PROGRAMME. Savoir que = équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées

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1 PROGRAMME Coordonnées d un point du plan Abscisse et ordonnée d un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Distance de deux points du plan. Milieu d un segment. Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées. Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées. Calculer les coordonnées du milieu d un segment. Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O, I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O. À l occasion de certains travaux, on pourra utiliser des repères non orthonormés Configurations du plan Triangles, quadrilatères, cercles. Pour résoudre des problèmes : Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles. Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale. Les activités des élèves prennent appui sur les propriétés étudiées au collège et peuvent s enrichir des apports de la géométrie repérée. Le cadre de la géométrie repérée offre la possibilité de traduire numériquement des propriétés géométriques et permet de résoudre certains problèmes par la mise en œuvre d algorithmes simples. Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur associé. Égalité de deux vecteurs : = =. Coordonnées d un vecteur dans un repère. Savoir que = équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (xb xa, yb ya) du vecteur. À tout point C du plan, on associe, parla translation qui transforme A en B, l unique point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu. Somme de deux vecteurs. Produit d un vecteur par un nombre réel. Relation de Chasles Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère. Utiliser la notation λ. Établir la colinéarité de deux vecteurs. Construire géométriquement la somme de deux vecteurs. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs. La somme des deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur et de vecteur. Pour le vecteur de coordonnées (a, b) dans un repère, le vecteur λ est le vecteur de coordonnées (λa, λb) dans le même repère. Le vecteur λ ainsi défini est indépendant du repère.

2 Table des matières 1 BASE ET REPÈRE COORDONNÉES D'UN POINT COORDONNÉES D UN VECTEUR COORDONNÉES D UN VECTEUR DU PLAN COORDONNÉES D UN VECTEUR FORMÉ PAR DEUX POINTS DE COORDONNÉES CONNUES OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ÉGALITÉ DE VECTEUR SOMME DE VECTEURS PRODUIT D UN NOMBRE PAR UN VECTEUR NORME D UN VECTEUR... 6 Penser et travailler avec des nombres est plus facile qu'avec des points, des droites et des cercles. C'est de cette constatation qu'est venue l'idée à monsieur Descartes de numériser la géométrie. C'est de là que vient la géométrie analytique. Mais si au dix-septième siècle, le premier philosophe cartésien de l'histoire s'était appuyé sur des axes perpendiculaires pour lire les coordonnées d'un point, notre ambition sera beaucoup plus générale. Notre construction de la géométrie analytique s'appuiera sur les vecteurs. Car c'est grâce à eux que points, droites et cercles peuvent être remplacer par des nombres.

3 CHAPITRE 06 LA GEOMETRIE ANALYTIQUE 1 BASE ET REPÈRE Définition d'une base et d'un repère Une base ( est un duo de vecteurs non colinéaires. Le premier vecteur est le vecteur d abscisse Le second vecteur est le vecteur d ordonnée Un repère ( O, est un triplet formé d un point O qui est l origine du repère et d une base ( Graphiquement, un repère ( O, est la chose suivante : Concrètement, peu de choses changent par rapport aux définitions vues au collège. En effet, le repère à trois points (O,I,J) d'antan devient aujourd'hui le repère à vecteurs (O;, ). Cette nouvelle notation va nous permettre d'édifier la géométrie analytique. Remarque : On remarquera que les deux axes de coordonnées (O; ) et(o; ) ne sont pas perpendiculaires. Sauf mention contraire, il en sera ainsi dans tout le cours. Cependant il est a savoir que : Un repère ( O, est dit normal si les vecteurs et ont des Normes égale à 1 Un repère ( O, est dit orthogonal si les vecteurs et ont des directions perpendiculaires. Un repère ( O, est dit orthonormal si les vecteurs et ont des directions perpendiculaires et s'ils ont des normes égales à 1.

4 2 COORDONNÉES D'UN POINT Sauf mention contraire, ici comme dans la suite, nous supposerons que le plan muni d'un repère quelconque ( O, donc non nécessairement orthonormé. Définition des coordonnées d un point dans un repère Dire que le point M a pour coordonnées ( x ; y ) dans le repère ( O, signifie que =x +y Exemple : =-2 +3 Donc A ( -2 ; 3 ) 3 COORDONNÉES D UN VECTEUR 3.1 COORDONNÉES D UN VECTEUR DU PLAN Définition des coordonnées d'un vecteur dans une base Dire que le vecteur a pour coordonnées dans la base (, ) signifie que =x +y Quelque soit le vecteur considéré, ces coordonnés existes et sont uniques 3.2 COORDONNÉES D UN VECTEUR FORMÉ PAR DEUX POINTS DE COORDONNÉES CONNUES Théorème liant les coordonnées d'un vecteur à celles des points le définissant Si A et B ont pour coordonnées respectives (xa ; ya ) et (xb ; yb ) alors les coordonnées du vecteur sont (attention à l ordre)

5 Exemple : Soit A ( -3 ; 5 ) et B ( 7 ; 8 ) Donc Donc 4 OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS 4.1 ÉGALITÉ DE VECTEUR L unicité des coordonnées d un vecteur permet d affirmer la propriété suivante. Propriété : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leur coordonnées égales Remarque : Les coordonnées égales signifie que les abscisses sont égales et que les ordonnées sont égales Conséquence : Si A et B ont pour coordonnées respectives (xa ; ya ) et (xb ; yb ) Alors I le milieu du segment [ AB ] aura pour coordonnée 4.2 SOMME DE VECTEURS Théorème Si et Alors 4.3 PRODUIT D UN NOMBRE PAR UN VECTEUR Théorème Si et k un nombre réel Alors

6 TEST DE COLINÉARITÉ : LE DÉTERMINANT définition du déterminant Le déterminant des vecteurs et est le nombre réel noté det(, ) et défini par det(, )=xy -yx Propriété : det(, )=0 si et seulement si et sont colinéaires 5 NORME D UN VECTEUR Théorème Si dans un repère (O,, ) orthonormée Alors Plus précisement Si A et B ont pour coordonnées respectives (xa ; ya ) et (xb ; yb ) dans un repère (O,, ) orthonormée Alors AB=