Translations et vecteurs
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- Louis Grégoire
- il y a 5 ans
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1 1 Translations et vecteurs A) Translation. 1. Définition. Soient A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan, l unique point D tel que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme. Cette translation est la translation de vecteur AB. 2. Propriétés. Propriétés : La translation conserve les longueurs, le parallélisme, l orthogonalité, les angles géométriques, les formes et les figures. On pourra vérifier ces propriétés sur le dessin ci-dessous : Le glissement qui permet d obtenir la figure F 2 à partir de la figure F 1 peut être décrit de façon précise par trois caractères : la direction du glissement est donnée par la droite (AB) ; le sens du glissement est celui de A vers B ; la distance du glissement est égale à la longueur du segment [AB]. On dit que la figure F 2 est l image de la figure F 1 par la translation de vecteur AB. Remarque : les vecteurs NS et PT sont aussi des vecteurs de la translation de vecteur AB : on dit qu ils sont égaux. On note alors : AB = NS = PT.
2 2 Exercice n 1 : Observer la figure ci-dessous : Compléter les phrases suivantes sans justifier : 1) L'image du point B par la translation qui transforme D en C est 2) L'image du point C par la translation de vecteur DG est. 3) Placer le point F tel qu il soit l image de G par la translation de vecteur BD. 4) Quelle est la nature du quadrilatère BDFG. Justifier. Exercice n 2 : Le quadrillage ci-dessous est constitué de triangles équilatéraux superposables. Construire, en utilisant le quadrillage, les figures suivantes (on fera apparaître clairement le contour de chaque figure ainsi que son numéro) : En bleu, la figure 2, transformée de la figure 1 par la translation de vecteur AB. En vert, la figure 3, transformée de la figure 1 par la symétrie axiale d'axe ( ). En rouge, la figure 4, transformée de la figure 1 par la symétrie centrale de centre S.
3 3 B) Vecteurs : définition, égalité et représentation. 1. Définition. Un couple (A, B) de points du plan détermine un vecteur. A est l origine du vecteur et B est son extrémité : on le note AB. 2. Egalité de deux vecteurs. Deux vecteurs sont égaux lorsqu ils sont nuls tous les deux, ou bien lorsqu ils ont même sens, même direction et même longueur. Remarque : Le vecteur nul est le seul vecteur sans direction, ni sens. Propriétés : A, B, C et D sont quatre points du plan. AB = CD si, et seulement si, D est l image du point C par la translation de vecteur AB ; AB = CD si, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; AB = CD si, et seulement si, ABDC est un parallélogramme. Exemple : Les trois parallélogrammes ABDC et ABEF sont deux parallélogrammes. Montrons que DCEF est un parallélogramme. ABDC est un parallélogramme alors AB = DC. ABEF est un parallélogramme alors AB = FE. Par conséquent DC = AB = FE. DC = FE donc le quadrilatère DCEF est un parallélogramme.
4 4 3. Représentation d un vecteur. Si AB = CD =, les vecteurs AB, CD, sont des représentants du vecteur u tel que : u = AB = CD = Remarque : le vecteur u n est pas fixe, on peut le dessiner n importe où sur une feuille : Le vecteur AA = BB = = ZZ est appelé vecteur nul et est noté 0. Propriétés : AB = 0 si et seulement si A = B. Soit O un point du plan. Pour tout vecteur u, il existe un point M unique tel que u = OM. Si u n est pas le vecteur nul, les points O et M sont distincts. Le vecteur u est caractérisé par : Sa direction : c est celle de la droite (OM) ; Son sens : c est le sens de O vers M ; Sa norme notée u : c est la distance OM. On a donc OM = OM.
5 5 Exercice n 3 : Le triangle ABC est un triangle rectangle en B tel que : BCA = 60 et BC = 3cm. 1) Construire la figure en vraie grandeur sur votre feuille. 2) Calculer la longueur AB à 1mm près. 3) Placer le point D tel que D soit l image de A par la translation de vecteur BC. 4) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier. 5) Placer le point E tel que E soit l image de C par la translation de vecteur BC. 6) Montrer que les segments [AE] et [DC] se coupent en leur milieu. C) Addition vectorielle. 1. Somme de deux vecteurs. Soient trois points A, B et C. Si on applique la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC, on obtient la translation de vecteur AC. Le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC. Propriété : Relation de Chasles Quels que soient les points A, B et C on a : AB + BC = AC. Propriété : Règle du parallélogramme La somme OA + OB est le vecteur OM tel que OAMB est un parallélogramme. Propriétés : Quels que soient les vecteurs u, v et w, on a : u + v = v + u ; u + 0 = 0 + u = u ; (u + v) + w = u + (v + w ). 2. Construction de la somme de deux vecteurs.
6 6 3. Différence de deux vecteurs. Propriété : Opposé d un vecteur L opposé d un vecteur u est le vecteur noté u tel que : u + ( u ) = 0. Conséquence : l opposé du vecteur AB est le vecteur BA : AB = BA. Étant donné deux vecteurs u et v la différence u v est le vecteur u + ( v). Exercice n 4 : Soit ABC un triangle rectangle en A. Placer les points M, N, P et Q tels que : AM = AB + AC AN = AB AC AP = CA + BA AQ = AC AB. Exercice n 5 : Simplifier l écriture des vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles : w = MA MB AB et v = AC + BC BA. Exercice n 6 : Placer les points T, M et P tels que : DT = AC, AM = AB + AC et EP = AC AB.
7 7 D) Multiplication d un vecteur par un réel. 1. Produit d un vecteur par un réel k. Soit u un vecteur non nul (u 0 ) et k un réel non nul (k 0). Le produit du vecteur u par le réel k, noté ku est le vecteur caractérisé par : sa direction : ku a la même direction que le vecteur u ; son sens : le vecteur ku a le même sens que le vecteur u ; sa norme : la norme du vecteur ku est égale au produit de la norme du vecteur u par le réel k : ku = k u son sens : le vecteur ku a le sens opposé au sens du vecteur u ; sa norme : la norme du vecteur ku est égale au produit de la norme du vecteur u par le réel k : ku = k u Remarque : Lorsque u = 0 ou k = 0, on convient que ku = 0 : ainsi, l égalité ku = 0 ne peut se produire que lorsque u = 0 ou k = 0. Remarque : Soient A et B deux points distincts, et k un réel donné. Il existe un unique point M défini par la relation AM = kab. M est un point de la droite (AB) ; M a pour abscisse k dans le repère (A ; B) d origine A.
8 8 2. Propriétés algébriques. Propriétés : Pour tous vecteurs u et v et pour tous réels k et k : k(u + v) = ku + kv ; (k + k )u = ku + k u ; ku = 0 u = 0 ou k = 0. E) Vecteurs colinéaires. 1. Définition. Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires s il existe un réel k tel que u = kv ou v = ku. Remarques : Comme 0 = 0u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. 2. Applications. Propriétés : Milieu d un segment. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieu I du segment [AB] : 1) AI = IB ; 2) AI + IB = 0 ; 3) AB = 2AI. Propriétés : Parallélisme et alignement. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Démonstration : Si (AB) // (CD) alors les vecteurs AB et CD ont la même direction donc ils sont colinéaires. Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires alors ils ont la même direction donc (AB) // (CD). AB et AC sont colinéaires signifie donc (AB) // (AC). Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
9 9 Exercice n 7 : En utilisant la relation de Chasles, exprimer les vecteurs suivants en fonction de AB et AC : u = 2BA 3BC 1 et v = BC 3CA. 5 Exercice n 8 : ABC est un triangle. Les points M et N sont tels que : AM = 2AB et AN = 2 3 AC 2 3 BC. 1) Montrer que AM et AN sont colinéaires. 2) Que peut-on en déduire pour A, M et N? Exercice n 9 : ABCD est un parallélogramme. I est l image de B par la translation de vecteur AC. 1) Montrer que AB = CI. 2) En déduire que I, C et D sont alignés. Exercice n 10 : ABCD est un parallélogramme de centre O. I est le symétrique de A par rapport à B. J est le symétrique de B par rapport à C. K est le symétrique de C par rapport à D. L est le symétrique de D par rapport à A. 1) Comparer BI et KD. 2) Comparer JC et AL. 3) Quelle est la nature de IJKL? Exercice n 11 : 1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 3,5cm ; AC = 5cm ; BC = 4cm. 2) Construire le point D tel que D soit l image de C par la translation de vecteur AC. 3) Construire le point E symétrique de B par rapport à C. 4) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE? Justifier la réponse Exercice n 12 : A, B et C sont trois points du plan. Compléter la figure ci-dessous au fur et à mesure. 1) Construire le point M image de A par la translation de vecteur BC. 2) Donner un vecteur égal au vecteur MA. 3) Construire K tel que : CA + CB = CK et démontrer que : CB = AK. 4) Démontrer que : MA = AK. Que peut-on en déduire pour le point A?
![10 Exercice n 13 : 1) Construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 4,5cm et BC = 5,4cm. Placer le point H, pied de la hauteur issue de A, et le point M milieu de [AB].](/docs-images/98/135296590/images/10-0.jpg "2) Justifier que H est milieu de [BC] et calculer la longueur du segment [HA]. 3) Construire le point D, symétrique du point M par rapport au point H. Quelle est la nature du quadrilatère BMCD?")
10 10 Exercice n 13 : 1) Construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 4,5cm et BC = 5,4cm. Placer le point H, pied de la hauteur issue de A, et le point M milieu de [AB]. 2) Justifier que H est milieu de [BC] et calculer la longueur du segment [HA]. 3) Construire le point D, symétrique du point M par rapport au point H. Quelle est la nature du quadrilatère BMCD? Justifier la réponse. 4) Démontrer que : AM + BD = MD. Exercice n 14 : On considère un rectangle MNPQ. On désigne par A, B, C et D les milieux respectifs de [MN], [NP], [PQ] et [QM]. Recopier et compléter les égalités suivantes en utilisant les points de la figure. 1) AB + AD = 2) CB + CD = 3) AC + DB = 4) AD + AB + CB + CD = 5) DA CD + BA CB = Exercice n 15 : Soit ABCD un parallélogramme et P est le milieu de [AD]. Q est le point tel que AQ 1 = AB et R est le point tel que DR = BD. 3 1) Construire, sur le graphique ci-dessous, les points P, Q et R. 2) Points alignés? a) Montrer que : PQ 1 = AB 1 AD. 3 2 b) Montrer que : BD = AB + AD. c) En déduire que PR = AB 3 + AD. 2 d) En déduire le réel k tel que : PR = kpq. e) Que peut-on en conclure pour les points P, R et Q?
![11 Exercice n 16 : Vrai ou faux? CDBE est un parallélogramme. [BC] et [DE] sont sécants en A. Des élèves ont écrit les phrases suivantes.](/docs-images/98/135296590/images/11-1.jpg "Indiquer celles qui sont fausses et les corriger pour qu elles deviennent vraies. 1) D est l image de C par la translation de vecteur BE.")
11 11 Exercice n 16 : Vrai ou faux? CDBE est un parallélogramme. [BC] et [DE] sont sécants en A. Des élèves ont écrit les phrases suivantes. Indiquer celles qui sont fausses et les corriger pour qu elles deviennent vraies. 1) D est l image de C par la translation de vecteur BE. 2) A est le milieu [DE] donc D est l image de A par la translation de vecteur EA. 3) BA + AC = BC donc A est le milieu de [AC]. 4) EC + EB = ED et EC EB = CB. Exercice n 17 : Construire un triangle équilatéral ABC de 5cm de côté, puis placer les points M et N tels que : CM = CA + CB et BN = AC. Exercice n 18 : ABC est un triangle. 1) Construire le point D tel que AD = AB + AC. Démontrer que [AD] et [BC] ont même milieu. 2) Construire le point E tel que AE = BC. Démontrer que C est le milieu de [ED]. 3) Les droites (AD) et (BE) se coupent en I. Que représente I pour le triangle ABC? 4) Prouver que AI = 1 3 AD. Exercice n 19 : ABCD est un parallélogramme. 1) Construire, sur la figure ci-dessous, le point E tel que : AE = AC + BD. 2) Construire, sur la figure ci-dessous, le point F tel que : BF = 2BC. 3) Démontrer que : AC + BD = 2BC.
12 12 Exercice n 20 : Soit ABC un triangle. 1) Construire, sur la figure ci-dessous, les points D et E tels que : 2) CD = 2CA + 2BA. 3) 5 AE = BC + 2CA. 3 4) Droites parallèles? a) Construire, sur la figure ci-dessous, les points M et N tels que : AM = 2AB ; CN = 3CA. b) Exprimer AN en fonction de AC. c) En déduire que MN = 2CB. d) Que peut-on en conclure pour les droites (BC) et (MN)? Exercice n 21 : ABC est un triangle. I est le symétrique de A par rapport à B. K est l image du point B par la translation de vecteur CA. M est le point d intersection de (CK) et (AB). 1) Quelle relation lie : BI et AB? 2) Démontrer que ACBK est un parallélogramme. 3) Démontrer que M est le milieu de [KC]. 4) Quelle relation lie les vecteurs BI et BM? 5) En déduire ce que représente B pour le triangle CKI.
13 13 Exercice n 22 : Construire les points B, D, F, H, J, M, Q, S et U vérifiant les égalités suivantes : AB = u + v. LM = AZ + 2NZ. CD = w v. PQ 1 = PN. EF = 2u + v + w. 3 GH 5 RS = NP + u + v. = v. 3 TU = 2u + RN. IJ = w v + u.
14 14 Exercice n 23 : ABC est un triangle 1) Placer, sur l annexe, le point D tel que : BD = 3BA + 2AC. 2) Placer, sur l annexe, le point E tel que : CE = CA + BA. 3) Exprimer la somme EC + CB + BD en fonction de BA. 4) En déduire que ED = BA. 5) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABED?
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