Chapitre n o 26. Équations diérentielles (II)

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1 Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST 1ère année Chapitre n o 26. Équations diérentielles (II) À l'issue du premier chapitre d'équations diérentielles, nous savions résoudre les équations du type y + ay = b (a, b R) et celles du type y + ay + by = c (a, b, c R). Dans ce chapitre nous allons apprendre à résoudre plus généralement : les ED linéaires d'ordre 1 à coecients non constants et second membre non constant : y + a(t)y = b(t), avec a, b des fonctions. les ED linéaires d'ordre 2 à coecients constants : y + ay + by = c(t), avec a, b des constantes et c une fonction (nous ne pourrons le faire en fait que pour des fonctions c de certaines formes) les ED non linéaires d'ordre 1, à travers quelques exemples : y = F (y), avec F une fonction. Dans tout le chapitre I désignera un intervalle de R. 1 Équations diérentielles linéaires d'ordre Dénitions Dénition 1. On appelle équation diérentielle linéaire du premier ordre sur I toute équation de la forme y + a(x)y = b(x) (E) Dans cette équation : a, b : I R sont des fonctions continues données, y est une fonction dérivable sur I inconnue et à déterminer. 1

2 Remarque. Dans le domaine des équations diérentielles, on a coutume de noter y au lieu de y(x) bien que ce soit en toute rigueur un abus. Il ne faut pas perdre de vue que y est solution de (E) signie : x I, y (x) + a(x)y(x) = b(x). Remarque. L'équation (E) est dite linéaire car l'application y y + a(x)y est bien linéaire. Dénition 2. L'équation (E) est dite homogène (ou sans second membre) si b est la fonction nulle sur I Si (E) n'est pas homogène on appelle ED homogène associée à (E) l'équation, notée (H), obtenue en remlaçant le second membre par 0 dans l'équation (E) : y + a(x)y = 0 Exemple. Soit le circuit ci-contre, où le générateur impose une tension variable e(t). On cherche à décrire la tension aux bornes de la résistance. Si q(t) désigne la charge aux bornes du condensateur, on a u C (t) = q(t)/c et u R (t) = R dq dt. La loi des mailles donne alors (H) Rq (t) + q(t) C = e(t) ce qui équivaut à u C(t) + 1 RC u C(t) = 1 RC e(t) 1.2 Structure de l'ensemble des solutions On notera dans tout le cours : S l'ensemble des solutions de (E), S 0 l'ensemble des solutions de (H) Théorème 1. Soit y p une solution de S (appelée solution particulière). On a S = {y p + y 0, y 0 S 0 } En clair les solutions de (E) sont les fonctions de la forme [ la solution particulière ] + [ une solution de (H) ] 2

3 Moralité. notre travail consistera à déterminer : (1) L'ensemble des solutions (on dit aussi la solution générale) de (H), (2) Une solution de (E), dite particulière Démonstration. y p vérie y p + a(x)y p = b(x) par hypothèse. Si y est une fonction on a donc l'équivalence y S y + a(x)y = b(x) y y p + a(x)(y y p ) = 0 y y p S Cas homogène : solutions de (H) Théorème 2. Soit A une primitive de a sur I. Alors les solutions de (H) sont les fonctions de la forme y(x) = λe A(x), avec λ R Remarques (a) Il y a donc une innité de solutions à (H) puisque n'importe quelle constante λ donne une solution. (b) Lorsque a est une constante (coecient constant), A(x) = ax et on retrouve les solutions y(x) = λe ax vues au premier semestre. Le théorème précédent est donc une généralisation de ce que nous connaissions déjà. (c) Si on choisit une autre primitive (A(x) + c) de a (c étant une constante) alors la constante e c rentre simplement dans la constante λ. Le résultat ne dépend donc pas du choix de la primitive. Démonstration. Une fonction y(x) s'écrit toujours sous la forme y(x) = z(x)e A(x) puisque e A(x) 0. On constate que y est solution de (E) ssi z = 0 c'est à dire ssi z(x) est une constante. Exemple. Trouver les solutions sur R de y + xy = 0 Exemple. Trouver les solutions sur R + de y + 1 2x y = Recherche d'une solution particulière : méthode de variation de la constante Le raisonnement est le suivant : on part de la solution de (H) : y = λe A(x) (qui a déjà été calculée à ce stade). 3

4 on cherche une solution de (E) sous la forme y(x) = λ(x)e A(x) (où λ(x) est une fonction à déterminer!) on remplace y dans (E) par cette forme-ci pour déterminer λ(x). On a y S y + a(x)y = b(x) λ (x)e A(x) a(x)λ(x)e A(x) + a(x)λ(x)e A(x) = b(x) λ (x) = b(x)e A(x) on détermine donc λ(x) comme une primitive de b(x)e A(x). Remarque. Si on choisit une autre primitive λ(x)+c (c étant une constante), alors la solution générale sera y = y H + (λ(x) + c)y H de sorte que cy H rentre dans le terme de solution homogène. Ainsi le résultat, encore une fois, ne dépend pas du choix de la primitive. Le raisonnement ci-dessus sera à refaire à chaque fois pour l'équation à résoudre. Il faudra nécessairement obtenir la simplication sinon c'est que vous avez fait une erreur! Exemple. Résoudre y + 1 x y = 1 1+x 2 S = sur R +. On trouve { x λ + } 1 + x 2, λ R x Exemple. Résoudre y 3 y + x = 0. On trouve x S = { x λx 3 + x 2, λ R } 1.5 Principe de superposition Lorsque le second membre est une somme de plusieurs termes : y + a(x)y = b 1 (x) + b 2 (x) (E) alors le principe de superposition dit qu'on peut déterminer séparément des solutions particulières des deux équations { y + a(x)y = b 1 (x) (E 1 ) y + a(x)y = b 2 (x) (E 1 ) puis faire la somme des deux solutions trouvées. 4

5 Théorème 3. Principe de superposition. Si y 1 est une solution de (E 1 ) et y 2 est une solution de (E 2 ) alors y 1 + y 2 est une solution de (E). Démonstration. (y 1 + y 2 ) + a(x)(y 1 + y 2 ) = y 1 + a(x)y 1 + y 2 + a(x)y 2 = b 1 (x) + b 2 (x). Exemple. Trouver une solution particulière de y + 1y = 1 x 1+x x déduire l'ensemble des solutions de cette équation. On trouve { S = x 2x + } 1 + x 2 + λ, λ R x et en 1.6 Recettes : recherche de solutions particulières sous une certaine forme, dans des cas particuliers Dans le cas où a est une constante (supposée 0, sinon on n'a pas aaire à une véritable ED), si b(x) est une constante alors y(x) = b/a est solution. si b(x) = P (x) on peut chercher y p sous la forme d'un polynôme du même degré que P. si b(x) = P (x)e mx on peut chercher y p = Q(x)e mx si m a et y p = xq(x)e mx si m = a (où Q est un polynôme de même degré que P ) y + 2y = 2x 2 + (2x + 1)e x. y 2y = (x 1)e 2x. 2 Équations diérentielles linéaires d'ordre Dénitions, structure de l'ensemble des solutions Dénition 3. On appelle équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants sur I toute équation de la forme y + ay + by = c(x) (E) Dans cette équation : a, b sont des constantes réelles, c est une fonction donnée continue sur I, y est une fonction deux fois dérivable sur I qui est l'inconnue de l'équation. 5

6 La nouveauté par rapport au premier semestre réside donc dans le second membre de l'équation : il n'est plus supposé constant. Comme pour l'ordre 1, on dénit l'équation homogène associée à (E) : y + ay + by = 0. (H) Soit S (resp. S H ) l'ensemble des solutions de (E) (resp. de (H)). Comme pour l'ordre 1, le théorème sur la structure de S ainsi que le principe de superposition sont encore valables (et la démonstration est la même) : Théorème 4. Soit y p une solution de S. On a S = {y p + y, y S H }. Théorème 5. Si y 1 est solution de y + ay + by = c 1 (x) et y 2 est solution de y + ay + by = c 2 (x), alors y 1 + y 2 est solution de y + ay + by = c 1 (x) + c 2 (x) 2.2 Rappel : résolution dans le cas homogène Pour déterminer l'ensemble des solutions de y + ay + by = 0, (H) On procède ainsi : (1) on introduit le polynôme caractéristique P = X 2 + ax + b. (2) On détermine l'ensemble de ses racines : deux racines r 1, r 2 R, si > 0, une racine double r R, si = 0, deux racines conjuguées α + iβ, α iβ C, si < 0. (3) On en déduit la forme générale des solutions : si > 0 : y(x) = Ae r 1x + Be r 2x si = 0 : y(x) = (Ax + B)e rx si < 0 : y(x) = e αx (A cos(βx) + B sin(βx)) = e αx cos(βx + φ). Dans chaque cas A, B sont des constantes réelles (ainsi que et φ). Ces constantes peuvent être déterminées si deux conditions initiales sont imposées par le problème, le plus souvent y(0) et y (0). Un tel problème est appelé problème de Cauchy. Exemple. 6

7 1. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation y + 4y + 4y = 0 2. Déterminer l'unique solution du problème suivant : 2y 3y + y = 0, y(0) = 5, y (0) = Soit ω > 0. Déterminer l'unique solution du problème suivant : y + ω 2 y = 0, y(0) = 1, y (0) = 3ω. Mettre la solution obtenue sous la forme y(x) = cos(ωt + φ), où et φ sont des constantes à déterminer. 2.3 Equation avec second membre A ce stade nous connaissons les solutions de l'équation homogène y + ay + by = 0. (H) Il reste donc à déterminer UNE solution particulière de y + ay + by = c(x). (E) Le problème dans sa généralité dépasse le cadre du programme. Cependant on doit savoir déterminer une solution particulière dans les deux cas particuliers suivants. Dans tous les autres cas vous serez guidés : la forme d'une solution sera donnée Second membre P (x)e mx Théorème 6. L'équation y + ay + by = P (x)e mx. (E) admet une solution de la forme x x α Q(x)e mx, où Q est un polynôme de même degré que P, et 0, si m n'est pas racine du polynôme caractéristique, α = 1, si m est racine simple du polynôme caractéristique, 2, si m est racine double du polynôme caractéristique (en clair, α est l'ordre de m comme racine du polynôme caractéristique) 7

8 Remarque. Pour m = 0, ce théorème couvre le cas d'un second membre simplement polynômial. y y + y = 1 + t 2. y + 2y + y = te t Second membre sin(ωx) ou cos(ωx) On exploite, pour se ramener au cas précédent, le fait que cos(ωx) = Re(e iωx ), sin(ωx) = Im(e iωx ). Pour trouver une solution particulière, la technique consiste à : (1) changer le second membre par la forme exponentielle associée e iωx. (2) appliquer la recette ci-dessus avec m = iω. (3) ne garder que la partie réelle ou imaginaire selon le cas. y + y = cos x + sin x. Cette technique se généralise pour un second membre de la forme P (x) cos(ωx) ou P (x) sin(ωx), ou encore e mx cos(ωx) ou e mx sin(ωx). y + 2y + 2y = sin xe x. Exemple. Trouver une solution particulière de l'équation (réponse : y p = (t 2) sin t + cos t) y + y + y = t cos t. 3 Quelques équations diérentielles du type y = f(y) Nous exposons ici quelques exemples d'équations diérentielles de la forme y = f(y), issues de diérents modèles de dynamique des populations. Nous verrons également en TD des équations de cette forme issues de la cinétique 8

9 chimique. Nous noterons N(t) R + la taille d'une population à l'instant t, pour laquelle on a une condition initiale N(0) = N 0 la population initiale. La dérivée N (t) représente la vitesse de croissance de la population, c'est-à-dire le nombre d'individus produits par unité de temps (en comptant les naissances et les morts). On préfère rapporter la vitesse de croissance à la population : on obtient le taux de croissance N (t)/n(t). 3.1 Modèle malthusien Dans ce modèle le taux de croissance est supposé égal à une constante r R. L'équation diérentielle obtenue est alors très simple : N (t) = rn(t) Ceci avec la condition initiale donne l'expression suivante de N(t) : N(t) = N 0 e rt La population a donc une croissance exponentielle (ou une décroissance exponentielle si r < 0). Ce modèle a l'avantage d'être simple mais il est plutôt irréaliste : quand t devient grand les valeurs de N(t) sont exagérément grandes. De fait, le modèle ne tient pas compte d'un phénomène important : une population se retrouve toujours limitée, quand elle devient grande, par certaines contraintes (le manque de ressources, le manque d'espace... ). 3.2 Modèle logistique (de Verhulst) Pour prendre en compte le fait que le taux de croissance doit être une fonction décroissante, l'idée la plus simple est de considérer que N (t)/n(t) décroît linéairement en fonction de N(t). Ceci donne lieu à une équation de la forme ( N (t) = rn(t) 1 N(t) ) où le facteur (1 N(t) ) traduit la prise en compte des contraintes du milieu évoquées plus haut. Remarque. La constante représente la capacité d'accueil du milieu : d'après l'équation lorsque N(t) atteint la valeur la population ne peut plus augmenter car N (t) = 0. A l'inverse lorsque N(t) (faible population) on a N (t) rn(t) et on retrouve le modèle malthusien. 9

10 Résolution explicite. On utilise la méthode de séparation des variables : ( N (t) = rn(t) 1 N(t) ) N (t) N(t)(1 N(t)/) = r N (t) N(t) + N (t) N(t) = r On peut intégrer cette égalité sur l'intervalle [0, t] : Ainsi t En passant à l'exponentielle, 0 ( N (s) N(s) + N ) (s) ds = N(s) t ( ) ( ) N(t) N(t) ln ln = rt N 0 N 0 0 rdt N(t) N 0 = N(t) e rt N 0 En isolant N(t) dans cette relation, on obtient alors N(t) = 3.3 Modèle de Gompertz 1 + (/N 0 1)e rt On présente à nouveau un modèle qui tient compte des contraintes évoquées plus haut pour une population élevée. Le taux de croissance par tête est toujours décroissant en fonction de N(t), mais de façon logarithmique et non plus linéaire. L'équation qui régit l'évolution de la population est alors N (t) = r (ln ln N(t)) N(t) La constante représente comme avant la capcité d'accueil du milieu. Pour la résolution on utilise la séparation des variables : N N (t) (t) = r (ln ln N(t)) N(t) N(t)(ln N(t) ) = r On peut intégrer cette relation : t 0 N (s) N(s)(ln N(s) )ds = t 0 rds 10

11 On rappelle la primitive suivante : ci-dessus donne donc ln dx x ln x Le passage à l'exponentielle donne alors : = ln( ln x ). L'intégration de l'égalité ( ln N(t) ) ( + ln ln N ) 0 = rt ln N(t) ln N 0 = e rt, puis nalement ( ( ) ) N0 N(t) = exp ln e rt Concernant la comparaison Verhulst/Gompertz : dans les deux cas la population présente une évolution qui est d'abord de type exponentiel puis qui s'inéchit à mesure que l'on s'approche de la valeur limite. A constantes et r égales, l'augmentation est plus élevée dans le modèle de Gompertz. On ne peut pas armer que l'un de ces modèles soit meilleur que l'autre. Dans une situation concrète, pour valider tel ou tel modèle il faudra étudier lequel est le plus en adéquation avec les données réelles. 11