TP MECANIQUE 2 : ANALYSE DE FOURIER DES VIBRATIONS MÉCANIQUES D'UNE LAME VIBRANTE ET DES SIGNAUX SONORES.

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1 TP MECANIQUE 2 : ANALYSE DE FOURIER DES VIBRATIONS MÉCANIQUES D'UNE LAME VIBRANTE ET DES SIGNAUX SONORES. B.AMANA et J.-L. LEMAIRE

2 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 2 ANALYSE DE FOURIER DES VIBRATIONS MÉCANIQUES D'UNE LAME VIBRANTE ET DES SIGNAUX SONORES I. INTRODUCTION Nous allons étudier dans ce T.P. les fréquences de vibration provenant d'une lame métallique élastique et d un microphone. Nous allons pour cela exposer dans une première partie les éléments théoriques nécessaires à la compréhension du T.P., nous familiariser ensuite avec le matériel en étudiant en préliminaire quelques signaux électriques simples et faire enfin, l'étude des vibrations de la barre métallique élastique et des signaux sonores. II. THEORIE DE LA MANIPULATION II.1 Les séries de Fourier Soit une fonction f(x) définie sur un intervalle [ L / 2; L / 2] et déterminée à l'extérieur de cet intervalle par f(x+l) = f(x), c'est à dire que f(x) présente une période L (voir figure II.1). f(x) -L -L/2 0 L/2 L x

3 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 3 Figure II.1 Le développement en série de Fourier de f(x) est défini par: f (x)= a (a n cos ωnx + b n sin ωnx) n= 1 (1) où l'on a posé : ω = 2π L. Les coefficients de Fourier a n et b n sont calculés à l'aide des expressions: a n = 2 L + L/2 L/2 f (x).cos nωx dx (2) On remarquera que: b n = 2 L + L/2 L/2 f (x).sin nωx dx. (3). Si la fonction f(x) est paire, alors les coefficients b n sont nuls, et le développement ne comporte que des termes en cosinus.. Si la fonction f(x) est impaire, les coefficients a n sont nuls et le développement ne comporte que des termes en sinus.. Il existe des conditions que doit vérifier la fonction f(x) pour avoir un développement en série de Fourier. Ces conditions sont connues sous le nom des conditions de Dirichlet. Elles sont vérifiées pour la plupart des fonctions utilisées en physique (ces fonctions sont souvent appelées "good functions" dans les ouvrages anglo-saxons). II.1.2. Forme complexe du développement En remplaçant les fonctions trigonométriques par leurs expressions complexes (formules d'euler), le terme de rang n de la série s'écrit: a n cos ωnx + b n sin ωnx = a n j b n 2 En introduisant les constantes: C n = a n + j b n 2 et le développement devient: e jωnx + a n + jb n e jωnx. 2 C n = a n j b n 2 (4)

4 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 4 f (x)= a (C n e jωnx +C n e jωnx ). n= 1 (5) Sous cette forme, on passe de l'un des termes généraux de la série à l'autre en remplaçant n par -n ( C n et C n étant complexes conjugués), ce qui permet d'écrire la série sous une forme plus concise en ne considérant qu'un seul terme, et en prenant soin de poser C 0 = a 0 / 2: f (x)= C n e jωnx. n= (6) Le calcul de C n peut être fait en utilisant sa définition (relation (4) jointe à la relation (2): C n = 1 L + L/2 f (x).e jωnx dx L/2 (7) Enfin, on notera que, très souvent, la variable x représente le temps t. II.1.3. Représentation graphique: spectres Il est commode de représenter les séries a n et b n par des graphiques du type de la figure 2, où l'on porte en abscisse le rang n de l'harmonique, et où l'on trace verticalement un segment de hauteur a n ou b n égale à l'amplitude de l'harmonique. Un tel graphique est appelé spectre, par analogie avec la décomposition spectrale de la lumière blanche par un prisme ou un réseau. an ou bn 0 ω 2ω 3ω ω ou n Figure II.2. Spectre de Fourier d'un signal périodique

5 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 5 Le problème complet exige la connaissance des deux spectres a n et b n mais il convient de remarquer que les deux termes de rang n peuvent s'écrire: a n cos ωnx + b n sin ωnx =S n cos (nx φ n ) (8) avec: S n = a n 2 + b n 2 et tan φ n = b n a n. (9) La connaissance séparée de a n et de b n équivaut à celle de l'amplitude S n et de la phase φ n de l'harmonique n. II.1.4. Application à un signal carré: Lors de la préparation de cette manipulation, établir les expressions analytiques des coefficients de Fourier du créneau carré de période 1 représenté sur la figure /2 0-1/2-1 Figure II.3. Signal créneau carré Représenter graphiquement le spectre de la fonction. II.2. La transformée de Fourier D'après ce qui précède, on a pour une fonction f(x) périodique de période L:

6 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 6 f L (x) = e jωnx 1 n= L + L/2 L/2 f (t).e jωnt dt. (10) Cherchons à voir ce que devient la relation (10) pour une période L tendant vers l'infini. On a alors: L et ω 0. On décompose la somme discrète de l'équation (10) en une somme sur de petits intervalles ω = ω n 1 ω n = (n +1) ω nω = ω. De plus, on considère le coefficient de Fourier C n comme une fonction de ω n = nω = n ω : soit C n = C (ω n ) l'équation (10) devient alors: f ω ( x) = e jω n x = C n ω C (ω n ) e jω n x ω (11) En posant ensuite: C ' (ω n ) = C(ω n ) ω on obtient: f ω ( x) = C ' (ω n )e jωnx ω ω avec, puisque ω = ω = 2π L C ' (ω n ) = 1 2π +L /2 L/2 f ( x)e jω n x dx On peut alors calculer à la limite où L la somme discrète en la remplaçant par une intégrale continue en posant ω dω. On obtient ainsi: + f (x) = C' (ω )e jω x dω (13) avec: C ' (ω ) = 1 2π + f ( x)e jω x dx (14) Le changement de variable expressions (13) et (14) symétriques ω v (avec ω = 2πv) permet de rendre les

7 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 7 + f (x) = C' ( ν)e j2 πνx 2π dν = C (ν)e j2 πνx dν (15) + et + C( ν) = 2 π C ' (ν) f (x) e j 2 πνx dx (16) L'intégrale donnée par l'expression (15) est appelée transformée de Fourier de C(ν) et réciproquement C(ν) est la transformée de Fourier de f(x). On note souvent: C(v) = TF f (x). ou C( ν) = f ( x) L'expression (16) est aussi appelée transformée de Fourier inverse. On peut séparer les parties réelles et imaginaires de C(v) en posant: C(v) = R(v) j. I(v). (17) Remarques: ω, v et x sont des nombres réels complexes C (v) et f ( x) peuvent être des fonctions à variables f est définie sur l'espace des x qui représente très souvent le temps. C(v) est définie sur l'espace des fréquences ν. II.2.1. Interprétation physique L'intégrale de Fourier "remplace" les séries de Fourier. Dans l'intégrale, on a une infinité de fréquences qui varient continûment, et non pas discrètement comme dans le cas des séries. Enfin, comme pour les séries, C( ν) indiquera avec quelle amplitude intervient chaque fréquence ν dans la constitution de la fonction f(x).

8 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 8 II.2.2. Transformée de Fourier d'un signal échantillonné Dans la suite, nous serons confrontés à des signaux analogiques échantillonnés de manière discrète avec un pas de temps de dt. Ainsi, comme le résume la figure 4, le signal continu f(x) sera remplacé par une série de N points, N étant de l'ordre de quelques centaines. f(t) signal analogique t f(t) signal échantillonné (N=6 échantillons) t Figure II.4. Principe de l'échantillonnage d'un signal analogique. De manière pratique, la transformée de Fourier discrète d'une série réelle de points f(x), x=0,..., N-1 donne dans le domaine fréquentiel une composante réelle R( ν) et une composante imaginaire I( ν) calculable non pas avec une intégrale, mais avec une somme discrète: N 1 R(v) = dx f(x).cos(2πvx ) x= 0 N 1 I(v) = dx f(x).sin(2πvx ). x=0 (18) (19) L'amplitude du spectre est le module de C( ν): et le spectre de puissance est: A(v) = R 2 (v) + I 2 (v) (20)

9 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 9 A 2 (v) = R 2 (v) + I 2 (v). (21) II.2.3. La transformée de Fourier rapide (TFR ou FFT) Le calcul pratique de la transformée de Fourier d'un signal discret n'est jamais réalisé directement en appliquant les relations (18) et (19) car l'opération est excessivement coûteuse en temps de calcul dès que le nombre de points augmente. L'algorithme utilisé est connu sous le nom de TFR (ou FFT en anglais pour Fast Fourier Transform), et date des années De nombreuses variantes sont disponibles actuellement dans des logiciels commerciaux qui sont extrêmement performants La FFT transforme un bloc complexe de données du domaine temporel en un bloc complexe de données du domaine fréquentiel de longueur égale. L'utilisation la plus courante de la FFT est de transformer les évolutions temporelles en temps réel en fonctions fréquentielles complexes et inversement. Ceci fait, il est tiré parti de la conjuguée complexe symétrique de la Transformée de Fourier des données réelles pour obtenir N/2 +1 points complexes du domaine fréquentiel. Par exemple, 1024 points réels deviennent 513 points complexes du domaine fréquentiel. II.3. Vibrations transversales d'une poutre L'équation différentielle décrivant les mouvements transversaux d'une poutre peut être facilement établie (voir: L.Landau, Théorie de l'élasticité, Editions Mir, Moscou), et s'écrit, avec les notations de la figure II.5: 4 2 y y EI + µ S 4 2 x t = 0 où m est la masse volumique de la poutre d épaisseur e et de largeur b, E son module d Young, S sa section et I son inertie. S = e.b, I = e 3 b/12 pour une poutre rectangulaire. On peut donc écrire : δ 4 y δ x K 2 δ 2 y δ t 2 = 0 (22) avec K=e E 12µ (23)

10 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 10 K est donc une constante qui fait intervenir des quantités intrinsèques à la poutre (module d'young, masse volumique et épaisseur). Quelle est la dimension de K? y poutre encastrée à une extrémité x L Figure II.5. Poutre encastrée à une extrémité Cherchons les régimes stationnaires de l'équation (22) en cherchant des solutions de la forme: y = φ(x) e jωt dans laquelle la fonction φ(x ) est réelle. En portant (23) dans l'équation (22), on obtient une équation linéaire du quatrième ordre en φ : d 4 φ dx 4 ω2 K 2 φ = 0. (24) En posant m 4 = ω2 K 2 (25) l'équation (24) prend la forme simple: d 4 φ dx 4 m4 φ = 0. (26) Quelle est la dimension de m 4? L'équation caractéristique de (26) admet 4 racines m, -m, im et -im. La solution générale cherchée a pour expression: φ = A.cos mx +B.sin mx + C.ch mx + D.sh mx (27)

11 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 11 où A, B, C, et D sont des constantes déterminées par les conditions aux limites. Pour la poutre encastrée (figure II.5), ces conditions aux limites sont les suivantes: en x = 0 φ = 0 (Déplacement nul) dφ dx = 0 (Pas de cassure ou de point anguleux) en x = L d 2 φ dx 2 = 0 (Moment fléchissant nul) d 3 φ dx 3 = 0 (Effort tranchant nul). On obtient 4 équations: A + C = 0 B + D = 0 A cos ml B.sin ml+ C.ch ml + D.sh ml = 0 Asin ml B.cos ml +C.sh ml+ D.ch ml = 0 En remplaçant C et D en fonction de A et B, on est conduit à: A[ cos ml +ch ml]= B sin ml + sh ml A[ sh ml sin ml]= B[ cos ml + ch ml]. [ ] Ce système n'est compatible que si son déterminant est nul: [ cos ml+ ch ml] 2 = [ shml +sin ml]. [ sh ml sin ml] soit: cos ml. ch ml = 1. (28) L'équation (28) est résolue graphiquement en traçant les solutions en fonction de ml (voir figure II.6).

12 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 12 Figure II.6. Résolution de l'équation (28). A cause de la croissance très rapide de la fonction ch x, on remarque que les solutions (à l'exception de la première) sont très proches des asymptotes verticales. On peut alors écrire: m k. L = (2k + 1) π 2. avec k entier 0 (29) Pour la première solution (k=0), un calcul numérique conduit à: m 0. L = 1,194. π 2 (30) En portant les valeurs de m k dans l'équation (25), on obtient la loi de variation des périodes propres ω k en fonction de la longueur L de la poutre: ω k = K L 2 (2k + 1)2 π 2 4 (31) et pour la période plus basse, à l'aide de (30): ω 0 = 3, 5 K L 2 (32) L'objet de la manipulation va consister à mesurer ω 0 pour diverses valeurs de L, à vérifier la relation (32) puis extraire la constante K. 2 On vérifiera ensuite la relation suivante : ω 0 = 3.5e. K' / L ( voir l équation (23)) en mesurant pour une longueur de lame fixée, la fréquence de vibration en fonction de l épaisseur de la lame.

13 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 13 III. MANIPULATIONS III. 1. Les séries de Fourier.Effectuer le travail demandé dans la sous-section II.1.4..Un programme nommé FOURIER (voir répertoire Fourier) permet de synthétiser les fonctions créneau et triangle à partir de son développement en série. - Etudier le graphe du créneau synthétisé en fonction du nombre de termes considéré dans la série. Par exemple, on considérera successivement n=10, 50, 100,..., Comment ce programme qui effectue en fait une synthèse de Fourier pourrait-il être utilisé pour faire une analyse de Fourier? - Observer dans chaque cas le spectre généré. - Arrive-t-on à obtenir le créneau de façon parfaite? -Expliquer pourquoi on arrive à synthétiser la fonction triangle avec beaucoup moins de termes que la fonction créneau? III.2 Détermination des spectres d'un signal carré et d un signal triangulaire. -A l aide du GBF envoyer successivement un signal carré puis un signal triangulaire de 1 V sur la voie 0 du boîtier Eurosmart. -Acquérir le signal à l aide du logiciel Lame de scie (voir répertoire lame de scie). -Quelle est dans chaque cas la composition spectrale du signal (utiliser la fonction FFT dans le menu Traitements? Faire varier la fréquence. Commenter.

14 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 14 III.3 Etude des vibrations mécaniques de la lame de scie. III. 3.1 Montage pour l'étude de la vibration de la lame vibrante La lame étudiée est une lame de scie à métaux en acier. L'une des extrémités est serrée dans un étau. On aimante l'extrémité libre en la frottant plusieurs fois, dans le même sens, contre un aimant. La lame oscille devant le noyau d'une bobine d'induction (voir figure cidessous). Le mouvement vibratoire de la lame est enregistré par l'intermédiaire de la tension induite dans la bobine. En effet, lorsque l'extrémité libre de la lame passe à proximité du noyau de la bobine, le flux du champ magnétique créé par la lame aimantée à travers la bobine varie, ce qui provoque l'apparition d'une f.e.m. induite donc d'un courant qui est converti sous forme de tension que l on va capturer à l aide d une carte d acquisition. Le signal ainsi capté sera traité par un logiciel nommé «Lame de scie». Etau Bobine Interface de connexion Eurosmart Voie 0 Masse Lame encastrée Amplificateur Figure III.1 Montage utilisé Ordinateur III. 3.2 Etude des vibrations de la lame élastique (équations 32 et 23).

15 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 15 On utilise aussi le logiciel Lame de scie pour étudier les vibrations de la lame de scie à métaux. -Effectuer le montage de la lame de scie dans l'étau et mesurer la longueur L de la lame vibrante. -Positionner la lame en face du noyau de la bobine. -Lancer l acquisition à l aide de la touche F10 puis faire vibrer la lame. -Le menu FFT permet de calculer la fréquence de vibration pour une longueur de lame donnée. Pour des longueurs de lame successives de 10, 15, 20 et 25 cm, enregistrer les fréquences propres de vibration f0. -Tracer la courbe f 0 =f(1/l 2 ). -Expliquer la forme de la courbe. Conclure. IV-Etude la fréquence d un signal sonore. IV-1 Matériel : 2 diapasons avec leur boîte de résonance 1 microphone d ondes sonores 1 marteau en caoutchouc 1 amplificateur 1 ordinateur muni d une carte d acquisition

16 Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 16 IV-2 Montage Connecter le microphone à l entrée de l ampli. Relier la sortie de l ampli à la voie 0 du boîtier Eurosmart. Utiliser les prises jack et les adaptateurs prévus à cet effet. Faire vérifier le montage. IV-3 Travail demandé -Enregistrer le son émis par un diapason et déterminer sa fréquence. -Fixer la masselotte sur une des branches du diapason. Déterminer la fréquence de vibration en fonction de la position de la masselotte. -Désaccorder l un des deux diapasons (à l aide de la masselotte). Puis les faire vibrer ensemble. -Acquérir le signal émis. Qu observe-t-on? Expliquer. -Déterminer la fréquence de vibration de chaque diapason. -Sans modifier les réglages des diapasons, enregistrer le signal émis par chacun des deux et déterminer les fréquences. Comparer les résultats à ceux obtenus précédemment. Commenter.