Contrôle de position et de vitesse à l échelle nanométrique dans la balance du watt du LNE

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1 D. HADDAD Contrôle de osition et de vitesse à l échelle nanométrique dans la balance du watt du LNE Position and velocity control at the nanometric scale in the LNE watt balance Darine HADDAD 1, Luc CHASSAGNE 1, Patrick JUNCAR 2, Suat TOPÇU 1, Marwan WAKIM 3 et Yasser ALAYLI 1 1 Laboratoire d Ingénierie des Systèmes de ersailles (LIS), Université de ersailles - Saint Quentin, 45 avenue des États-Unis, ersailles Cedex, France, luc.chassagne@ens-hys.uvsq.fr. 2 Institut National de Métrologie, Conservatoire national des arts et métiers, 61 rue du Landy, La Plaine Saint Denis, France. 3 Laboratoire national de métrologie et d essais, 1 rue Gaston Boissier, Paris, France. Résumé Nous résentons une nouvelle méthode de contrôle de osition et de vitesse d une masse en mouvement avec une exactitude nanométrique sur une course de 80 mm. Pour la vitesse, l objectif fixé est d obtenir une instabilité inférieure à 10 9 en valeur relative. L alication essentielle est la balance du watt du Laboratoire national de métrologie et d essais (LNE). Une méthode originale a été déveloée et mise en œuvre, basée sur l utilisation d un interféromètre de Michelson hétérodyne et d une électronique haute fréquence. Le système interférométrique est associé à un système mécanique de translation double étage constitué d un moteur linéaire et d un actionneur iézo-électrique. Des délacements de 4,945 nm traçables au mètre sont contrôlés avec des réétabilités et des exactitudes de l ordre du nanomètre. La méthode roosée ermet une mesure absolue de vitesse en la raccordant à la constante fondamentale, la célérité de la lumière. Les résultats montrent qu une incertitude relative sur la valeur de la vitesse de 10-9 eut être atteinte. MOTS CLÉS : NANOPOSITIONNEMENT, INTERFÉRO- MÉTRIE HÉTÉRODYNE, CONTRÔLE ABSOLU DE ITESSE, BALANCE DU WATT. Abstract Authors resent a novel method to control the osition and the velocity of a moving mass with a nanometric accuracy on a translation range of 80 mm. For the velocity, the objective is to obtain an instability less than 10 9 in relative value. The essential alication is the watt balance of the Laboratoire national de métrologie et d essais (LNE). A novel aaratus was develoed and imlemented, based on the use of both a heterodyne Michelson s interferometer and a home made electronic circuit. The interferometric system is associated to a mechanical system of double translation stages made u of a linear stage and a iezoelectric actuator. Traceable dislacements of 4,945 nm are controlled with reeatabilities and accuracies at the nanometer scale. The roosed method ermits an absolute velocity measurement by linking it to the fundamental constant, the velocity of light. Results show that relative uncertainty of 10-9 on the velocity value can be reached. KEY WORDS: NANOPOSITIONNING, HETERODYNE INTERFEROMETRY, ABSOLUTE ELOCITY CONTROL, WATT BALANCE. 1. Introduction Dans le cadre du rojet balance du watt du Laboratoire national de métrologie et d essais (LNE), il est nécessaire de délacer une bobine dans un cham magnétique sur une course de 80 mm avec une vitesse connue et constante à 10 9 rès en valeur relative. Cette vitesse a été choisie à 2 mm s 1 et doit donc être connue et stable à 2 m s 1 (1σ) [1,2]. Dans le résent article, il sera démontré qu un système de ositionnement nanométrique à double étage est nécessaire our réondre aux exigences demandées. Le système déveloé et résenté dans cet article eut être également une solution intéressante our d autres CONTRÔLE DE POSITION ET DE ITESSE À L ÉCHELLE NANOMÉTRIQUE DANS LA BALANCE DU WATT 25

2 domaines d alication. D une art, le ositionnement à l échelle du nanomètre devient une nécessité imérative. Aujourd hui le cham d alication de la nanométrologie est considérable et ne se limite as à la métrologie dimensionnelle, même si celle-ci est, à résent la lus directement sollicitée [3]. D autre art, des alications en hysique exérimentale qui nécessitent une vitesse uniforme euvent être envisagées comme dans le cas d un sectromètre Mössbauer [4,5]. 2. Technique interférométrique de contrôle de osition 2.1. Princie du contrôle de osition Un système interférométrique hétérodyne dont le laser est choisi à une fréquence recommandée ar le Comité international des oids et de mesures (CIPM) our définir le mètre. Ceci ermet de se raccorder directement à la définition du mètre assurant ainsi la traçabilité des mesures effectuées à l échelle nanométrique. Lorsque le miroir mobile comosant un interféromètre de Michelson hétérodyne en double assage se délace d une distance de λ/4, la différence de hase entre les faisceaux otiques de mesure et de référence varie de 2π. Le rincie de notre méthode consiste à contrôler la différence de hase entre les deux faisceaux et donc la osition du miroir mobile [6]. Laser hétérodyne S 1 Électronique haute fréquence S 2 CP Polariseur S 3 PD ν 1 ν 2 ν 2 λ/4 ν ± ν 1 D MR λ/4 Cube séarateur de olarisation MM Interféromètre hétérodyne en double assage ε Actionneur Fig. 1. Princie de l asservissement en osition ; MR : miroir de référence, MM : miroir mobile, PD : hotodétecteur, λ/4 : lame quart-onde, CP : comarateur de hase, F() : électronique d asservissement, : vitesse de délacement du miroir mobile, ν D : décalage Doler dû au délacement du miroir mobile à la vitesse constante. Le schéma de rincie est donné ar la figure 1. Le rincie de l interférométrie hétérodyne est : deux faisceaux, de fréquences ν 1 et ν 2 voisines de quelques mégahertz, olarisés linéairement et orthogonalement l un ar raort à l autre, sont séarés satialement ar un cube séarateur de olarisation. Le faisceau de mesure est réfléchi ar le miroir mobile se délaçant à vitesse constante ; ce qui a our effet de décaler sa fréquence de ν D ar effet Doler. À la sortie de l interféromètre, les F() deux faisceaux sont mélangés à l aide d un olariseur générant une figure d interférence. La fréquence de battement entre les deux faisceaux, observée au niveau du hotodétecteur (PD), constitue ainsi le signal de mesure S 3. Un circuit électronique haute fréquence déveloé au sein du laboratoire ermet de générer deux signaux S 1 et S 2 synchronisés et de même fréquence [7]. Ce circuit a également la caacité de générer un décalage de hase sur l un des signaux ar raort à l autre. Le signal S 1 est envoyé vers l oscillateur alimentant le modulateur acousto-otique qui ermet la génération des deux faisceaux otiques de fréquences ν 1 et ν 2 nécessaires à l interférométrie hétérodyne. Le signal S 2 est envoyé vers un comarateur de hase situé à la sortie de l interféromètre, où il sera comaré au signal S 3 résultant de l interférence des deux faisceaux otiques arès assage dans l interféromètre. Le signal S 3 contient l information sur la osition du miroir mobile. Le signal d erreur ε résultant de la comaraison est envoyé vers un actionneur suortant le miroir mobile. Une boucle d asservissement ermet de contrôler la osition du miroir en fonction du signal d erreur ε. Suosons que la boucle d asservissement soit fermée. Si le miroir mobile vient à se délacer à cause d un élément erturbateur tel que ar exemle une vibration mécanique, la hase du signal S 3 subit un décalage. Le signal d erreur ε devient non nul et la boucle d asservissement agit sur l actionneur our ramener le miroir à sa osition initiale. Nous avons ainsi réalisé un asservissement en osition du miroir mobile de l interféromètre sur une référence de hase externe. Suosons maintenant qu une différence de hase φ entre les signaux S 1 et S 2 soit induite à la sortie de l électronique haute fréquence telle que φ = φ S1 φ S2 soit ositive ou négative. Là encore, le signal ε devient non nul et la boucle d asservissement agit sur l actionneur de manière à comenser cette différence de hase en délaçant le miroir mobile our générer un décalage de hase Doler égal à φ Doler = ± φ. Comme il s agit d un interféromètre double assage, le délacement x du miroir mobile qui corresond à φ est donné ar la relation : φ φ x= =, (1) 4 n 2 8 n avec n étant l indice de réfraction de l air. Nous suosons ar la suite que l indice de réfraction vaut l unité car la balance du watt est sous vide. Il est ossible avec l électronique haute fréquence déveloée de quantifier φ tel que φ = 2π/N, où N est un entier. Nous arlerons alors de sauts de hase. Le délacement élémentaire est donné ar : =x min = 4 N. (2) 26 REUE FRANÇAISE DE MÉTROLOGIE n 6, olume

3 Les sauts de hase sont arfaitement connus et contrôlés et sont aliqués sur S 2 ou sur S 1 suivant le sens de délacement désiré du miroir mobile Montage exérimental Le schéma du montage exérimental our la mise en œuvre du ositionnement est rerésenté sur la figure 2. Les deux comosantes du faisceau issu du laser héliumnéon ont our longueur d onde λ 1 = 632, nm et λ 2 = 632, nm. Le laser a été étalonné ar la méthode des battements otiques en utilisant une référence nationale. L incertitude relative sur les longueurs d onde à 1σ est de 1, Laser hétérodyne ν 1 ν 2 DPMI Fibre Otique MR Station météo MM PZT formules semi-emiriques d Edlén [9,10] avec une incertitude tye de Sauts de osition nanométriques L électronique haute fréquence telle qu elle a été configurée ermet d effectuer des sauts de hase de 2/32 sur le signal S 2 (fig. 2) engendrant un délacement minimum de /(4 32) soit 4, nm. Comme l incertitude relative sur la longueur d onde est de 1,6 10-9, l incertitude intrinsèque sur la valeur du as est de nm. La figure 3 montre le délacement du miroir mobile sur la totalité de la course ossible de la céramique iézoélectrique qui est de 3 µm. La ériode de réétition des sauts de hase est constante, ce qui assure un délacement linéaire. Durant cette mesure, les variations de temérature, de ression, d humidité et du taux de CO 2 mesurées sont resectivement de 0,1 C, 100 Pa, 1 %, et 60 m. Ceci corresond à une variation de l indice de réfraction de l air de , ce qui en fait un facteur d erreur négligeable. Système d acquisition LS 0 S 1 PD -500 Électronique haute fréquence S 2 + sauts de hase arfaitement connus et contrôlés S 3 MD F() Fig. 2. Montage exérimental de contrôle et de mesure de osition ; MR : miroir de référence, MM : miroir mobile, PD : hotodétecteur, MD : mélangeur à diodes, LS : lame séaratrice, F() : électronique d asservissement, PZT : actionneur iézoélectrique, DPMI : differential ath Michelson interferometer. Le miroir mobile est monté sur un actionneur iézoélectrique. La course maximale est de ± 1,5 µm our une tension de ± 20. À la sortie de l interféromètre, le faisceau laser est divisé en deux ar une lame séaratrice 50/50. Une artie du faisceau S 3 est envoyée vers le système d acquisition. L autre artie est comarée en hase grâce à un mélangeur à diodes avec le signal S 2 issu de l électronique haute fréquence. Tous les signaux sont à 20 MHz, fréquence qui corresond à la fréquence hétérodyne de l interféromètre utilisé, c.-à-d. à la différence entre ν 1 et ν 2. Le système d acquisition mesure la différence de hase entre les deux signaux S 1 et S 3 et fournit l information sur la osition et la vitesse du miroir mobile. La résolution du système est de 0,309 nm (λ/2 048). Elle est essentiellement limitée ar le niveau de bruit électronique et ar la méthode de mesure de hase [8]. Simultanément, une station météo comosée d un cateur de ression (digiquartz), d une sonde de temérature (Pt100), d un cateur d humidité (Elcowa) et d un cateur de CO 2 (Innova 1312 Airtech Instruments) est mise en oeuvre. Ces cateurs nous ermettent de mesurer l indice de réfraction de l air en utilisant les Délacement (nm) Tems (s) Fig. 3. Mesure du délacement sur la course de l actionneur iézoélectrique. Un agrandissement de la figure 3 montre clairement les as nanométriques corresondant à chaque saut de hase exercé sur le signal S 2 (fig. 4). Délacement (nm) ,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Tems (s) Fig. 4. Mesure des sauts de osition nanométriques. CONTRÔLE DE POSITION ET DE ITESSE À L ÉCHELLE NANOMÉTRIQUE DANS LA BALANCE DU WATT 27

4 Lorsque l asservissement est otimisé, le niveau de bruit à 1σ sur chaque as est de 0,22 nm. Le niveau de bruit sur chaque alier a également été vérifié en statique : le miroir est asservi sur une osition fixe, aucun saut de hase n étant effectué. Là aussi, on retrouve un niveau de bruit égal à 0,22 nm (1σ). La courbe de la figure 5 illustre des sauts de osition nanométriques lorsque le miroir mobile se délace dans les deux sens. On eut observer la bonne conservation de la hase au moment du changement de sens. En effet l asservissement est maintenu, le changement de sens ne se fait que ar le choix d effectuer les sauts de hase sur la voie S 1 ou la voie S 2. On eut ainsi aisément asser de l un à l autre ar un aiguillage des signaux de commandes qui sont comlètement indéendants de l électronique d asservissement. Délacement D AB (nm) 1266,4 1266,2 1266,0 1265,8 1265,6 1265,4 1265,2 1265,0 1264, Points de mesure Fig. 6. Mesure de réétabilité ; la ligne droite rerésente la valeur moyenne. Délacement (nm) ,0 2,5 5,0 7,5 10,0 Tems (s) Fig. 5. Mesure aller-retour des as de osition nanométrique. On eut remarquer aussi que la non-linéarité due à l hystérésis de l actionneur iézoélectrique est négligeable. En effet, en boucle fermée, l actionneur iézoélectrique agit sur le miroir mobile our le délacer de façon à ce que la hase otique soit asservie sur la hase électrique arfaitement connue et contrôlée Réétabilité de osition Des mesures de réétabilité ont été aussi menées. Pour cela, le miroir mobile a été délacé à lusieurs rerises d un oint A à un oint B. Nous calculons le délacement entre A et B c.-à-d. la différence entre le alier en A et le alier en B noté D AB. La réétabilité s exrime quantitativement à l aide des caractéristiques de disersion des résultats [11]. Elle est donnée ar l écart tye exérimental des séries de mesurages successifs de D AB. L électronique haute fréquence génère 256 sauts de hase de 2π/32 exactement. Théoriquement, le délacement D AB dans l air est de 1 265,647 nm our n 1 = 26, (valeur d indice mesurée ar la station météo). La figure 6 montre le délacement D AB our 20 oints de mesure successifs. La valeur moyenne de ces 20 oints est de 1 265,651 nm et l écart tye est de 0,075 nm. L écart entre la valeur moyenne exérimentale et celle théorique est de 4 m. La réétabilité est de 75 m. 3. Alication au contrôle de vitesse 3.1. Contrôle en vitesse du miroir mobile Il est ossible de contrôler la vitesse de délacement du miroir mobile en contrôlant le taux de réétition des sauts de hase φ. Soit T le tems entre deux sauts de hase consécutifs exercés sur le signal S 1 ou S 2. Nous avons alors une vitesse donnée ar /T. L incertitude sur la vitesse eut être aussi faible que l incertitude sur le as car l incertitude sur T est négligeable en utilisant un étalon de fréquence, actuellement un oscillateur au rubidium. Le montage décrit au aragrahe récédent ne ermet as d atteindre des vitesses élevées car la course de l actionneur iézoélectrique est tro réduite. Sur la figure 3, la ente de la courbe est égale à la vitesse de délacement du miroir mobile. L incertitude standard relative sur la vitesse eut se mettre sous la forme : = 2 3 D 3/2 où (, ) et ( ), (3), rerésentent resectivement la valeur moyenne et l incertitude-tye sur la vitesse et la valeur du as, D la course totale de délacement. Nous ouvons noter que les incertitudes tyes sur les valeurs des as déendent de la qualité de la boucle d asservissement et de la résolution de l interféromètre et donc sont statistiquement indéendantes. / varie à la uissance 3/2 de la course de délacement D ; ainsi our atteindre une incertitude relative de 10 9 ar exemle, il faut que le délacement soit de 1,5 mm. La relation (3) montre aussi que nous avons intérêt à ce que les sauts de osition soient etits et que l incertitude tye sur la valeur du as soit otimale. Dans le cas de la figure 3, la vitesse est imosée ar le taux de réétition de sauts de hase égal à 20 Hz. Comme chaque as a la valeur de 4, (8) nm, vaut 98,904(1) nms 1. L incertitude sur la valeur de a été calculée à l aide de l exression (3) avec D = 2,793 µm et = 0,22 nm. 28 REUE FRANÇAISE DE MÉTROLOGIE n 6, olume

5 Actuellement, aucun système commercial ou en hase de rototye dans les laboratoires n est caable d assurer un niveau d exactitude en vitesse tel que demandé dans le cadre de la balance du watt à cause essentiellement des roblèmes de mécanique. La seule ossibilité our obtenir ce niveau d exactitude consiste à avoir un système à double-étage comosé d un remier étage ayant une grande course, et d un second étage ayant une faible course [12]. Le remier étage est une latine de translation mécanique comosé d un guidage à aliers à air et d un moteur magnétique linéaire ermettant des délacements sur 100 mm avec un bruit de ositionnement de 30 nm à 50 nm. Le second étage est une céramique iézoélectrique avec une course de l ordre de 3 µm et une sensibilité en ositionnement nanométrique voire sub-nanométrique. commande corresondant aux sauts de hases à effectuer our que l actionneur iézoélectrique fonctionne autour de sa osition centrale eut être calculée ar la relation : = ν c (4) où est la vitesse de translation du miroir mobile et la valeur du as utilisé c.-à-d. /(4 32) soit 4, (8) nm. La fréquence Doler, dans le cas d un interféromètre en double assage, sera donnée ar la relation : ν ν (5) Doler =4 c Laser hétérodyne S 1 Électronique haute fréquence ν 1 ν 2 S 2 DPMI Fibre Otique Système d acquisition S 4 f Doler FFT MR Comteur MD Station météo LS S 3 PD MM PZT F() PDT Boucle de contrôle de vitesse Fig. 7. Montage exérimental de contrôle et de mesure de vitesse ; MR : miroir de référence, MM : miroir mobile, PD : hotodétecteur, MD : mélangeur à diodes, LS : lame séaratrice, F() : électronique d asservissement, PZT : actionneur iézoélectrique, PDT : latine de translation, DPMI : differential ath Michelson interferometer, FFT : fast Fourrier transform. Le montage exérimental de contrôle de vitesse sur une grande course (fig. 7) est similaire à celui rerésenté sur la figure 2. La latine de translation a un système d asservissement en vitesse qui lui est rore et indéendant de celui de l actionneur iézoélectrique. Il est basé sur un codeur otique our la lecture de la osition et d un correcteur PID (Proortionnel Integral Derive) our la boucle électronique de contre-réaction. La boucle de contre réaction de l actionneur iézoélectrique corrige les défauts aortés ar la latine de translation, améliorant ainsi la stabilité de la vitesse du miroir mobile. Une artie du signal S 1 est envoyé vers un second mélangeur à diodes our démoduler le signal S 3. Le signal S 4 à la sortie du second mélangeur corresond normalement en régime asservi au décalage Doler. Ce signal est envoyé soit vers un analyseur de sectre FFT (Fast Fourier Transform), soit vers un comteur de fréquence. La latine est rogrammée our évoluer sur 80 mm de course avec une vitesse. Une fois en régime établi, l asservissement de l actionneur iézoélectrique est lancé our asservir la vitesse moyenne. La fréquence de Caractérisation de la stabilité de la vitesse ar analyse sectrale L analyseur FFT (Fast Fourrier Transform) n est as utilisé en régime ermanent our mesurer finement la fréquence Doler mais endant les étaes de caractérisation du montage. Dans une remière étae, la latine est asservie avec sa rore boucle d asservissement alors que l actionneur iézoélectrique est en boucle ouverte. La latine a été rogrammée our se délacer à une vitesse de 0,2 mm s -1, ce qui corresond à un décalage de fréquence ar effet Doler du signal S 3 de 1 263,839 Hz. La figure 8 montre le sectre du signal S 4 donné ar le FFT. Nous ouvons discerner le ic central corresondant à la fréquence Doler attendue. La fréquence est très légèrement différente de celle attendue car l analyseur FFT à sa rore base de tems non synchronisée. La largeur du ic et le taux de réjection ar raort au lancher de bruit sont significatifs de la stabilité de la vitesse. Amlitude (dbm) , , , 125 Fréquence (Hz) Fig. 8. Sectre du signal S 4 avec latine asservie uniquement à une vitesse de 0,2 mm s 1. Le choix de cette vitesse est lié au fait que le tems d acquisition sera suffisant our observer le ic central sur une course de 80 mm. Dans une deuxième étae, l actionneur iézoélectrique est asservi une fois que le régime stable de la latine est atteint. La figure 9 montre le sectre corresondant. Le CONTRÔLE DE POSITION ET DE ITESSE À L ÉCHELLE NANOMÉTRIQUE DANS LA BALANCE DU WATT 29

6 taux de réjection de ic Doler a été amélioré d environ 40 db. La largeur à mi-hauteur du ic est réduite d un facteur environ 1/3. Amlitude (dbm) L ensemble statistique de la fréquence Doler mesurée est bien modélisé ar une distribution gaussienne. La stabilité de la fréquence Doler est mesurée en terme de variance d Allan, outil conventionnel our caractériser un oscillateur en fréquence [13,14]. La figure 11 illustre l écart tye d Allan en fonction du tems d intégration τ exrimé en seconde. Nous ouvons noter que la ente de σ(τ) est en 1/ τ, caractéristique d un bruit blanc de fréquence [15] et que le lancher de bruit n est as encore atteint , , , 125 Fréquence (Hz) Fig. 9. Sectre du signal S 4 avec latine et actionneur iézoélectrique asservis à une vitesse de 0,2 mm s -1. Cette rocédure a été utilisée our montrer l efficacité de la technique roosée. Une méthode lus rigoureuse consiste à calculer la variance d Allan du signal Caractérisation de la stabilité de la vitesse ar la variance d Allan Dans cette étae, le signal S 4 est envoyé vers un comteur de fréquence HP53132A otion haute stabilité. Le comteur est iloté our mesurer en automatique la fréquence Doler. Le tems d acquisition our un oint est de 1 s. La latine est rogrammée our un délacement de 80 mm. Arès avoir attendu que le régime établi soit arfaitement atteint, le comteur échantillonne le maximum de oints sur la course de délacement. Ce nombre de oints déend évidemment de la vitesse. Puis l exérience est reconduite immédiatement un certain nombre de fois. Le nombre total de oints N T est le roduit du nombre de trajets effectués ar le nombre de oints qu on eut mesurer lors du délacement de la latine. 80 σ(τ) 1E-8 σ(τ) 1E-9 1E-8 1E τ τ(s) Fig. 11. Écart tye d Allan de la fréquence Doler en fonction du tems d intégration τ. La stabilité de la vitesse à 2 mm s 1 en terme d écart tye d Allan a atteint 1, au bout de 128 s. Il est raisonnable de enser que sous vide et dans les conditions lus favorables du rojet balance du watt, l objectif de 10-9 uisse être atteint Mesure absolue de vitesse - Diviseur de la vitesse de la lumière Si on remlace ar sa valeur /(4 32) dans l équation 4 et la longueur d onde λ ar c/ν laser (c : célérité de la lumière et ν laser : fréquence otique), on trouve la relation suivante : 60 1 ν c =c 128 ν laser (6) , , , , , , ,0008 Fréquence (Hz) Fig. 10. Histogramme de 880 oints de mesure de la fréquence Doler montrant un comortement Gaussien. Platine et actionneur iézoélectrique asservis à une vitesse de 2 mm s -1. La figure 10 illustre l histogramme des oints de mesures (N T = 880) our une vitesse de 2 mm s 1. Cette relation ne fait intervenir ni l unité du mètre ni celle de la seconde. En effet, aujourd hui on est arfaitement caable de déterminer le raort de deux fréquences (l une dans le domaine des radiofréquences et l autre dans le domaine otique) ar la technologie des eignes de fréquences mettant en œuvre des lasers femtosecondes [16]. La vitesse est donc directement raccordée à la constante fondamentale c. La relation montre clairement que l on est caable de choisir la vitesse en changeant uniquement la fréquence de commande ν c. Notons aussi qu avec la méthode d asservissement as à as, le système se comorte comme un véritable diviseur de la vitesse de la lumière. 30 REUE FRANÇAISE DE MÉTROLOGIE n 6, olume

7 Remerciements Les auteurs tiennent à remercier Mme Maguelonne Chambon et M. Gérard Genevès our leur conseil et leur soutien. Références [1] GENEÈS G. et al., The BNM Watt Balance Project, IEEE Trans. Instrum. Meas., 54, avril 2005, [2] GENEÈS G. et al., «La balance du watt du BNM : état d avancement», 11 e Congrès international de métrologie, octobre [3] BORDÉ C. et KOALESKY J., «Raort du groue de travail sur la métrologie du futur», Académie des Technologies, mai 2004, [4] YOSHIMURA T., SYOJI Y. et WAKABAYASHI N., Absolute velocity control of a Mössbauer sectrometer by utilizing a laser interferometer, J. Phys. E : Sci. Instrum., 10, août 1977, [5] an LIEROP J. et RYAN D.H., An imroved selective excitation double Mössbauer sectrometer, Rev. Sci. Instr., 72, août 2001, [6] TOPÇU S., CHASSAGNE L., HADDAD D., JUNCAR P. et ALAYLI Y., Heterodyne interferometric technique for dislacement control at the nanometric scale, Rev. Sci. Instr., 74, novembre 2003, [7] HADDAD D., «Mesure et contrôle de osition et de vitesse à l échelle nanométrique : alication à la balance du watt», Thèse de doctorat, décembre 2004, [8] DESMAREST F.C., High-resolution, high-seed, low data age uncertainty, heterodyne dislacement measuring interferometer electronics, Meas. Sci. Technol., 9, juillet 1998, [9] EDLÉN B., The refractive index of air, Metrologia, 2, 2, 1966, [10] BIRCH K.P. et DOWNS M.J., An udated Edlén equation for the refractive index of air, Metrologia, 30, 1993, [11] «Métrologie - Gérer et maîtriser les équiements de mesure», AFNOR, [12] TOPÇU S., CHASSAGNE L., HADDAD D., JUNCAR P. et ALAYLI Y., High accuracy velocity control method for the french moving-coil watt balance, Rev. Sci. Instr., 75, novembre 2004, [13] ALLAN D.W., Time and Frequency (Time-Domain) Characterization, Estimation, and Prediction of Precision Clocks and Oscillators, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 34, novembre 1987, [14] AUDOIN C. et GUINOT B., «Les fondements de la mesure de tems», Masson, [15] AUDOIN C., BERNARD M.Y., BESSON R., Gagneain J.J., GROSLAMBERT J., GRANDEAUD M., NAUD J.C., OLIIER M. et RUTMAN J., «La mesure de la fréquence des oscillateurs», CHRONOS, Collection technique et scientifique des télécommunications, Masson, [16] CUNDIFF S.T. et YE J., Colloquium: Femtosecond otical frequency combs, Rev. Mod. Phys., 75, janvier 2003, CONTRÔLE DE POSITION ET DE ITESSE À L ÉCHELLE NANOMÉTRIQUE DANS LA BALANCE DU WATT 31