PRODUIT SCALAIRE. Tronc CS PROF : ATMANI NAJIB. Leçon : PRODUIT SCALAIRE Présentation globale
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- Victor Laperrière
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1 1 Tronc CS PROF : ATMANI NAJIB PRODUIT SCALAIRE Leçon : PRODUIT SCALAIRE Présentation globale I) Le produit scalaire de deux vecteurs II. Produit scalaire et norme III. Produit scalaire et orthogonalité IV) APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 185. I) Le produit scalaire de deux vecteurs 1 Définitions Définition1 : Soit u et v deux vecteurs du plan. Et soient A ; B et C trois points du plan tel que : u = et v = AC On appelle produit scalaire de u par v, noté, le nombre réel définit par : uv. Si u = 0 ou v = 0 alors uv=. 0 Si u 0 et v 0 alors soit H le projeté orthogonal de C u. v =. AC = AH c a d u. v =. AC = AH si u. v =. AC = AH si et AH ont le même sens et AH ont un sens contraire sur la droite ( ) et alors Remarque : soient A ; B ; C et D quatre points du plan. CD = AB CD = CD avec A ; B les projections orthogonales respectifs de A ; B sur la droite ( CD ) Et C ; D les projections orthogonales respectifs de C et D sur la droite ( ) abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 1
2 = cm Application : Soit C un triangle rectangle et isocèle en A et direct et Calculer. AC et BA. BC et BACB. On a. AC = AA car : est le projeté orthogonales de A et B est le projeté orthogonales de B A sur et A sur est le projeté orthogonales de C donc. AC = AA = 0 = 0 de même On a BA. BC = BA BA = = 4 de même On a BACB. = BA = = 4 Définition:Soit un vecteur u La norme du vecteur u, notée sur et deux points A et B tels que u. u, est la distance. = Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v, noté, le nombre réel définit par : -, si l'un des deux vecteurs u et v est nul uv=. 0 - u. v u v cos ( u ; v) =, dans le cas contraire. uv. uv. se lit "u scalaire v ". Remarque : Si et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u u. v =. AC = AC cos BAC Exemple : Soit un triangle équilatéral C de côté a.. AC = AC cos BAC 1 a = a a = a = cos et v alors : Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple uv=. 0 est une maladresse à éviter! ) propriétés Propriété : Pour tout vecteur u et v, on a : u. v = v. u On suppose que u et v u. v = u v cos u ; v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). = v u cos u ; v = v u cos v ; u = v u cos v ; u = v. u abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب
3 Propriétés : Pour tous vecteurs u, v 1) u. ( v + w) = u. v + u. w ) u ( kv) - Admis - Propriétés : Pour tous vecteurs 1) ( u + v) = u +. u v + v ) ( u v) = u. u v + v ) ( u + v)( u v) = u v u et w, on a :. = ku. v, avec k un nombre réel. et v, on a : Démonstration pour le ) : ( u v) = ( u v)( u v) = u. u u. v v. u + v. v = u. u v + v II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur u, on a : u. u = u u cos u ; u = u cos 0 = u Et u. u = u On a ainsi : u = u. u = u Propriété : Soit u et v deux vecteurs. On a : 1 1 u. v ( u v u v ) u. v = u + v u v = + et Démonstration de la première formule : u v = u v = u. u v + v = u. u v + v 1 donc u. v = ( u + v u v ) Propriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a : 1. AC = ( + AC BC ) AC = + AC AC = + AC CB = + AC BC abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب
4 4 Exemple : 1 1 CG. CF = ( CG + CF GF ) = ( ) = 8 III. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si uv=. 0. Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente. Supposons le contraire. uv=. 0 u v cos u ; v = 0 ( u v) cos ; = 0 Les vecteurs u et v sont orthogonaux Application : 1) Soit C un triangle tel que = 7 et AC = 5 et BC = 6 a) Calculer BA. AC et en déduire. AC b) Soit H le projeté orthogonal de C Calculer AH sur la droite 1 ) sachant que u = 4 et v = et uv=. u v a)calculer : A = ( u v).( u + v) et B = v. u + b)en déduire E = u v et F = u + v : 1) a) Calcule de BA. AC 1 1 BA. AC = BA + AC BA AC = BC BA AC = 1 ( BC AC ) = 1 ( 7 5 ) = 19 donc : BA. AC = 19 On a. AC = BA. AC = 19 b) Calcule de AH. AC 19 On a. AC = AH donc : AH = = 7 et C = ( u v) et On a ) a) A = u v. u + v = u. u + 4 u. v u. v 6 v. v = u. u + 4 u. v u. v 6 v. v A =. u + u. v 6v =. u + u. v 6 v = = + 4 = D = u + v abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 4
5 u v B = v. u + = u. u + u. v u. v v. v B = u u. v v = 4 = 8 + = C = u v = u u. v + v = u u. v + v = 4 + = = 1 1 D = u + v = 4u + 1 u. v + 9v = 4 u + 1 u. v + 9 v = = = 94 b) ( u v) 1 ( u v) = donc + = 94 donc u v = 94 donc u v = 1 u+ v = 94 donc u+ v = 94 ) Projection orthogonale Définition : Soit une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. 5 Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan tels que u = OA et v = OB. H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). On a : u. v = OAOB. = OAOH. OA. OB = OA. OH + HB = OA. OH + OA. HB = OA. OH En effet, les vecteurs OA et HB sont orthogonaux donc OA. HB = 0. abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 5
6 6 Exemple : Soit un carré CD de côté c.. AC =. = = c III. APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE 1)LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Le triangle C ci-dessous est rectangle en A et [AH] la hauteur. Théorème : Théorème de Pythagore si C est rectangle en A alors BC² = ² + AC² (i.e. le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des autres côtés) BC = BC = BA + AC = BA + BA. AC + AC C est rectangle en A donc BA. AC = 0 Donc BC = + AC AUTRE RESULTATS : BA = BH BC ET CA = CH BC ET AH = HB HC ET AC = AH BC Application : Soit C un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC) et AH = cm et C = Calculer et et BC a)on a H un triangle rectangle en H donc AH sin ( C) = Donc AH 4 = = = = = sin ( C) sin b)on a = AH + HB car H un triangle rectangle en H Donc: BH AH = HB Donc: 4 16 =HB Donc: = HB Donc: 4 HB = 4 HB = = c)on a BA = BH BC Donc: ) Théorème d'al Kashi BA BC = Donc: BH BC = = = Théorème : Dans un triangle C, on a, avec les notations de la figure : BC = + AC AC cos A abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 6
7 7. AC = AC cos A et 1 1. AC = + AC BC = b + c a 1 donc : ( AC BC ) AC cos A soit : BC = + AC AC cos A A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud al Kashi (180 ; 140) vit sous la protection du prince Ulugh- Beg (194 ; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Dans son Traité sur le cercle (144), al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes : 6, Soit C un triangle quelconque. On a : Application : Soit C un triangle tel que et = 5 et AC = 8 et Calculer BC et cosc a)d après le Théorème d'al Kashi on a : BC = + AC AC cos A BC = cos donc A = BC = = 19 donc BC = 19 b)d après le Théorème d'al Kashi on a : AC BC CA CB cosc = + donc CA CB cos C = AC + BC abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 7
8 8 AC + BC donc cosc = donc cosc = = = CACB EXERCICE : Soit EFG un triangle tel que et FEG = 4 EF = 7 et EG = 5 et Calculer FG et cos EGF ) Théorème de la médiane Propriété : Soit deux points A et B et I le milieu du segment []. Pour tout point M, on a : MA + MB = MI + MA + MB = MA + MB = MA + MB ( MI IA) ( MI IB) = = MI + MI. IA + IA + MI + MI. IB + IB = MI + MI. IA + IB + IA + IB 1 1 = MI + MI = MI + Exemple : On souhaite calculer CK. D'après le théorème de la médiane, on a : CA + CB = CK +, donc : CK = CA + CB = = 1 Donc : CK = 1. abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 8
9 9 ) Surface d un triangle et formule de sinus Propriétés : Dans un triangle C, on a ) S = absin C = acsin B = bcsin A avec S sin sin sin ) A B C = = = S formule de sinus a b c abc Surface du triangle C EF = et EH = 5 et Application1 : : Soit EFGH un parallélogramme tel que et FEH = 4 Calculer la Surface du triangle EFH et la Surface du parallélogramme EFGH a) SEFH = EF EH sin E = 5sin = sin = = b) SEFGH = SEFH = = 4 Application : : Soit C un triangle tel que et a = BC = 6 et A = 0 et B = 7 Calculer b et c sin sin sin D'après la formule de sinus on a : A B C = = = S a b c abc sin A sin 0 1 sin 7 1 = = donc = donc b = 1sin7 = a 6 1 b 1 sin 77 1 = donc c = 1sin77 = c 1 abcmath.e-monsite.com األستاذ : عثماني نجيب 9
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