= a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21.
|
|
- Sévérine Meunier
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 7 Déterminants Dans ce chapitre, on se donne un corps K et on suppose que dans ce corps + 6=. De façon équivalente 6= (on dit que le caractéristique du corps est différente de 2). 7. Déterminants des 2 2 matrices. A chaque matrice carrée A est associé un scalaire qui s appelle son déterminant et se note det(a) ou parfois A. Nous discutons d abord le cas des matrices de taille 2 2. Définition Le déterminant d une 2 2 matrice est défini par a a det 2 = a a 2 := a a 2 a 22 a 2 a a 22 a 2 a Théorème 7... Le déterminant des 2 2 matrices vérifie les propriétés suivantes : a) det( A) = 2 A. b) Le déterminant d un produit de deux matrices est égal au produit des déterminants : det(a B) =det(a) det(b). c) La 2 2 matrice A est inversible si et seulement si det(a) 6=.Danscecasona a a 2 a 2 a 22 = a22 a 2 det(a) a 2 a d) Deux vecteurs colonne de K 2 sont linéairement indépendants si et seulement si leurs composantes forment une matrice de déterminant non nul : x y x y et sont linéairement indépendants, det 6=. x 2 y 2 x 2 y 2 87
2 Preuve. La propriété (a) suit immédiatement de la définition. Pour (b), il suffit de calculer et simplifier : a a det 2 b b 2 (a b =det + a 2 b 2 ) (a b 2 + a 2 b 22 ) a 2 a 22 b 2 b 22 (a 2 b + a 22 b 2 ) (a 2 b 2 + a 22 b 22 ) =(a b + a 2 b 2 )(a 2 b 2 + a 22 b 22 ) (a b 2 + a 2 b 22 )(a 2 b + a 22 b 2 ) =(a a 22 a 2 a 2 )(b b 22 b 2 b 2 ) a a =det 2 a 2 a 22 b b det 2 b 2 b 22. Pour prouver (c), on observe que a a 2 a22 a 2 a 2 a 22 a 2 a =det(a) Cette équation montre que si det(a) 6= alors A est inversible et son inverse est donnée par la formule du point (c). Inversément, supposons que la matrice A est inversible, alors il existe A telle que A A = I 2,donc =det(i 2 )=det(a A )=det(a) (A ),. ce qui entraîne que det(a) 6=. Pour prouver (d) on observe que les vecteurs x y,onadonc x 2 y 2 det(a) 6=, A : K 2! K 2 est surjective, x x 2 x x 2 et et y y 2 y y 2 engendrent l image de A = sont linéairement indépendants. Exemples. 3 3 = 3 6 3, s s = et =
3 7.2 Déterminants des 3 3 matrices. Le déterminant d une 3 3 matrice est la fonction det : M 3 (K)! K définie par a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 A = a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a a 32 a 23 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3. a 3 a 32 a 33 Il est parfois commode de voir le déterminant comme une fonction det : K 3 K 3 K 3! K des 3 vecteurs colonne de K 3 formant la matrice A 2 M 3 (K). Il prend alors la forme x y z det(x, Y, Z) =det@ x 2 y 2 z 2 A = x y 2 z 3 + x 2 y 3 z + x 3 y z 2 x z 2 y 3 x 2 y z 3 x 3 y 2 z. x 3 y 3 z 3 x où X x 2 A Y y 2 A et Z z 2 A. x 3 y 3 z 3 y z On note aussi A pour le déterminant d une matrice. Il est alors facile de voir que le déterminant d une matrice de M 3 (K) s exprime de la manière suivante comme une combinaison linéaire de trois déterminants 2 2 : x y z x 2 y 2 z 2 = x x 3 y 3 z 3 y 2 z 2 y 3 z 3 x 2 y z y 3 z 3 + x 3 y z y 2 z 2 Par exemple = = ( 9) + ( 3 2) + 5 (9 4) = Définition générale du déterminant et premières propriétés Dans une matrice carrée A =(a ij ) 2 M n (K), ilyan! façons de former un monôme du type a i a i2 2 a inn qui contient un et un seul coefficient de chaque colonne et de chaque ligne, c est à dire que i,i 2,...,i n est une permutation de, 2,...,n. On obtient le déterminant de la matrice A en multipliant ce monôme par la signature de la permutation associée et en sommant tous les termes obtenus. Définition. Le déterminant de la matrice A =(a ij ) 2 M n (K) est le scalaire défini par det(a) = A = X 2S n sgn( )a () a (2)2 a (n)n, (7.) 89
4 où S n est le groupe symétrique des permutations de {, 2,...,n} et sgn( )=± est la signature de la permutation 2S n. Il est parfois commode (et fréquent parmi les physiciens) d écrire le déterminant sous la forme det(a) = i = i 2 = " i,i 2,...,i n a i a i2 2 a inn, (7.2) i n= où " i,i 2,...,i n 2{,, } est le symbole de Levi-Civita défini par 8 >< + si i,i 2,...,i n est une permutation paire de, 2,...,n, " i,i 2,...,i n = si i,i 2,...,i n est une permutation impaire de, 2,...,n, >: si i,i 2,...,i n n est pas une permutation de, 2,...,n. Remarquer que la somme (7.2) possède n n termes, mais seulement n! parmi ces termes sont non nuls (par exemple si n =5, la somme (7.2) contient 325 = 5 5 termes dont seulement 2 = 5! sont non nuls). Exemple. Le déterminant d une matrice diagonale est le produit des termes diagonaux de cette matrice : d d 3 det C A = d d 2 d n, d n car tous les termes de la somme (7.) sont nuls sauf celui qui correspond à la permutation = id. Proposition Le déterminant d une matrice carrée est égal au déterminant de sa transposée det(a > )=det(a). Preuve. Rappelons que la signature d une permutation est égale à la signature de la permutation inverse. L opération de transposer une matrice échange les lignes et les colonnes, on adonc det(a > )= X 2S n sgn( )a () a (2) a 2 (n) = X 2S n sgn( )a ()a (2)2 a (n)n = X 2S n sgn( )a () a (2)2 a (n)n (on a posé = ) =det(a). Une conséquence importante de cette proposition est que toute propriété du déterminant qui s applique au colonnes d une matrice s applique également aux lignes de cette matrice. 9
5 Dans la suite de ce paragraphe, il est commode d associer à un n-tuple de vecteurs colonne (A,A 2,...A n ) 2 K n K n K n la matrice dont la j me colonne est le vecteur A j (on utilise donc l isomorphisme naturel (K n ) n! M n (K) ; on peut ainsi regarder le déterminant comme une application On a alors les propriétés suivantes. det : K n K n {z K n }! K. n Théorème a) Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonnes : det(a,...,a j, ( A j + µa j),a j+,...,a n ) = det(a,...,a j,a j,a j+,...,a n ) + µ det(a,...,a j,a j,a j+,...,a n ) pour tous 6 j 6 n et tous, µ 2 K. b) Pour toute permutation 2S n on a det(a (),...,A (n) ) = sgn( )det(a,...,a n ). c) Si E,E 2,...E n est la base canonique de K n,alors det(e,...,e n )=. Preuve. a) Si A j = A j + µa j, alors pour chaque coefficient de la jême colonne on a a ij = ( a ij + µa ij ). Donc pour chaque monôme formant le déterminant, on a a i a ij j a inn = a i a i j j a inn + µa i a i j j a inn, et en faisant la somme (7.), on obtient la propriété (a). b) Soit 2S n, et notons A la matrice obtenue en appliquant la permutation aux colonnes de A, donc les colonnes de A sont A (),...,A (n).onaalors det(a )= X 2S n sgn( )a (), () a (2), (2) a (n), (n) = X 2S n sgn( )a (), a (2),2 a (n),n (on à posé = ) = sgn( ) X 2S n sgn( )a () a (2)2 a (n)n = sgn( )det(a). Car sgn : S!{+, } est un homomorphisme de groupes et on a sgn( ) = sgn( ) sgn( ) = sgn( ) sgn( ). 9
6 c) Le déterminant det(e,...,e n ) est le déterminant de la matrice identité dont les coefficients sont les symboles de Kronecker ij. Tous les termes de la somme (7.) sont nuls, sauf celui correspondant à la permutation =Id, et le mônome correspondant est sgn(id) nn =. Définition. Une application : K n K n K n! K vérifiant les conditions (a) et (b) de ce théorème est dite multilinéaire et alternée. Corollaire Si deux colonnes sont identiques, i.e. A r = A s avec 6 r<s6 n, alors det(a,...,a n )=. Preuve. Soit =(r, s) 2S n la transposition qui échange r et s, alors la propriété (b) du théorème précédent implique que det(a,...,a r,...,a s,...a n ) = sgn( )det(a,...,a s,...,a r,...a n ) donc ce déterminant est nul. = det(a,...,a s,...,a r,...a n ) = det(a,...,a r,...,a r,...a n ) Corollaire a.) Si on ajoute à la j ème colonne de la matrice A 2 M n (K) une combinaison linéaire des autres colonnes, alors le déterminant ne change pas. b.) Si les colonnes de la matrice A 2 M n (K) sont linéairement dépendantes, alors det(a) =. Preuve. a.) On a det(a,...,...a r, (A r + X j6=r ja j ),A r+,...a n )=det(a,...,a r,...a n ) + X j6=r j det(a,...,a r,a j,a r+,...a n ), on obtient donc l affirmation voulue par le corollaire précédent car chaque terme de cette dernière somme est nul. b.) Les colonnes de A 2 M n (K) sont linéairement dépendantes si et seulement si l une des colonnes est combinaison linéaire des autres colonnes. Supposons par exemple que la colonne A r est combinaison linéaire des autres colonnes On a alors par l affirmation (a) : det(a,...,a r,...a n )=det(a,...,,...a n )=. Exemple. On a x det B x 2 x 3 A =det B x 3 A = x 3. x 4 92
7 Plus généralement si X =(x,x 2,...,x n ) >,alors det(e,...,e j,x,e j+,...e n )=x j, 7.4 Théorème fondamental Théorème 7.4. (Théorème fondamental de la théorie des déterminants.). Soit : K n K n K n! K une application mutilinéaire et alternée, alors il existe 2 K tel que = det, i.e. (A,...,A n )= det(a,...,a n ) pour tous A,...,A n 2 K n.deplus, = (E,...,E n ). Preuve. On a A = a E + + a n E n, donc par multilinéarité de, ona (A,...,A n )= On a aussi A 2 = a 2 E + + a n2 E n,donc (A,...,A n )= a i (E i,a 2,...,A n ). i= i= j= en continuant avec les colonnes A 3...,A n, on obtient a i a j2 (E i,e j,a 3...,A n ). (A,...,A n ) = a i a i2 2 a inn(e i,e i2,...,e in ). i = i 2 = i 2 = Or nous avons supposé que est alternée, cela entraîne que (E i,...,e in )=" i...i n (E,...,E n ). Posons = (E,...,E n ),alorsnousavons (A,...,A n ) = " i...i n a i a i2 2 a inn i = i 2 = i 2 = = det(a). Corollaire Si A et B appartiennent à M n (K), alors det(a B) =det(a) det(b). 93
8 Preuve. La j ème colonne de A B est l image par A de la j ème colonne de B (AB) j = A B j = b j A + b 2j A b nj A n. Si on note : M n (K)! K l application définie par (B) =det(a B), alors est une application multilinéaire et alternée. Le théorème précédent montre alors que det(ab) =(B) = det(b) avec = (I n )=det(ai n )=det(a). Doncdet(A B) =det(a) det(b). Corollaire Le déterminant d une matrice carrée est nul si et seulement si ses colonnes sont linéairement dépendantes. Preuve. On a déjà vu que si les colonnes de A 2 M n (K) sont linéairement dépendantes, alors det(a) =. Supposons réciproquement que les colonnes de A 2 M n (K) sont linéairement indépendantes. Alors l application linéaire L A : K n! K n est injective et donc inversible, ce qui implique que la matrice A est inversible. On a alors ce qui implique que det(a) 6=. =det(i n )=det(a A )=det(a) det(a ), Observons que la preuve montre aussi que det(a )= det(a). Théorème (Règle de Cramer) Soient A 2 M n (K) et X, B 2 K n.supposonsqueax = B, alors la j ème composante de X vérifie det(a) x j =det(a,...,a j,b,a j+,...a n ). En particulier si A est inversible, alors cette formule permet de résoudre le système linéaire AX = B. Preuve. Notons S j la matrice (E,...,E j,x,e j+,...e n ), alors la condition AX = B est équivalente à A S j =(A,...,A j,b,a j+,...a n ). Donc det(a) det(s j )=det(a,...,a j,b,a j+,...a n ), mais nous avons vu plus haut que det S j = x j. 94
9 Théorème (Théorème d unicité du déterminant.) Le déterminant est l unique application K n K n K n! K vérifiant les trois propriétés suivantes : (i) (ii) det est multilinéaire, i.e. linéaire en chaque variable. Si la matrice A possède deux colonnes adjacentes qui sont égales, alors sont déterminant est nul. En d autres termes det(a,...,a r,a r+...,a n )=. (iii) det(e,...,e n )=(où {E i }2K n est la base canonique), Preuve. Il est clair à partir du théorème et du corollaire que le déterminant vérifie les propriétés (i), (ii) et (iii). Prouvons la réciproque. Soit : K n K n K n! K une application vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) ci-dessus, on doit montrer que coïncide avec le déterminant. Par le théorème fondamental 7.4., il suffit de démontrer que est alterné. Montrons d abord que (A,...,A n ) change de signe si on transpose deux colonnes adjacentes : En effet les propriétés (i) et (ii) entrainent =(A,...,(A r + A r+ ), (A r + A r+ ),...,A n ) = (A,...,A r,a r,...,a n )+(A,...,A r,a r+,...,a n ) + (A,...,A r+,a r,...,a n )+(A,...,A r+,a r+,...,a n ) = (A,...,A r,a r+,...,a n )+(A,...,A r+,a r,...,a n ), donc (A,...,A r+,a r,...,a n )= (A,...,A r,a r+,...,a n ). On peut réécrire cette propriété de la façon suivante : si =(r, r + ) est la transposition qui échange r et r +,alors (A (),...,A (n) )= (A,...,A n ). Supposons maintenant que =(r, s) est la transposition qui échange r et s avec apple r<sapple n. Alors peut s écrire comme composition de 2k +transpositions adjacentes : =(r, s) =(r, r + k) =(r + k, r+k )...(r +2,r+ )(r, r + )(r +,r+ 2)...(r + k,r+ k). Donc (A (),...,A (n) )=( ) 2k+ (A,...,A n )= (A,...,A n ). Soit maintenant une permutation quelconque 2S n. On sait qu on peut écrire comme produit de transpositions : = s où chaque k est une permutation. En répétant l argument précédent s fois, on trouve que (A (),...,A (n) )=( ) s (A,...,A n ). Mais ( ) s = sgn( ), on a donc démontré que l application est alternée. Le théorème 7.4. nous dit alors que =det. 95
10 7.5 Cofacteurs et formule de Laplace Définitions. Les cofacteurs de la n n matrice A =(a ij ) sont définis par c ij =( ) i+j det A(i j) où A(i j) est la (n ) (n ) matrice obtenue en supprimant la i ème ligne et la j ème colonne de A. Lamatrice des cofacteurs de A est la n n matrice C = Cof(A) =(c ij ). Proposition On peut calculer le déterminant d une matrice A =(a ij ) 2 M n (K) par la formule de récurrence suivante (valable pour tout i) : det(a) = a ij c ij = j= ( ) i+j a ij det A(i j). (7.3) Cette formule s appelle le développement de Laplace du déterminant suivant la i ème ligne. Preuve. Pour une matrice A 2 M n (K), on écrit i (A) = j= ( ) i+j a ij det A(i j). j= Il est clair que i (I n )=et que i est multilinéaire en tant qu application K n K n! K. Montrons que i s annule lorsque deux colonnes adjacentes de la matrice A sont identiques. Supposons donc que A r = A r+ avec r<n,alors i (A) =( ) i+r a ir det A(i r)+( ) i+r+ a i(r+) det A(i (r + )) + X ( ) i+j a ij det A(i j). j6=r,r+ Or si i 6= r et i 6= r +, alors la sous-matrice A(i j) possède deux colonnes adjacentes qui sont égales, donc det A(i j) =.D autreparta(i (r + )) = A(i r) et a i(r+) = a ir,donc i (A) = pour toute matrice A ayant deux colonnes adjacentes égales. Le théorème entraîne alors que i (A) =det(a) pour tout A 2 M n (K). Corollaire On peut aussi calculer le déterminant d une matrice A =(a ij ) 2 M n (K) en développant suivant la j ème colonne : det(a) = a ij c ij = i= ( ) i+j a ij det A(i j). i= Preuve. C est une conséquence de la proposition précédente et du fait que det(a > )=det(a). 96
11 Exemple. Le déterminant de la matrice A colonne, ce qui donne 2 2 A peut se développer selon la première det(a) = = () 2 ( 2) + ( ) =4, + Il peut aussi se développer selon la troisième colonne, ce qui donne ou encore selon la deuxième ligne : det(a) = 3 2+ =4, det(a) = = 2 ( 2) + () (2) =4. 2 On simplifie le calcul d un déterminant en choisissant de le développer selon une ligne ou une colonne qui contient un ou plusieurs zéros (si c est possible). On simplifie encore si un ou plusieurs cofacteurs sont nuls. Dans l exemple ci-dessus c est le développement selon la deuxième ligne qui est le plus efficace. La proposition 7.5. a aussi la conséquence suivante : Corollaire Si k 6= i, alors ( ) i+j a kj det A(i j) =. j= Preuve. Notons Z la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la i ème ligne de A par la k ème ligne, i.e. ( a r,s si r 6= i, z r,s = si r = i a k,s alors det(z) =car cette matrice à deux lignes identiques. Par construction on a Z(i j) =A(i j) et z ij = a kj pour tout j et pour tout k, donc l équation (7.3) appliquée à la matrice Z entraîne que =det(z) = ( ) i+j z ij det Z(i j) = ( ) i+j a ik det A(i j) =det(z) =. j= j= Théorème (Formule de Laplace) On a A Cof(A) > = Cof(A) > A =det(a) I n 97
12 Preuve. La proposition précédente et son corollaire nous dit que a kj c ij = ik det(a) j= Ce qui signifie que A Cof(A) > =det(a) I n. On prouve Cof(A) > A =det(a) I n de la même manière. Corollaire Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si c est le cas, l inverse est donnée par la transposée de la matrice des cofacteurs divisée par le déterminant : A = det(a) Cof(A)>. Exemple. Reprenons la matrice A 2 2 On a det(a) =4et la matrice des cofacteurs c ij =( Ainsi A = Cof(A) A det(a) (Cof(A))> 4 ) i+j det(a ij ) est A Le lecteur est invité à vérifier qu en effet le produit de cette matrice par A donne la matrice identité. A. Résumé des propriétés du déterminant : ) Le déterminant définit une application multilinéaire det : K n K n! K. 2) On a det(a) =det(a > ) et det( A) = n det(a) (en particulier det( A) =( ) n det(a)). 3) Le déterminant de la matrice A change de signe si on échange deux lignes ou deux colonnes de A. 4) Plus généralement det(a (),...,A (n) ) = sgn( )det(a,...,a n ) pour toute permutation (et on a une formule similaire sur les lignes de la matrice). 5) Si une matrice A est obtenue à partir de A en ajoutant à une colonne de A une combinaison linéaire des autres colonnes de A, alorsdet(a )=det(a). 6) Si une matrice A est obtenue à partir de A en ajoutant à une ligne de A une combinaison linéaire des autres lignes de A, alorsdet(a )=det(a). 7) Les vecteurs colonnes A,...,A n sont linéairement indépendants si et seulement si det(a,...,a n ) 6=. 98
13 8) det(a B) =det(a) det(b). 9) Le déterminant peut se calculer à partir des cofacteurs en développant selon une ligne ou une colonne : det(a) = a ij c ij = a ij c ij. j= où les C ij sont les cofacteurs de A : c ij =( i= ) i+j det A(i j). ) La matrice A 2 M n (K) est inversible si et seulement si det(a) 6=. Dans ce cas on a A = det(a) (Cof(A))>. Exemple. Soit à calculer le déterminant A C A. On obtient une matrice A de même déterminant en soustrayant la quatrième ligne à la deuxième ligne. On développe ensuite selon les cofacteurs de la deuxième ligne et on obtient det(a) =det(a )= = 3 = = 3( ) + ( ) = Calcul de déterminants par l algorithme de Gauss-Jordan Pour calculer un déterminant, on peut utiliser le développement par les cofacteurs. Concrètement cela signifie qu on remplace le calcul d un déterminant n n par n déterminants (n ) (n ). Cette méthode n est pas utilisable pour les matrices de grandes taille. On préfère alors utiliser l algorithme de Gauss-Jordan pour calculer des déterminants. On a vu au paragraphe 6.4 la définition des matrices élémentaires. Leurs déterminants sont très simples à calculer : Proposition Les déterminants des matrices élémentaires sont donnés par det(p (r,s) )=, det(d (4) ( )) = et det L (r,s) ( )=. La preuve est une simple application des propriétés du déterminant. Rappelons que le théorème 6.4. nous dit que pour toute matrice A 2 M n n (K) il existe Q 2 GL n (K) telle que Q est le produit d un nombre fini de matrices et A = Q A est de forme 99
14 échelonnée. Cela nous conduit à la méthode suivante pour calculer le déterminant d une matrice A 2 M n (K) :. Ramener A à une forme échelonnée A par l algorithme de Gauss-Jordan. 2. Comme A est une n n échelonnée, c est une matrice triangulaire. 3. Noter S k la matrice élémentaire qui correspond à la k ème étape de l algorithme, alors S m S m S A = A, où m est le nombre d étapes de la réduction à la forme échelonnée. La matrice Q est donc le produit Q = S m S m S. 4. On a donc my det(a) =det(q) det(a )= det(s k ) det(a ) et chaque det(s k ) est facile à calculer. Le déterminant det(a ) est aussi facile à calculer car c est une matrice triangulaire. Remarquer que si A contient une ligne nulle, alors Rang(A) = Rang(A ) <net donc det(a) =. Exemple. Considérons la matrice A Cette matrice peut s échelonner en 3 étapes : A =! k= ! A ! 3 4 = A La première étape est une opération élémentaire de type II, qui est la multiplication de la première ligne par 4, la seconde opération de type III (on ajoute 7 fois la première ligne à la seconde) et la troisième opération est aussi de type III (on soustrait 3 fois la première ligne de la troisième). Matriciellement, cela nous donne : A = L (3,) ( 3) L (2,) (7) D () ( 4 ) A ) A = D ()(4) L (2,) ( 7) L (3,) (3) A. Ce qu on peut vérifier en multipliant les matrices : = Le déterminant de A vaut 4, donc det(a) =det(d () (4)) det(l (2,) ( 7)) det(l (3,) (3)) det(a )=4 4 = 6.. Remarque. Il est (presque) évident à partir du théorème que pour tous S, B 2 M n (K), où S est une matrice élémentaire, on a det(sb) =det(s)det(b). Comme toute matrice carrée est un produit de matrice élémentaires, on en déduit une nouvelle preuve de l identité det(ab) =det(a)det(b) qui ne dépend pas du théorème fondamental 7.4. (mais cette preuve repose sur l algorithme de Gauss-Jordan et donc sur le théorème 6.3.).
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailLicence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)
Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailLa maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailEléments de Théorie des Graphes et Programmation Linéaire
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Eléments de Théorie des Graphes et Programmation Linéaire Didier Maquin Professeur à l INPL Version
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailQuelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple
Quelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple Michel Habib habib@liafa.jussieu.fr http://www.liafa.jussieu.fr/~habib Algorithmique Avancée M1 Bioinformatique, Octobre 2008 Plan Histoire
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailMATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détail