Correction Devoir commun de mathématiques n o 1 Classes de 1 ère S

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1 Correction Devoir commun de mathématiques n o 1 Classes de 1 ère S Durée heures. Calculatrice autorisée. Exercice 1 : Une entreprise italienne de fabrication de scooters veut optimiser les bénéfices de sa gamme «Nespa 1». Pour des raisons de stockage, la production mensuelle est comprise entre 8 et 40 unités. Le bénéfice, exprimé en centaines d euros, est donné par la fonction définie sur l intervalle 8 ;40 par : = Calculer le bénéfice réalisé pour la fabrication de 14 scooters. 16=1 Le bénéfice pour 14 scooters est de La courbe représentative de la fonction est une parabole. Déterminer les coordonnées du sommet de cette parabole. Pour une fonction polynôme du nd degré du type ++, l abscisse du sommet de la parabole est. = = 3 ; 3=1041 ; les coordonnées du sommet sont ( 3 ; 1041 ). 3. Dresser le tableau de variation complet de la fonction sur l intervalle 8 ;40. = 10<0 donc la parabole est tournée vers le bas Quelle quantité de scooters l entreprise doit-elle produire pour réaliser un bénéfice maximal? Quel sera alors le bénéfice réalisé? D après le tableau de variations, le bénéfice est maximal pour une production de 3 scooters. Le bénéfice maximal est de Exercice : Cet exercice est un QCU. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Indiquer laquelle et justifier votre réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. 1. est une fonction telle que pour tout nombre réel h, h 0, #$%&#$ = h +3h 1. & Alors ' 1 est égal à : lim &,1+h-,1- h =lim & h +3h 1= 1 a. h +3h 1 b. 1 c. 3.. est une fonction telle que = et ' = 1. Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse a pour équation :. = ' + = 1 += +7 a.. = +3 b.. = +3 c.. = +7. Pour les questions 3 et 4, on utilisera le graphique ci-dessous, représentant dans un repère, la courbe représentative 0 d une fonction dérivable sur 0 ;+ et deux de ses tangentes.

2 3. coefficient directeur de la tangente en x=1 est 0 ( tangente horizontal ) a. ' 0 b. ' 10 c. ' Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 0 au point est égal à : a. 3 b. 3 c. $ 3.. La fonction 4 $ sur l intervalle 0 ; est : 8 a. strictement décroissante. b. strictement croissante c. non monotone. La fonction 9 est strictement croissante sur 0 ; et 9"0 sur 0 ; donc la fonction ; $ est strictement décroissante sur 0 ; ( et $ ont des variations contraires ). < < La fonction ; a des variations contraires à celles de ; donc la fonction 4 $ sur 0 ;. 8 est strictement croissante Exercice 3: Un directeur de supermarché décide d étudier le temps d attente aux caisses de son établissement pour ajuster le nombre de caisses ouvertes à la demande. Pour cela, il interroge le lundi et le vendredi cent clients et note les temps d attente approximatifs en minutes entières. Dans tout l exercice, les résultats seront arrondis au centième si besoin. 1. Le lundi, il obtient la répartition suivante : Temps d attente en caisse (en min) Nombre de clients ECC a. Calculer le temps moyen d attente aux caisses du supermarché ainsi que l écart-type pour l échantillon étudié. temps moyen= = $ 4,08 min ; A,7 b. Déterminer la médiane et les quartiles de la série statistique des temps d attente. B 0 ; médiane = valeur entre 0e et 1 e =3, B ; C $ DèFG valeur = ; 3B 7 ; C 3 7 ième valeur =6 c. Sur la feuille annexe, construire le diagramme en boîte de cette série. d. Le directeur décide d ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 1 % des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse. Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi? Il y a 19 clients sur 100 soit 19 % des clients qui attendent 7 min ou plus ; le directeur doit ouvrir une nouvelle caisse ( 19 % > 1 % )

3 . Le directeur décide de comparer les temps d attente en début et en fin de semaine. Il a donc relevé le vendredi les temps d attente aux caisses d un échantillon de cent clients et obtient les résultats résumés dans le diagramme cidessous. Calculer le temps moyen d attente aux caisses du supermarché le vendredi ainsi que l écart-type pour l échantillon étudié. temps moyen = IJJ $ =,77 min ;? K A,86 3. Le directeur souhaite comparer les deux échantillons du lundi et du vendredi. a. Comparer, à l aide des diagrammes en boîte, les temps d attente le lundi et le vendredi. Les temps d attente sont plus courts le lundi et plus réguliers ( boîte du lundi plus concentrée à gauche et moins étendue ) b. Du lundi et du vendredi, pour lequel de ces deux jours le temps d attente est-il le plus régulier? Justifier. Le lundi le temps d attente est plus régulier ( écart-type du lundi <écart-type du vendredi ) c. Dans un questionnaire, les clients qualifient d acceptable un temps d attente compris entre 1 et 6 minutes. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Affirmation A : le vendredi, exactement la moitié des clients attendent cinq minutes ou plus en caisse. La médiane est donc environ 0 % des clients attendent plus de min donc pas exactement la moitié affirmation fausse affirmation B : le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus trois minutes en caisse. C $ 3 donc affirmation vraie Affirmation C : il y a autant de clients qui trouvent le temps d attente acceptable le lundi que le vendredi. Pour le lundi trois quart des clients trouvent le temps d attente acceptable (C 3 6) mais le vendredi il y a plus des trois quarts des clients qui ont un temps d attente donc Faux

4 Exercice 4 : ABC est un triangle quelconque. Le point I est tel que BI NNNO = $ NNNNNO. BA Le point J est tel que CJ NNNO= NNNNNO. CB 3 Le point K est tel que AK NNNNNO= 3 NNNNNO. AC I On souhaite démontrer que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont concourantes. Soit E le point d intersection des droites (AJ) et (BK). 1. Montrer les deux égalités suivantes : a. NNNO BJ = $ NNNNNO. 3 BC En utilisant la relation de Chasles, on obtient : BJ NNNO =BC NNNNNO+CJ NNNO=BC NNNNNO+ NNNNNO CB = NNNNNO BC NNNNNO BC = $ NNNNNO BC b. NNNNNO BK = 3 NNNNNO+ I BC NNNNNO. I BA BK NNNNNO =BA NNNNNO+AK =BA NNNNNO+ 3 AC NNNNNO=BA NNNNNO+ 3,AB NNNNNO+BC NNNNNO-=BA NNNNNO 3 NNNNNO+ BA 3 NNNNNO BC = NNNNNO+ BA 3 NNNNNO BC = 3 NNNNNO+ BC NNNNNO BA I I I I I I I I On se place dans le repère B ; BC NNNNNO, BA NNNNNO. a. Donner les coordonnées des points A, B et C. A(0 ; 1), B(0 ; 0) et C(1 ; 0) b. A l aide des égalités vectorielles de l énoncé et de celles obtenues à la question 1., déterminer les coordonnées des points I, J et K. NNNO BI $ NNNNNO. BA Donc I(0 ; $ ) BJ NNNO $ NNNNNO. BC Donc J( $ ; 0) 3 3 BK NNNNNO 3 NNNNNO BC NNNNNO. BA Donc K( 3 ; ) I I I I 3. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AJ). 1 AJ NNNOU V U 3 1 V Un point M AJsi et seulement si AM NNNNNNO^8 _$`et AJ NNNOa b c $ dsont colinéaires,c ' est à dire : l1.1l soit b. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BK). 3 BK NNNNNO 0 3 m n m 0 n Un point M BKsi et seulement si BM NNNNNNO^8 _`et BK NNNNNO c o p q p rsont colinéaires,c ' est à dire :

5 3. = 0 soit 3. = 0 c. En déduire que les coordonnées du point E sont ^ 3 $$ ; $$`. E est le point d intersection des droites (AJ) et (BK). Ses coordonnées vérifient donc : s = = 0 t 3. = 0 3. = 0 E( 3 $$ ; $$ ). = 3+1 t = 0 s. = = 11 = Démontrer que le point E appartient à la droite (CI). 3 CE NNNNO U 11 0 V=U V et CI NNNOv w=v w 4 = $$ $ ( 1)=0 $$ Donc NNNNO CE et CI NNNO sont colinéaires. On en déduit que E (CI) Exercice : Le carré ABCD est de côté 1. Le point I de la diagonale [AC] détermine deux carrés gris. Comment choisir de façon que la somme des aires des deux carrés soit inférieure ou égale à 3? Somme des aires des carrés = +(1 ) = +1 + = +1 On veut Somme des aires des carrés 3 soit +1 3 soit + $ 0 étude du signe d une expression du nd degré =( ) 4 $ =>0 ; deux racines $ = Gƒ = % ; les deux racines sont comprises entre 0 et 1. Pour compris entre et %, la somme des aires des deux carrés est inférieure ou égale à 3.

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