Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014

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1 exercices corrigés 21 février 2014

2 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9

3 Exercice 1

4 Enoncé Soit A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm. 1 Construire le point C tel que ( #» AB, #» AC) π 4 et AB = AC. 2 Soit D tel que ACD soit un triangle équilatéral et ( CA, #» CD) #» 17π 3 Déterminer la mesure principale de ( CA, #» CD) #» et construire D. 3 Construire le point E tel que ( #» DE, #» DC) 11π 12 4 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. et DE = 3 cm. 5 Construire F tel que A, F et C sont alignés et ( #» BF, #» CD) 5π Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires..

5 Construction de la figure AB = 4 cm et ( #» AB, #» AC) π 4 avec AB = AC A B

6 Construction de la figure AB = 4 cm et ( #» AB, #» AC) π 4 avec AB = AC C A π 4 B

7 1 Déterminer la mesure principale d un angle orienté ( #» CA, #» CD).

8 1 Déterminer la mesure principale d un angle orienté ( #» CA, #» CD). on sait que ( #» CA, #» CD) 17π 3

9 1 Déterminer la mesure principale d un angle orienté ( #» CA, #» CD). on sait que ( #» CA, #» CD) 17π 3 donc ( CA, #» CD) #» 3 6π π 3 3

10 1 Déterminer la mesure principale d un angle orienté ( #» CA, #» CD). on sait que ( #» CA, #» CD) 17π 3 donc ( CA, #» CD) #» 3 6π π 3 3 donc ( #» CA, #» CD) 3 2π π 3

11 1 Déterminer la mesure principale d un angle orienté ( #» CA, #» CD). on sait que ( #» CA, #» CD) 17π 3 donc ( CA, #» CD) #» 3 6π π 3 3 donc ( #» CA, #» CD) 3 2π π 3 Conclusion La mesure principale de cet angle est donc π 3.

12 Construction de la figure ( CA, #» CD) #» π 3 et ( #» DE, #» DC) 11π 12 C A π 4 B

13 Construction de la figure ( CA, #» CD) #» π 3 et ( #» DE, #» DC) 11π 12 D C π 3 A π 4 B

14 Construction de la figure ( CA, #» CD) #» π 3 et ( #» DE, #» DC) 11π 12 E D 11π 12 π 3 C A π 4 B

15 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.

16 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #»

17 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» +

18 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» +

19 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #»

20 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or

21 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après l énoncé ( AB, #» AC) #» π 4 d après 1.

22 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( AC, #» CD) #» ( CA, #» CD) #» + π

23 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( AC, #» CD) #» ( CA, #» CD) #» + π donc ( AC, #» CD) #» π + π d après 2.a 3

24 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( AC, #» CD) #» ( CA, #» CD) #» + π donc ( AC, #» CD) #» π + π d après 2.a 3 d où ( #» AC, #» CD) 2π 3

25 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( CD, #» ED) #» ( DC, #» DE) #»

26 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( CD, #» ED) #» ( DC, #» DE) #» donc ( #» CD, #» ED) ( #» DE, #» DC) d après 3.b

27 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( CD, #» ED) #» ( DC, #» DE) #» donc ( #» CD, #» ED) ( #» DE, #» DC) d après 3.b d où ( #» CD, #» ED) 11π 12

28 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» donc ( #» AB, #» ED) π 4 + 2π 3 11π 12 d où ( #» AB, #» ED) 0

29 1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ( AB, #» ED) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» ED) #» donc ( #» AB, #» ED) π 4 + 2π 3 11π 12 d où ( #» AB, #» ED) 0 Conclusion Les vecteurs AB #» et ED #» sont colinéaires et de même sens ce qui prouve que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.

30 Construction de la figure F (AC) et ( #» BF, #» CD) 5π 12 E D 11π 12 π 3 C A π 4 B

31 Construction de la figure F (AC) et ( #» BF, #» CD) 5π 12 E D 11π 12 π 3 C A π 4 B

32 Construction de la figure F (AC) et ( #» BF, #» CD) 5π 12 E D F 11π 12 π 3 C A π 4 5π 12 B

33 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.

34 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #»

35 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» or

36 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» or d après l énoncé ( AB, #» AC) #» π 4 d après 1.

37 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» or d après les questions précédentes ( AC, #» CD) #» 2π 3 démontré au 4.

38 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( CD, #» BF) #» ( BF, #» CD) #»

39 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( CD, #» BF) #» ( BF, #» CD) #» d où ( #» CD, #» BF) 5π 12 d après 5.

40 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» donc ( #» AB, #» BF) π 4 + 2π 3 5π 12 d où ( #» AB, #» BF) π 2

41 1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. ( AB, #» BF) #» ( AB, #» AC) #» + ( AC, #» CD) #» + ( CD, #» BF) #» donc ( #» AB, #» BF) π 4 + 2π 3 5π 12 d où ( #» AB, #» BF) π 2 Conclusion Les vecteurs AB #» et BF #» sont orthogonaux ce qui prouve que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.

42 Exercice 2

43 Enoncé ABCDE est la ligne brisée ci-dessous. On sait que AB #» et DE #» sont colinéaires et de même sens. Déterminer la mesure principale de ( DE, #» DC). #» C 2π 3 π 5 A B D E

44 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC).

45 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #»

46 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» +

47 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» +

48 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #»

49 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or

50 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or d après l énoncé ( DE, #» BA) #» π

51 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or d après l énoncé ( DE, #» BA) #» π car, les vecteurs sont colinéaires et de sens contraire

52 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or d après l énoncé ( BA, #» BC) #» 2π 3

53 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( BC, #» DC) #»

54 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( BC, #» DC) #» ( CB, #» CD) #»

55 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» or d après des propriétés de calculs sur les angles ( BC, #» DC) #» ( CB, #» CD) #» d où ( #» BC, #» DC) π 5 d après l énoncé

56 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» donc ( #» DE, #» DC) π 2π 3 + π 5

57 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» donc ( #» DE, #» DC) π 2π 3 + π 5 donc ( DE, #» DC) #» 15π 15 10π π 15

58 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» donc ( #» DE, #» DC) π 2π 3 + π 5 donc ( DE, #» DC) #» 15π 15 10π π 15 d où ( #» DE, #» DC) 8π 15

59 Déterminer la mesure principale de ( #» DE, #» DC). ( DE, #» DC) #» ( DE, #» BA) #» + ( BA, #» BC) #» + ( BC, #» DC) #» donc ( #» DE, #» DC) π 2π 3 + π 5 donc ( DE, #» DC) #» 15π 15 10π π 15 d où ( #» DE, #» DC) 8π 15 Conclusion la mesure principale est 8π 15 car elle appartient bien à ] π; π].

60 Exercice 3

61 Enoncé Sur la figure ci-dessous, le triangle ABC est rectangle isocèle en B et les triangles ACM et ABN sont équilatéraux. Déterminer la mesure pricipale des angles : ( BC, #» AC) #» ( AN, #» AC) #» ( MA, #» AB) #» ( AN, #» AM) #» ( AM, #» CB) #» A π 3 M N π 3 B π 2 C

62 Déterminer la mesure principale de ( #» BC, #» AC).

63 Déterminer la mesure principale de ( #» BC, #» AC). d après des propriétés de calculs sur les angles

64 Déterminer la mesure principale de ( #» BC, #» AC). d après des propriétés de calculs sur les angles ( BC, #» AC) #» ( CB, #» CA) #»

65 Déterminer la mesure principale de ( #» BC, #» AC). d après des propriétés de calculs sur les angles ( BC, #» AC) #» ( CB, #» CA) #» donc ( #» BC, #» AC) d après l énoncé

66 Déterminer la mesure principale de ( #» BC, #» AC). d après des propriétés de calculs sur les angles ( BC, #» AC) #» ( CB, #» CA) #» donc ( #» BC, #» AC) π 4 d après l énoncé Conclusion La mesure principale est π 4 car elle appartient bien à ] π; π].

67 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC).

68 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC).

69 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC). ( AN, #» AC) #»

70 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC). ( AN, #» AC) #» ( AN, #» AB) #» +

71 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC). ( AN, #» AC) #» ( AN, #» AB) #» + ( AB, #» AC) #»

72 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC). ( AN, #» AC) #» ( AN, #» AB) #» + ( AB, #» AC) #» donc ( #» AN, #» AC) d après l énoncé

73 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC). ( AN, #» AC) #» ( AN, #» AB) #» + ( AB, #» AC) #» donc ( #» AN, #» AC) π 3 + π 4 d après l énoncé

74 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AC). ( AN, #» AC) #» ( AN, #» AB) #» + ( AB, #» AC) #» donc ( #» AN, #» AC) π 3 + π 4 d après l énoncé d où ( #» AN, #» AC) 7π 12 Conclusion La mesure principale est 7π 12 car elle appartient bien à ] π; π].

75 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB).

76 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB).

77 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #»

78 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π

79 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π ( MA, #» AB) #»

80 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AC) #» +

81 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» AB) #» + π

82 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» AB) #» + π donc ( MA, #» AB) #» π 3 π + π d après l énoncé 4

83 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» AB) #» + π donc ( MA, #» AB) #» π 3 π + π d après l énoncé 4

84 Déterminer la mesure principale de ( #» MA, #» AB). ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AB) #» + π ( MA, #» AB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» AB) #» + π donc ( MA, #» AB) #» π 3 π + π d après l énoncé 4 d où ( #» MA, #» AB) 5π 12 Conclusion La mesure principale est 5π 12 car elle appartient bien à ] π; π].

85 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM).

86 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM).

87 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #»

88 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #» ( AN, #» AC) #» +

89 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #» ( AN, #» AC) #» + ( AC, #» AM) #»

90 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #» ( AN, #» AC) #» + ( AC, #» AM) #» donc ( #» AN, #» AM) d après l énoncé

91 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #» ( AN, #» AC) #» + ( AC, #» AM) #» donc ( #» AN, #» AM) 7π 12 + π 3 d après l énoncé

92 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #» ( AN, #» AC) #» + ( AC, #» AM) #» donc ( #» AN, #» AM) 7π 12 + π 3 d après l énoncé d où ( #» AN, #» AM) 11π 12

93 Déterminer la mesure principale de ( #» AN, #» AM). ( AN, #» AM) #» ( AN, #» AC) #» + ( AC, #» AM) #» donc ( #» AN, #» AM) 7π 12 + π 3 d après l énoncé d où ( #» AN, #» AM) 11π 12 Conclusion La mesure principale est 11π 12 car elle appartient bien à ] π; π].

94 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB).

95 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB).

96 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #»

97 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #» ( AM, #» AC) #» +

98 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» CA) #» +

99 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» CA) #» + ( CA, #» CB) #»

100 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» CA) #» + ( CA, #» CB) #» donc ( #» AM, #» CB) d après l énoncé

101 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» CA) #» + ( CA, #» CB) #» donc ( #» AM, #» CB) π 3 + π + π 4 d après l énoncé

102 Déterminer la mesure principale de ( #» AM, #» CB). ( AM, #» CB) #» ( AM, #» AC) #» + ( AC, #» CA) #» + ( CA, #» CB) #» donc ( #» AM, #» CB) π 3 + π + π 4 d après l énoncé d où ( #» AM, #» CB) 11π 12 Conclusion La mesure principale est 11π 12 car elle appartient bien à ] π; π].

103 Exercice 4

104 Enoncé 1 Résoudre sur l intervalle [0; 2π] les équations 2 cos 2x = 2 et 2 cos 2x = 1 2 Développer (1 2) 2, puis résoudre sur R l équation 2X 2 + ( 2 + 1)X + 3 Résoudre sur l intervalle [0; 2π] l équation 2 2 = 0 2 cos 2 2x + ( ) cos 2x = 0

105 Exercice 5

106 Enoncé Résoudre sur R. 2 1 sin x = 2 2 cos 2 x = sin 2x = cos(x)

107 Exercice 6

108 Enoncé Résoudre dans R l équation : 2 sin 3 x 17 sin 2 x + 7 sin x + 8 = 0

109 Exercice 7

110 Enoncé Résoudre dans ] π ; π[. 1 2 cos 3 x 7 cos 2 x + 2 cos x + 3 = sin 3 x + cos 2 x 5 sin x 3 = 0

111 Exercice 8

112 Enoncé Dans cet exercice, on donne : cos π 5 = Calculer la valeur exacte de cos 2π 5 puis de cos 3π 5.

113 Exercice 9

114 Enoncé 1 θ est un angle situé dans l intervalle ] π ; π[ dont on sait que cos θ = 3 2 et sin θ = 1 2 Que vaut θ en radians? 2 θ est un angle situé dans l intervalle Calculer cos θ et tan θ. [ π 2 ; π ] tel que sin θ = θ est un angle situé dans l intervalle ] π ; 0] tel que cos θ = 2 3 Calculer sin θ et tan θ. 4 θ est un angle situé dans l intervalle ] π ; 0] tel que tan θ = 2 Calculer cos θ et sin θ.

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