le cas où D = 0, X est dit strictement stable. α ]0, 2] est l exposant caractéristique des lois α-stables. La définition ci-dessus peut être généralisée à n variables aléatoires. Par conséquent, toute combinaison linéaire de n copies indépendantes de X est de même loi de probabilité que X. Pour les variables α-stables, dans le cas général, il n existe pas une expression analytique de la densité de probabilité, cependant on peut accéder à la fonction caractéristique, en s inspirant de la propriété de la stabilité précédente. Fonction caractéristique d une variable aléatoire La fonction caractéristique est définie par : [ ] φ X (t) = E exp(itx) = exp(itx)f(x)dx, (2.2) où E[.] est l opérateur linéaire, espérance mathématique. L expression analytique de la fonction caractéristique des variables aléatoires α-stable est donnée par la définition suivante : Propriété. La fonction caractéristique d une variable α-stable est donnée par [39] : φ(t) = exp{iµt σ α t α [ + iβ sign(t) ω( t, α)]} (2.3)

12 8 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse où ω( t, α) = { tan(πα/2) pour α, (2/π) log t pour α =. et où µ, σ 0, β, 0 < α 2 sont les quatre paramètres qui caractérisent les lois stables, α correspondant à l indice de stabilité, β au cœfficient d asymétrie, σ à l échelle, µ à la position par rapport à 0. La fonction sign est définie par : pour x > 0, sign(x) = 0 pour x = 0, pour x < 0. Signalons, pour la simulation des variables α-stables, qu il existe des méthodes approchées que nous ne détaillerons pas dans ce mémoire (voir [39], pages : ). Ci-dessous, nous donnons simplement des exemples classiques de ces variables, avec leurs méthodes de simulation. (2.4) (2.5) On note par la suite les lois α-stables par S α (σ, β, µ). Loi de Cauchy Soit X une variable aléatoire de Cauchy de paramètres σ et µ, sa densité de probabilité se présente sous la forme suivante : f(x) = σ π ( σ 2 + (x µ) 2), (2.6) µ représente ici la médiane de X, c est-à-dire le point tel que Pr{X < µ} = Pr{X > µ} = /2. Sa fonction de répartition s écrit : F (t) = π arctan [ t µ ] + /2. (2.7) σ On peut calculer facilement sa fonction caractéristique en utilisant (2.2), d où il ressort : φ X (t) = exp(itµ σ t ). (2.8) À partir de la formule générale de la fonction caractéristique des variables aléatoires α-stables (2.3), on peut déduire que la loi de Cauchy est un cas particulier des lois α-stables ; dans ce cas la loi est S (σ, 0, µ). En appliquant (2.), la transformation suivante : X = σ tan ( π(u /2) ) + µ, (2.9)

13 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 9 permet de générer des réalisations de X à partir de la variable aléatoire uniforme U. Notons que les moments d une variable aléatoire X de Cauchy sont infinis. En effet, pour un entier m 0 E[X m ] = = σ π + + x m f(x)dx x m σ 2 + (x µ) 2 dx Posons : g(x) = x m σ 2 + (x µ) 2. Au voisinage de l infini, g(x) x 2 m, l intégrale de Riemann ( dx) converge si 2 m >, c est-à-dire lorsque m = 0 ; ce qui x 2 m ( ) contredit le fait que m 0. Il en résulte que le moment de degré m E[X m ] est divergent. Les Figs. 2. et 2.2 montrent respectivement la courbe de la densité de probabilité de la variable aléatoire de Cauchy de paramètre σ = et µ = 0, ainsi qu une réalisation de cette variable Densité de probabilité u Figure 2. : Densité de probabilité d un signal qui suit la loi de Cauchy de paramètres σ =, µ = 0 (S (, 0, 0)).

14 0 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse signal s(t) temps t Figure 2.2 : Une réalisation d un signal qui suit la loi de Cauchy de paramètres σ =, µ = 0 (S (, 0, 0)). Loi de Gauss De même on définit la densité de probabilité d une variable aléatoire gaussienne X de moyenne µ et d écart-type σ par : f(x) = [ σ 2π exp 2 ( x µ σ ) 2 ], (2.0) sa fonction de répartition est exprimée au moyen d une fonction spéciale appelée erf(x) ; cette dernière est définie comme suit : erf(x) = 2 π x C est une fonction impaire qui vérifie : 0 si x = 0, erf(x) = si x = +. 0 exp( t 2 )dt. (2.) (2.2) Pour une variable aléatoire gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2, la fonction de répartition s écrit en fonction de erf(x) : F (x) = 2 [ + erf ( x µ 2σ ) ]. (2.3)

15 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse La simulation d une telle variable, en utilisant la méthode (2.) est donnée par la transformation suivante : X = [ ] 2σ erf (2U ) + µ. (2.4) Notons que les fonctions erf(x) et son inverse existent dans toutes les bibliothèques de programmations. Sa fonction caractéristique s écrit : φ X (t) = exp (iµt σ2 t 2 ) 2 (2.5) Il est clair que X suit la loi S 2 (σ, 0, µ) en s appuyant toujours sur la fonction caractéristique générale des α-stables (2.3). D autres méthodes existent pour générer une variable gaussienne, dont la génération de deux paires de variables aléatoires gaussiennes indépendantes (méthode en 2 dimensions) [69]. X = 2 log U cos (2πU 2 ) (2.6) X 2 = 2 log U sin (2πU 2 ) (2.7) U et U 2 sont des variables aléatoires indépendantes distribuées uniformément dans [0, ]. Le calcul des moments est immédiat, la formule suivante permet de calculer les moments de degré k à partir de la fonction caractéristique E[X k ] = j k φ (k) X (0) (2.8) où j est le nombre complexe tel que j 2 = et où φ (k) X est la derivée d ordre k. Les Figs. 2.3 et 2.4 montrent respectivement la courbe de la densité gaussienne de moyenne 0 et d écart-type, ainsi qu une réalisation de la variable aléatoire gaussienne.

16 2 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse 0.4 Densité de probabilité u Figure 2.3 : Densité de probabilité d une variable aléatoire gaussienne de moyenne µ = 0 et d écart-type σ = (S 2 (, 0, 0)). signal s(t) temps t Figure 2.4 : Une réalisation d une variable aléatoire gaussienne de moyenne µ = 0 et d écarttype σ = (S 2 (, 0, 0)).

17 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 3 Malgré le rôle important des α-stables dans la modélisation des signaux à densité de probabilité à queue épaisse, elles présentent des limites : d une part elles ne permettent pas la plupart du temps un accès analytique à la densité de probabilité ; d autre part, sauf exception, leurs moments ne sont pas définis, ce qui reste un problème dans la recherche Gaussien généralisé La famille des densités de probabilité gaussienne généralisée constitue un autre modèle pour décrire le phénomène de la queue épaisse, elle a l avantage de présenter une densité de probabilité bien définie analytiquement. Cette densité possède trois paramètres : la moyenne µ, l écarttype σ et un paramètre de forme α > 0. Il s agit d une extension de la famille des densités gaussiennes avec un paramètre supplémentaire, dit de forme. Cela permet d englober en plus des lois gaussiennes (α = 2). La génération de ces lois de probabilité est appropriée pour modéliser plusieurs processus, qui sont observés dans des domaines variés dont le traitement de la parole, l audio, ou le signal vidéo [7, 4], les images [57, 43], ou bien la turbulence [32]. La simulation du bruit généralisé demeure un outil important pour comprendre et contrôler de tels processus. La densité de probabilité a pour expression : avec ξ(α) = [ Γ(3/α) σ 2 Γ(/α) f(x; µ, σ, α) = [ 2Γ(/α) ] ξ(α) α exp ( (ξ(α) x µ ) α) (2.9) ] 2, et où Γ (gamma) est la fonction classique définie par : Γ(x) = + 0 u x e u du. (2.20) Dans la suite nous considérons que la variable aléatoire X est gaussienne généralisée, et a une moyenne nulle et une variance unité. En effet, la densité de probabilité d une variable Y quelconque de moyenne µ et de variance σ 2, peut être obtenue en fonction de la densité de probabilité de la variable aléatoire X, en utilisant la transformation suivante Y = µx + σ. On peut écrire dans ce cas la densité de probabilité sous la forme suivante : telle que les paramètres A et b sont exprimés comme suit : f X (x) = A exp( bx α ). (2.2) A = (α/2)[γ(3/α)] /2 /[Γ(/α)] 3/2 et b = [Γ(3/α)/Γ(/α)] /2. Sa fonction de répartition est donnée par [2] : F (x) = A bα Γ incomp ( (bx) α, ) α x 0, (2.22)

18 4 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse où Γ incomp est la fonction gamma incomplète définie par : Γ(y, a) = + y t a e t dt, (2.23) que l on peut écrire sous la forme suivante [62] : Γ(y, a) = exp( y) y a H(y, a), (2.24) où H(y, a) est la fonction standard, fractionnelle continue définie par : H(y, a) = (2.25) ( a) y + a y+3 a 2(2 a) y+5 a Pour les x 0, puisque la densité de probabilité f est symétrique, nous allons utiliser la relation suivante : F ( x) = F (x). Il en résulte que : A bα Γ incomp F (x) = A bα Γ incomp ( ) (bx) α, α ( ) (bx) α, α pour x 0, pour x 0. (2.26) Notons que les moments de ce type de variables aléatoires sont finis, calculables analytiquement (par opposition à d autres densités de probabilité à queue épaisse[70], comme les densités α-stables). L expression analytique des moments de degré m est donnée ci-dessous. ] Si m est impair, E [X m = 0, car la fonction x m exp( bx α ) est impaire. Si m est pair, on a : [ E X m] = = = 2A αb m+ Ax m exp( bx α ) dx Ax m exp( (bx) α ) dx + = 2A ( m + αb m+ Γ α 0 y m+ α exp( y) dy ) Finalement, [ E X m] = 0 si m est impair, ( ) 2A m+ si m est pair. αb m+ Γ α (2.27)

19 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 5 Nous donnons ici, pour différentes valeurs de α les comportements que peut adopter la loi gaussienne généralisée. α = 2, nous trouvons la densité gaussienne standard. α > 2, nous obtenons des densités de probabilité qui tendent vers 0 plus rapidement que la densité gaussienne. α tend vers +, nous trouvons la loi uniforme. 0 < α < 2, nous parlons des densités à queue épaisse [39, 65]. Nous présentons dans la Fig. 2.5, les courbes des densités de probabilités pour différentes valeurs de α, et dans la Fig. 2.6 les mêmes courbes, mais dans un diagramme Semi-log pour mieux voir les queues. Densité de probabilité α=3/4 α=2 α=3 0. α= u Figure 2.5 : La courbe de la densité gaussienne généralisée pour différentes valeurs de α.

20 6 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse 0 0 α=3/4 Densité de probabilité 0 α=3 0 2 α=2 α= u Figure 2.6 : La courbe de la densité gaussienne généralisée pour différentes valeurs de α. Le bruit Laplacien est un cas particulier des bruits gaussiens généralisés où α =. L Éq. (2.2) nous donne l expression analytique de la densité de probabilité. f(x) = 2 exp( 2x ). (2.28) Nous présentons dans la Fig. 2.7, la courbe de cette densité de probabilité. 0.8 Densité de probabilité α= u Figure 2.7 : La courbe de la densité de probabilité de Laplace standardisée.

21 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 7 À partir de la formule générale de la fonction de répartition, calculée précédemment (2.26), nous trouvons pour α = : F (x) = 2 exp( 2 x ) pour x 0, 2 exp( 2 x ) pour x 0. (2.29) La Fig. 2.8 représente la fonction de répartition de Laplace standardisée selon l Éq. (2.29). fonction de répartition x 5 0 Figure 2.8 : La courbe de la fonction de répartition de Laplace standardisée d après l Éq. (2.29). L inverse de F est donnée par : F (u) = 2 ln(2u) pour 0 < u /2, 2 ln[2( u)] pour /2 u <, (2.30) En utilisant l expression (2.30), on peut simuler facilement une variable aléatoire X, qui suit une loi de Laplace standardisée à partir d une variable de loi uniforme. La Fig. 2.9 représente une réalisation du bruit de Laplace standardisé, et la Fig. 2.0 représente les trois bruits accessibles pour différentes valeurs de α.

22 8 Chapitre 2. Densité de probabilité à queue épaisse 6 4 signal s(t) temps t Figure 2.9 : Une réalisation du bruit de Laplace standardisé. 5 0 α= signal s(t) α=2 α=+oo temps t Figure 2.0 : Trois réalisations du bruit pour trois α accessibles (α = : bruit Laplacien, α = 2 : bruit gaussien, α = + : bruit uniforme ). Cependant, d une manière générale, il n est pas facile de faire la simulation numérique des signaux à densité gaussienne généralisée en appliquant la méthode d inversion (2.) décrite précédemment, pour les raisons suivantes : tout d abord, le calcul de la fonction de répartition

23 2.3. Principales familles de signaux aléatoires à densité de probabilité à queue épaisse 9 introduit des intégrales difficiles à évaluer explicitement (sauf cas particuliers). Une deuxième raison réside dans une impossibilité fréquente d inverser cette fonction. Le bruit Laplacien (α = ), était considéré jusqu à présent comme le seul modèle à même de conduire à la propriété de densité à queue épaisse ; nous allons nous intéresser à un autre cas de la famille des densités gaussiennes généralisées, le cas où α = /2. Dans le chapitre suivant, dans le but d inverser la fonction de répartition, nous serons amenés à introduire une fonction spéciale, dite fonction de Lambert, pour laquelle nous proposerons un algorithme rapide propre à l évaluer numériquement.

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25 Chapitre 3 Simulation d un bruit gaussien généralisé pour α = /2 Dans ce chapitre, nous allons proposer une approche numérique pour simuler la variable aléatoire X qui suit une loi dite gaussienne généralisée avec α = 2 comme exposant. Nous allons montrer que l inverse de sa fonction de répartition F (u) est exprimé au moyen d une fonction spéciale dite fonction de Lambert, que l on notera W par la suite. Cette fonction n a pas de forme explicite, ce qui nous conduit à fournir une méthode numérique pour l évaluer, sur laquelle nous nous baserons pour construire un algorithme simple et rapide et générer plusieurs réalisations d un bruit gaussien généralisé d exposant /2. 3. Fonction de Lambert -/ e W (z) z W (z) Figure 3. : Les deux branches réelles de la fonction W de Lambert. La ligne continue : W (z) définie pour /e z < 0. La ligne pointillée : W 0 (z) définie pour /e z < +. Les deux branches ont un point commun ( /e, ).

26 22 Chapitre 3. Gaussien généralisé d exposant α = /2 La fonction de Lambert W est définie par la fonction inverse de l application w we w [25]. Cette fonction vérifie W (z)e W (z) = z pour tout z complexe. Si z est réel et z < e, alors W (z) est à valeurs multiples complexes. Si z réel et e z < 0, il y a deux valeurs réelles possibles pour W (z) : La branche qui vérifie W (z) est notée par W 0 (z) et on l appelle la branche principale de la fonction de Lambert. La branche qui vérifie W (z) est notée par W (z). Si z est réel et positif, il y a une seule valeur de W (z), qui appartient à la branche principale W 0 (z). Par la suite, la branche réelle qui nous intéresse est W (z), qui est définie pour tout /e z < 0. Les deux branches W (z) et W 0 (z) sont représentées dans la Fig. 3. pour tout z réel. Plusieurs problèmes qui se posent dans différentes applications mathématiques, physiques et sciences de l ingénieur, font appel à cette fonction, ce qui donne à cette dernière un rôle central pour résoudre ces problèmes [25], à tel point que des scientifiques la considère comme une fonction mathématique spéciale. Dans ce chapitre, nous allons donner un autre champ d application de W, dans le domaine du traitement du signal, pour synthétiser le bruit gaussien généralisé d exposant α = Bruit gaussien généralisé d exposant α = /2 Ici nous considérons le cas particulier où α = 2, l Éq. (2.2) devient : 30 f(x) = 2 exp( 2 30x /2 ) (3.) En s appuyant toujours sur la formule (2.26), la fonction de répartition est donnée par : ( x /2 ) exp( 2 30x /2 ) pour x 0, 2 F (x) = (3.2) ( x /2 ) exp( 2 30x /2 ) pour x 0. 2 Pour simuler un bruit gaussien généralisé de densité de probabilité (3.), nous allons appliquer la méthode (2.) dans l objectif d atteindre une simulation en un seul coup. Procédons ci-dessous à l inversion de F (x) de l Éq. (3.2); nous allons montrer que l inverse peut être exprimée au moyen de la fonction W de Lambert. Dans un premier temps nous allons considérer la branche x 0 de F (x). Si on pose y = ( 2 30x) /2, l expression de F sur cette branche devient : F = 2 ( y)ey. (3.3) La fonction W (z) définie par J.H.Lambert en 758, et reprise après par L.Euler[25](764,779).

27 3.3. Évaluation numérique de W 23 L Éq. (3.3) autrement écrite pour faire apparaître la fonction W est : 2F e = (y )ey, (3.4) inversible sous la forme y = W ( 2F e ). (3.5) En remplaçant x par sa valeur dans l Éq. (3.5), on obtient : x = 2 30 [ + W ( 2F/e)] 2. (3.6) La branche W de la fonction de Lambert est identifiée puisqu elle passe par les deux points suivants (3.6) : (x = 0, F = /2) et (x =, F = 0). Maintenant, on se place dans la branche x 0 de F (x) de similaires peuvent être appliqués dans ce cas pour inverser F. l Éq. (3.2) ; des arguments Finalement on obtient l expression de F pour tout x ]0, [ 2 30 [ + W ( 2x/e)] 2 pour 0 < x /2, F (x) = 2 30 [ + W ( 2( x)/e)] 2 pour /2 x <. (3.7) Si nous pouvons effectuer l évaluation numérique de la fonction W, l Éq. (3.7) résout le problème de synthèse du bruit gaussien généralisé d exposant α = /2 à partir du bruit uniforme (2.). Et par suite, l étape suivante consiste à essayer d évaluer numériquement cette fonction spéciale. 3.3 Évaluation numérique de W Nous en venons maintenant à l évaluation numérique de W (z) pour tout z [ e, 0[. Comme nous l avons mentionné, cette évaluation numérique est directement accessible dans le logiciel mathématique Maple [24, 66]. Bien que la fonction W soit très utile dans beaucoup de domaines, on ne la trouve pas dans les bibliothèques mathématiques standard de logiciels. Nous décrirons ainsi ici les éléments explicites pour son évaluation numérique, qui permettent d écrire des sous-programmes de Fortran ou C par exemple Évaluation de précision arbitraire Une spécificité de la fonction W de Lambert est qu elle est définie comme une fonction inverse. Par conséquent, des évaluations de précision arbitraires peuvent être obtenues au moyen

28 24 Chapitre 3. Gaussien généralisé d exposant α = /2 de méthodes itératives de recherche de racine. Pour un z donné, on peut trouver W (z) comme racine de l équation we w = z, de la branche W. De nombreuses méthodes itératives sont disponibles à cet égard. Un choix doit concilier à la fois la complexité de la mise en œuvre, les conditions et le nombre d itérations jusqu à convergence pour une précision donnée. Ces propriétés sont habituellement contrôlables par l intermédiaire de l ordre de la méthode (l ordre le plus élevé des dérivés de la fonction à mettre à zéro par l algorithme). La méthode de Newton [62] est une méthode de premier ordre simple qui est appropriée mais avec une convergence relativement lente. Un meilleur compromis est réalisé par la méthode de Helley, une méthode de troisième ordre, qui constitue le choix mis en application par Maple et qui mène à l évaluation de précision élevée dans un temps raisonnable [25, 24]. Il est basé sur le procédé itératif suivant : w j+ = w j w j e w j z (w j + )e w j (w j + 2)(w j e w j z) 2w j + 2. (3.8) Des méthodes de quatrième ordre, plus rapides mais plus compliquées, sont proposées dans [33] et [7], mais elles sont limitées, comme elles sont exposées, à la seule branche principale W 0 (z). En outre, le fait que la fonction de Lambert soit une fonction inverse fournit une voie simple pour contrôler l erreur, ou la précision, d une évaluation numérique donnée. Pour un z ] /e, 0[, la valeur de W (z) est évaluée comme étant la racine approchée de ϕ(w) = z où ϕ(w) = we w, que nous noterons par w eval. Si la racine exacte est notée w true ( c est la valeur exacte de W (z) ), alors le résidu z w eval e w eval permet d accéder à l erreur d évaluation w true w eval. Pour n importe quel algorithme de recherche de la racine, w eval est très proche de w true et on a, à une très bonne approximation z w eval e w eval w true w eval ϕ (w eval ) = ( + w eval )e w eval, (3.9) d où l erreur d évaluation w true w eval z w evale w eval ( + w eval )e w eval. (3.0) Lorsque l Éq. (3.8) est contrôlée par l Éq. (3.0), une évaluation de précision arbitraire de la fonction W de Lambert peut être réalisée. C est ce que fait Maple Approximation rapide Parfois, plutôt que d utiliser un procédé itératif, des évaluations plus directes de la fonction W de Lambert peuvent être recherchées. Ceci peut être particulièrement vrai pour les trois raisons suivantes : D abord, pour des applications comme les simulations de Monte Carlo, qui demandent un grand

29 3.3. Évaluation numérique de W 25 nombre de tirages, il peut parfois être préférable d avoir une évaluation en un seul coup et rapide avec une précision limitée mais suffisante, plutôt qu un procédé itératif plus précis mais plus lent. En second lieu, l approximation rapide en un seul coup peut être utile pour fournir une bonne valeur initiale à un procédé itératif afin de réduire le nombre d itérations jusqu à convergence pour une précision donnée. Troisièmement, la fonction W (z) dans son domaine d existence a deux singularités : la première lorsque z 0 où W (z) tend vers et la deuxième en z = /e où toutes les dérivées de W (z) deviennent infinies. Ceci se traduit, pour un procédé itératif d évaluation, par une erreur d approximation de l Éq. (3.0), qui décroît très lentement quand W (z) est approchée par w eval, proche de ou car z est choisi près de 0 ou z = /e. Par conséquent, pour z proche de /e ou 0, les évaluations directes de W (z) au moyen d un développement en série ou d un développement asymptotique peuvent être préférables et sont en effet possibles. Nous allons en décrire différentes approximations Développement en série pour z /e Pour z proche de /e, on a le développement en série suivant [25] : avec p = 2(ez + ). W (z) = + l=0 µ l p l. (3.) Cette série peut être calculée à n importe quel ordre désiré à partir de ces relations de récurrence µ k = k ( µk 2 + α ) k 2 α k k µ k k +, (3.2) k α k = µ j µ k+ j, (3.3) La série de j=2 µ 0 =, µ =, α 0 = 2, α =. (3.4) l Éq. (3.) est convergente lorsque les valeurs de p appartiennent à l intervalle ] 2, 0], ce qui couvre tout le domaine d existence de W (z) ( /e z < 0). On a les premiers termes de la série de l Éq. (3.) W (z) = + p 3 p p p p p6 +, (3.5) Développement asymptotique pour z < 0 Maintenant, pour z proche de 0, le théorème d inversion de Lagrange fournit un développement asymptotique de la série, avec L = ln( z) et L 2 = ln[ ln( z)], [25] W (z) = L L l=0 m= C lm L l m L m 2. (3.6)

30 26 Chapitre 3. Gaussien généralisé d exposant α = /2 Les cœfficients C lm sont exprimés comme suit : où C lm = ( ) l S(l + m, l + )/m! S(l + m, l + ) est un nombre non négatif [45], calculable par l intermédiaire de la fonction génératrice et S(n, m) = 0 pour m > n. x(x )... (x n + ) = n ( ) n m S(n, m) x m, n, (3.7) En s appuyant sur l Éq. (3.7), on constate que n, S(n, 0) = 0 et S(n, n) =. La relation récursive suivante : est toujours valable. m=0 S(n, m) = S(n, m ) + (n )S(n, m), n >. (3.8) Les premiers termes de la série de l Éq. (3.6) sont : W (z) = L L 2 + L 2 + ( 2 + L 2)L 2 L 2L 2 + (6 9L 2 + 2L 2 2 )L 2 6L 3 + ( L 2 22L L3 2 )L 2 2L 4 + (60 300L L L L4 2 )L 2 60L 5 + (3.9) Série de Taylor pour /e < z < 0 Maintenant, pour z ] /e, 0[, la fonction W (z) de Lambert reste bornée, ses dérivées de tous les ordres existent. Il est ainsi possible de développer en série de Taylor W (z). La dérivée d ordre n de W (z) est explicitement calculable, elle se présente sous la forme suivante [25] : W (n) (z) = dn W (z) dz n = exp[ nw (z)]p n [W (z)] [ + W (z)] 2n pour n, (3.20) Les polynômes P sont définis par la relation de récurrence P n+ (u) = (nu + 3n )P n (u) + ( + u)p n(u) pour n, (3.2) et le polynôme initial P (u) =. Pour n importe quel z 0 et z appartenant à ] /e, 0[, on a ainsi la série de Taylor W (z) = W (z 0 ) + + n= n! W (n) (z 0) (z z 0 ) n. (3.22) L Éq. (3.20) révèle une propriété intéressante, très utile pour des évaluations numériques basées sur l Éq. (3.22) : bien que la fonction W (z) de Lambert soit une fonction spéciale, la valeur

31 3.3. Évaluation numérique de W 27 de n importe laquelle de ses dérivées W (n) (z 0) en un point quelconque z 0 ] /e, 0[ peut être exprimée seulement par des fonctions standard appliquées à W (z 0 ). L application de la série de Taylor de l Éq. (3.22) donne l accès à la valeur de W (z) dans n importe quel domaine compact de z autour de z 0, et l évaluation numérique explicite de cette série exigera seulement la connaissance de W (z 0 ). Dans la pratique, une évaluation précise de W (z 0 ) peut être obtenue à partir de la section 3.3., et ceci fournit alors au moyen de l Éq. (3.22) tronquée à un certain ordre, une formule concise pour des approximations en un seul coup de W (z) pour n importe quel z autour de z Approximation rationnelle de la fonction W (z) pour /e < z < 0 Une autre possibilité pour des approximations rapides en un seul coup de W (z) pour /e < z < 0 est de considérer l approximation rationnelle. Les fonctions rationnelles sont souvent capables de fournir une expression plus compacte pour un niveau d approximation donné à l avance, comparée au développement polynomial de la série de Taylor. En plus, l approximation effectuée à l aide d une fonction rationnelle est facile pour la construction basée seulement sur les calculs standard, en évitant les fonctions spéciales. D abord on établit une fonction rationnelle dont les ordres sont prescrits sous la forme paramétrique suivante : W rfa (z) = L l=0 a lz l + M m= b mz m. (3.23) Ensuite on construit un ensemble de points {(w j, w j e w j = z j )}. Nous pouvons minimiser la fonction rfa j [W (z j) w j ] 2 par n importe quelle méthode pour trouver l ensemble des cœfficients a l et b m en réalisant une approximation acceptable de la fonction rationnelle W rfa (z). La qualité de l approximation de W rfa (z) peut alors être évaluée au moyen de l Éq. (3.0) avec une évaluation de précision élevée de la section 3.3., et peut être contrôlée par les ordres L et M et par l ensemble { (z j, w j ) }. Une approximation par fonction rationnelle, que nous proposons est : W rfa (z) = z z z z z z z 3 (3.24) que nous avons construite à partir de 00 points de (w j, w j e w j = z j ) où les w j sont équi-répartis dans l intervalle [ 5,.5]. Nous avons conçu la fonction rationnelle W rfa (z) de l Éq. (3.24) pour fournir une approximation de W (z) avec une erreur relative inférieure à 0 4 pour tout z [ 0.333, 0.033] (voir Fig. 3.3) Algorithme rapide avec une précision prescrite Pour une évaluation rapide en un seul coup de W (z) dans son domaine d existence z [ /e, 0[, nous avons élaboré l algorithme numérique présenté dans la Fig. 3.2, qui peut être directement programmé dans n importe quel langage de programmation.

32 A # * A * * * * * % * * * * * 28 Chapitre 3. Gaussien généralisé d exposant α = /2 Pour z [ /e, 0.333[, cet algorithme implémente le développement en série de la section avec ses sept premiers termes donnés dans l Éq. (3.5). Pour z [ 0.333, 0.033], il implémente l approximation par la fonction rationnelle de l Éq. (3.24). Pour z ] 0.033, 0[, il implémente le développement asymptotique de la section avec les termes donnés dans l Éq. (3.9). Par conséquent, l algorithme est le suivant :! "$#&% '! ( % ) &* %+%, * " #&% '! 5: ; )%+# 3 % 67 A % B 6C+! * B 6CD B 6E!4F "G#&% '! AH% A R 6S ).- ) / -0 -,243 %, *45 0 / 5 *4* / 0 / 2 :0+0 * /4< # -, :- * / * <= # - 5,+, :2 )4) 0 <+> # /4/4) *:,+,2 0 <+? 5+*:3 - * )4< ; - )4) : < = ; % / % / :) < > + I A! A JK ML A N A *! A AH% A * *% J A )% IN J A O A * N A )! A A -% * * 'J K M A N P A * Q P A ) A -! A J * A /% * Figure 3.2 : L algorithme d évaluation en un seul coup de la fonction de Lambert W (z) dans son domaine d existence z [ /e, 0[, réalisant un approximation avec une erreur relative strictement inférieure à 0 4 pour tout z [ /e, 0[. Cet algorithme de la Fig. 3.2 évalue la fonction approximante W approx (z) de W (z). Nous l avons construit pour fournir une approximation d erreur relative W (z) W approx (z) / W (z) strictement inférieure à 0 4 pour tout z [ /e, 0[. Nous avons évalué le comportement de cette erreur relative de W approx (z) avec l évaluation de précision plus élevée de W (z) basée sur le procédé itératif de la section Le résultat est présenté dans la Fig. 3.3.

33 3.4. Génération du bruit gaussien généralisé d exposant α = / erreur relative c a b abscisse z Figure 3.3 : L erreur relative W (z) W approx (z) / W (z) pour une évaluation W approx (z) de la fonction W (z) de Lambert donnée par : (a) le développement en série de l Éq. (3.5), (b) l approximation par la fonction rationnelle de l Éq. (3.24), (c) le développement de l Éq. (3.9). La première ligne verticale (pointillée) a pour abscisse z = et la deuxième, z = Dans le domaine d existence de W (z) pour tout z [ /e 0.368, 0[, l algorithme d évaluation en un seul coup de la Fig. 3.2 réalise une approximation d erreur relative en tout point inférieure à 0 4 en implémentant la branche (a) pour z [ /e, 0.333[, la branche (b) pour z [ 0.333, 0.033], et la branche (c) pour z ] 0.033, 0[. 3.4 Génération du bruit gaussien généralisé d exposant α = /2 Nous avons utilisé le langage C pour programmer l évaluation en un seul coup de la fonction W (z) de Lambert réalisée par l algorithme de la Fig On arrive à évaluer 0 7 des valeurs de W (z) dans 0 sec, sur un ordinateur Pentium III, 500 MHZ, tandis qu en utilisant Maple on a seulement 0 3 évaluations. La vitesse augmente par un facteur de l ordre de 0 4 et peut ainsi être obtenue avec une précision limitée de l évaluation de W (z) en un seul coup de la Fig Nous avons utilisé l algorithme de la Fig. 3.2 pour calculer la fonction définie dans l Éq. (3.7) pour synthétiser le bruit gaussien généralisé d une façon rapide à partir du bruit uniforme (2.). La réalisation du bruit gaussien généralisé est présentée dans la Fig. 3.4.

34 30 Chapitre 3. Gaussien généralisé d exposant α = /2 20 s(t) s(t) s(t) temps t Figure 3.4 : Trois réalisations du bruit gaussien généralisé d exposant α = /2 généré par l algorithme de la Fig. 3.2 en utilisant la fonction de l Éq. (3.7). Nous avons aussi estimé sa densité de probabilité basée sur 0 7 valeurs tirées à partir du bruit gaussien généralisé. Sur la Fig. 3.5 qui représente la densité de probabilité estimée superposée au modèle théorique de l Éq. (3.), on constate qu il y a un accord. La région de la queue de la densité f(x) pour un argument x très large, correspond aux valeurs du bruit gaussien produit par la transformation de l Éq. (3.7), quand la fonction de Lambert s approche de W (0 ); dans ce cas la fonction est exprimée par le développement asymptotique de l Éq. (3.6), qui est une série absolument convergente [25]. L erreur systématique due à la troncature des termes de l Éq. (3.9) est de l ordre de O[ (L2/L) 6] [25, 45], asymptotiquement nulle, ce qui rend l approximation très précise. La Fig. 3.5 nous montre que la densité de probabilité f(x) est bien représentée même dans les queues lointaines asymptotiquement. Cette synthèse rapide du bruit gaussien généralisé basé sur l algorithme de la Fig. 3.2, est spécialement appropriée pour la simulation Monte Carlo, qui exige un grand nombre de réalisations de bruit.

35 3.5. Conclusion 3 0 densité de probabilité f(x) amplitude x Figure 3.5 : La fonction densité de probabilité estimée pour la synthèse du bruit gaussien généralisé de la Fig. 3.4, superposée au modèle théorique de l Éq. (3.) (La ligne continue). 3.5 Conclusion Nous avons montré que la synthèse du bruit gaussien généralisé avec un exposant α = /2 peut être obtenue au moyen d une transformation non linéaire exprimée en fonction de W (z) de Lambert, avec une précision contrôlée. Plus précisément, nous avons établi explicitement une méthode qui s applique directement à l évaluation de la fonction W (z), qui est très utile pour la problématique de synthèse du bruit. Nous avons en plus construit une approximation originale de la fonction rationnelle W (z). Basée sur ces méthodes d évaluation numérique de W (z), la synthèse du bruit gaussien généralisé peut être effectuée avec une précision arbitraire, dépendant de la complexité du procédé qu on veut impliquer. En plus, nous avons proposé un algorithme simple et rapide pour évaluer numériquement la fonction W (z) dans son domaine de définition avec une précision prescrite. Cet algorithme peut être directement codé dans n importe quel langage de programmation. Il offre un outil unique particulièrement approprié pour la simulation de Monte Carlo qui exige un grand nombre de réalisations du bruit gaussien généralisé, qui peut contribuer à une meilleure compréhension et un meilleur contrôle des signaux non gaussiens.