Géométrie dans l'espace (2)

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1 Géométrie dans l'espace (2) Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère 1 - roduit scalaire dans l'espace Définition du produit scalaire Définition 1 x y z v x y z (O, i, j, k) orthonormal de l'espace. Soient et deux vecteurs. Le produit scalaire de et est le nombre réel noté tel que : v Exemple 1 1. Soit et, alors 2. Soit, alors Remarque 1 Le produit scalaire apparaît dans de nombreuses situations et permettra de plus de répondre rapidement à certaines questions Norme d'un vecteur Définition 2 = w = x y z v = M. w =. v = = OM Soit un vecteur et un point tel que. La norme du vecteur est le réel positif : Exemple 2 = v = vec les vecteurs et de l'exemple précédent : et. Exemple 3 Étudions la sphère de centre et de rayon. On considère un point de. On a alors : M(x; y; z) S (, r) M S (, r) (x ; y ; z ) r > 0 M(x; y; z) S (, r) Or, a pour coordonnées ainsi : M(x; y; z) S (, r) En conclusion, si et seulement si : Exemple 4 S (O, 1) O 1 L'équation de, sphère de centre et de rayon est :

2 1.3 - Orthogonalité Remarque 2 Considérons les deux vecteurs et, ainsi que les points, et tels que et. On a alors que : = x y z C = + BC = v = x y z B C = v = BC De plus, d'après l'équivalence de ythagore : insi, le produit scalaire défini dans ce cours correspond bien à celui rencontré dans le plan, cette dernière remarque amenant à la propriété suivante. ropriété 1 Soient et deux vecteurs de l'espace. et sont orthogonaux si et seulement si v v Exemple 5 vec les vecteurs, et des exemples précédents nous avons donc : v et sont = v = w = et w Exercice 1 Soient, et. 1. Montrer que est rectangle en. 2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur orthogonal à et. (1; 2; 3) B(2; 2; 5) C( 1; 5; 4) C n 0 C 1. C C C Les vecteurs et sont donc et le triangle est bien 2. Remarquons tout d'abord qu'il existe une infinité de vecteurs othogonaux à et. En effet dès que nous en avons trouvé un, tout vecteur colinéaire à celui-ci sera également orthogonal à et. C On cherche donc tel que :

3 On a alors : À partir de la première égalité, La deuxième égalité nous donne alors : insi le vecteur convient ropriétés algébriques ropriété 2 1. our tous vecteurs, : 2. our tous vecteurs, et : 3. our tous vecteurs, et tout : 4. our tout vecteur : v v v k R Il suffit d'écrire explicitement les calculs en utilisant la définition du produit scalaire donnée avec les coordonnées des vecteurs. ropriété 3 x y z 1. our tout vecteur : 2. our tout vecteur et tout : 3. our tous vecteurs, : v k R our le point 1 nous utilisons la définition du produit scalaire et pour les points 2 et 3 la propriété précédente ropriété 4 Soient et deux vecteurs colinéaires. On a alors : v = 0. v Si le résultat est évident car alors et

4 0 v On peut alors supposer et on pose où ( et étant ) utre expression du produit scalaire v v Deux vecteurs (plus un point) définissent un plan (si et ne sont pas colinéaires), ou une droite (si et sont colinéaires). Donc pour calculer le produit scalaire. v on peut se placer dans un plan contenant et v. On se retrouve alors à faire de la géométrie plane. B C H C () On considère trois points distincts,, et de l'espace. On note le projeté orthogonal de sur. B H C (le donnera le signe "+" ou "-" désiré), on obtient donc la propriété suivante : ropriété 5 Soient, et trois points de l'espace. B C Exercice 2 (1; 2; 3) B(2; 2; 5) C( 1; 5; 4) ÂBC Toujours avec les points, et, déterminer en degré la mesure de. B BC On calcule les coordonnées des vecteurs et. On a alors : B. BC =

5 ÂBC L'énoncé nous demande la mesure en degré de, cela veut dire que ce n'est pas une valeur sur un intervalle de longueur, mais une mesure algébrique comme au collège. Ici, on peut donc répondre en connaissant seulement le cosinus de l'angle : 2π 2 - lans et orthogonalité Vecteur normal à un plan de l'espace Définition 3 n n n Soit un vecteur non nul et un plan de l'espace. On dit que est à ssi toute droite de vecteur directeur est à. ropriété 6 n M Soit un point d'un plan et un vecteur à. lors le plan est l'ensemble des points de l'espace tels que n M Définition 4 Soit un plan de vecteur normal et un point de l'espace. n Supposons et posons la droite engendrée par lors le de sur est : n H D

6 Remarque 3 Si, alors le projeté de dans est ropriété 7 d Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si, et seulement si, Un sens de l'équivalence est évident : Réciproquement, si ropriété 8 Soit un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires et. Soit un vecteur de l'espace. v n n v n Si est à et alors est à. Exemple 6 our les points des exercices précédents, et, nous avions trouver que le vecteur était orthogonal à et. uisque et ne sont pas colinéaires, le vecteur est à Équation cartésienne d'un plan de l'espace ropriété 9 C (1; 2; 3) B(2; 2; 5) C( 1; 5; 4) n C n Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal a une équation cartésienne de la forme : n

7 a b c (E) M(x; y; z) 2. Réciproquement, si,, ne sont pas tous les trois nuls, l'ensemble des points tels que est un plan de vecteur Soit un point du plan et un point de l'espace. On a : (x 0 ; y 0 ; z 0 ) M(x; y; z) Exercice 3 (1; 2; 3) B(2; 2; 5) C( 1; 5; 4) (C) vec les points, et, déterminer une équation cartésienne du plan. n (C) Nous avions que vu que est un vecteur normal à. insi il existe un réel tel qu'une équation cartésienne du plan d soit : lan médiateur d'un segment Définition 5 Soient et deux points distincts de l'espace et soit le du segment. de est le plan Remarque 4 B M [] [] à () passant par Cette définition rappelle la définition, en géométrie plane, de d'un segment. M B

8 Exercice 4 Déterminer une équation du plan médiateur de avec et. [] (0; 1; 1) B(4; 1; 5) Nous savons que le vecteur est au plan médiateur de, ainsi une équation cartésienne du plan [] médiateur est de la forme : Le milieu de de coordonnées appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient et nous obtenons alors : [] [] Nous trouvons donc que le plan médiateur de a pour équation cartésienne : que l'on réduit à : ropriété 10 B [] M Soient et deux points distincts de l'espace. Le plan de est l'ensemble des points de l'espace tels que osition relative de deux plans Observons quelques figures Les vecteurs normaux sont colinéaires et les plans sont parallèles Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et les plans ne sont pas parallèles 1 2 Les vecteurs normaux sont orthogonaux et les plans sont perpendiculaires ropriété Soient et deux plans ayant pour vecteurs normaux respectifs et lors : 1.

9 2. Exercice Soient, et trois plans d'équations respectives : 15x + 6y + 3z = 0 21x + 7y z = 4 5x 2y z = 21,, Déterminer les positions relatives de, et. n Soient et des vecteurs normaux des plans respectifs, et obtenus à l'aide des des équations cartésiennes. = n3 1 3 Nous remarquons que ainsi et et les plans et ar ailleurs mais Les vecteurs et et les plans et z = x 1 2 uisque et et que et alors et ropriété 12 Soient et deux plans de vecteurs normaux respectifs et les plans et sont si et seulement si les vecteurs et sont Exercice vec les mêmes notations qu'à l'exercice précédent, les plans et sont-ils perpendiculaires? n n2 7 1 Les plans et ont pour vecteurs normaux respectifs et. On peut alors affirmer que les plans 1 et 2