Plasticité et Rupture

Transcription

1 Plasticité et Rupture Jean-Jacques Marigo 1

2 Rappels de l Amphi 6 La modélisation des fissures Les singularités en pointe de fissure La ténacité et le critère d Irwin 2

3 description géométrique des fissures Fissure = coupure dans la configuration de référence on enlève des points matériels sur une surface (en 3D) ou sur une courbe (en 2D) D + D \ r Orientation des fissures objet sain objet fissuré n x + - choix d une normale - définition du côté + et du côté - - saut de déplacement [[ ]] = + 3

4 conditions aux limites sur les lèvres des fissures + n [[ ]] n condition cinématique de non interpénétration - normale à la configuration de référence - saut normal de déplacement non négatif 1. Fissure ouverte : [ ] n > 0 2. Fissure fermée ou en contact : [ ] n =0 fissure fermée lisse condition sur les contraintes - en l absence de frottement, pas de cisaillement n = nn n n - contrainte normale non positive [[ ]] 1. Fissure ouverte : nn = 0 2. Fissure fermée ou en contact : nn apple 0 fissure ouverte libre 4

5 Les singularités en fond de fissure n t n P P r t le cadre : - fissure à bords libres, pointe ou front interne à un matériau - élasticité linéaire - matériau isotrope la forme a priori des singularités en 2D = N i=1 K i r i U i ( )+ N : nombre de singularités i : puissance de la i-ème singularité U i : fonction angulaire de la i-ème singularité K i : facteur d intensité de la i-ème singularité 5

6 Les 3 modes singuliers en fond de fissure mode I ou mode d ouverture - discontinuité normale, - pas de discontinuité tangentielle [[ ]] n = 8(1 2 ) K I E r 2 n t e z - condition de non interpénétration mode II ou mode de glissement - pas de discontinuité normale, - discontinuité tangentielle plane K I 0 [[ ]] t = 8(1 2 ) K II E r 2 mode III ou mode de déchirure - pas de discontinuité normale, - discontinuité tangentielle antiplane [[ ]] e z = 4K III µ r 2 6

7 La ténacité et le critère d Irwin La ténacité - Facteur d intensité des contraintes critique (en mode I) - Caractéristique du matériau en pointe de fissure - À mesurer expérimentalement Le critère d Irwin - Exclusivement pour une fissure en mode I pur dans un matériau isotrope K I K Ic, si K I < K Ic, si K I = K Ic, pas de propagation propagation possible 7

8 Nécessité d élargir le critère d Irwin - S applique aux fissures en mode I dans un matériau isotrope et linéairement élastique - Ne s applique pas aux matériaux anisotropes aux fissures en mode mixte aux fissures aux interfaces ou sur le bord - Ne fournit pas une loi d évolution complète de la fissuration Le principe énergétique de Griffith (1920) - Créer des fissures nécessite d apporter une énergie de surface à la structure - En première approximation cette énergie de surface est proportionnelle à la surface créée - L énergie nécessaire est fournie par l énergie potentielle restituée lors de la propagation 8

9 Les grandeurs énergétiques en Rupture Fragile L énergie potentielle Le taux de restitution de l énergie potentielle L énergie de surface 9

10 @ N L énergie potentielle d une structure fissurée les déplacements cinématiquement admissibles - définition C( )= : régulier dans \, = d sur D \, + = d sur D, [[ ]] n 0 sur - propriété régulier = d énergie finie C est une fonction croissante de : 0 =) C( ) C( 0 D 10

11 le théorème de l énergie potentielle - définition de l énergie potentielle virtuelle Pour un chargement et un état de fissuration donnés, on associe à un déplacement cinématiquement admissible l énergie potentielle P( ) qu aurait la structure si elle était dans cet état C( ) P( )= \ 1 2 ( ):C : ( )d W e ( ) - le théorème Si le chargement et l état de fissuration sont compatibles avec l équilibre, alors le champ de déplacement à l équilibre est celui qui minimise l énergie potentielle parmi tous les déplacements cinématiquement admissibles : C( ), P( ) P( ), C( ) - l énergie potentielle réelle P( )=P( ) = min C( ) P( ) 11

12 La restitution d énergie potentielle Propriété de restitution d énergie potentielle : Soit une structure en équilibre sous un même chargement, mais dans deux états de fissuration di érents et avec plus grand que. Alors l énergie potentielle de la structure dans l état est plus petit (ou égal) à l énergie potentielle dans son état : = P( ) P( ) Preuve. Tout déplacement admissible pour est forcément continu sur \ et est donc également admissible pour C( ) C( ) En utilisant le théorème de l énergie potentielle, on obtient P( )= inf P( ) inf P( )=P( ) C( ) C( ) 12

13 Le taux de restitution d énergie potentielle Formule générique G = P( h ) P( ) lim h!0 aire( h ) aire( ) h = nouvel état virtuel de la fissure = état réel de la fissure Le cas d une fissure au trajet prédéfini en 2D - chargement fixé - trajet de fissuration = courbe simple - énergie potentielle fonction de la longueur de la fissure G := 1 e dp d ( ) e=épaisseur attention. Ne pas oublier l épaisseur e dans le calcul de P unité de G = énergie par unité de surface = J/m 2 13

14 Le cas de n pointes de fissures en 2D - énergie potentielle fonction de n paramètres ` =(`1,, `n) 7! P(`) taux de restitution d énergie partiel G =(G 1,, G n ), G i = 1 e P i ( ) 1 - taux de restitution d énergie total G = 1 lim P( + hv) P( ) h!0 e h v =(v 1,, v n ), 0 v i 1, P n i=1 v i =1 v 3 - par combinaison v 1 v 2 G = G v = nx G i v i i=1 P(` + hv) P(`) Remarque : Si les v i ne sont pas normalisés, alors G = lim h!0 e h P n j=1 v j = nx i=1 G i v i P n j=1 v j 14

15 Le cas d un front de fissure en 3D - donnée de la vitesse normale d avancée virtuelle du front de fissure v( ) 0, Z v( )d =1 hv( ) t - taux de restitution d énergie total h - par combinaison G = 1 lim P( h ) P( ) h!0 h G = Z G( )v( )d 15

16 P 0 P La formule d Irwin Cadre d application - marériau isotrope, élasticité linéaire - sans changement de direction, hors interface - formules valables en P et en P, mais pas aux autres pointes En antiplan (mode III) G = K III 2 2µ En DP (modes I et II) G =(1 2 ) K I 2 + K II 2 E En 3D (modes I, II et III) hv( ) t G( ) =(1 2 ) K I( ) 2 + K II ( ) 2 E + K III( ) 2 2µ h 16

17 Origine microscopique de l énergie de surface U T Potentiels interatomiques T m U(r) =4U c r0 r 12 r 0 r 6 r c r m r r 0 r r m T (r) = U (r) = 24U c r r0 r 6 2 r 0 r 12 U c r c =2 1/6 r 0 Energie de séparation de plans atomiques Si l on ne tient compte que de l interaction des plus proches voisins, l énergie supplémentaire que possède l objet coupé en deux à l équilibre est proportionnelle à la surface de séparation E cassé E intact G c S 17

18 Comparaison avec les valeurs expérimentales - valeurs théoriques trop faibles - explications: Non prise en compte des défauts Rugosité des surfaces Présence d une zone d élaboration (plasticité, microdéfauts,...) Conséquence - nécessité d une mesure macroscopique de l énergie de surface intégrant toutes les sources de dissipation Extension aux matériaux anisotropes (bois,...) - la densité d énergie de surface dépend de l orientation G c = G c (n) 18

19 Energie de surface et taux de création d énergie de surface L énergie de surface - cas général n D( )= G c (x, n(x))ds n n - milieu homogène isotrope D( )=G c aire( ) v 1 t 1 P 3 v 3 t 3 P 2 v 2 t 2 Taux de création d énergie de surface - Définition - Exemples D 0 =lim h!0 D( h ) D( ) aire( h ) aire( ) en milieu homogène isotrope P 1 D 0 = G c en 2D anisotrope et fissuration multiple D 0 = nx G c (P i,n i )v i, 0 apple v i apple 1, i=1 nx v i =1 i=1 19

20 Le modèle de Griffith Les 3 principes du modèle Comparaison avec le critère d Irwin Exemples d application 20

21 Les trois principes de la loi de Griffith 1. Irréversibilité La fissuration ne peut que croître (à ne pas confondre avec le fait que certaines fissures peuvent être fermées) t (t) croissant (au sens de l inclusion) 2. Stabilité À un niveau de chargement et un état de fissuration donnés, la structure est en équilibre instable s il existe un petit incrément virtuel de fissuration tel que le taux de restitution d énergie potentielle correspondant soit plus grand que le taux de création d énergie de surface D où la condition nécessaire de stabilité 3.Bilan d énergie t >t = (t ) (t) état instable (= 9 : G > D 0 état stable =) 8 : G apple D 0 Durant toute évolution contrôlée de la fissuration, le taux de restitution d énergie potentielle est égal au taux de création d énergie de surface 21

22 Etat de fissuration ne dépendant que d un paramètre q(t) Hypothèses - Trajet de fissuration donné - Fissure (2D ou 3D) dépendant d un paramètre l - Energies fonctions régulières de l - Chargement dépendant du temps Loi de Griffith 0, G apple G c, (G G c ) =0 loi à seuil (comme en plasticité) 22

23 Comparaison des critères d Irwin et de Griffith Si matériau isotrope et fissure en mode I pur - les deux critères coïncident - on peut identifier Gc à l aide de la formule d Irwin et d essais servant à mesurer la ténacité (éprouvette CT, éprouvette SENB) G c = 1 2 E K Ic 2 Sinon : matériau anisotrope, fissure en mode mixte, fissure d interface,... - le critère d Irwin est inapplicable - le critère de Griffith est toujours applicable (mais nécessité d identifier Gc par des essais spécifiques dans le cas de matériau anisotrope ou de fissure d interface) 23

24 Premier exemple: rupture d une plaque en rotation bord libre y! bord fixe O 2 xē x bord fixe x Description - plaque mince constituée d un matériau fragile contenant des petites fissures d origine de taille maximale ac connue et réparties aléatoirement - rotation autour de l axe Oy avec une vitesse angulaire donnée ω (paramètre de chargement) - bords y=±h libres, bords x=±l fixes Objectifs bord libre - déterminer la vitesse angulaire critique ω c au delà de laquelle il y a risque de rupture - déterminer quelles sont les fissures les plus dangereuses (position, orientation) 24

25 bord libre y! bord fixe O 2 xē x bord fixe x bord libre Réponse en l absence de fissures 1. Hypothèse : = 0 2. Equilibre 3. Comportement et compatibilité (x) = (x)e x e x, (x) =u(x)e x div +! 2 xe x =0 () (x) =!2 2 (C x2 ) (x) =E"(x) =Eu 0 (x)e x e x () u 0 (x) =!2 2E (C x2 ) 4. Conditions aux limites Z L L u 0 (x)dx =0 () C = L2 3 (x) =!2 6 (L2 3x 2 ) 25

26 bord libre y! bord fixe O 2 xē x bord fixe x bord libre 0 Répartition des contraintes - traction au centre, compression à la périphérie - traction maximale en x=0 2 0 max x (x) = 0 =!2 L 2 - compression maximale en x=±l min x (x) = (x) =!2 6 (L2 3x 2 ) 26

27 2a Facteur d intensité des contraintes aux pointes des fissures K I = (x) +p a cos 2, K II = (x) p a cos sin Taux de restitution d énergie G = 8 >< >: (x) 2 E a cos2, zone de traction (x) 2 E a cos2 sin 2, zone de compression (x) =!2 6 (L2 3x 2 ) Fissures les plus dangereuses zone de traction : x = 0, = 0 zone de compression : x = ±L, = ± 4 9 >= >; G = 2! 4 L 4 a 36E Vitesse de rotation critique! 2 c = 6K Ic L 2p a c 27

28 Deuxième exemple: Essai de déchirure +q h d Description - poutre élancée, préfissurée - essai utilisé pour valider la loi de Griffith (et mesurer la ténacité) - plusieurs types de contrôle possibles (déplacement, force) Modélisation - matériau isotrope, poutre homogène à section constante - trajet plan, front droit, déplacements anti-plan : mode III pur - approximation de l énergie potentielle par la théorie des poutres (ce qui suppose que la hauteur h et l épaisseur d de la poutre sont petites devant la longueur L de la poutre, mais aussi que la longueur l de la fissure et la longueur du ligament L-l sont grands devant h et d Objectif - calculer l évolution de la fissure en utilisant la loi de Griffith q déplacement antiplan contrôlé 28

29 w +q y>0 ` =1.5 h x Calcul de l énergie potentielle - approximation 1D du champ de déplacement (x) =w(x, y)e z, w(x, y) =q 1 x + sign(y) ` q y<0 - approximation de l énergie potentielle y z (x, y) P(q, )= q2 µhd x - approximation du taux de restitution d énergie potentielle (pour un accroissement unitaire de la surface de fissuration) G = q2 µh 2 L/h = 10 G(`) 29

30 Propagation sous déplacement contrôlé croissant - Loi de Griffith 8 Irréversibilité : ` 0 q = t >< Stabilité : µh q2 `2 apple G c >: Bilan d énergie : µh q2 `2 G c ` =0 avec la condition initiale (0) = 0 > Solution (continue en temps) 1. Pas de propagation tant que : q apple q c = `0 2. Propagation dès que q > q c r Gc µh q c q ` = 8 >< >: `0 q `0 q c si q apple q c si q > q c - Unicité de la solution (cf propriétés générales) 30