DEVOIR SURVEILLE N 4 MATHEMATIQUES. Série S. Enseignement obligatoire

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1 DEVOIR SURVEILLE N 4 Le 16/01/2010 MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l épreuve : 3 heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. La feuille annexe est à rendre avec la copie.

2 Exercice 1 6 points) - Partie A : lectures graphiques 1 C -2-1 O F -2 On donne dans un repère orthogonal, les courbes C et F représentatives de deux fonctions définies et dérivables sur R. On sait que l une de ces fonctions est la fonction dérivée de l autre, on peut donc les noter g et g. 1. Associer à chacune des fonctions g et g sa représentation graphique. On justifiera le résultat en donnant un tableau où figurera le signe de g x) et les variations de g on fera apparaître les limites dans ce tableau). 2. Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point d abscisse 0? Justifier. - Partie B : équations différentielles Soit l équation différentielle E) : y + y = 2x + 1)e x. 1. Montrer que la fonction f 0 définie sur R par : f 0 x) = x 2 + 2x)e x est solution de l équation E). 2. Résoudre l équation différentielle E ) : y + y = a. Montrer que la fonction f est solution de E) si, et seulement si, f f 0 est solution de E ). b. En déduire pour x réel, l expression de fx) lorsque f est solution de E). 4. Sachant que la fonction g de la partie A est solution de E), déterminer gx) pour x réel. 5. Déterminer la fonction h solution de l équation E) dont la représentation graphique admet au point d abscisse 0 une tangente horizontale.

3 Exercice 2 5 points) Soit f la fonction définie sur I =]0 ; + [ par : - PARTIE A - fx) = 1 2 x + 2 ) x On appelle C f sa courbe représentative. 1. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Donner les interprétations graphiques éventuelles. 2. Montrer que la droite d équation y = 1 2 x est asymptote oblique à C f. 3. Montrer que pour tout x de I : 4. Dresser le tableau de variations de f sur I. f x) = x2 2 2x 2 - PARTIE B - Soit la suite u n ) définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 1 2 et u n+1 = 1 2 u n + 2 ) u n 1. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul u n 2. b. Montrer que pour tout x 2, fx) x. c. En déduire que la suite u n ) est décroissante à partir du rang 1. d. Prouver qu elle converge. 2. Soit l la limite de la suite u n ). Montrer que l est solution de l équation En déduire sa valeur. x = 1 2 x + 2 ) x

4 Exercice 3 5 points) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal O ; u, v ). On prendra pour unité graphique I cm. 1. On considère les points A, B, C et D d affixes respectives Placer ces points sur une figure. z A = 4 + i, z B = 1 + i, z C = 5i et z D = 3 i. 2. Soit f l application du plan dans lui-même qui, à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z tel que : z = 1 + 2i)z 2 4i. a. Préciser les images des points A et B par f. b. Résoudre dans C, l équation z = z. Quelle interprétation géométrique peut-on donner? 3. On appelle Ω le point d affixe ω = 2 i. a. Montrer que pour tout nombre complexe z 2 i, on a : z z 2 i z = 2i b. En déduire, pour tout point M différent du point Ω, la valeur de MM et une mesure en radians de l angle ΩM ) MΩ, MM c. Quelle est la nature du triangle ΩMM? d. Soit E le point d affixe z E = 1 i 3. Écrire z E sous forme trigonométrique puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E associé au point E en utilisant les questions précédentes. Exercice 4 4 points) Le tableau donné en annexe indique l évolution de la masse corporelle d un jeune goéland. L âge est exprimé en jours après l éclosion. La masse est exprimée en grammes. On a représenté en annexe dans un repère les points correspondants au tableau. 1. Un biologiste propose de modéliser la croissance du goéland par la fonction m 1, définie pour t 0 par : m 1 t) = 97, 4e 0,084t a. Calculer m 1 t), puis établir le tableau de variations de m 1 sur [0 ; + [ on justifiera la limite en + ). b. Compléter le tableau de valeurs donné en annexe avec des valeurs approchées arrondies à l unité. c. Représenter la fonction m 1 dans le repère donné en annexe. 2. Un autre biologiste propose de modéliser la croissance du goéland par une fonction m 2 définie pour t 0 par : m 2 t) = , 3e 0,155t a. Calculer m 2 t), puis établir le tableau de variations de m 2 sur [0 ; + [. b. Démontrer que la courbe représentative de m 2 admet une asymptote que l on précisera. c. Compléter le tableau de valeurs donné en annexe avec des valeurs approchées arrondies à l unité, puis représenter la fonction m 2 dans le même repère. 3. Comparer les tracés obtenus. Quel est celui qui est le plus proche des observations faites?

5 ANNEXE A RENDRE Exercice 4) Age Masse m 1 t) m 2 t) 1900 Masse Age