CHIFFRES NON NULS DANS LE DÉVELOPPEMENT EN BASE ENTIÈRE D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL. par. Boris Adamczewski & Colin Faverjon

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1 CHIFFRES NON NULS DANS LE DÉVELOPPEMENT EN BASE ENTIÈRE D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL par Boris Aamczewski & Colin Faveron Résumé. Dans ce texte, nous onnons une minoration effective u nombre e chiffres non nuls parmi les N premiers chiffres u éveloppement ans une base entière un nombre algébrique irrationnel. La émonstration e ce résultat repren pour l essentiel les arguments e [BBCP04], mais a l avantage être renue à la fois totalement élémentaire et effective. Elle éten également ces arguments au cas e toute base entière. 1. Introuction Étant onné un entier b 3, nous ne sommes malheureusement touours pas capables e prouver que tous les chiffres 0, 1,..., b 1, apparaissent ans le éveloppement en base b e tout nombre réel, algébrique et irrationnel. Notons qu une réponse positive à cette question permettrait e résoure une conecture bien connue e Mahler [Ma84] concernant l absence e tels nombres ans l ensemble triaique e Cantor. Plus généralement, on s atten à ce que ces nombres, comme autres constantes classiques, soient es nombres normaux voir par exemple [A10, AB07, ABL04] pour une iscussion et es résultats complémentaires sur ce suet. Contrairement au cas une base b 3, il est évient que les eux chiffres 0 et 1 apparaissent infiniment souvent ans le éveloppement binaire e tout nombre irrationnel. Une conséquence e la normalité es nombres algébriques irrationnels serait que leur éveloppement binaire aurait la même proportion occurrences u chiffre 0 et u chiffre 1. Plus précisément, si Px,, N ésigne le nombre e 1 parmi les N premiers chiffres u éveloppement binaire u nombre algébrique irrationnel x, on evrait avoir Px,, N N Ce résultat semble hors atteinte pour le moment et minorer la quantité Px,, N, lorsque x est un nombre algébrique irrationnel, est un problème élicat. Afin étuier cette question, une approche naturelle, et un peu naïve, repose sur l iée suivante : si le éveloppement binaire un nombre réel x, algébrique et irrationnel, contenait trop e zéros, les sommes partielles u éveloppement fourniraient une infinité e «trop bonnes» approximations rationnelles e x. Plus concrètement, on peut raisonner comme suit. Soit x i 0 1/n i un nombre algébrique irrationnel binaire. Alors, il existe es entiers p k tels que k i0 1 n i p k n k et x p k n k < n k1

2 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON D autre part, puisque x est un nombre algébrique irrationnel, si ε > 0 est un nombre réel, alors le théorème e Riout [Ri57] implique que x p k 1 >, n k 1εn k pour tout entier k assez gran. Cela implique que n k1 > 1 εn pour e tels k, propriété ont écoule aisément la minoration 1 Px,, N > log N log1 ε O1. En 004, les auteurs e [BBCP04] ont obtenu une amélioration substantielle e l inégalité 1 en suivant une approche assez originale 1. Théorème BBCP. Soient x un nombre réel algébrique irrationnel e egré, ε > 0. Posons 1 1/ c :, ɛa où l entier A est éfini comme ans l égalité 3. Alors, on a Px,, N > cn 1/, pour tout entier N assez gran. Ce théorème offre en particulier une nouvelle preuve e plusieurs résultats classiques comme la transcenance es nombres n0 1 n et n0 1 Fn, où F n ésigne le n-ième nombre e Fibonacci. En outre, il implique la transcenance u nombre n0 1 nlog log n, pour lequel aucune autre émonstration ne semble connue. La preuve proposée par les auteurs e [BBCP04] combine astucieusement es iées provenant e la théorie aitive es nombres avec le théorème e Roth [Ro55]. De façon un peu surprenante, le fait e remplacer le théorème e Roth par sa version p-aique le théorème e Riout prouit seulement une amélioration marginale : le terme ε ans la éfinition e la constante c peut être remplacée par 1 ε. Notons toutefois que pour certaines classes particulières e nombres algébriques, il est possible obtenir une constante plus grane voir à ce propos [BBCP04, Ri08]. Une lacune u théorème BBCP est son ineffectivité : il ne permet pas e éterminer un entier N à partir uquel la minoration est valable. Dans ce texte, nous choisissons une irection opposée, préférant substituer au théorème e Roth un résultat beaucoup plus ruimentaire : l inégalité e Liouville. Nous obtenons un résultat légèrement plus faible, puisque la contante c est remplacée ans le théorème.1 par une constante C plus petite. L intérêt e cette approche est e proposer une émonstration totalement élémentaire qui a l avantage e fournir un résultat effectif. 1 Notons qu on trouve ans cette approche es réminiscences e l article e Knight [Kn91].

3 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 3. Enoncé u résultat Dans toute la suite, x est un nombre algébrique irrationnel e egré et b est un entier supérieur ou égal à, tous eux fixés. Notons x b : x r x r1 x 0 x 1 x le éveloppement e x en base b, e sorte que les chiffres x i appartiennent tous à l ensemble {0,..., b 1}. Nous nous intéressons à la quantité Px, b, N : Car {1 i N x i 0}. Posons α : x x 1, où x ésigne la partie entière e x, e sorte que α b 1 x 1 x. Notons qu il existe un unique polynôme P à coefficients entiers e egré tel que 3 P α A α A 1 α A 0 0, avec A > 0. Notons H : max { A i 0 i } la hauteur naïve u nombre algébrique α. Dans la suite, étant onné un nombre réel strictement positif x, log x ésigne le logarithme en base b e x. Notre obectif est e onner une preuve élémentaire u résultat suivant. Théorème.1. Nous conservons les notations précéentes. Soit ε un nombre réel tel que 0 < ε 1/. Posons C : 1 1 ε 1/. b 1 A 1 Alors, on a pour tout entier N vérifiant 4 5 Px, b, N CN 1/, N > 4b 1H 1, 4 4 N > log εb 1 1 εb 1 1. En conservant la même approche, il est en fait possible obtenir une constante C légèrement plus petite, ainsi que infléchir les conitions 4 et 5. Le souci e clarté, et une certaine paresse, nous ont conuit à opter pour le compromis que représente le théorème Démonstration u théorème Remarquons tout abor que Pα, b, N Px, b, N pour tout entier N. Dans toute la suite, N ésigne un entier fixé vérifiant les inégalités 4 et 5. Nous raisonnons par l absure en supposant ésormais que 6 Pα, b, N < CN 1/ et nous cherchons à établir une contraiction. La émonstration qui suit met en évience les principales étapes que l on trouve ans une preuve e transcenance classique.

4 4 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON 3.1. Notations. Pour tout entier n 1, on pose α 1,n : x n. On pose également α 1,0 : 1, e sorte que α b α 1,0 α 1,1 α 1,. On éfinit alors par récurrence l entier α k,n par la formule α k,n n α k 1,r α 1,n r. Notons que après la éfinition u prouit e Cauchy es séries formelles, si alors on a f k X 1 n1 fx : 1 r0 n1 α k,n X n, e sorte que α k fb k m 0 α 1,n X n Z[[1/X]], α k,m b m Ainsi, l entier α k,n correspon au n-ième chiffre ans une «écriture brute» e α k, c està-ire ans laquelle on aurait élever α à la puissance k sans abaisser les retenues. L iée principale e cette émonstration est e travailler avec ces écritures brutes afin e contourner les problèmes posés par la présence es retenues ans ce contexte. Il est également utile e remarquer que, puisque α a été choisi e sorte que α 1,0 1, on a pour tout entier n 7 α 1,n 0 α k,n 0, k, 1 k Fonction auxiliaire. Pour tout entier k, 1 k, posons T k α, R : α k,rm b m On obtient alors T k α, R b R b R b R α k mr1 α k,rm b Rm α k,m b m R α k,m b R m m0 Pour chaque entier R, on pose T α, R : A k T k α, R.

5 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 5 Une remarque importante est que T α, R est touours un entier relatif. En effet, on a T α, R A k T k α, R b R A k α k b R A 0 R A k m0 R A k m0 α k,m b R m α k,m b R m. La quantité auxiliaire à laquelle nous allons nous intéresser ans cette émonstration est où K log N. Sα, N : T α, R, 3.3. Maoration. Dans cette secone étape, nous allons maorer la somme Sα, N comme suit. Proposition 3.1. On a Sα, N C A 1b 1 N. Pour émontrer cette proposition, nous aurons besoin établir eux résultats auxiliaires. Lemme 3.. Pour tout entier k, 1 k, et tout entier R, 1 R N, on a T k α, R N kk b 1 k!n 1 Démonstration. Commençons par maorer les α k,n. On a par éfinition n α k,n α k 1,r α 1,n r et une simple récurrence onne alors Il vient onc α k,n r0 i 1 i k n α 1,i1 α 1,ik. n α k,n b 1 k puisque les α 1, sont tous maorés par b 1. Il suit R m 8 T k α, R b m b 1 k. R m Posons à présent S k α, R : b m b 1 k et montrons que S k α, R vérifie la relation e récurrence suivante : R S k α, R bs k 1 α, R b 1 k 1.

6 6 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON En effet, la relation n p n 1 p 1 n 1 p implique que S k α, R R m b m b 1 k R m k b m b 1 k k b 1S k 1 α, R m R b 1 k b b 1S k 1,R α, R b m R m k R m k b m b 1 k b 1 k R m b m1 b 1 k R b 1 k b R b 1 k b 1S k 1 α, R 1 b b S kα, R. On en éuit alors par récurrence sur l entier k la maoration k 1 R k 9 S k α, R b 1 k. En effet, le résultat est imméiat pour k 1 et en le supposant vrai au rang, on obtient : R S k α, R bs k 1 α, R b 1 k 1 k R R bb 1 k 1 b 1 k 1 bb 1k 1 k R R 1 R b bb 1k 1 R k R k 1 R 0 1 bb 1k 1 R k [ ] R R 0 1 bb 1k 1 k 1 R k k 1 R k b 1 k,

7 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 7 comme souhaité. Remarquons autre part que 10 En effet, on a : k 1 R k k 1 R k k 1 k 1 R k k!r 1 R k!!r k! R k! k 1 R k k 1 1!R k k 1 k 1 R k k 1 1 n!r k n n0 k 1 R k k 1 R kk 1! n0 n0 R k k!r 1 n!r k n n R k D après les inégalités 8, 9 et 10, et en notant que R N, on obtient finalement T k α, R R kk b 1 k!r 1 N kk b 1 k!n 1, ce qui termine la émonstration u lemme. Nous allons maintenant utiliser le lemme 3. pour émontrer notre secon résultat auxiliaire. Lemme 3.3. Pour tout entier k, 1 k, on a T k α, R b 1 k Pα, b, N k b. Démonstration. La éfinition e T k α, R implique que T k α, R K K 1 b m α k,rm b m α k,rm b m 1 b K N α k,r mk1 b b log N α k,rm b m K T k α, R K.

8 8 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON On éuit alors u lemme 3. que N 11 T k α, R α k,r bn log N 1N kk b 1 k N!N 1 D autre part, on peut montrer par récurrence sur l entier k que N 1 α k,r b 1 k Pα, b, N k. Pour k 1, cela revient simplement à ire que les α 1,R appartiennent à l ensemble {0,..., b 1}. Supposons l inégalité vraie pour l entier. Alors, N α k,r D après les inégalité 11 et 1, il vient : 13 N i0 N i0 Ri N T k α, R b 1 k Pα, b, N k Il nous reste onc à montrer que R α k 1,i α 1,R i N α k 1,i α 1,R i N α k 1,i α 1,R i0 R0 b 1 k Pα, b, N k. N log N 1N k k N!N 1 bn log N 1N kk N.!N 1 1, pour tout entier k, 1 k. Puisque le rapport Nkk b 1 k k 1!N1 croît avec l entier k, il suffit en fait obtenir la maoration suivante : N log N 1N N 1!N 1 1. Supposons ans un premier temps que. D après 4, on a N b 4 et un rapie calcul montre que 1 1 log N 1 1, N N ce qui implique que N log N 1 N N NN 1 1, ou encore N log N 1N 14 N 1, 1!N 1 ce qui est la maoration souhaitée. Supposons à présent que 3. Comme la quantité 1! 1/ croît avec, on obtient que 1! 1/ /3

9 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 9 Ainsi, puisque l inégalité 4 garantit que N 4, il vient : c est-à-ire N 1! 1/ 1, 1 N 1!. Cette ernière inégalité implique facilement que 15 N log N 1N N 1!N 1 pour tout entier 3, comme souhaité. D après 13, 14 et 15, on obtient que ce qui termine la émonstration. 1, T k α, R b 1 k Pα, b, N k b, Nous pouvons à présent émontrer la proposition 3.1. Démonstration e la proposition 3.1. Nous cherchons ici à maorer la somme D après le Lemme 3.3, il vient : Sα, N Sα, N : T α, R. A k T k α, R A k T k α, R A k b 1 k Pα, b, N k b. Puisque par hypothèse, nous avons Pα, b, N CN 1/, il suit : et onc 16 1 Sα, N A C N 1b 1 H CN 1/ k bb 1 k Sα, N A C Nbb 1 HCN 1/ b 1 C 1 N 1 1/ b CN 1/ bh b b 1 k. Supposons ans un premier temps que b. On vérifie aisément que l inégalité 4 implique que N /C. On a onc et ainsi C 1 N 1 1/ 1 CN 1/ 1 C 1 N 1 1/ CN 1/ T α, R A C N HC 1 N 1 1/ H,

10 10 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON ou encore T α, R C N A H C N H H CN 1/ C. N, et un rapie calcul D autre part, on peut vérifier aisément que 4 garantit que N 4H C onne alors 17 Sα, N C NA 1, ce qui est précisément la maoration souhaitée ans ce cas. Supposons à présent que b 3. Puisque 4 assure que N C, on a CN 1/ b 1 et onc C 1 N 1 1/ b CN 1/ C 1 N 1 1/ b 1 1 b 1 1 CN 1/ b 1 De même, puisque b 3, on a 1 b 1 k b 1 1. L inégalité 16 implique alors que 18 Sα, N C Nb 1 A ba C N H bh CN 1/ C. N Il nous reste onc à montrer que ba C N H bh CN 1/ C N 1. Là encore, un rapie calcul à partir e l inégalité 4 montre que H CN 1/ 1 et 3bH C N 1 On en éuit imméiatement la maoration souhaitée, à savoir D après 17, cela achève la émonstration. Sα, N C NA 1b Non nullité. Dans cette partie, nous cherchons à montrer l existence entiers R compris entre 1 et N K tels que T α, R Océans e zéros. Comme, par hypothèse, nous avons supposé que le nombre e chiffres non nuls e α est 19 Pα, b, N CN 1/, nous pouvons en éuire une maoration u nombre entiers n inférieurs à N pour lesquels α 1,n n est pas nul. Plus précisément, on obtient que 0 Q : Car {0 n N α 1,n 0} C 1 N 1 1/. En effet, il suffit utiliser 19 et e montrer par récurrence sur l entier k que Car {0 n N α k,n 0} Pα, b, N k. Cette ernière inégalité se éuit facilement à partir e l observation suivante : n 1 α k,n α k 1,i α 1,n i 0 i, 0 i n α k 1,i α 1,n i 0. i0 Nous pouvons onc ésigner par 0 R 1 < < R Q la suite oronnée e façon croissante es entiers n pour lesquels α 1,n 0. Nous posons également R Q1 : N. Notons que

11 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 11 lorsque R i1 R i est «gran», on obtient après 7 un véritable «océan e zéros», ans le sens où α k,n 0, k, n 1 k 1, R i < n < R i1. Le lemme suivant trauit, une certaine façon, l omniprésence e tels océans e zéros. Lemme 3.4. Posons { } I ε : 1 i Q R i1 R i εc1 N 1/. Alors, i I ε R i1 R i 1 ε/n. Démonstration. Notons abor que par éfinition e I ε, on a R i1 R i QεC1 N 1/ i/ I ε Ainsi, on obtient : i I ε R i1 R i Q R m1 R m R m1 R m m/ I ε Q R m1 R m QεC1 N 1/ N C 1 N 1 1/ εc 1 N 1/ 1 ε/n La possibilité une île. La prochaine étape consiste à montrer l existence une «île», c est-à-ire un entier R appartenant à l intervalle ]R i, R i1 K[, le plus gran possible, et tel que α,r n est pas nul. Plus précisément, nous allons montrer le résultat suivant. Lemme 3.5. Soit i un entier appartenant à I ε. Alors, il existe un entier R tel que : i R i1 R K, ii R R i R i1 R i K log4 Hb 1, iii α,r 0. La preuve u lemme 3.5 repose sur l inégalité e Liouville ont la émonstration élémentaire n est pas rappelée ici. La version onnée ci-essous est extraite e [Bu04] 3. Lemme 3.6 Inégalité e Liouville. Soient ξ un nombre algébrique e egré et e hauteur H et p et q eux entiers relatifs non nuls. Alors, on a ξ p q > 1 1 H max p, q Cette énomination fait référence à la note e Knight [Kn91]. 3 L inégalité onnée ans [Bu04] est en réalité un peu meilleure, mais cela n a pas intérêt pour les calculs qui vont suivre.

12 1 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON Preuve u lemme 3.5. Notons 0 p 0 < p 1 < p < la suite croissante es entiers r tels que α 1,r 0. On a alors k 1 α α 1,pi b p i i0 i0 D autre part, il existe un entier A tel que k 1 α 1,pi b p i α 1,pi b p i i0 k 1 α 1,pi b p i i0 A b p k 1 ik α 1,p b p i b 1 b p k On peut e plus remarquer que A b p k 1 puisque par éfinition α appartient à l intervalle [1, ]. D après l inégalité e Liouville lemme 3.6, on obtient que b p k < b 14 Hb p k 1. Ainsi, il vient : p k < p k 1 log4 Hb 1. [ ] Il suit que tout intervalle e la forme l log4 Hb 1, l, avec l log4 Hb 1 0, contient au moins un terme e la suite p k. Notamment si l on montre que 3 R i1 R i K log4 Hb 1 0, on en éuira l existence un entier p k ans l intervalle [ Ri1 R i K log4 ] Hb 1, R i1 R i K. Supposons que l inégalité 3 soit vérifiée. En choisissant p k ans l intervalle ci-essus, puisque par éfinition α 1,pk > 0 et α 1,Ri > 0, on obtient après 1 que α,ri p k > 0. En posant R : R i p k, on obtient alors le résultat recherché. Il ne nous reste onc plus qu à émontrer que l inégalité 3 est bien vérifiée. Puisque i appartient à I ε, on sait que R i1 R i εc 1 N 1/. Comme autre part K log N, il nous suffit e montrer que c est-à-ire que εc 1 N 1/ log N log4 Hb 1, N 1/ log N C 1 log4 Hb 1. ε log N D après 4, N est suffisamment gran pour que log4 Hb 1 log N montrer que N 1/ log N C 1 ε D après 5, on peut vérifier que 4C 1 4C N log 1 ε ε puisque C 1/b 1. On en éuit alors aisément que et onc 4 N 1/ log N 1/ 4C 1 ε N 1/ log N 4C 1 ε, et il suffit onc e

13 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 13 Cela montre que 3 est bien vérifiée et termine la émonstration u lemme. Nous sommes maintenant prêts à émontrer le résultat suivant. Proposition 3.7. Soit R un entier vérifiant les conitions u lemme 3.5. Alors, on a T α, R 1 > 0. Démonstration. Si R vérifie les conitions u lemme 3.5, on a T α, R 1 A k T k α, R 1 A α,r 1m 1 b m 1 A b 1 A k A k α k,r 1m b m α k,r 1m b m D après, on a α k,n 0 pour tous les entiers k et n tels que 1 k 1 et R i < n < R i1. Comme e plus R i1 R log N, il vient : T α, R 1 A 1 b A k A b 1 1 b R i1 R A b b b log N A b b 1 N mr i1 1 R A k α k,r 1m b m α k,ri1 1m b m 1 A k T k α, R i1 1 A k N kk b 1 k!n 1, où le passage e troisième à la quatrième ligne s obtient en utilisant le lemme 3.. Il nous reste onc à montrer que b 1 N A k N kk b 1 k!n 1 < A b C est en effet le cas car b 1 N A k N kk b 1 k!n 1 bh 1 N 1 N 1 k b 1 k k0 bh [N 1b 1] 1 N 1 [N 1b 1] 1 Hb 1 1 N Hb 1 1 bn 1 1 N N Le passage e la euxième à la troisième ligne ans les inégalités ci-essus vient simplement u fait que N >, tanis que celui e la troisième à la quatrième ligne est assuré par l inégalité 4. D autre part, l inégalité 4 garantit également que Hb 1 1 < 1 N b,

14 14 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON ce qui permet e conclure Minoration. Dans cette partie, nous allons minorer la somme Sα, N. Plus précisément, nous allons montrer le résultat suivant. Proposition 3.8. On a Sα, N > 1 ε N. Nous montrons ans un premier temps le résultat auxiliaire suivant. Lemme 3.9. Soient r 0 et r 1 eux entiers tels que r 0 < r 1, α 1,r 0 pour tout r appartenant à [r 0, r 1 ], et T α, r 1 > 0. Alors, on a T α, r > 0, r [r 0, r 1 ]. Démonstration. Soit r [r 0, r 1 ]. Puisque par hypothèse α k,r 0 si k <, on obtient : On a onc T α, r A k ba k α k,rm b m α k,r 1m b m bt α, r 1 A α,r. α k,r b T α, r 1 1 b T α, r A α,r. Ainsi, T α, r 1 > 0 puisque par hypothèse T α, r > 0. L itération e ce procéé permet e conclure. Démonstration e la proposition 3.8. D après la proposition 3.7, on peut appliquer le lemme 3.9 avec r 0 R i et r 1 R 1. On obtient ainsi que T α, r 0 pour tout r [R i, R 1]. Donc, ans chaque intervalle [R i, R i1 ] tel que i appartient à I ε, on a au moins Ri1 R i K log4 Hb 1 entiers r tels que T α, r 0. Rappelons autre part que les nombres T α, r sont es entiers et onc que T α, r 0 T α, r 1. Ainsi, en utilisant le lemme 3.4 et l inégalité 0, il vient : Sα, N T α, R > i I ε Ri1 R i K log4 Hb 1 i I ε R i1 R i On peut facilement éuire e 4 que 1 i I ε log N log4 Hb 1 1 ε/ N C 1 N 1 1/ log N log4 Hb 1 log4 1 Hb 1 log N 1.

15 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 15 et onc D autre part, après 4, on a ce qui implique que comme souhaité. 1 ε/ 1 log N Sα, N N C N 1/. log N N 1/ < ε 4C 1, Sα, N > 1 ε N, 3.6. Contraiction. Nous somme à présent en mesure e conclure la émonstration u théorème. Démonstration u théorème.1. D après les propositions 3.1 et 3.8, on a c est-à-ire 1 ε ce qui contreit la éfinition e C. < C A 1b 1, C > 1 1 ε 1/, b 1 A 1 4. Une mesure e transcenance e séries lacunaires Comme nous l avons éà noté ans l introuction, il écoule imméiatement u théorème BBCP que certains nombres binaires lacunaires comme 1 n0 nlog log n sont transcenants, alors qu aucune émonstration e ce résultat n était connue auparavant. La version effective que nous en avons onnée permet aller un peu plus loin en obtenant une mesure e transcenance pour ces nombres. Plus précisément, on éuit aisément u théorème.1 le résultat suivant. Théorème 4.1. Soit f : R R une fonction strictement croissante telle que fn N et telle que pour tout ε > 0 on ait Alors, pour tout entier b, le nombre réel f 1 x ox ε. α : n0 1 b fn est transcenant. En outre, si est un entier, alors pour tout nombre algébrique β e egré et e hauteur H suffisamment grane, on a : 5 α β 1 b fh

16 16 B. ADAMCZEWSKI & C. FAVERJON La transcenance e α ans le cas où b correspon au Theorem 8.1 e [BBCP04]. La mesure e transcenance obtenue en 5 est bien sûr peu satisfaisante. En particulier, lorsque la suite fn a une croissance au moins exponentielle, c est-à-ire si fn 1 lim inf > 1, n fn une mesure e transcenance bien plus fine est onnée ans [AB11]. Toutefois, lorsque fn a une croissance sous-exponentielle, comme c est le cas pour fn n log log n, il semble qu aucune autre mesure e transcenance ne soit connue. Le théorème 4.1 laisse e côté l approximation u nombre α par es nombres rationnels, mais ce ernier cas peut se traiter inépenamment et e façon un peu plus satisfaisante à l aie une méthoe à la fois élémentaire et classique fonée sur l utilisation inégalités triangulaires voir par exemple [AB11]. En particulier, avec les notations u théorème 4.1, si f est une fonction à croissance sous-exponentielle ont la érivée logarithmique est grane evant 1/x à l infini, ce qui est le cas e la fonction fx x log log x, on obtient que α p q > 1 q log q, pour tout nombre rationnel p/q ont le énominateur est suffisamment gran. Démonstration u théorème 4.1. Sans perte e généralité, nous pouvons supposer que f1 0, c est-à-ire que α [1, ]. Nous allons utiliser le théorème.1 avec ε 1/, e sorte que la constante C intervenant ans ce théorème satisfasse à la conition C 1 b 1 1 1/. H 1 Soit β [1, ] un nombre algébrique e egré et e hauteur H. Puisque f croît plus vite que tout polynôme, nous pouvons supposer que l entier H est suffisamment gran pour que : i la conition 4 soit plus restrictive que la conition 5 ; ii fh > 4b 1H 1 ; iii fh > H/C. D après i et ii, on peut appliquer le théorème.1 à β avec N fh. On obtient ainsi En outre, iii assure que D autre part, la éfinition e α implique que Pβ, b, fh CfH 1/. Pβ, b, fh > H. Pα, b, fh H. On en éuit l existence un entier r, 1 r < fh, tel que les r-ièmes chiffres u éveloppement en base b e α et β iffèrent. Un rapie calcul permet alors e montrer que comme souhaité. α β > 1 b fh,

17 DÉVELOPPEMENT D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL DANS UNE BASE ENTIÈRE 17 Références [A10] B. Aamczewski, On the expansion of some exponential perios in an integer base, Math. Ann , [AB07] B. Aamczewski, Y. Bugeau, On the complexity of algebraic numbers I. Expansions in integer bases, Annals of Math , [AB11] B. Aamczewski, Y. Bugeau, Nombres réels e complexité sous-linéaire : mesures irrationalité et e transcenance, J. reine angew. Math, à paraître. [ABL04] B. Aamczewski, Y. Bugeau, F. Luca, Sur la complexité es nombres algébriques, C. R. Aca. Sci. Paris , [BBCP04] D. H. Bailey, J. M. Borwein, R. E. Cranall, C. Pomerance, On the binary expansions of algebraic numbers, J. Théor. Nombres Boreaux , [Bu04] Y. Bugeau, Approximation by algebraic numbers, Cambrige Tracts in Mathematics 160, Cambrige University Press, 004. [Kn91] M. J. Knight, An "oceans of zeros proof that a certain non-liouville number is transcenental, Amer. Math. Monthly , [Ma84] K. Mahler, Some suggestions for further research, Bull. Austral. Math. Soc , [Ri57] D. Riout, Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika , [Ri08] T. Rivoal, On the bits counting function of real numbers, J. Aust. Math. Soc , [Ro55] K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika 1955, 1 0 ; corrigenum, 169. B. Aamczewski, CNRS, Université e Lyon, Université Lyon 1, Institut Camille Joran, 43 boulevar u 11 novembre 1918, 696 Villeurbanne Ceex France Boris.Aamczewski@math.univ-lyon1.fr C. Faveron, École Normale Supérieur e Lyon, 15 parvis René Descartes, BP Lyon Ceex 07 France colin.faveron@ens-lyon.fr