Théorie cinétique des gaz

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1 Théorie cinétique des gaz I Pression cinétique On considère un gaz parfait foré de N olécules onoatoiques, chacune de asse, en équilibre à la tepérature T dans une enceinte de volue V On cherche à déteriner la pression qu'exercent ces olécules sur les parois de l'enceinte Pour cela on fait les hypothèses suivantes : le gaz est hoogène ; on note n = N / V la densité oléculaire la distribution des vitesses des olécules est hoogène et isotrope Elle n'a pas besoin d'être connue : on écrira sipleent que la probabilité pour qu'une olécule ait la vitesse v de coordonnées ( v, v, v ) à ( dv, dv, dv ) près est : dp r = A f ( v ) d dvydvz où f ( v ) est une fonction inconnue et A une constante de noralisation qu'il est inutile de connaître la pesanteur est négligée ) Pourquoi la fonction f qui, a priori, dépend de ( v, v, v ) ne dépend-elle, en fait, que de v? ) Soit une surface d'aire ds de la paroi (l'axe Ox est noral à la paroi et dirigé vers l'extérieur de l'enceinte) Exprier le nobre dn de olécules qui frappent ds pendant la durée dt, tout en ayant une vitesse de coordonnées ( v, v, v ) à ( dv, dv, dv ) près en fonction de N, V, dp r, v x, ds et dt ) On suppose que les olécules rebondissent sur la paroi syétriqueent par rapport à la norale, selon les lois du choc élastique Déteriner la quantité de ouveent d q transférée à l'éléent de surface ds par ces olécules pendant la durée dt 4) En tenant copte de toutes les vitesses v possibles, rier la quantité de ouveent totale dq transférée à ds pendant la durée dt en fonction de n,, ds, dt et v x (où = dp r ) x x y z = En déduire la force exercée par les olécules sur ds puis la pression p exercée sur la paroi, pression que l'on riera en fonction de n,, et v x puis en fonction de n,, et v * (v * étant la vitesse quadratique oyenne définie par v * = v + v + v ) 5) A partir de l'équation d'état des gaz parfaits, rier alors l'énergie cinétique oyenne d'une olécule puis l'énergie interne U en fonction de la constante de oltzann k, de N et de T Écrire alors p en fonction de la densité voluique u = U / V d'énergie interne II 55 Constante des gaz parfait : R = 8,4 Jol K ; asse du Soleil : M S = 0 0 kg ; an =,60 7 s ; puissance rayonnée par le Soleil : P = 40 6 W ; tepérature oyenne du Soleil : T =,0 6 K ) Montrer que l énergie interne d un gaz parfait onoatoique est U = nrt ) Exprier l'énergie interne du Soleil, en supposant qu'il est constitué d'un gaz parfait onoatoique foré d hydrogène ionisé, c est-à-dire de protons et d'électrons ; on néglige les autres éléents (notaent l'héliu) présents dans le Soleil ) Supposons que le Soleil rayonne cette énergie jusqu'à refroidisseent coplet avec une puissance constante, sans puiser dans une autre source d'énergie Calculer la durée de vie en années du Soleil 4) Quelles sont les autres sources d énergie qui font que la durée de vie du Soleil est plus grande que ne l indique ce calcul? III 6 d après CCP 00 Constante des gaz parfaits R = 8,4Jol K ; nobre d Avogadro N A = 6, 00 ol Introduction ) Donner les principaux coposants de l air ; que sait-on de leurs proportions dans les conditions habituelles de l'atosphère? ) Qu est-ce qu un gaz parfait? Pourquoi un gaz réel peut-il être considéré coe parfait à basse pression? ) Qu est-ce qu un élange idéal de gaz? Définir la notion de pression partielle P i du constituant nuéroté i d un élange idéal de gaz parfaits Calcul de la pression par la théorie cinétique des gaz 4) Un gaz parfait est constitué de N olécules identiques de asse Soit P sa pression, V son volue et T sa tepérature Ecrire son équation d état en fonction de ces grandeurs et de la constante de oltzann k Exprier sa pression en fonction de sa densité voluique oléculaire n = N / V Calculer k DS : théorie cinétique des gaz, page

2 5) Dans un odèle siplifié de ce gaz parfait, on adet que toutes les olécules ont des vitesses de êe odule v et qu elles ont des chances égales d avoir les vitesses vu x, vu x, vu y, vu y, vu z et vu z Exprier le nobre dn de olécules que heurtent une portion de la paroi d aire ds pendant dt En supposant que ces olécules rebondissent élastiqueent, calculer la variation de la quantité de ouveent du gaz que provoque ces chocs En déduire une ression de la pression sur la paroi 6) En fait, cette ression est correcte à condition d y replacer v par la vitesse quadratique oyenne Donner la définition de la vitesse quadratique oyenne 7) En cobinant l équation des gaz parfaits et l ression de la pression écrites dans les question précédentes, rier l énergie cinétique oyenne d une olécule en fonction de k et T 8) Calculer la vitesse quadratique oyenne du diazote dans les conditions norales de pression et de tepérature at, 7 K Pope à condensation Pari les différents types de pope à fixation, on trouve les popes à condensation Par abaisseent de la tepérature d une partie de la paroi de l enceinte à vider, on condense le gaz ou la vapeur à éliiner Le produit condensé est ensuite éliiné Soit une enceinte sphérique de diaètre D = 0 c, aintenue à une tepérature constante T = 7 K sauf au niveau d'un éléent de surface s représentant α = 0,% de la surface totale, aintenu à une tepérature Ts inférieure à T et perettant la condensation du diazote Cette enceinte est initialeent replie de diazote dans les conditions norales de tepérature et de pression 0 C, at 9) En adettant que les olécules de diazote qui frappent la surface y restent collées, ontrer que le nobre N ( t) de olécules de ce gaz contenues dans l enceinte à l instant t est N ( t) = N ( 0) ( t/ τ ) et rier τ en fonction de D et du odule de la vitesse d une olécule de diazote, en faisant la êe hypothèse sur la répartition v q des vitesses que celle faite précédeent 0) Calculer le teps nécessaire pour diinuer d un facteur la pression dans l enceinte ) Sachant que la chaleur latente de vaporisation du diazote est égale à 5590 Jol, calculer la chaleur reçue par la paroi au cours de la variation de pression précédente Donner la signification du signe du résultat ) Les raisonneents suggérés dans cette partie sont-ils satisfaisants? Pope à dilution Pari les procédés industriels utilisant les techniques du vide, on cherche non pas à faire le vide ais à extraire d un élange gazeux une espèce chiique liitant le fonctionneent de l installation, la pression totale restant constante On évite ainsi l utilisation longue et coûteuse d un popage sous vide poussé Deux copartients C et C de volues V et V, aux parois indéforables, renferent respectiveent N olécules d un gaz G et N olécules d un gaz G dans les êes conditions de tepérature T 0 et de pression P 0 Ces deux gaz sont supposés se coporter coe des gaz parfaits L ouverture de la vanne R qui sépare les deux copartients peret le élange par diffusion des deux gaz Copartient C gaz G N olécules P 0 T 0 R v q Copartient C gaz G N olécules ) Montrer que la tepérature et la pression sont inchangés (s inspirer du raisonneent interprétant la détente de Joule - Gay Lussac) 4) La transforation est-elle réversible? 5) On pose r = V /( V + V ) Calculer, en fonction de P0, V et V, la pression partielle P du gaz G après élange Le élange gazeux du copartient C est isolé par fereture de la vanne R puis à nouveau connecté au copartient C contenant N olécules du gaz G pur, à la pression P 0 et à la tepérature T 0 6) Calculer la pression partielle P du gaz G après le nouveau élange, puis P après opérations de élange Cobien de fois faut-il répéter cette opération pour réduire la pression en gaz G d un facteur 00? Application nuérique : V = V On donne log = 0, IV 9 d après ENS MP 005 On donne les valeurs des intégrales suivantes dx ( x /) = π, xdx ( x ) / =, xdx ( x /) = π, ( ) xdx x / = 0 On veut décrire la distribution d'équilibre des vitesses des olécules dans un gaz au repos à la tepérature T en l absence de chap extérieur ) Justifier que v = v = v = 0, où représente la valeur oyenne sur toutes les olécules du gaz et où ( v, v, v ) sont les trois coordonnées cartésiennes de la vitesse 0 DS : théorie cinétique des gaz, page P 0 T 0

3 Par analogie avec la répartition des olécules dans l atosphère isothere, on adet que la densité des olécules dans l'espace des vitesses est proportionnelle à [ EC ( v) /( kt )], où EC ( v ) est l'énergie cinétique d'une olécule et k la constante de oltzann C'est la distribution de Maxwell ) Écrire la probabilité pour que les coposantes de la vitesse soient siultanéent coprises entre et + d, entre v et v dv et entre v et v + dv Montrer que les trois coordonnées sont statistiqueent indépendantes y y + y z z z Écrire la probabilité que la coposante de la vitesse sur l axe des x soit coprise entre et + d ) Montrer que la «vitesse quadratique oyenne» = v vérifie v = k T /, où est la asse d'une vq olécule On s'intéresse aintenant à la distribution de probabilité de la nore de la vitesse v = v 4) Déteriner la probabilité p( v) dv que cette nore soit coprise entre v et v + dv La fonction p( v) est appelée densité de probabilité de v 5) En déduire que la valeur oyenne de la nore de la vitesse d'une olécule est donnée par v = 8kT π 6) Est-il étonnant que vq / v soit un siple facteur nuérique qui ne dépende pas des caractéristiques du gaz? Réponses N I ) distribution des vitesses isotrope ; ) dn = dsdtdpr ; ) d q = u xdn ; 4) dq = ndsdtv V x u ; x F = ndsux ; p = n = nv * ; 5) v * k T = ; u U = Nk T et p = 4 II ) voir corrigé ; ) U = MsRT / M( H) ; ) t = U / P =, 870 s ; 4) on a négligé l énergie gravitationnelle et celle produite par la fusion des noyaux 8, 4 III ), ) et ) voir corrigé ; 4) PV = NkT P = nkt ; k = =, 80 J K ; 5) 6, 00 dn = ndsvdt ; dp = vuxdn ; P = nv ; 6) vq = v ; 7) v = kt ; 8) 6 q V D vq = RT / M = 49 s ; 9) τ = 6 = ; 0) τ = 0, 406 s ; t = τ ln = 0, 446 s ; ) 700 J ; ) et sv α q v q = 0, 0 ) voir corrigé ; 4) non ; 5) P rp ; 6) P = r P ; = /logr ; = 7 opérations v IV ) pas de direction privilégiée ; ) A ddvydv z qui est un produit de teres dépendant chacun kt seuleent d une coordonnée ; dv πkt kt / dp 4 v dv v = π πkt kt ; 6) non x kt ; ) v = ; 4) DS : théorie cinétique des gaz, page

4 Corrigé I ) La distribution des vitesses étant isotrope, f ne dépend que du odule de la vitesse ; il ne peut dépendre de sa direction ) Les olécules qui frappent ds pendant dt sont celles qui sont dans un cylindre s appuyant sur ds, de N génératrice vdt et de volue ds vdt Leur nobre est dn = dsdtdpr V ) dq= vudn x x 4) dq = d q = ndsdtdp v u r x x > 0 Coe la distribution des vitesses est une fonction paire de, x x r = = v dq ndsdtdprv xux quelconque vdp dq F = = ndsux = pdsux p = n dt Or v = + vy + vz et = vy = vz = v = v *, d où p = nv * 5) Coe pv = Nk T p = nk T, on en déduit v * = k T D où U = N v * = NkT et U = pv p = u II N olécules d un gaz onoatoique sont dans les conditions où ce gaz est approxiativeent parfait si leur énergie potentielle d interaction est négligeable devant leur énergie cinétique Cette énergie cinétique est celle de olécules quasi ponctuelles : U = ( v + v + v ) x y z x y z En raison de l équipartition de l énergie, v = v = v = k T, d où U = Nk T = nrt Pour M(H) = grae d hydrogène, il y a oles de particules, ole de protons et ole d électrons Donc n = M / M( H) U = M RT / M( H) s s 0 6 MRT s 0 8, 4, 0 4 t = U / P = = =, 870 s = 9 illions d années MHP ( ) 6 0, On a négligé l énergie gravitationnelle et celle produite par la fusion des noyaux III Introduction ) Les principaux coposants de l air sont : N (78 % dans l air sec) ; O (% dans l air sec) ; Ar ( % dans l air sec) et l eau (proportion très variable, de l ordre de quelques pour cent, liitée en général au rapport à la pression totale de la pression de vapeur saturante à la tepérature considérée) ) Un gaz parfait est la liite d un gaz constitué de particules quand leurs interactions tendent vers zéro C'est le coporteent liite des gaz réels lorsque la pression tend vers zéro, la densité particulaire tendant alors aussi vers zéro ; les particules sont alors suffisaent éloignées les unes des autres pour que les interactions entre elles soient faibles et que l énergie potentielle d interaction entre les olécules soit négligeable devant l énergie kt d agitation therique ) Un élange est idéal si chaque constituant s y coporte coe s il était seul dans tout le volue et à la tepérature coune La pression partielle du constituant nuéroté i est la pression qu'il aurait s'il était seul dans tout le volue à la tepérature coune Calcul de la pression par la théorie cinétique des gaz 8, 4 4) L équation d état est PV = NkT P = nkt k = =, 80 J K 6, 00 5) Les olécules qui heurtent la paroi sont situées dans un cylindre de base ds et de génératrice vd t et ont la vitesse dans la bonne direction : il y en a dn = 6 ndsvdt chocs La quantité de ouveent de chaque olécule varie de vux, donc la quantité de ouveent du gaz varie de vuxdn, d où la force exercée par la paroi sur le gaz vuxdn nv uxds = = PuxdS et la pression P = dt nv 6) vq = v DS : théorie cinétique des gaz, page 4

5 7) D après l équation des gaz parfaits, P n kt ; d après la théorie cinétique de la pression, q v = v = kt = P nv q 8) v = kt / = RT / M = 8, 4 7/ 0, 08 = 49 s q Pope à condensation L enceinte sphérique de diaètre D = 0, a pour surface S = πd et pour volue V = πd / 6 9) Pendant dt, la paroi absorbe dn = 6 Nsvqdt / V olécules Cette relation est de la fore dn dt t N N( 0) N = τ = ( τ), où τ = V D sv 6q = v α q 0, 0) τ = = 0,406 s 0 49 P = nkt ( t/ τ ) = / t = τ ln = 0, 446 s = ; d où PV 05 π 0, ) Quantité de diazote présent : = = 0,87 ol, dont les deux tiers, soit 0, 5 ol ont RT 6 8, 4 7 été adsorbés D où le transfert therique reçu par l enceinte 0, = 700 J Le caractère positif de ce transfert est dû à ce que, si la vaporisation absorbe de la chaleur, la condensation en libère ) En voulant donner un exeple d application du cours sur la théorie cinétique des gaz, on oublie en général de contrôler si les ouveents des olécules sont collectifs ou individuels Ici, il faut considérer le fluide coe un ilieu continu et utiliser les lois de la dynaique des fluides ; en effet, la pression étant élevée, le libre parcours oyen, de l ordre de 00 n, est petit par rapport à la diension de l enceinte et à celle de la surface où le diazote se condense Toutefois l ordre de grandeur peut être correct, car le teps recherché ne dépend que de quelques paraètres et son ression en fonction de ces paraètres doit être hoogène En réalité, il est probable que le teps est beaucoup plus long, car les olécules adsorbées et la chaleur dégagée par leur condensation doivent être évacuées pour que d autres puissent être adsorbées à leur tour Le calcul de la chaleur reçue par l enceinte ne donne aussi qu un ordre de grandeur, car la chaleur latente de vaporisation est valable pour un changeent d état à pression et tepérature constantes dans les conditions de l équilibre, et ces critères ne sont pas du tout vérifiés La chaleur reçue est plus grande, car avant de condenser le diazote, il faut le refroidir jusqu à sa tepérature de vaporisation Pope à dilution ) Le élange se fait sans échange de travail ni transfert therique avec le ilieu extérieur (enceinte indéforable et adiabatique) Donc le preier principe donne U = 0 Or l énergie interne est une fonction croissante de la seule tepérature Donc la tepérature est inchangée L équation des gaz parfaits ontre alors que la pression est inchangée 4) Cette transforation est irréversible, on a jaais vu un élange de deux gaz se séparer spontanéent 5) Le gaz occupe tout le volue disponible coe si le gaz n existait pas : PV 0 = nrt0 = P ( V + V ) P = rp0 6) De êe PV = P ( V + V) P = rp et P, = rp,, d où P, = r P0 Si P, = P0 /00, r = /00 = /logr Si V = V, r = /, /logr = 6,6 : il faut donc = 7 opérations IV ) Dans un fluide en équilibre, il n y a pas de direction ou de sens privilégié, donc v = v = v = 0 ) La probabilité de trouver siultanéent les coposantes de la vitesse respectiveent coprises entre v x et dv, entre v et v dv et entre et v + dv est + x y y + y vz z z v vy vz A ddvydvz = d dvy dv z kt kt kt Le fait que cette kt probabilité soit un produit de teres dépendant chacun seuleent d une coordonnée signifie que ces coordonnées sont statistiqueent indépendantes et que la probabilité de trouver la coposante de la vitesse sur l axe Ox entre v x et + d est indépendante des valeurs des autres coposantes et de la fore d x kt v Coe la soe des probabilités est égale à, d = qui se calcule par le changeent de kt = x = = = v kt kt πkt u dv du du u kt x variable ( /) DS : théorie cinétique des gaz, page 5

6 La probabilité que la coposante de la vitesse sur l axe Ox soit entre et + d est donc d πkt kt x ) x x x π π kt = x + y + z = x = v kt kt v = v dv = ( u /) u du = kt kt kt v v v v v 4) La probabilité de trouver la vitesse dans un éléent de volue dv dans l espace des vitesses est / v dp = dv πkt kt Pour que le odule de la vitesse soit copris entre v et v + dv, il faut que l éléent de volue soit une coquille coprise entre deux sphères de rayons v et v dv, d où dv devient 4πvdv / Donc dp 4 v dv v = π πkt kt + 5) En faisant le êe changeent de variable qu à la question : / / 4 v kt v = vdp 4 v dv 4 = π u du u / = π πkt kt kt π q ( ) 8kT v = π kt 6) v est une fonction de k,, T ; copte tenu de sa diension, il est nécessaireent de la fore A, où A est un facteur universel non diensionné (voir théorèe de Vaschy-uckingha) De êe aussi un facteur universel non diensionné Donc vq / v est un coefficient universel kt v =, où est DS : théorie cinétique des gaz, page 6