Chapitre 17. Matrices

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1 Lycée Carnot - ECSB Matthias Gorny Chaitre 7 Matrices Soient n et deux entiers strictement ositifs Soit K R ou C I Ensemble de matrices Définition (Matrice) Une matrice à n lignes et colonnes (ou de taille n ) à coefficients dans K est une alication A : J, nk J, K K, notée A (ai ) 6i6n ou (ai )6i6n,66 ou encore sous la forme d un tableau à n lignes (i, ) 7 ai 66 et colonnes a a a a a a A an an an Pour tout (i, ) J, nk J, K, ai, est aelé le terme (ou le coefficient) de A d indice (i, ) On note Mn, (K) l ensemble des matrices de taille n Remarques : Quand il n y a as de confusion sur l esace dans lequel évoluent les indices, on notera simlement A (ai )i, Si M Mn, (K), on note arfois (M )i son coefficient d ordre (i, ) J, nk J, K Mn, (R) Mn, (C) Deux matrices A (ai ) 6i6n et B (bi ) 6i6m à coefficients dans K sont égales si elles sont égales en tant qu alication, 66 66q c est-à-dire si elles ont même taille : n m et q, elles ont les mêmes coefficients : our tout (i, ) J, nk J, K, ai, bi, Définition Soit A (ai ) 6i6n une matrice à n lignes et colonnes à coefficients dans K 66 Si n, alors on dit que A est une matrice ligne (ou un vecteur ligne) Si, alors on dit que A est une matrice colonne (ou un vecteur colonne) Pour tout i J, nk, la matrice ligne Li (ai ai ) est aelée la iième ligne de A a Pour tout J, K, la matrice colonne C est aelée la ième colonne de A an On note On, la matrice de Mn, (K) dont tous les coefficients sont nuls Pour tout (i, ) J, nk J, K, on note Ei, la matrice de Mn, (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient d indice (i, ) qui est égal à Cette matrice est aelée matrice élémentaire d indice (i, ) dans Mn, (K) Remarque : On note souvent A (a )66 une matrice ligne à colonnes au lieu de (a, )66 A (ai )6i6n une matrice colonne à n lignes au lieu de (ai, )6i6n au lieu de On, lorsqu il n y a as d ambiguïté II Oérations sur les matrices ) Oérations algébriques dans Mn, (K) Définition (somme de matrices) Soient A (ai )i, et B (bi )i, deux matrices de Mn, (K) On définit la somme de A et B, et on note A B, la matrice de Mn, (K) dont le coefficient d indice (i, ) J, nk J, K est ai bi Autrement dit A B (ai bi, ) 6i6n 66

2 L addition de deux matrices ayant des tailles différentes n a as de sens Définition (multilication ar un scalaire) Soient A (ai )i, Mn, (K) et λ K On définit le roduit de A ar le scalaire λ, et on note λa, la matrice de Mn, (K) dont le coefficient d indice (i, ) J, nk J, K est λai Autrement dit λa (λai ) 6i6n 66 Exemle : Dans M, (R), Proosition Soient A, B et C dans Mn, (K) Soient (λ, µ) R On a : A B B A (l addition est commutative dans Mn, (K)) A (B C) (A B) C (l addition est associative dans Mn, (K)) A On, On, A A (On, est l élément neutre de Mn, (K)) 4 A ( A) ( A) A On, (tout élément de Mn, (K) admet un oosé) 5 λ(a B) λa λa 6 (λ µ)a λa µa 7 λ(µa) (λµ)a 8 A A Démonstration Exercice Remarque : On ourrait se demander l intérêt de la roosition récédente qui semble totalement évidente En fait toutes ces roriétés sont évidentes our les nombres réels que l on a l habitude de maniuler deuis des années Ceendant, lorsqu on définit l addition et la multilication ar un scalaire sur un nouvel ensemble, il convient de vérifier que ces roriétés naturelles (héritées des nombres réels) sont touours vérifiées C est donc le cas our l ensemble des matrices et on a vu cette année que c était aussi le cas our les nombres comlexes, our les olynômes, our les suites et our les fonctions à valeurs réelles On dit que ces ensembles sont des esaces vectoriels Ce sera l obet du rochain chaitre Proosition Pour tout (i, ) J, nk J, K, notons Ei, la matrice élémentaire d indice (i, ) dans Mn, (K) Si A (ai )i, Mn, (K), alors Démonstration ) Produit matriciel a) Définition et remières roriétés Définition (roduit de matrices) Soient A (ai )i, Mn, (K) et B (bi )i, M,q (K) où n,, q sont des entiers strictement ositifs On aelle roduit de A et B, et on note AB, la matrice de Mn,q (K) dont le coefficient d indice (i, ) J, nk J, qk est On multilie une matrice de taille n ar une matrice de taille q et on obtient une matrice de taille n q La multilication d une matrice A ar une matrice B dont le nombre de lignes diffère du nombre de colonnes de A n a as de sens

3 On eut résenter le roduit matriciel de A Mn, (K) et B M,q (K) sous la forme suivante (qui rend de la lace mais facilite les calculs de chaque coefficient de AB) B : lignes q colonnes b b ai ai ai b b b bq b b bq b b bq b bq ai b b Exemle : Soient A a a a ai ai ai an an an a ai an A : n lignes colonnes 4 5 et B 4 c ci cn c ci cn cq ciq cnq C A B : n lignes q colonnes 6 5 Proosition (associativité) Soient A Mn, (K), B M,q (K) et C Mq,r (K) Alors (AB)C A(BC) On note alors simlement ABC ce roduit Démonstration Les matrices (AB)C et A(BC) aartiennent toutes les deux à Mn,r (K) Soient (i, ) J, nk J, rk, ((AB)C)i et (A(BC))i

4 Ainsi (AB)C et A(BC) ont les même coefficients D où leur égalité Le roduit matriciel n est bien sûr as commutatif en général : les roduits AB et BA n ont de sens que si n q Nous verrons à la section suivante que, même si n q, l égalité AB BA est fausse en général Proosition Soient (A, B) Mn, (K), (C, D) M,q (K) et λ K Nous avons : (A B)C AC BC Démonstration A(C D) AC AD (λa)b λ(ab) A(λB) Les matrices (AB)C et AC BC aartiennent toutes les deux à Mn,q (R) Soit (i, ) J, nk J, qk, ((A B)C)i (A B)i c et (AC BC)i (AC)i (BC)i (ai bi ) c ai c ai c ai c ai c Ainsi (A B)C et AC BC ont les mêmes coefficients D où leur égalité Démonstration analogue à celle du oint Les matrices (λa)b et λ(ab) aartiennent toutes les deux à Mn,q Soit (i, ) J, nk J, qk, ((λa)b)i (λa)i b (λai ) b λ ai b λ(ab)i, (λ(ab))i, Ainsi (λa)b et λ(ab) ont les même coefficients D où leur égalité On montre que A(λB) λ(ab) de façon analogue Le roduit de deux matrices non nuls eut être nul (on dit alors que Mn (K) n est as intègre) b) Produit d une matrice ar un vecteur colonne Très souvent on multilie une matrice ar une matrice colonne Retenons ce cas articulier : Proosition (roduit ar un vecteur colonne) Soit A (ai ) 6i6n Mn, (K) et (xi )6i6 Mn, (R), alors 66 a a A an a a an a x a x x a x a Mn, (R) an x an x Proosition Soient A (ai )i, Mn, (K) et B (bi )i, M,q (K) Notons C,, C les colonnes de B Alors, our tout J, qk, la ième colonne de AB est égale à AC Démonstration Exercice 4

5 c) Lien entre matrice et systèmes linéaires Proosition/Définition (liens avec les matrices) Soient n N, N et a x a x a x b a x a x a x b (S) an x an x an x bn un système linéaire de n équations à inconnues où, our tout (i, ) J, nk J, K, ai K et bi K Posons x b a a a x b a a a A Mn, (K), B Mn, (K), M, (K) x bn an an an La matrice A est aelée la matrice associée au système (S) Nous avons alors : (x,, xn ) Kn est solution du système (S) si et seulement si A B (x,, xn ) Kn est solution du système homogène (S ) si et seulement si A (où désigne ici On, la matrice à n lignes et colonne dont tous les coefficients sont nuls) Exemle : y x y x y x y Le système ) z z z t 9t t se réécrit {z A x y 9 z t } {z } {z } B Transosée d une matrice Définition (transosée d une matrice) Soient A (ai )i, Mn, (K) On définit la transosée de A, et on note ta, la matrice de M,n (K) dont le coefficient d indice (i, ) J, K J, nk est ai Exemle : Si A M, (K), alors ta 6 Proosition Soient A (ai )i, et B (bi )i, Mn, (K) Nous avons t ( ta) A t (A B) ta tb t (λa) λ ta Démonstration Exercice Proosition Si A (ai )i, Mn, (K) et B (bi )i, M,q (K), alors t (AB) tb ta Démonstration 5

6 III ) Matrices carrées Définitions et exemles Définition (Matrices carrées) Soit n N Si A est une matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans K, alors on dit que A est une matrice carrée d ordre n à coefficients dans K On note simlement Mn (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K Mn (K) dont tous les coefficient sont nuls est aelée matrice identité dans Mn (K) i Exemles : A M (C), B M (R) i π 8 On note On la matrice de La matrice In Remarque : Soit n N Si A et B sont deux matrices carrées d ordre n, alors AB et BA sont touours bien définis et sont encore des matrices carrées d ordre n Les roriétés déà montrées sur les matrices nous ermettent d affirmer que le roduit matriciel dans Mn (K) est associatif et distributif ar raort à l addition Mn (K) n est as commutatif our le roduit matriciel dès que n > Définition On dit que deux matrices A et B de Mn (K) commutent si AB BA Remarque : Les matrices On et In commutent avec toutes les matrices : si A Mn (K), alors In A AIn A et On A AOn On Définition (Matrices carrées remarquables) Une matrice carrée A de Mn (K) est dite triangulaire suérieure si ai, our tout (i, ) J, nk tel que i > triangulaire inférieure si ai, our tout (i, ) J, nk tel que i < diagonale si ai, our tout (i, ) J, nk tel que i 6, symétrique si ta A, c est-à-dire a,i ai, our tout (i, ) J, nk antisymétrique si ta A, c est-à-dire a,i ai, our tout (i, ) J, nk On note Dn (K) (res Tn (K), Tn (K), Sn (K) et An (K)) l ensemble des matrices carrées d ordre n et à coefficients dans K qui sont diagonales (res triangulaires suérieurs, triangulaires inférieures, symétriques et antisymétriques) Remarques : Une matrice carrée antisymétrique A d ordre n vérifie ai,i our tout i J, nk Si (S) est un système linéaire, alors il est triangulaire si et seulement si sa matrice associée est une matrice carrée triangulaire suérieure i 6 i 7 7 i Exemles :,, 6 4 i 7 5 6

7 i 4 8 i, i i 7i 4 Définition Si n N et (λ,, λn ) Kn, alors on note λ Diag(λ,, λn ), 7 4 Dn (K) λn Remarque : Si n N, alors In Diag(,, ) Proosition Soit n N Si α K, (λ,, λn ) Kn et (µ,, µn ) Kn, alors αd D Diag(αλ µ,, αλn µn ) et D D D D Diag(λ µ,, λn µn ) Si α K, T Tn (K), T Tn (K) alors αt T Tn (K) et T T Tn (K) Démonstration ) Exercice Puissances de matrices carrées Ce aragrahe et le suivant anticient légèrement le rogramme du second semestre Définition (uissances d une matrice carrée) Soient n N et A Mn (K) On ose A In et, our tout N, on note A A A} {z fois Remarque : On a A A et, our tout N, A A A AA Proosition Si A Mn (K) et (, `) N, alors A A` A` A` A et (A )` A` (A` ) Si B Mn (K) commute avec A alors (AB) B A et ` B ` A Démonstration Exercice Proosition Si (λ,, λn ) Kn et N, alors Diag(λ,, λn ) Diag(λ,, λn ) Démonstration Exercice Exemle : Pour tout n N, on note Jn la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont égaux à Montrons, our tout N\{, }, Jn n Jn 7

8 Proosition (binôme de Newton) Soient A et B deux matrices de Mn (K) qui commutent Alors N, (A B) Démonstration Montrons la remière formule ar récurrence sur N Initialisation : Nous avons B A donc la formule est vrai au rang Hérédité : Suosons que la formule soit vraie our un certain rang N Alors! B A (A B) (A B), uisque A et B commutent Faisons le changement de variable dans la remière somme Nous obtenons (A B) B A B A Ainsi la formule est vraie au rang D où le résultat ar récurrence La deuxième formule est alors automatique uisque, l addition dans Mn (K) étant commutative, les matrices A et B ouent un rôle symétrique dans le terme (A B) Exemles : Soit N Calculons A lorsque A Soit n N\{, } Considérons la matrice An 8 Mn (R)

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