Cours n 10 : QUADRILATERES
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- Rémy Thomas
- il y a 5 ans
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1 I- GÉNÉRALITÉS Le quadrilatère ABCD possède : quatre sommets : les points A ; B ; C et D. quatre côtés : les segments [AB] ; [BC] ; [CD] et [DA] ; quatre angles : ; ; et ; deux diagonales : les segments [AC] et [BD]. Vient du latin «quadri» = 4 et «later» = coté. Remarque 1 : le quadrilatère ABCD peut aussi être nommé : ADCB, ou BCDA, ou BADC, ou CBAD, ou CDAB, ou DABC, ou DCBA, mais pas ABDC! Les côtés [AB] et [DC] d une part et [AD] et [BC] d autre part, sont opposés (ils n ont pas de sommet commun). Les côtés [AB] et [BC] par exemple, sont consécutifs (ils ont un sommet commun). Dans un quadrilatère, deux côtés sont soit opposés, soit consécutifs. De même : les angles et sont opposés. Les angles et sont consécutifs Remarque 2 : les diagonales sont des segments dont les extrémités sont deux sommets opposés. 1
2 II- QUADRILATERES PARTICULIERS 1. LE LOSANGE Vient du gaulois «lausa» = pierre plate. Définition : un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Si BCDE est un losange, alors : BC = CD = DE = BE. Si BC = CD = DE = BE, alors BCDE est un losange. Propriété 1 (admise) : deux côtés opposés d un losange sont parallèles. Démonstration 1 : Outil utilisé : définitions et propriété de la médiatrice (voir cours précédent). On sait que C est équidistant des extrémités de [BD], donc d après la propriété réciproque de la médiatrice, C est sur la médiatrice de [BD]. Ainsi, on peut affirmer que (CE) est la médiatrice de [BD]. On procède de même pour [CE] et on conclu que (BD) est la médiatrice de [CE]. D après la définition 1 de la médiatrice, on peut affirmer que (BD) et (CE) sont deux axes de symétrie du losange BCDE. Propriété 2 : un losange possède deux axes de symétrie : ses diagonales. Démonstration 2 : Outil utilisé : définition de la médiatrice (voir cours précédent). On sait que (CE) est la médiatrice de [BD], donc on peut affirmer que : [BD] [CE] et BO = OD. On sait que (BD) est la médiatrice de [CE], donc on peut affirmer que : [BD] [CE] et CO = OE. Propriété 3 : si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu. Démonstration 3 : Outil utilisé : propriétés de la symétrie axiale (voir cours précédent). 2
3 On sait que (CE) est un axe de symétrie de BCDE, donc on peut affirmer que : = et =. Autrement dit, les angles opposés de BCDE sont égaux. Propriété 4 : si un quadrilatère est un losange, alors ses angles opposés sont égaux. Démonstration 4 : Outil utilisé : définition de la médiatrice (voir cours précédent). On sait que (CE) est un axe de symétrie de BCDE, donc on peut affirmer que : =. Autrement dit, (CE) est la bissectrice de. Il en va de même pour les 3 autres angles. Propriété 5 : si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont les bissectrices de ses angles. Construction : construire le losange DEFG, tel que : DE = 4 cm et DF = 6 cm. 3
4 2. LE RECTANGLE Vient du latin «rectus» = droit et «angulus» = angle. Définition : un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Propriété 1(admise) : les côtés opposés d un rectangle sont parallèles. Démonstration 1 : Outils utilisés : définition du rectangle (voir plus haut). Propriété 1 : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Propriété 2 : si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Soit un quadrilatère ABCD tel que les angles en A, en B et en C soient droits. Donc les droites (DC) et (AB) sont parallèles entre elles (propriété 1). Or la droite (AB) est perpendiculaire à (AD) (propriété 2). Donc (DC) est aussi perpendiculaire à (AD). Le quadrilatère ABCD a bien 4 angles droits donc c est un rectangle. Propriété 2 : si un quadrilatère a 3 angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle. Remarques : combien le rectangle ABCD possède t il d axe de symétrie? par pliage, nous pouvons constater que le rectangle ABCD a deux axes de symétrie : les médiatrices de ces côtés. Ainsi les côtés d un rectangle possèdent 2 médiatrices (et non pas 4), en effet, dans les rectangle ABCD, la médiatrice de [AB] est aussi celle de [DC] et celle de [AD] l est aussi pour [BC]. Propriété 3 : un quadrilatère possède 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. 4
5 Propriété 4 (admise) : si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont de même longueur. Propriété 5(admise) : si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. Construction : construire le rectangle ABCD, tel que : AB = 3 cm et = 30. 5
6 3. LE CARRÉ Vient du latin «quadratus». Définition : un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de la même longueur. Remarques : Un carré a ses 4 côtés de même longueur, c est donc un losange particulier. Un carré possède 4 angles droits, c est donc un rectangle particulier. Ainsi, un carré possède les propriétés du losange et du rectangle. Propriétés : Un carré possède 4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires. Construction : construire le carré EFGH, tel que : EF = 5 cm. 6
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