Espaces vectoriels sur R ou C.

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1 Chapitre 1 Espaces vectoriels sur R ou C. 1.1 Rappel : les vecteurs du plan. On connaît depuis le lycée u = (x, y). Point de vue géométrique. Un vecteur du plan est un segment orienté. Plus précisémment, c est une classe d équivalence de segments pour la relation : [A, B] [A, B ] (AB) (A B ) et (AA ) (BB ). Ou encore : les couples de points (A, B) et (A, B ) définissent le même vecteur si et seulement si le quadrilatère ABB A est un parallélogramme. Point de vue analytique. Un vecteur du plan est caractérisé par ses coordonnées x et y suivant une base de vecteurs ( i, j) fixée une fois pour toutes. Pour nous : un vecteur du plan sera un couple de réels, autrement dit un élément de R 2, u = (x, y), qu on notera soit en ligne, soit en colonne. On sait déjà ajouter deux vecteurs du plan. u 1 = (x 1, y 1 ), u 2 = (x 2, y 2 ). u 1 + u 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Comme la somme de deux vecteurs du plan est un vecteur du plan, on dit que l addition est une loi interne. On sait multiplier un vecteur du plan par un nombre réel. Si λ est un nombre réel et si u = (x, y) est un vecteur du plan, on définit λ u = (λx, λy). La multiplication est effectuée par un réel et non par un vecteur. On dit que la multiplication par un réel est une loi externe. On ne sait pas multiplier deux vecteurs du plan, ni diviser deux vecteurs du plan. On peut combiner la multiplication par un réel et l addition. λ, µ R; λ u 1 + µ u 2 = (λx 1 + µx 2, λy 1 + µy 2 ). On dit qu on a effectué une combinaison linéaire des deux vecteurs u 1 et u 2 avec les coefficients λ et µ. Lorsqu il existe un réel λ tel que u = λ v, ou tel que v = λ u on dit que les vecteurs u et v sont colinéaires. Dans le cas contraire, on dit qu ils sont linéairement indépendants. Exemple : (1, 0) et (0, 1) sont linéairement indépendants. On peut définir aussi les vecteurs de l espace comme les triplets de réels u = (x, y, z). 1

2 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. 1.2 Espaces vectoriels sur R ou C. On rappelle que K = R ou C est appelé le corps des scalaires. Définition Un espace vectoriel sur K est un ensemble non vide E qui est muni de deux opérations : la somme et la multiplication par un scalaire. Ces deux opérations vérifient les propriétés suivantes : u, v E, u+v = v+u (l addition est commutative). u, v, w E, u+(v+w) = (u+v)+w. On notera u + v + w. (L addition est associative). Il existe e E tel que u + e = u pour tout u de E. Pour tout u E, il existe u E tel que u + u = e. u E, 1u = u. u E, λ, µ K, (λ + µ)u = λu + µu u E, λ, µ K, (λµ)u = λ(µu). (on notera λµu). u, v E, λ K, λ(u + v) = λu + λv. Tout élément de E s appelle un vecteur. On pourrait noter u, on notera u. Remarques : Ce n est pas la nature des éléments de E qui fait que E est appelé un espace vectoriel, mais ce sont les opérations qu on peut effectuer sur les éléments de E et les propriétés de ces opérations. L addition est une loi interne. Les quatre premières propriétés sont des propriétés de l addition seulement. On dit que (E, +) est un groupe abélien. L élément e est appelé l élément neutre pour +. Les éléments u et u sont appelés des éléments symétriques pour +. La multiplication par un scalaire est une loi externe. On n a pas défini la multiplication de deux éléments de E. Montrons l unicité de l élément neutre pour l addition. Soient e et e tels que pour tout u E, e + u = u et e + u = u. alors e + e = e et e + e = e. Mais e + e = e + e donc e = e. Pour u E, montrons l unicité de l élément symétrique de u pour l addition. Soient u et v tels que u + u = e et u + v = e. Alors v + (u + u ) = (v + u) + u = e + u = u. Mais on a aussi v + (u + u ) = v + e = v. Donc v = u. Notation : L élément neutre pour l addition, e, sera noté 0. On pourrait noter 0, pour ne pas le confondre avec le 0 de R ou C, mais on décide de ne pas mettre de flèches sur les vecteurs. Attention : On prendra garde, tout au long du cours, à ne pas confondre le vecteur 0 (vecteur nul) avec le scalaire 0. C est le contexte qui nous permettra de reconnaître dans quels cas le symbole 0 désigne le vecteur nul et dans quels cas il désigne le scalaire nul. Montrons que si u, v, w E, (u + w = v + w) (u = v). Il suffit d ajouter le symétrique de w, w, de chaque côté. Montrons que si u E, 0u = 0. (Remarquons que le 0 à gauche du signe = est un scalaire et que le 0 à droite du signe = est un élément de E). 0u + u = 0u + 1u = (0 + 1)u = 1u = u donc 0u + u + u = u + u d où 0u + 0 = 0, d où 0u = 0. Montrons que si λ est un scalaire, λ0 = 0. (Remarquons que le 0 à gauche du signe = et le 0 à droite du signe = désignent tous deux le vecteur nul). λ0 + λ0 = λ(0 + 0) = λ0 = λ0 + 0 donc λ0 = 0.

3 1.2. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. 3 Montrons que si u E et λ K et si λu = 0, alors u = 0 (u est le vecteur nul), ou λ = 0 (λ est le zéro de R ou C). Supposons λ 0. Soit 1/λ son inverse dans R ou C. On a (1/λ)(λu) = 0 Or (1/λ)(λu) = ((1/λ)λ)u = 1u = u, donc u = 0. On a donc bien montré (λu = 0) (λ = 0 ou u = 0). Le symétrique pour l addition du vecteur u E, u, sera noté u. On a u + ( 1)u = 1u + ( 1)u, donc u + ( 1)u = (1 + ( 1))u = 0u = 0. Donc u = ( 1)u. Exemples d espaces vectoriels a) L ensemble K lui même est un espace vectoriel sur K. On prend comme opérations l addition et la multiplication dans K. Toutes les propriétés ci-dessus sont vérifiées. b) C est un espace vectoriel sur C, d après a). C est aussi un espace vectoriel sur R, si on prend les opérations suivantes : comme loi interne l addition dans C et comme loi externe la mutiplication d un nombre complexe par un nombre réel. C est à dire a, b, a, b R, (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ). a, b, λ R, λ(a + ib) = λa + iλb. c) Si n est un entier supérieur ou égal à 2, l ensemble R n des n uplets de réels est un espace vectoriel sur R. Pour n = 2, on trouve les vecteurs du plan étudiés au lycée, pour n = 3, on trouve les vecteurs de l espace. L addition dans R n est définie par : La multiplication par un réel λ est définie par : (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ). L addition dans R n est commutative, car l addition dans R l est. On vérifie facilement que l addition dans R n est associative car l addition dans R l est. L addition dans R n a un élément neutre qui est (0,..., 0) car (x 1,..., x n ) + (0,..., 0) = (x 1 + 0,..., x n + 0) = (x 1,..., x n ). Chaque élément (x 1,..., x n ) de R n a un symétrique pour l addition, qui est ( x 1,..., x n ). Donc (R n, +) est un groupe abélien. De plus on a : 1(x 1,..., x n ) = (1x 1,..., 1x n ) = (x 1,..., x n ). Pour λ, µ R on a : et (λ + µ)(x 1,..., x n ) = ((λ + µ)x 1,..., (λ + µ)x n ) = (λx 1 + µx 1,..., λx n + µx n ) = (λx 1,..., λx n ) + (µx 1,..., µx n ) = λ(x 1,..., x n ) + µ(x 1,..., x n ), λ(µ(x 1,..., x n )) = λ(µx 1,..., µx n ) = (λµx 1,..., λµx n ) = (λµ)(x 1,..., x n ) λ((x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n )) = λ(x 1 + y 1,..., x n + y n ) = (λ(x 1 + y 1 ),..., λ(x n + y n )) = (λx 1 + λy 1,..., λx n + λy n ) = (λx 1,..., λx n ) + (λy 1,..., λy n ) = λ(x 1,..., x n ) + λ(y 1,..., y n ). d) L ensemble des n uplets de nombres complexes, C n, est un espace vectoriel sur C. La démonstration est identique à celle de c).

4 4 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. e) L ensemble C n est un espace vectoriel sur R pour la somme dans C n et la multiplication d un élément de C n par un nombre réel. f) Soit I un intervalle de R. Soit F(I, R) l ensemble des fonctions de I dans R. F(I, R), puisqu il contient au moins la fonction identiquement nulle : x 0. On le munit des opérations définies par : (f + g)(x) = f(x) + g(x), λ R, (λf)(x) = λ(f(x)). On a bien une loi interne et une multiplication par les scalaires. Vérifions les quatre propriétés de la loi interne. La fonction identiquement nulle est élément neutre pour l addition. Montrons que l addition dans F(I, R) est commutative. Par la définition de f +g on a : (f +g)(x) = f(x)+g(x). Comme l addition dans R est commutative, on a f(x) + g(x) = g(x) + f(x). Or par la définition de la fonction g + f, on a g(x) + f(x) = (g + f)(x). On conclut que f + g = g + f. On peut montrer de la même manière que l addition dans F(I, R) est associative. Chaque élément f a un symétrique pour l addition qui est la fonction x f(x), qu on notera f. On a donc montré que (F(I, R), +) est un groupe abélien. On a : On a (1f)(x) = 1(f(x)) = f(x), donc 1f = f. On a On a ((λµ)f)(x) = (λµ)(f(x)) = λ(µf(x)) = λ((µf)(x)) = (λ(µf))(x), donc (λµ)f = λ(µf). ((λ + µ)f)(x) = (λ + µ)(f(x)) = λ(f(x)) + µ(f(x)) = (λf)(x) + (µf)(x), donc (λ + µ)f = λf + µf. (λ(f + g))(x) = λ((f + g)(x)) = λ(f(x) + g(x)) = λ(f(x)) + λ(g(x)) = (λf)(x) + (λg)(x) = (λf + λg)(x), donc λ(f + g) = (λf) + (λg). On a démontré que F(I, R) muni de l addition et de la multiplication par un scalaire définies ci-dessus est un espace vectoriel sur R. 1.3 Sous-espaces vectoriels. Dans cette partie, E sera un espace vectoriel sur K. Définition Soient n N, u 1,..., u n, v E, alors (i) si il existe λ K tel que v = λu 1, on dit que v est colinéaire à u 1. (ii) si n 2 et si il existe λ 1,..., λ n K tels que v = λ 1 u λ n u n, on dit que le vecteur v est une combinaison linéaire des vecteurs u 1,..., u n. Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur car 0 = 0u, pour tout u E. (À gauche du signe=, le symbole 0 désigne le vecteur nul ; à droite du signe= le même symbole désigne le scalaire nul.)

5 1.4. INTERSECTION DE SOUS-ESPACES VECTORIELS. 5 Définition Soit F un sous-ensemble non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si (i) Pour tous u, v F, u + v F ; (ii) pour tous λ K, u F, λu F. Proposition On a l équivalence des propositions suivantes : (i) F est un sous-espace vectoriel de E ; (ii) Pour tous λ, µ, éléments de K, et tous u, v, éléments de F, λu + µv appartient F. Remarques : Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors a) le vecteur nul appartient à F. En effet, comme F, soit u F. Soit 0 K le scalaire nul, on a 0u F. Or 0u est le vecteur nul, donc le vecteur nul appartient à F. b) Si n 2 et si u 1,..., u n F, alors u u n F. (Appelons (P n ) la propriété si u 1,..., u n sont n vecteurs de F, alors le vecteur u u n appartient à F. Démontrons par récurrence que (P n ) est vraie pour tout n 2. La propriété (P 2 ) est vraie, donc la propriété (P n ) est initialisée à l ordre 2. Montrons qu elle est héréditaire à partir de l ordre 2, c est à dire que pour n 2, ((P n ) (P n+1 )). Soit n 2 tel que (P n ) soit vraie. Montrons que (P n+1 ) est vraie. Prenons n + 1 vecteurs de F. On a u u n+1 = (u u n ) + u n+1. Or, par la propriété (P n ) on a u u n F. Par la propriété (P 2 ), on a donc que (u u n ) + u n+1 F. La propriété (P n ) est donc bien héréditaire à partir de l ordre 2. Comme elle est aussi initialisée à l ordre 2, alors elle est vraie pour tout n 2, par le théorème de récurrence.) c) Si n 2, toute combinaison linéaire de n vecteurs de F appartient à F. (C est vrai pour toute combinaison linéaire de deux vecteurs de F, puis on fait une démonstration par récurrence sur le nombre de vecteurs). Proposition Tout sous-espace vectoriel de E est un espace vectoriel sur K. Preuve : On prend comme addition dans F la loi interne de E. On prend comme loi externe sur F la loi externe sur E. On a vu que le vecteur nul de E appartient à F. C est l élément neutre pour l addition dans F. Si u appartient à F, on sait que son symétrique pour l addition est ( 1)u, donc il appartient à F. La commutativité et l associativité de la loi interne sont vérifiées dans F, car elles le sont dans E. Il en est de même des quatre dernières propriétés qui définissent un espace vectoriel. Exemples : a) Si E est un espace vectoriel sur K alors {0} est un sous-espace vectoriel de E et E lui-même est un sous-espace vectoriel de E. b) Soit n N, n 2 et soit l espace vectoriel sur K K n. Soit 1 p n. Alors F = {(x 1,..., x p, 0...0); x i K, i = 1,..., p} est un sous-espace vectoriel de K n. On a (0,..., 0) F, donc F. Si u = (x 1,..., x p, 0,...0) F et si λ K, alors λu F car λu = (λx 1,..., λx p, 0,..., 0). Si v = (y 1,..., y p, 0,..., 0) F, alors u + v F car u + v = (x 1 + y 1,..., x p + y p, 0,..., 0). c) Soit C (R) l ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de R dans R. C est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel sur R F(R, R). 1.4 Intersection de sous-espaces vectoriels. Proposition Si (F i ) i I est une famille de sous-espaces vectoriels de E, alors i I F i est un sous-espace vectoriel de E. Preuve : 0 i I F i, donc i I F i. Si u, v i I F i et λ K, alors λu i I F i et u + v i I F i.

6 6 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. Proposition L ensemble des solutions d un système homogène n p est un sous-espace vectoriel de K p. Preuve : 0n rappelle qu un système homogène n p a n lignes et p inconnues et un second membre nul. a 1,1 x a 1,p x p = 0... (S) a i,1 x a i,p x p = 0... a n,1 x a n,p x p = 0 Soit F 1 l ensemble des solutions de la première ligne, c est à dire : F 1 = {(x 1,..., x p ) K p ; a 1,1 x a 1,p x p = 0}. Montrons que F 1 est un sous-espace vectoriel de K p. D abord F 1 n est pas vide car il contient (0,..., 0). Si λ K, (x 1,..., x p ) F 1 et (y 1,..., y p ) F 1, alors on a { a1,1 x a 1,p x p = 0 En sommant membre à membre on obtient : a 1,1 y a 1,p y p = 0 a 1,1 (x 1 + y 1 ) a 1,p (x p + y p ) = 0, ce qui montre que (x 1,..., x p ) + (y 1,..., y p ) F 1. En multipliant la premıère ligne de (S) par λ on obtient ce qui montre que a 1,1 (λx 1 ) a 1,p (λx p ) = 0, λ(x 1,..., x p ) F 1. Donc F 1 est un sous-espace vectoriel de K p. Si n = 1, F 1 est l ensemble des solutions de (S). Si n 2, on appelle F i l ensemble des solutions de la ième ligne du système (S), pour i = 2,..., n. La même démonstration que pour F 1 montre que F i est un sous-espace vectoriel de K p, pour i = 2,..., n. Or l ensemble des solutions de (S) est F 1... F n. C est l intersection d une famille finie de sous-espaces vectoriels de K p, donc c est un sous-espace vectoriel de K p. 1.5 Somme d un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Définition Soient n 2 et F 1,...,F n des sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme des sous-espaces vectoriels F 1,...,F n, et on note F F n l ensemble défini par F F n = {u u n ; u 1 F 1,..., u n F n }. Proposition F F n est un sous-espace vectoriel de E. Preuve : Soient u 1 F 1, v 1 F 1,...,u n F n, v n F n. Alors (u u n ) + (v v n ) = (u 1 + v 1 ) (u n + v n ) F F n. Si λ K, alors λ(u u n ) = (λu 1 ) (λu n ) F F n. Exemple. Dans R 2. Soit F 1 = {(λ, 0), λ R} et F 2 = {(0, λ), λ R}. Ce sont des sousespaces vectoriels de R 2. On a F 1 + F 2 = {(λ, µ), λ R, µ R}. Donc F 1 + F 2 = R 2. Soit F 3 = {(λ, λ), λ R}. C est un sous-espace vectoriel de R 2. Alors F 1 + F 2 + F 3 = R 2.

7 1.6. SOMME DIRECTE DE DEUX SOUS-ESPACES VECTORIELS Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Définition On dit que la somme F + G est une somme directe si tout vecteur de F + G s écrit de manière unique comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G. Notation. Quand la somme est directe, on écrit F G à la place de F + G. Exemple. Dans l exemple ci-dessus la somme F 1 + F 2 est directe. Proposition La somme F + G est directe si et seulement si F G = {0}. Preuve : Supposons d abord que la somme F +G est directe. Tout u de F +G s écrit de manière unique u = v + w, où v F et w G. Soit u F G. Le vecteur nul appartient à F + G et on a d une part 0 = et d autre part 0 = u + ( u). Or la décomposition de tout vecteur de F + G comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G est unique, donc 0 = u. Supposons maintenant que F G = {0}. Soit u F + G. Il existe v F et w G tels que u = v + w. Montrons l unicité de la décomposition. Soient v F et w G tels que u = v + w. Alors en retranchant membre à membre les deux décompositions de u on obtient 0 = (u u ) + (v v ), ce qui donne u u = v v. Or u u F et v v G. Donc u u F G et v v F G. On a donc u = u et v = v. Définition On dit que F et G sont supplémentaires si tout vecteur de E s écrit de manière unique comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G. On note alors E = F G. Proposition Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors ils sont supplémentaires si et seulement si E = F + G et F G = {0}. (C est un corollaire de la proposition précédente). Exemples : a) Dans R 2 F 1 = {(λ, 0), λ R} et F 2 = {(0, λ), λ R} sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires. b) Soit G l espace vectoriel des fonctions affines de R dans R : G = {x ax + b, a R, b R}. Alors G = G 1 G 2 où G 1 est le sous-espace vectoriel des fonctions constantes et G 2 est le sous-espace vectoriel des fonctions linéaires. On vérifie que G 1 G 2 = {0 G }, où 0 G désigne la fonction constante x 0. c) Dans E = F(R, R), on définit F = {f F(R, R), f paire} et G = {g F(R, R), f impaire}. On vérifie d abord (exercice) que F et G sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R). Montrons que F(R, R) = F G. Prouvons d abord que F G = {0}. Soit f F G. Alors f est à la fois paire et impaire, donc pour tout x R on a f( x) = f(x) et f( x) = f(x). Donc f(x) = 0 pour tout x R, ce qui prouve que F G = {0}. Prouvons maintenant que F(R, R) = F + G. Soit h F(R, R). On écrit : Posons h(x) = h(x)+h( x) 2 + h(x) h( x) 2. f(x) = h(x)+h( x) 2 et g(x) = h(x) h( x) 2. Alors f est paire et g est impaire. On a donc bien F(R, R) = F + G et on conclut que F(R, R) = F G.

8 8 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. 1.7 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. Soit S une partie non vide de E. On considère toutes les familles finies d éléments de S et on appelle F l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de toutes les parties finies de S. F = { n λ i s i ; n N; λ i K; s i S, i = 1,..., n}. i=1 Proposition L ensemble F est un sous-espace vectoriel de E et c est le plus petit sousespace vectoriel de E, pour l inclusion, qui contient tous les vecteurs de la partie S. Dire que F est le plus petit sous-espace vectoriel, pour l inclusion, contenant S signifie que si G est un autre sous-espace vectoriel de E qui contient S, alors F G. Preuve : Le fait que F est un sous-espace vectoriel de E est immédiat : la somme de deux combinaisons linéaires de familles finies d éléments de S est une combinaison linéaire de la réunion de ces deux familles ( pour les mêmes coefficients) donc c est encore une combinaison linéaire finie d éléments de S. La multiplication par un scalaire d une combinaison linéaire finie d éléments de S est encore une combinaison linéaire finie des mêmes éléments de S (avec les coefficients multipliés par λ). Donc F est un sous-espace vectoriel de E. Montrons que c est le plus petit sous-espace vectoriel, pour l inclusion, qui contient S. Soit G un sous-espace vectoriel de E qui contient la partie S. Alors G contient toutes les combinaisons linéaires finie d éléments de S (Voir Remarques c)), donc F G. Définition On appelle F le sous-espace vectoriel de E engendré par la partie S. On dit que S est une partie génératrice de F. Notation : F = Vect S. Cas particulier : si S a un nombre fini d éléments, il existe p N et e 1,..., e p des vecteurs de E tels que S = {e 1,..., e p }. Dans ce cas, F = { p λ i e i ; λ 1 K,..., λ p K}. i=1 Définition Soit u E, u 0 et soit S = {u}. Alors Vect S = {λu; λ K}. On dit alors que Vect S est une droite vectorielle de E. C est la droite vectorielle engendrée par le vecteur non nul u. Exemple. Si E = R 2. Soit e E, e 0 et soit e E, e Vect {e}. On dessine Vect {e} dans le plan R 2 comme la droite passant par 0 de vecteur directeur e. On dessine Vect {e } comme une droite passant par 0, différente de Vect {e}. Alors Vect {e, e } = {λe+µe, λ, µ K} est l ensemble des sommes des vecteurs de la droite vectorielle Vect {e} et des vecteurs de la droite vectorielle Vect {e }. On construit la somme de deux vecteurs par la méthode du parallélogramme. On constate sur la figure que Vect {e, e } = R 2. Exemples. a) Soit E = F(R, R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. Soit S le sous-ensemble de E constitué des monômes x x k, k = 0, 1... Le sous-espace vectoriel Vect S est par définition l ensemble de toutes les combinaisons linéaires d un nombre fini de monômes. On a donc Vect S = {α n x n α 0 ; n N; α 0,..., α n R}. Donc les éléments de Vect S sont des fonctions polynômes de R dans R, de tous les degrés possibles, avec tous les coefficients réels possibles. Vect S est donc l ensemble des fonctions polynômes de R dans R.

9 1.7. SOUS-ESPACE VECTORIEL ENGENDRÉ PAR UNE FAMILLE DE VECTEURS. 9 b) Soit F = {(x, y, z) R 3 ; 2x y + z = 0}. On sait que F est un sous-espace vectoriel de R 3 (c est l ensemble des solutions d un système homogène 1 3). Peut-on trouver une partie de R 3 qui engendre F? On a un système échelonné, avec une seule inconnue principale et deux paramètres. x = x (2x y + z = 0) (y = 2x + z) y = 2x+ z = z z x y z = x z On en déduit que F est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs (1, 2, 0) et (0, 1, 1). Donc F est le sous espace vectoriel de R 3 engendré par ces deux vecteurs. On dit aussi que ces deux vecteurs constituent une partie génératrice de F. Remarquons qu en montrant que F = Vect {(1, 2, 0); (0, 1, 1)}, on a redémontré que F est un sous-espace vectoriel de R 3! Proposition F + G est le sous-espace vectoriel de E engendré par la partie F G. Cela signifie que F + G est le plus petit sous-espace vectoriel, pour l inclusion, qui contient à la fois les éléments du sous-espace vectoriel F et ceux du sous-espace vectoriel G. Preuve : Prouvons que F + G = Vect (F G). Prouvons d abord que F + G Vect (F G). Soit u F et v G. Alors u + v est une combinaison linéaire de deux éléments de F G, donc u + v Vect (F G). On a donc bien : F + G Vect (F G). Montrons maintenant que Vect (F G) F + G. Soit w Vect (F G). Alors w est une combinaison linéaire d un nombre fini de vecteurs de F G. C est à dire qu il existe n, m N, il existe f 1,...,f n F, il existe g 1,...,g m G, il existe λ 1,...,λ n K, il existe µ 1,...,µ m K tels que w = n m λ i f i + µ j g j. i=1 j=1 Or la première somme est un vecteur de F et la deuxième est un vecteur de G. Donc w F + G. On a donc bien Vect (F G) F + G. Finalement : Vect (F G) = F + G. Remarquons que cela redémontre que F + G est un sous-espace vectoriel de E. Proposition Si F est le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs f 1,...,f p et si G est le sous- espace vectoriel de E engendré par les vecteurs g 1,...,g q, alors F + G est le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs f 1,...,f p, g 1,...,g q. (la réunion des parties génératrices est une partie génératrice de F + G.) Proposition Soient g 1,..., g q et f 1,..., f p deux familles de vecteurs de E. Supposons que pour tout i = 1,..., q le vecteur g i s écrive comme combinaison linéaire des vecteurs f 1,..., f p. Alors V ect{g 1,..., g q } V ect{f 1,..., f p }. Exercice résolu. Soit E = R 3, F = {(x, y, z) R 3, x + y = 0} et G = V ect{(1, 0, 0)}. On sait que F est un sous-espace vectoriel de R 3 (ensemble des solutions d un système homogène) et que G est un sous-espace vectoriel de R 3 (sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul, appelé droite vectorielle.) Montrer que R 3 = F G. On va prouver d abord que E = F + G. Cherchons une partie génératrice de F. On a ((x, y, z) F ) (x = y) (x, y, z) = y( 1, 1, 0) + z(0, 0, 1). Donc F est engendré par les deux vecteurs ( 1, 1, 0) et (0, 0, 1). Alors F + G est le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par la réunion des parties génératrices de F et de G. c est à dire :

10 10 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. F + G = Vect {( 1, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 0, 0)} Montrons que tout vecteur de R 3 appartient à F + G. Soit (x, y, z) R 3. On écrit (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(( 1, 1, 0) + (1, 0, 0)) + z(0, 0, 1), donc (x, y, z) = (x + y)(1, 0, 0) + y( 1, 1, 0) + z(0, 0, 1). D où R 3 F + G et donc R 3 = F + G. Montrons que F G = {0}. Si (x, y, z) F G, alors d une part il existe λ R tel que (x, y, z) = λ(1, 0, 0), ce qui signifie que y = z = 0 et d autre part x = z. Donc x = y = z = 0. Finalement R 3 = F G. Attention : Ne pas confondre somme de deux sous-espaces vectoriels et réunion (F + G et F G). Exercice. G 1 = {x ax, a R} ; G 2 = {x b, b R}. Prouver que G 1 et G 2 sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R). Soit G = {x ax + b} l ensemble des fonctions affines sur R. Prouver que G = G 1 G 2. Ne pas confondre sous-espaces vectoriels supplémentaires et sous-ensembles complémentaires. 1.8 Dépendance et indépendance linéaire. Définition Soit n un entier positif et u 1,...,u n des vecteurs de E. Les vecteurs u 1,..., u n sont dits linéairement indépendants si on a l implication : λ 1,...,λ n K, u 1,...,u n E, (λ 1 u λ n u n = 0) (λ 1 =... = λ n = 0). Remarques : a) Cette implication signifie qu il n y a qu une seule façon d écrire le vecteur nul comme une combinaison linéaire des vecteurs u 1,...,u n. Cette écriture est 0 = 0u u n, dans laquelle tous les coefficients sont des scalaires nuls. b) Si n = 1, l implication devient (λ 1 u 1 = 0) (λ 1 = 0). Donc u 1 est linéairement indépendant si et seulement si il est non nul. c) Si n N, et si u 1,...,u n sont des vecteurs de E, alors 0, u 1,...,u n ne sont pas linéairement indépendants. En effet, le vecteur nul s écrit de plusieurs manières comme combinaison linéaire des vecteurs 0, u 1,...,u n, car pour n importe quel scalaire λ on a : 0 = λ0 + 0u u 2. Exemples : a) Dans R 2 les vecteurs (1, 0) et (0, 1) sont linéairement indépendants. En effet si λ 1 (1, 0) + λ 2 (0, 1) = 0, alors (λ 1, λ 2 ) = (0, 0) donc λ 1 = λ 2 = 0. b) Dans R 2 les vecteurs (0, 3) et (0, 1) ne sont pas linéairement indépendants. On a (0, 3) 3(0, 1) = (0, 0), donc le vecteur nul s écrit au moins de deux manières différente comme combinaison linéaire des vecteurs (0, 3) et (0, 1). Vocabulaire. a) Si les vecteurs u 1,...,u n sont linéairement indépendants, on dit qu ils forment une famille libre. On dit aussi que {u 1,..., u n } est une partie libre. Sinon, on dit qu ils forment une famille liée. b) Si la partie {u 1,..., u n } est liée, et si λ 1,...,λ n sont n scalaires non tous nuls tels que λ 1 u λ n u n = 0, on dit qu on a une relation linéaire non triviale entre les vecteurs u 1,...,u n, de coefficients λ 1,...,λ n. La relation linéaire triviale est celle où les coefficients sont tous nuls. Généralisation. On peut définir la notion de famille libre ou liée pour des familles de vecteurs qui ont une infinité d éléments. Soient I un ensemble infini et u i, i I, une famille de vecteurs de E. On dit qu elle est libre si toute sous-famille finie est libre. On dit qu elle est liée si elle n est pas libre. Par conséquent, la famille des u i, i I, sera liée si et seulement il existe un nombre fini

11 1.9. BASES. 11 de vecteurs pris parmi les u i qui forment une famille liée. (Dans ce cours, on s interessera plus particulièrement aux familles libres qui ont un nombre fini d éléments et aux parties génératrices qui ont un nombre fini d éléments). Proposition Si n 2, les vecteurs u 1,...,u n forment une famille liée si et seulement si l un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. Preuve : Supposons que les vecteurs u 1,..., u n forment une famille liée (autrement dit, ils ne sont pas linéairement indépendants). Alors il existe des scalaires λ 1,..., λ n non tous nuls tels que λ 1 u λ n u n = 0. Quitte à réindexer, on peut supposer que λ 1 0. Alors on a : u 1 = 1 λ 1 ( λ 2 u 2... λ n u n ), c est à dire que u 1 = n i=1 ( λ i λ 1 )x j. Donc u 1 est combinaison linéaire des vecteurs u 2,..., u n. Supposons maintenant que l un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. En réindexant on peut se ramener au cas où u 1 est combinaison linéaire de u 2,...,u n. Il existe λ 2,...,λ n des scalaires tels que u 1 = λ 2 u λ n u n, donc u 1 λ 2 u 2... λ n u n = 0, donc u 1,...,u n ne sont pas linéairement indépendants (car le coefficient 1 est 0). Remarque : Pour n = 2, la proposition ci-dessus signifie que deux vecteurs sont liés si et seulement si ils sont colinéaires. (c est à dire si il existe un scalaire λ tel que u 1 = λu 2 ou u 2 = λu 1 ). Proposition Soit n N. Soient u 1,..., u n des vecteurs de E linéairement indépendants et soit v un vecteur de E. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) v est combinaison linéaire de u 1,..., u n. (ii) Les n + 1 vecteurs v, u 1,...,u n ne sont pas linéairement indépendants. Preuve : (i) (ii) : voir la proposition ci-dessus. (ii) (i) : par (ii) il existe µ, λ 1,..., λ n K non tous nuls tels que µv+λ 1 u λ n u n = 0. Si on avait µ = 0, alors on aurait λ 1 u λ n u n = 0. Or u 1,..., u n sont linéairement indépendants, donc λ 1 =... = λ n = 0, ce qui contredit l hypothèse µ, λ 1,..., λ n non tous nuls. Donc µ 0 et on peut donc diviser par µ. On en déduit que v = λ 1 µ... λ n µ u n. Proposition Si n 2 Et si u 1,...,u n sont des vecteurs de E linéairement indépendants. Alors u 1,...,u n sont deux à deux différents et pour tout 1 p n, les vecteurs u 1,..., u p sont linéairement indépendants. Preuve : En exercice. 1.9 Bases. Définition Si il existe des vecteurs u 1,...,u n de E qui sont linéairement indépendants et qui engendrent E, on dit que u 1,...,u n forment une base de E. Théorème Les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) les vecteurs u 1,...,u n forment une base de E (ii) tout vecteur de E s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u 1,...,u n. Preuve : (i) (ii) : soit u un vecteur de E. Comme les vecteurs u 1,...,u n engendrent E il existe des scalaires λ 1,...,λ n tels que u = λ 1 u λ n u n. Supposons qu il existe des scalaires λ 1,...,λ n tels que u = λ 1 u λ nu n. En soustrayant membre à membre on trouve 0 = (λ 1 λ 1 )u (λ n λ n)u n. Comme u 1,...,u n sont linéairement indépendants, on en déduit que λ 1 λ 1 =... = λ n λ n = 0,, donc λ 1 = λ 1,..., λ n = λ n. Donc la décomposition de u comme combinaison linéaire des vecteurs u 1,...,u n est unique.

12 12 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS SUR R OU C. (ii) (i) : Comme tout vecteur de E s écrit comme combinaison linéaire des vecteurs u 1,...,u n, alors les vecteurs u 1,...,u n engendrent E. Prouvons qu ils sont linéairement indépendants. Le vecteur nul, comme tout vecteur de E s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u 1,...,u n ( cette écriture unique est : 0 = 0u u n ). Ceci est la définition de vecteurs linéairement indépendants. Exemples : a) Dans R 2, les vecteurs (1, 0) et (0, 1) forment une base de R 2. En effet, tout vecteur de R 2 s écrit de manière unique comme combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1) : soit (x, y) R 2, on écrit (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) et si a et b sont des scalaires tels que (x, y) = a(1, 0) + b(0, 1), alors a = x et b = y. b) Pour n N, n 2, les vecteurs e 1 = (1, 0,..., 0),..., e i = (0,..., 1,..., 0) (1 à la ième place),..., e n = (0,..., 0, 1). forment une base de R n, appelée la base canonique. En effet, tout vecteur (x 1,..., x n ) de R n s écrit comme combinaison linéaire des vecteurs e 1,..., e n : (x 1,..., x n ) = x 1 (1, 0,..., 0) x n (0,..., 0, 1). Cette écriture est unique car si (x 1,..., x n ) = a 1 (1, 0,..., 0) a n (0,..., 0, 1), alors x 1 = a 1,...,x n = a n. c) On donne les vecteurs de R 3 : v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (2, 1, 1). Forment-ils une base de R 3? (Rep. :Non.) Notation Si les vecteurs e 1,...,e n forment une base de E, on notera : (e 1,..., e n ) est une base de E. Définition Soit (e 1,..., e n ) une base de E. Soit u E. Les scalaires λ 1,...,λ n K qui sont tels que u = λ 1 e λ n e n s appellent les coordonnées du vecteur u dans la base (e 1,..., e n ). Remarque : Si E = K n. Soit u = (x 1,..., x n ) un vecteur de K n. Alors les coordonnées de u dans la base canonique de K n sont ses composantes x 1,...,x n.