[ édité le 21 février 2013 Enoncés 1

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1 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 1 Calcul matriciel Calcul des puissances d une matrice Opérations sur les matrices Exercice 1 [ ] [correction] Pour A M n (K), on note σ (A) la somme des termes de A On pose Vérifier JAJ = σ(a)j J = 1 1 (1) 1 1 Exercice 2 [ ] [correction] Pour i, j, k, l {1,, n}, on note E i,j et E k,l les matrices élémentaires de M n (K) d indices (i, j) et (k, l) Calculer E i,j E k,l Exercice 3 [ ] [correction] Soit λ 1,, λ n des éléments de K, deux à deux distincts, et D = diag(λ 1,, λ n ) Déterminer les matrices de M n (K) commutant avec D Exercice 6 [ ] [correction] Calculer( A n pour ) n N et( les matrices ) A suivantes ( : 1 1 a b cos θ sin θ a) A = b) A = c) A = a sin θ cos θ Exercice 7 [ ] [correction] On considère la matrice A = et on pose B = A I Calculer B n pour n N et en déduire l expression de A n Exercice 8 [ ] [correction] Calculer A n pour de deux manières différentes A = ) Exercice 4 [ ] [correction] Soit A = (a i,j ) M n (K) Montrer que B M n (K), AB = BA λ K, A = λi n Exercice 5 X MP [ ] [correction] Soit a b M = M c d 2 (R) avec 0 d c b a et b + c a + d Pour tout n 2, on note M n an b = n c n d n Démontrer que, pour tout n 2, b n + c n a n + d n Exercice 9 [ ] [correction] On considère la matrice A = ( a) Calculer A 2 3A + 2I En déduire que A est inversible et calculer son inverse b) Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 3X + 2 c) En déduire l expression de la matrice A n Exercice 10 X MP [ ] [correction] Soit 1 1 A = 0 1 M n(r) )

2 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 2 a) Soit k N Majorer les coefficients de A k b) Calculer A 1 c) Calculer A k pour k N Inversion de matrice Exercice 11 [ ] [correction] a b Soit A = M c d 2 (K) Observer que A 2 (a + d)a + (ad bc)i = 0 A quelle condition A est-elle inversible? Déterminer alors A 1 Exercice 12 [ ] [correction] Calculer l inverse des matrices carrées suivantes : a) A = b) B = c) C = Exercice 13 [ ] [correction] Justifier que A = est inversible et déterminer A 1 1 ( 1) 0 1 Exercice 14 [ ] [correction] [Matrice à diagonale strictement dominante] Soit A = (a i,j ) M n (C) telle que 1 i n, j i M n (R) a i,j < a i,i Exercice 16 [ ] [correction] Soit A = a) Calculer (A + I) 3 b) En déduire que A est inversible Exercice 17 [ ] [correction] Soit A = (1 δ i,j ) M n (R) a) Calculer A 2 b) Montrer que A est inversible et exprimer A 1 Exercice 18 [ ] [correction] Soit A M n (K) telle que la matrice I + A soit inversible On pose B = (I A)(I + A) 1 a) Montrer que B = (I + A) 1 (I A) b) Montrer que I + B est inversible et exprimer A en fonction de B Exercice 19 [ ] [correction] Soient A, B, C M n (K) (n 2) non nulles vérifiant ABC = O n Montrer qu au moins deux des matrices A, B, C ne sont pas inversibles Montrer que la matrice A est inversible Exercice 15 [ ] [correction] Soit n N\ {0, 1} et ω = exp 2iπ n On pose ( A = ω (k 1)(l 1)) M n (C) 1 k,l n Calculer AĀ En déduire que A est inversible et calculer A 1 Exercice 20 [ ] [correction] Soient A, B M n (K) vérifiant Montrer que A et B commutent AB = A + B

3 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 3 Transposition Exercice 21 [ ] [correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique Exercice 22 [ ] [correction] Montrer que A n (R) et S n (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de M n (R) Structures formées de matrices Exercice 23 [ ] [correction] Soit E = M(a, b, c) = a b c c a b b c a /(a, b, c) R 3 Montrer que E est une sous-algèbre commutative de M 3 (R) dont on déterminera la dimension Exercice 24 [ ] [correction] Soit E l ensemble des matrices de la forme M(a, b, c) = a b c 0 a b 0 0 a avec a, b, c R Notre objectif est d établir que l inverse d une matrice inversible de E appartient encore à E, sans pour autant calculer cet inverse a) Montrer que (E, +, ) est un R-espace vectoriel dont on précisera la dimension b) Montrer que (E, +, ) est un anneau commutatif c) A quelle condition sur (a, b, c) R 3, la matrice A = M(a, b, c) est-elle inversible dans M 3 (R)? On suppose cette condition vérifiée En considérant l application f : E E définie par f(x) = AX, montrer que A 1 E Exercice 25 [ ] [correction] [Matrices de permutation] Soit n N\ {0, 1} Pour σ S n, on note P (σ) = ( δ i,σ(j) )1 i,j n M n(r) appelée matrice de permutation associée à σ a) Montrer que (σ, σ ) S 2 n, P (σ σ ) = P (σ)p (σ ) b) En déduire que E = {P (σ)/σ S n } est un sous-groupe de GL n (R) isomorphe à S n c) Vérifier que t (P (σ)) = P (σ 1 ) Exercice 26 [ ] [correction] a + b b Soit E l ensemble des matrices de M 2 (K) de la forme A = avec b a b (a, b) K 2 a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 (K), en donner une base b) Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M 2 (K) c) Déterminer les inversibles de E d) Déterminer les diviseurs de zéro de E Exercice 27 [ ] [correction] On dit qu une matrice A = (a i,j ) M n (K) est centro-symétrique si (i, j) [[1, n]] 2, a n+1 i,n+1 j = a i,j a) Montrer que le sous-ensemble C de M n (K) formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de M n (K) b) Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de M n (K) est aussi centro-symétrique c) Soit A centro-symétrique de M n (K) et inversible En considérant l application X AX de C vers C, montrer que A 1 est centro-symétrique

4 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 4 Représentation matricielles d une application linéaire Exercice 28 [ ] [correction] Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes { : R 3 R 2 a) f : (x, y, z) (x + y, y 2x + z) { R 3 R 3 b) f : (x, y, z) (y + z, z + x, x + y) { R3 [X] R 3 [X] c) f : P P (X + 1) { R3 [X] R 4 d) f : P (P (1), P (2), P (3), P (4)) Exercice 29 [ ] [correction] On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R 3 suivants : P = { (x, y, z) R 3 x + 2y z = 0 } et D = Vect(w) où w = (1, 0, 1) On note B = (i, j, k) la base canonique de R 3 On note p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, et enfin, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D a) Former la matrice de p dans B b) En déduire les matrices, dans B, de q et de s Exercice 30 [ ] [correction] Soit ϕ l endomorphisme de R n [X] défini par ϕ(p ) = P (X + 1) a) Ecrire la matrice A de ϕ dans la base canonique B de R n [X] b) Justifier que A est inversible et calculer A 1 Exercice 31 [ ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f L(E) tel que f 2 0 et f 3 = 0 Montrer qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est Exercice 32 [ ] [correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension n N vérifiant f n = 0 et f n 1 0 a) Justifier qu il existe un vecteur x E tel que la famille B = ( x, f(x), f 2 (x),, f n 1 (x) ) forme une base de E b) Déterminer les matrices de f, f 2,, f n 1 dans cette base c) En déduire que {g L(E)/g f = f g} = Vect(Id, f, f 2,, f n 1 ) Changement de base Exercice 33 [ ] [correction] Soit A = On note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3 Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est A On pose ε 1 = (1, 1, 1), ε 2 = (1, 1, 0), ε 3 = (1, 0, 1) et B = (ε 1, ε 2, ε 3 ) a) Montrer que B constitue une base de R 3 b) Ecrire la matrice de f dans cette base c) Déterminer une base de ker f et de Imf Exercice 34 [ ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (i, j, k) Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = a) Calculer A 2 Qu en déduire sur f? b) Déterminer une base de Imf et ker f c) Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Imf et ker f?

5 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 5 Exercice 35 [ ] [correction] Soit A = On note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3 Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est A a) Déterminer ker f et Imf Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans R 3 b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de f dans cette base c) Décrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires Exercice 36 [ ] [correction] Soit f L(R 3 ) représenté dans la base canonique B par : a) Soit C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) avec ε 1 = (1, 0, 1), ε 2 = ( 1, 1, 0), ε 3 = (1, 1, 1) Montrer que C est une base b) Déterminer la matrice de f dans C c) Calculer la matrice de f n dans B pour tout n N Exercice 37 [ ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (e 1, e 2, e 3 ) Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = Soit B = (ε 1, ε 2, ε 3 ) la famille définie par ε 1 = e 1 + e 2 e 3 ε 2 = e 1 e 3 ε 3 = e 1 e 2 a) Montrer que B est une base de E et former la matrice D de f dans B b) Exprimer la matrice de passage P de B à B et calculer P 1 c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P 1? d) Calculer A n pour tout n N Exercice 38 [ ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (e 1, e 2, e 3 ) Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = a) Montrer qu il existe une base C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) de E dans laquelle la matrice représentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux : 1, 2 et 3 b) Déterminer la matrice de passage P de B à C Calculer P 1 c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P 1? d) Calculer A n pour tout n N Exercice 39 [ ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E On considère les matrices A = et D = Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A a) Montrer qu il existe une base C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) de E telle que la matrice de f dans C soit D b) Déterminer la matrice P de GL 3 (R) telle que A = P DP 1 Calculer P 1 c) Calculer A n pour tout n N d) En déduire le terme général des suites (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N définies par : x 0 = 1 x n+1 = 4x n 2(y n + z n ) y 0 = 0 et n N, y n+1 = x n z n z 0 = 0 z n+1 = 3x n 2y n z n Rang d une matrice Exercice 40 [ ] [correction] Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de R 3 : a) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 1, 0), x 2 = (1, 0, 1) et x 3 = (0, 1, 1) b) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (2, 1, 1), x 2 = (1, 2, 1) et x 3 = (1, 1, 2) c) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 2, 1), x 2 = (1, 0, 3) et x 3 = (1, 1, 2)

6 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 6 Exercice 41 [ ] [correction] Calculer le rang des applications linéaires suivantes : a) f : K 3 K 3 définie par f(x, y, z) = ( x + y + z, x y + z, x + y z) b) f : K 3 K 3 définie par f(x, y, z) = (x y, y z, z x) c) f : K 4 K 4 définie par f(x, y, z, t) = (x + y t, x + z + 2t, 2x + y z + t, x + 2y + z) Exercice 42 [ ] [correction] Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres : 1 cos θ cos 2θ a) b + c c + a a + b b) cos θ cos 2θ cos 3θ c) bc ca ab cos 2θ cos 3θ cos 4θ a b 0 0 b b a Exercice 43 [ ] [correction] Soient n N et M M n (R) définie par M = a) Donner le rang de M et la dimension de son noyau b) Préciser noyau et image de M c) Calculer M n Exercice 44 [ ] [correction] Soit A et B deux matrices carrées d ordre 3 telles que AB = O 3 Montrer que l une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1 Exercice 45 [ ] [correction] Soit A M n,p (K) de rang r Montrer qu il existe des matrices B et C respectivement dans M n,r (K) et M r,p (K) telles que A = BC Exercice 46 [ ] [correction] Montrer que les matrices carrées d ordre n 2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss : a) A = C = 1 a 0 a n b) B = 0 1 Systèmes d équations linéaires c) Exercice 47 [ ] [correction] Discuter, selon m paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de R 3 suivants {: { } x + my + z = 0 a) F = (x, y, z) R 3 b) mx + y + mz = 0 x + y + mz = 0 F = (x, y, z) R3 x + my + z = 0 mx + y + z = 0 Exercice 48 [ ] [correction] On considère, pour m paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de R 3 : F = { (x, y, z) R 3 x + my + z = 0 et mx + y mz = 0 } et G = { (x, y, z) R 3 x my + z = 0 } a) Déterminer la dimension de F et G b) Discuter, selon la valeur de m, la dimension du sous-espace vectoriel F G

7 [ édité le 21 février 2013 Enoncés 7 Exercice 49 [ ] [correction] Résoudre en fonction du paramètre m C, les systèmes suivants d inconnues complexes : x y + z = m mx + y + z = 1 mx + y + z + t = 1 a) x + my z = 1 b) x + my + z = m c) x + my + z + t = m x y z = 1 x + y + mz = m 2 x + y + mz + t = m + 1 Exercice 50 [ ] [correction] Soit a, b C Résoudre le système : ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1 Exercice 51 [ ] [correction] Résoudre le système d équations suivant d inconnues complexes : x 1 + x 2 + x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 2x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x nx n = 1 Exercice 52 [ ] [correction] Résoudre le système d équations suivant d inconnues complexes : x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x n 2 + x n 1 + x n = 0 x n 1 + x n = 0 Exercice 53 [ ] [correction] Soient a 1,, a n des points du plan complexe Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à n sommets z 1,, z n tel que : a i est le milieu de [z i, z i+1 ] et a n est le milieu de [z n, z 1 ]

8 [ édité le 21 février 2013 Corrections 8 Corrections Exercice 1 : [énoncé] A = (a i,j ) M n (K), σ(a) = n k=1 l=1 C = JAJ = JB = (c i,j ) avec c i,j = n a k,l B = AJ = (b i,j ) avec b i,j = n a i,l 1 et n k=1 1b k,j = n k=1 l=1 n a k,l = σ(a) Exercice 2 : [énoncé] E i,j = (δ p,i δ q,j ) 1 p,q n et E k,l = (δ p,k δ q,l ) 1 p,q n A = E i,j E k,l = (a p,q ) avec a p,q = n (δ p,i δ r,j )(δ r,k δ q,l ) = ( n δ r,j δ r,k )δ p,i δ q,l = δ j,k δ p,i δ q,l r=1 Ainsi E i,j E k,l = δ j,k E i,l r=1 Exercice 3 : [énoncé] Soit A = (a i,j ) M n (K) B = AD = (b i,j ) avec b i,j = a i,j λ j et C = DA = (c i,j ) avec c i,j = λ i a i,j On a AD = DA si, et seulement si, l=1 Exercice 5 : [énoncé] Pour n 1, en exploitant M n+1 = M M n, on a a n+1 = aa n + bc n b n+1 = ab n + bd n c n+1 = ca n + dc n d n+1 = cb n + dd n Par suite a n+1 + d n+1 (b n+1 + c n+1 ) = (a c)(a n b n ) + (b d)(c n d n ) Sachant a c et b d, il suffit d établir a n b n et c n d n pour conclure Dans le cas n = 1, la propriété est vérifiée Dans le cas n 2, exploitons la relation M n = M n 1 M a n = a n 1 a + b n 1 c b n = a n 1 b + b n 1 d On a alors c n = c n 1 a + d n 1 c d n = c n 1 b + d n 1 d a n b n = a n 1 (a b) + b n 1 (c d) et c n d n = c n 1 (a b) + d n 1 (c d) soit 1 i, j n, a i,j λ i = a i,j λ j 1 i, j n, a i,j (λ i λ j ) = 0 Puisqu il est évident que a n 1, b n 1, c n 1, d n 1 0 (cela se montre par récurrence), on obtient sachant a b 0 et c d 0 les inégalités permettant de conclure Notons que l hypothèse b + c a + d ne nous a pas été utile Les λ 1,, λ n étant deux à deux distincts, AD = DA si, et seulement si, ce qui signifier que A est diagonale 1 i j n, a i,j = 0 Exercice 4 : [énoncé] Si A est solution alors AE i,j = E i,j A implique a i,i = a j,j et a i,k = 0 pour k i donc A = λi n La réciproque est immédiate Exercice 6 : [énoncé] a) On observe A n = ( 1 an 0 2 n avec a n+1 = 1 + 2a n En introduisant b n = a n + 1, on obtient a n = 2 n 1 Ainsi A n 1 2 = n n b) Par récurrence A n = ) a n na n 1 b 0 a n

9 [ édité le 21 février 2013 Corrections 9 c) Par récurrence ( A n cos nθ sin nθ = sin nθ cos nθ ) Exercice 9 : [énoncé] a) A 2 3A + 2I = 0 Comme A( 1 2 A + 3 2I) = I, on a A 1 = 1 2 A I = ( 2 1 3/2 1/2 ) Exercice 7 : [énoncé] B = 0 1 1, B 2 = et B n = O 3 pour n 3 Comme B et I commutent, la formule du binôme donne b) X 2 3X + 2 = (X 1)(X 2) Sachant que le reste de la division euclidienne considérée est de la forme ax + b, en évaluant en 1 et 2, on détermine a et b et on obtient : X n = (X 2 3X + 2)Q(X) + (2 n 1)X n c) On peut remplacer X par A dans le calcul qui précède et on obtient : A n = (A 2 3A + 2I)Q(A) + (2 n 1)A + (2 2 n )I = (2 n 1)A + (2 2 n )I et donc A n = (I + B) n = I + nb + A n = 1 n n(n+1) n n(n 1) B 2 2 et donc A n 3 2 n = n+1 32 n 3 32 n 2 Exercice 10 : [énoncé] a) Si M k majore les coefficients de A k alors nm k majore les coefficients de A k+1 On en déduit que les coefficients de A k sont majorés par Exercice 8 : [énoncé] a) Par récurrence b) A = I 3 + B avec A = 1 n n(n 1) n B = Puisque I 3 et B commutent, la formule du binôme donne car B k = O 3 pour k 3 A n = I + nb + n(n 1) B 2 2 n k 1 On peut sans doute proposer plus fin b) Posons T la matrice de M n (R) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de coefficients (i, i + 1) qui valent 1 On remarque On en déduit et puisque T n+1 = O n, on obtient A = I n + T + + T n (I T )A = I n T n+1 A 1 = I T c) Le calcul des puissances de A 1 est immédiat (A 1 ) k = k k ( 1) j j j=0 T j

10 [ édité le 21 février 2013 Corrections 10 et donc le coefficient d indice (i, j) de (A 1 ) k est k a k i,j = ( 1)j i j 1 k(k 1) (k j + i 1) = ( 1) j i (j i)(j i 1) 1 Cette formule laisse présumer que le coefficient d indice (i, j) de A k est a k j i ( k)( k 1) ( k j + i 1) i,j = ( 1) = (j i)(j i 1) 1 ce que l on démontre en raisonnant par récurrence k + j i + 1 j i donc A 1 = n Exercice 14 : [énoncé] Notons C 1,, C n les colonnes de A et supposons 1 1 λ 1 C λ n C n = 0 Exercice 11 : [énoncé] La relation A 2 (a + d)a + (ad bc)i = 0 est immédiate Si ad bc 0 alors A est inversible ( et ) A 1 = 1 1 d b ad bc ((a + d)i A) = ad bc c a Si ad bc = 0 alors A 2 (a + d)a = 0 Par l absurde, si A est inversible, A est régulière donc A = (a + d)i puis A = O Absurde Exercice 12 : [énoncé] A 1 = , B 1 = et C 1 = Exercice 13 : [énoncé] A est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls Soient X, Y M n,1 (R) L équation Y = AX équivaut à X = A 1 Y or x 1 = y 1 + y 2 + 2y n 2 y n x 1 (x x n ) = y 1 x n 2 = y n 2 + y n 1 + 2y n x n 1 x n = y n 1 x n 1 = y n 1 + y n x n = y n x n = y n Si m = max( λ 1,, λ n ) 0 alors, puisque pour tout 1 i n, on obtient λ i n λ j a i,j = 0 j=1 λ j a i,j j i a i,i m λ j a i,j j i a i,i < m ce qui est absurde compte tenu de la définition de m Par suite, la famille (C 1,, C n ) est libre et donc A inversible Exercice 15 : [énoncé] A = (a k,l ) avec a k,l = ω (k 1)(l 1) Ā = (b k,l ) avec b k,l = ā k,l = ω (k 1)(l 1) = ω (k 1)(l 1) AĀ = (c k,l) avec c k,l = n a k,m b m,l = m=1 Si k = l alors ω k l = 1 et Si k l alors ω k l 1 et n ω (k 1)(m 1) ω (m 1)(l 1) = m=1 c k,k = n c k,l = 1 (ωk l ) n 1 ω k l = 0 n 1 m=0 (ω k l ) m

11 [ édité le 21 février 2013 Corrections 11 Ainsi AĀ = ni n On en déduit que A est inversible et que A 1 = 1 nā Exercice 21 : [énoncé] Soit A, B M n (K) Sachant t (AB) = t B t A on a t (AB) = AB BA = AB Le produit de deux matrices symétriques est une matrice symétrique si, et seulement si, les deux matrices commutent Exercice 16 : [énoncé] a) (A + I) 3 = O 3 b) A 3 + 3A 2 + 3A + I = O donc A est inversible et A 1 = (A 2 + 3A + 3I) Exercice 17 : [énoncé] a) A = J I n avec J 2 = nj donc A 2 = (n 2)J + I n = (n 2)A + (n 1)I n b) AB = I n pour B = 1 n 1 (A (n 2)I n) donc A est inversible et B = A 1 Exercice 18 : [énoncé] a) Comme (I + A)(I A) = (I A)(I + A), on a, en multipliant à droite et à gauche par (I + A) 1, la relation (I A)(I + A) 1 = (I + A) 1 (I A) b) (I + A)(I + B) = (I + A) + (I A) = 2I donc I + B est inversible et (I + B) 1 = 1 2 (I + A) (I B)(I + B) 1 = 1 2 (I + A (I A)) = A Exercice 19 : [énoncé] Supposons A et B inversibles En multipliant à gauche par A 1 et B 1 on obtient C = O n ce qui est exclu En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles Exercice 20 : [énoncé] On a (I n A)(I n B) = I n A B + AB = I n On en déduit que I n A est inversible et que I n B est son inverse L égalité entraîne alors (I n B)(I n A) = I n BA = A + B et on peut conclure que A et B commutent Exercice 22 : [énoncé] On peut procéder de manière élémentaire ou exploiter que l application T : M n (R) M n (R) définie par T (A) = t A est un endomorphisme involutif donc une symétrie vectorielle ce qui assure que les espaces ker(t Id) = S n (R) et ker(t + Id) = A n (R) sont supplémentaires Exercice 23 : [énoncé] M(a, b, c) = ai + bj + ck avec I = M(1, 0, 0), J = M(0, 1, 0) et K = M(00, 1) = J 2 E = Vect(I, J, K) est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de M 3 (R) M(a, b, c)m(a, b, c ) = (aa + bc + cb )I + (ab + a b + cc )J + (ac + a c + bb )K Donc E est une sous algèbre (visiblement commutative) de M 3 (R) Exercice 24 : [énoncé] a) M(a, b, c) = ai + bj + ck avec I = , J = et K = J 2 = On observe que : E = Vect(I, J, K) Par suite E un sous-espace vectoriel de M 3 (R) De plus la famille (I, J, K) est libre, c est donc une base de E et par suite dim E = 3 b) De plus I E, M(a, b, c) M(a, b, c ) = M(a a, b b, c c ) E et M(a, b, c)m(a, b, c ) = (ai + bj + ck)(a I + b J + c K) = aa I + (ab + a b)j + (ac + bb + ca )K E Donc E est un sous-anneau de M 3 (R) De plus M(a, b, c)m(a, b, c ) = M(a, b, c )M(a, b, c), donc E est un anneau commutatif c) A est inversible si, et seulement si, a 0 (ici A est triangulaire supérieure) f(λx + µy ) = A(λX + µy ) = λax + µay = λf(x) + µf(y ) f est un endomorphisme de E

12 [ édité le 21 février 2013 Corrections 12 Soit X E, si X ker f alors AX = O puis A 1 AX = O d où X = O Par suite ker f = {0} f est un endomorphisme injectif d un K-espace vectoriel de dimension finie, c est donc un automorphisme Par suite il existe B E telle que f(b) = AB = I En multipliant par A 1, on conclut A 1 = B E Exercice 25 : [énoncé] a) B = (e 1,, e n ) la base canonique de R n Notons f σ l endomorphisme canoniquement associé à P (σ) Pour tout 1 j n, on a f σ (e j ) = e σ(j) Par suite (f σ f σ )(e j ) = f σ σ (e j ) puis P (σ σ ) = P (σ)p (σ ) b) I n = P (Id) E P (σ)p (σ ) = P (σ σ ) E et P (σ)p (σ 1 ) = P (σ σ 1 ) = P (Id) = I n donc P (σ) GL n (R) et P (σ) 1 = P (σ 1 ) E On peut alors conclure que E est un sous-groupe de GL n (R) L application P : S n E qui à σ associe P (σ) est un morphisme de groupe surjectif Soit σ ker P, on a P (σ) = I n donc 1 j n, σ(j) = j soit σ = Id c) t P (σ) = (δ j,σ(i) ) i,j = (δ σ 1 (j),i) i,j = (δ i,σ 1 (j)) i,j = P (σ 1 ) Exercice 26 : [énoncé] a) E = Vect(I, J) avec 1 1 J = 1 1 La famille (I, J) forme une base de E car cette famille est évidemment libre b) E M 2 (K), I E Soient A = ai + bj E et B = ci + dj E A B = (a c)i + (b d)j E et AB = (ac)i + (ac + bd)j car J 2 = O Ainsi E est un sous-anneau de M 2 (K) De plus AB = BA donc E commutatif c) Avec les notations précédentes AB = I si, et seulement si, { ac = 1 ad + bc = 0 Par suite A est inversible si, et seulement si, a 0 d) Avec les notations précédentes AB = 0 si et seulement si { ac = 0 ad + bc = 0 Par suite A est diviseur de zéro si, et seulement si, a = 0 Exercice 27 : [énoncé] a) C M n (K) et O n C Soient λ, µ K et A, B C Pour tout (i, j) [[1, n]] 2, et donc (λa + µb) n+1 i,n+1 j = λa n+1 i,n+1 j + µb n+1 i,n+1 j = λa i,j + µb i,j (λa + µb) n+1 i,n+1 j = (λa + µb) i,j On en déduit λa + µb C Ainsi C est un sous-espace vectoriel de M n (K) b) Soient A, B C Pour tout (i, j) [[1, n]] 2, n (AB) i,j = a i,k b k,j donc (AB) n+1 i,n+1 j = Par le changement d indice l = n + 1 k (AB) n+1 i,n+1 j = k=1 n a n+1 i,k b k,n+1 j k=1 n a n+1 i,n+1 l b n+1 l,n+1 j l=1 et puisque A et B sont centro-symétriques (AB) n+1 i,n+1 j = n a i,l b l,j = (AB) i,j Ainsi AB C c) L application ϕ : X C AX est linéaire et c est évidemment un endomorphisme de C car C est stable par produit Soit X ker ϕ On a AX = O n donc A 1 (AX) = O n puis X = O n On en déduit que l endomorphisme ϕ est injectif, or C est un espace vectoriel de dimension finie, donc ϕ est un automorphisme de C Puisque la matrice I n est centro-symétrique, par surjectivité de ϕ, il existe B C vérifiant AB = I n Or A 1 (AB) = A 1 donc B = A 1 puis A 1 C l=1

13 [ édité le 21 février 2013 Corrections 13 Exercice 28 : [énoncé] On note A la représentation matricielle cherchée a) A = b) A = c) A = A = Exercice 29 : [énoncé] a) Pour u = (x, y, z) calculons p(u) = (x, y, z ) Comme p(u) u D, il existe λ K tel que p(u) = u + λw Comme p(u) P on a x + 2y z = 0 ce qui donne et donc Par suite λ = (x + 2y z)/2 p(u) = ((x 2y + z)/2, y, (x + 2y + z)/2) Mat B (p) = b) Comme q = I p et s = 2p I, Mat B (q) = 1/2 1 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1 1/ /2 1 1/2 et Mat B (s) = Exercice 30 : [énoncé] j 1 a) A = (C i 1 j 1 ) 1 i,j n+1 M n+1 (R) avec C i 1 j 1 = i 1 b) ϕ 1 (P ) = P (X 1) donc ϕ 1 (X k ) = (X 1) k d où A 1 = (( 1) j i C i 1 j 1 ) 1 i,j n d) Exercice 31 : [énoncé] Comme f 2 0, il existe x E tel que f 2 (x) 0 Posons Si λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = 0 alors e 1 = x, e 2 = f(x), e 3 = f 2 (x) λ 1 x + λ 2 f(x) + λ 3 f 2 (x) = 0 En appliquant f 2 à cette relation, on a λ 1 f 2 (x) = 0 car on sait f 3 = 0 Puisque f 2 (x) 0, on a λ 1 = 0 et sans plus de difficultés on montre aussi λ 2 = 0 et λ 3 = 0 La famille B = (e 1, e 2, e 3 ) est libre en dimension 3, c est donc une base de E La matrice de f dans celle-ci est comme voulue Exercice 32 : [énoncé] a) Comme f n 1 0, x E, f n 1 (x) 0 Si λ 0 x + λ 1 f(x) + + λ n 1 f n 1 (x) = 0 alors : en composant avec f n 1, on obtient λ 0 f n 1 (x) = 0 d où λ 0 = 0 en composant successivement avec f n 2,, f, I, on obtient successivement λ 1 = 0,, λ n 2 = 0, λ n 1 = 0 Par suite B = ( x, f(x), f 2 (x),, f n 1 (x) ) est libre et forme donc une base de E b) On a 0 (0) Mat B f = 1 = A puis (0) (0) Mat B (f 2 ) = A 2 = 0 1,, (0) (0) Mat B (f n 1 ) = A n 1 = 0 c) Notons C(f) = {g L(E) g f = f g} 1 0 0

14 [ édité le 21 février 2013 Corrections 14 Il est clair que Vect(I, f, f 2,, f n 1 ) C(f) Inversement, soit g C(f), notons a 0,, a n 1 les composantes de g(x) dans B On a g(x) = a 0 x + a 1 f(x) + + a n 1 f n 1 (x) g(f(x)) = f(g(x)) = a 0 f(x) + + a n 2 f n 1 (x) Par suite Mat B g = g(f n 1 (x)) = f n 1 (g(x)) = a 0 f n 1 (x) a 0 (0) a 1 a n 1 a 1 a 0 = a 0I + a 1 A + + a n 1 A n 1 Donc g = a 0 I + a 1 f + + a n 1 f n 1 Vect(I, f,, f n 1 ) Ainsi C(f) = Vect(I, f, f 2,, f n 1 ) Exercice 33 : [énoncé] a) Aisément la famille B est libre, puis c est une base car formée de trois vecteurs en dimension 3 b) f(ε 1 ) = ε 1, f(ε 2 ) = 2ε 2, f(ε 3 ) = 0 donc Mat B f = c) On observe que ε 3 ker f et ε 1, ε 2 Imf Le théorème du rang permet de conclure : (ε 3 ) est une base de ker f et (ε 1, ε 2 ) est une base de Imf Exercice 34 : [énoncé] a) A 2 = doncf est une projection vectorielle = A b) En résolvant les équations f(x) = x et f(x) = 0 on obtient que (u, v) forme une base de Imf et (w) forme une base de ker f avec u = i + j, v = i + k et w = i + j + k c) Mat (u,v,w) f = Exercice 35 : [énoncé] a) ker f = Vect(u) avec u = (1, 1, 1) Imf = Vect(v, w) avec v = (2, 1, 1), w = ( 1, 2, 1) Comme C = (u, v, w) est libre on peut conclure que ker f et Imf sont supplémentaires dans R 3 b) C est une base adaptée à la supplémentarité de ker f et Imf Mat C f = c) f est la composée, commutative, de l homothétie vectorielle de rapport 3 avec la projection vectorielle sur Imf parallèlement à ker f Exercice 36 : [énoncé] a) On vérifie aisément que famille C est libre et c est donc une base de R 3 b) f(ε 1 ) = ε 1, f(ε 2 ) = ε 2 et f(ε 3 ) = ε 1 + ε 3 donc c) Par récurrence : Mat C f = Mat C (f n ) = n Par changement de bases avec P = et P 1 =

15 [ édité le 21 février 2013 Corrections 15 on obtient Mat B (f n ) = n + 1 n n n n 1 n Exercice 37 : [énoncé] a) B est libre et formée de trois vecteurs en dimension 3, c est une base de E f(ε 1 ) = ε 1, f(ε 2 ) = 2ε 2, f(ε 3 ) = 3ε 3 donc D = diag(1, 2, 3) b) P = c) Par formule de changement base, P 1 = A = P DP 1 d) Puisqu il est facile de calculer D n A n = P D n P 1 = +2 n n Exercice 38 : [énoncé] a) En recherchant des vecteurs tels que f(x) = x, f(x) = 2x et f(x) = 3x on observe que ε 1 = ( 1, 1, 2), ε 2 = (0, 1, 1) et ε 3 = (1, 1, 1) conviennent De plus ces trois vecteurs forment une famille libre et donc une base de R 3 b) P = c) Par changement base et P 1 = A = P DP d) Sachant calculer D n on obtient 3 n 1 3 n n A n = 2 n + 3 n n 3 n 1 22 n + 3 n 2 n + 3 n n 3 n 2 22 n + 3 n qu on peut encore écrire A n = n n Exercice 39 : [énoncé] a) En résolvant les équations : f(u) = 0, f(u) = u et f(u) = 2u on trouve que ε 1 = e 1 + e 2 + e 3, ε 2 = e 2 e 3 et ε 3 = e 1 + e 3 sont des vecteurs tels que f(ε 1 ) = 0, f(ε 2 ) = ε 2, f(ε 3 ) = 2ε 3 On vérifie aisément que la famille C est libre et c est donc une base de E, celle-ci convient b) On a P = , P 1 = c) Par changement de base 2 n+1 2 n 2 n A n = P D n P 1 = = 2 n n 1 2 n n d) Posons X n = t ( x n y n z n ) On observe Xn+1 = AX n Par récurrence X n = A n X 0 Avec X 0 = t ( ) on obtient x n = 2 n+1 y n = 1 z n = 2 n+1 1 Exercice 40 : [énoncé] a) rg(x 1, x 2, x 3 ) = 3 b) rg(x 1, x 2, x 3 ) = 3 c) rg(x 1, x 2, x 3 ) = 2 Exercice 41 : [énoncé] a) rg(f) = 3 b) rg(f) = 2 c) rg(f) = 4 Exercice 42 : [énoncé] a) Notons A = b + c c + a a + b, bc ca ab rg(a) = rg 0 a b a c = rg 0 a b a c 0 c(a b) b(a c) 0 0 (b c)(a c) En discutant les 5 cas possibles : rg(a) = Card {a, b, c}

16 [ édité le 21 février 2013 Corrections 16 b) Notons A = rg(a) = rg 1 cos θ cos 2θ cos θ cos 2θ cos 3θ cos 2θ cos 3θ cos 4θ cos θ sin 2 θ sin θ sin 2θ cos 2θ sin θ sin 2θ sin 2 2θ Si sin θ = 0 alors rg(a) = 1 Si sin θ 0alors rg(a) = rg cos θ sin θ sin θ = rg cos θ sin θ = 2 cos 2θ sin 2θ sin 2θ cos 2θ sin 2θ Résumons : Si θ 0 [π], rg(a) = 2, sinon rg(a) = 1 c) Notons A la matrice étudiée Cas a = b = 0 alors rg(a) = 0 car la matrice A est nulle Cas a = 0 et b 0 alors rg(a) = n car les n colonnes de A sont indépendantes Cas a 0 : En effectuant successivement : C 2 ac 2 bc 1, C 3 a 2 C 3 bc 2,, C n a n 1 C n bc n 1 on obtient : a rg(a) = (il y a conservation du rang car a 0) a a n ( 1) n b n Donc si a n = ( b) n alors rg(a) = n 1, sinon rg(a) = n Exercice 43 : [énoncé] a) En retirant la première ligne à la dernière puis en ajoutant la deuxième ligne à la dernière etc rg 0 = rg ( 1) n Si n est pair alors rgm = n 1, sinon rgm = n b) Dans le cas n impair c est immédiat Dans le cas n pair : ker M = Vect ( t ) et ImM : x 1 x 2 + x x n 1 x n = 0 c) M = I + N avec la matrice de permutation N = On en déduit 2Cn 0 Cn 1 Cn 2 C n n 1 n n Cn 1 n 2Cn 0 C 1 n M n = N k = k C 2 n k=0 Cn 2 C 1 n Cn 1 Cn 2 Cn 1 n 2Cn 0 n en notant Cn k = k rg = rg Exercice 44 : [énoncé] Soit u et v les endomorphismes de R 3 canoniquement associés à A et B Comme u v = 0, on a Imv ker u, puis rg(v) = 3 dim ker v dim ker u Par suite dim ker u + dim ker v 3, puis dim ker u 2 ou dim ker v 2 On a alors respectivement rg(u) = rg(a) 1 ou rg(v) = rg(b) 1

17 [ édité le 21 février 2013 Corrections 17 Exercice 45 : [énoncé] Comme rg(a) ( = r, il existe ) (P, Q) GL p (K) GL n (K) tel que A = QJ r P I Posons D = r M O n,r (K) et E = I r O r,p r Mr,p (K) n r,r On a A = BC avec B = QD M n,r (K) et C = EP M r,p (K) Exercice 46 : [énoncé] a) En effectuant successivement les opérations élémentaires : C 2 C 2 + ac 1, C 3 C 3 + ac 2,, C n C n + ac n 1 on obtient : 1 a a 2 a n a A 1 = a 2 1 a b) En effectuant successivement les opérations élémentaires : C n C n C n 1, C n 1 C n 1 C n 2,, C 2 C 2 C 1, on obtient : A 1 = c) En effectuant successivement les opérations élémentaires : C n C n C n 1, C n 1 C n 1 C n 2,, C 2 C 2 C 1, puis encore C n C n C n 1, C n 1 C n 1 C n 2,, C 2 C 2 C 1, on obtient : A 1 = Exercice ( 47 : [énoncé] ) { { 1 m 1 1 si m = ±1 2 si m = ±1 a) rg =, donc dim F = m 1 m 2 sinon 1 sinon 1 1 m 1 si m = 1 2 si m = 1 b) rg 1 m 1 = 2 si m = 2, donc dim F = 1 si m = 2 m sinon 0 sinon Exercice ( 48 : [énoncé] ) 1 m 1 a) rg = 2 donc dim F = 1 et rg ( 1 m 1 ) = 1 donc m 1 m dim G = 2 1 m 1 { { b) rg m 1 m 2 si m = 0 1 si m = 0 = donc dim F G = 3 sinon 0 sinon 1 m 1 Exercice 49 : [énoncé] a) Si m = 1 alors Si m 1 alors b) On a rg Si m 1 et m 2 alors Si m = 1 alors S = {(y, y, 1)/ y C} { S = m m m S = ( m Si m = 2 alors système incompatible c) Si m = 1 : système incompatible Si m 1, et donc S = =, 0, m 1 } ) 2 1 si m = 1 2 si m = 2 3 sinon {( 1 + m )} 2 + m, 1 (1 + m)2, 2 + m 2 + m S = {(x, y, 1 x y)/x, y C} S = S = x + y + mz + t = m + 1 mx + y + z + t = 1 (1 m)y + (m 1)z = 1 x + my + z + t = m x + y + mz + t = m + 1 m(m + 1) (m + 2)z + t = m 1 {( z m m 1, y = z 1 ) } m(m + 1), z, (m + 2)z /z C m 1 m 1

18 [ édité le 21 février 2013 Corrections 18 Exercice 50 : [énoncé] Si a 1, a 2 et b 0 : x = Cas a = 1 alors ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1 x + by + az = 1 b(1 a)y + (1 a 2 )z = 1 a b(a 1)y + (1 a)z = b 1 x + by + az = 1 b(1 a)y + (1 a 2 )z = 1 a (1 a)(2 + a)z = b a a b (a 1)(a + 2), y = ab 2 + b (a 1)(a + 2), z = a b (a 1)(a + 2) x + by + z = 1 0 = 0 0 = b 1, système équivalent : Donc Exercice 52 : [énoncé] x 1 + x x n = 1 x x n = 0 x n 1 + x n = 0 x n = 0 S = {(1, 0,, 0)} x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x n 2 + x n 1 + x n = 0 x n 1 + x n = 0 x 1 = x 1, x 2 = x 1, x 3 = 0 x 4 = x 1, x 5 = x 1, x 6 = 0 0 si n = 0 [3 x n = x 1 si n = 1 [3 x 1 si n = 2 [3 x n 1 + x n = 0 Si b 1 alors S = Si b = 1 alors S : x + y + z = 1 Cas a = 2 alors x + by 2z = 1 3by 3z = 3 0 = b + 2 Si b 2 alors S = Si b = 2 alors { x = 1 2y z = 1 2y Exercice 51 : [énoncé] Par les opérations élémentaires : L n L n L n 1,, L 2 L 2 L 1 on obtient le Donc si n 2 et si n = 2 [3] alors [3] alors S = {(0, 0, 0)} S = {(x, x, 0, x, x, 0,, x, x)/x C} Exercice 53 : [énoncé] Le problème revient à résoudre le système z 1 + z 2 = 2a 1 z n 1 + z n = 2a n 1 z n + z 1 = 2a n

19 [ édité le 21 février 2013 Corrections 19 (n) (n) (1) donne z 1 + z 2 = 2a 1 z n 1 + z n = 2a n 1 z n z 2 = 2a n 2a 1 (n) (n) + (2) donne z 1 + z 2 = 2a 1 z n 1 + z n = 2a n 1 z n + z 3 = 2(a n a 1 + a 2 ) etc On obtient au final z 1 + z 2 = 2a 1 z n 1 + z n = 2a n 1 (1 ( 1) n ) z n = 2 (a n a 1 + a ( 1) n a n 1 ) On peut alors conclure : Si n est impair, le système est de Cramer et donc possède une solution unique Si n est pair alors le système possède une solution si, et seulement si, a 1 a a n 1 a n = 0