Chapitre 6 La dérivation

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1 Capitre 6 La dérivation A) Nombre dérivé et tangente 1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B sur cette courbe, avec pour coordonnées A(a ; f(a)) et B(a+ ; f(a+)). Traçons alors la droite (AB), puis rapprocons le point B du point A. On appellera tangente en A à la courbe de f(x) la droite vers laquelle tend (AB) lorsque B se rapproce de A. La pente de cette droite est appelée nombre dérivé de f(x) en A. On la note f'(a). Or la pente de la droite (AB) est égale au taux de variation entre A et B, soit : t a ()= f (a+) f (a) Le nombre dérivé f'(a) est donc la limite de ce taux de variation lorsque se rapproce de 0, 2) Équation de la tangente Cette équation s'écrit : y= f ' (a)( x a)+ f (a) Démonstration : La pente (ou coefficient directeur) de la tangente est f'(a), donc son équation peut s'écrire (k étant un réel à déterminer) : y= f ' (a) x+ k. Or elle passe par le point A(a ; f(a)), d'où f (a )= f ' (a) a+k soit k= f (a) a f ' (a). On en déduit que son équation est : y= f ' (a) x+ f (a) f ' (a) a, soit y= f ' (a) (x a)+ f (a). CQFD. Page 1/6

2 2) Fonction dérivable en un point Il y a trois cas où une fonction n'a pas de nombre dérivé en un point : Soit le cas où la tangente en ce point est verticale (pente infinie!). Soit le cas où il y a une tangente "à droite" et une autre tangente "à gauce". Soit le cas où il n'y a aucune tangente possible en ce point. Lorsque une fonction admet un nombre dérivé en un point, on dit qu'elle est dérivable en ce point. Exemples de non dérivabilité : a) f ( x )= x n'est pas dérivable pour x = 0 : On voit bien ici que la tangente en x=0 est verticale, donc sa pente est infinie. b) f ( x )= x Page 2/6

3 On voit bien que le nombre dérivé est égal à -1 à gauce de zéro et à 1 à droite : f (x) n'est pas dérivable en zéro mais elle y est "dérivable à gauce" et "dérivable à droite". c) f x =sin 1 x Fonction en forme de ressort de plus en plus comprimé pour x = 0 Ici, pas de nombre dérivé en zéro, l'approximation de la tangente n'arrête pas de canger! Remarque : Ces trois fonctions sont dérivables pour toutes les autres valeurs autorisées de x. B) Fonctions dérivées 1) Définition Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout point de I, on dit qu'elle est dérivable sur I et on appelle dérivée, ou fonction dérivée de f, et on note f', la fonction qui à tout x I associe f'(x), nombre dérivé de f en x. Exemple f(x) = x² est dérivable sur R et sa dérivée est f'(x) = 2x En effet, t a = a 2 a 2 = a2 2a 2 a 2 = 2a 2 =2a Or, se rapprocant de 0, f'(a) se rapprocera de 2a pour tout a, ce qui amène bien f'(x) = 2x pour tout x. 2) Dérivées usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition f x =a f ' x =0 R f x =ax b f ' x =a R f x =ax 2 f x =2ax R f x = 1 x f x = x f ' x = 1 x² f x = 1 2 x f x =sin x f x =cos x R f x =cos x f x = sin x R Page 3/6 R* R*

4 La connaissance de la fonction dérivée permet de calculer aisément la pente de la courbe, c'est-àdire de sa tangente, en tout point. En particulier, le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction! On peut aussi trouver aisément l'équation de la tangente à la courbe en tout point donné. C) Opérations sur les dérivées On supposera que u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur I, et k une constante réelle. 1) Somme et différence u + v et u v sont alors définies et dérivables sur I, et : (2x² - 4x + 3)' = (2x²)' (4x)' + (3)' = 4x 4 (3x² + 7x -9 + sin(x))' =? 2) Produit (u + v)' = u' + v' (u v)' = u' v' Si u et v sont dérivables sur I, u v est dérivable sur I, ainsi que k u et : (u v)' = u' v + u v' (k u)' = k u' ( x sin x )' =? ( x 3 1 x )' =? ( 2 x 1 cos x )' =? (7 x 2 )' =? ( x 4 )'=? (3x 3 )'=? 3) Inverse 1 ' v = v ' v 2 1 ( 3 x 2 1 )'=? ( 1 sin( x) )'=? 4) Quotient ( u u ' v u v ' '= v) v 2 Page 4/6

5 Exemples ( 3 x 4 2 x +1) ' =? sin( ( 2 cos( x)) '=? 5) Puissances de u (u n )'=nu ' u n 1 ((2 x 3) 7 )' =? (sin 9 ( x))'=? (noter l'écriture sin 9 (x) qui signifie (sin(x)) 9!) 6) Fonction composée a) Définition On appelle fonction composée une fonction du type f(x) = u(v(x)) et on note f = u o v. Soit u(x) = 3 sin(x) et v(x) = x² 2 x + 3. Exprimer f(x) et g(x) avec f = u o v et g = v o u. (f(x) = 3 sin(x² 2 x + 3) et g(x) = 9 sin²(x) 6 sin(x) + 3) On remarquera que f et g sont très différentes! b) Dérivation Soit (u(v(x)))' = v'(x) u' (v(x)) : (u(v))' =v ' (u' (v)) I) u(x) = cos(x) f (x)=u(v(x))=cos(2x 3) v(x) = 2x -3 II) u = sin(x) v = 2x² -3x + 1 c) Cas particulier important Soit v(x) = a x + b avec a et b réels : f ' ( x)=2sin(2x 3) f (x)=u(v(x))=sin(2x² 3x+1) f ' ( x)=(4x 3)cos(2x² 3x+1) Exemples ( 2 x+1)'=? (u(a x+b))' =a u ' (a x +b) ((3 x 2) 4 )'=? (sin( 1 x ))'=? Page 5/6

6 Fice de révision : Dérivation Définition : f (a)= df dx ( (a)=lim 0 f (a+) f (a) ) Équation de la tangente en x 0 à la courbe de f : y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) Dérivées de base : Fonction définie sur Fonction f(x) = Dérivée f (x) = Dérivée définie sur R k 0 R R a x + b a R R a x n n a x n - 1 R R * = R \ {0} R * = R \ {0} [0; ] a x a x n a x a x 2 R * = R \ {0} n a x n+1 R * = R \ {0} a 2 x ]0 ; ] R a sin( x) a cos( x) R R a cos( x) asin( x) R Dérivée d une fonction composée (formule générale) : (u(v( x))) ' = v ( x) u (v( x)) Opérations sur les dérivées Dérivées des fonctions composées Opération Formule de la dérivée Fonction composée Formule de la dérivée u v u ' v' sin(u) u ' cos(u) k u ku' cos(u) u ' sin(u) u v u ' v+u v' u ax b au' ax b u u v u ' 2 u (a x+b) n a n(a x+b) n 1 u' v uv ' 1 a n v 2 (a x+b) n (a x+b) n+1 u n n u ' u n 1 sin(a x+b) a cos(a x+b) 1 u n nu ' u n+1 cos(a x+b) asin(a x+b) Page 6/6