NOTIONS DE CALCUL VECTORIEL

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1 1.1. Introduction L électromagnétisme s intéresse à l étude des champs électrique et magnétique. Ces champs sont des quantités vectorielles et leur comportement est décrit par un ensemble de lois connu par les équations de MAXWELL. La notation vectorielle donne aux lois une forme simple et claire mettant en relief leur contenu physique indépendamment du système de référence. Ce chapitre présente un aperçu bref mais suffisant des notions de calcul vectoriel qui sont utilisées dans la présentation de la théorie de l'électromagnétisme Algèbre vectorielle Scalaires Vecteurs Dans l étude de la physique élémentaire, on rencontre plusieurs quantités ; telles que : masse, température, vitesse, accélération, force et charge. Certaines de ces quantités sont désignées non seulement par une grandeur (amplitude) mais aussi par une direction dans l espace, alors que d autres sont caractérisées par leurs grandeurs seulement. On définit alors deux types de grandeurs : Scalaire : est une grandeur physique complètement déterminée par un nombre; exemple : la masse, la température, la charge, l'énergie, le temps, le volume... etc. Vecteur : est une grandeur physique caractérisée par une grandeur (ou module), une direction et un sens ; exemple: vitesse, accélération, force, déplacement, champ électrique, champ magnétique... etc. Soit un vecteurreprésentant une grandeur physique quelconque, sa grandeur est dénotée par ou. Par définition, le vecteur unitaire, porté par est le vecteur unitaire de même sens que et de longueur (ou module) unité. ( 1.1) Figure 1.1. Représentation graphique d un vecteur Même si la notation vectorielle est indépendante du système de référence, il est souvent utile de décomposer les vecteurs sur les axes Ox, Oy et O du système cartésien. Si l'on désigne,, les vecteurs unitaires portés par, et respectivement ; Les projections d'un vecteur sur ces axes sont trois vecteurs,, dont la somme donne : dans le système de coordonnées cartésiennes ( 1.2) ; ; ( 1.3) Donc, le vecteur peut s écrire en fonction de ses composantes dans le système de coordonnées cartésiennes, comme suit : ( 1.4) y x Figure 1.2. Décomposition d un vecteur dans le système de coordonnées cartésiennes. LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.1

2 Opérations sur les vecteurs Addition et soustraction de vecteurs Soient et deux vecteurs quelconques. ( 1.5) Figure 1.3. Addition et soustraction de vecteurs Multiplication et division par un scalaire Soient et des scalaires : Distributivité Soit m et n des scalaires, etdeux vecteurs.. ( 1.6) 1 ( 1.7) ( 1.8) ( 1.9) Associativité ( 1.10) Commutativité Module d un vecteur (longueur ou amplitude ou norme) ( 1.12) Vecteur unitaire le long d un vecteur Un vecteur unitaire porté par un vecteur est un vecteur de module égal à l unité, mais de même direction que. Il est donné par : Produit scalaire de deux vecteurs Le produit scalaire est une quantité scalaire égale au produit des modules de et et le cosinus du petit angle entre et (avec 0 )....cos ( 1.14). se lit "A scalaire B" ou "A point B". ( 1.13)... cos = A fois «la projection de sur»... cos = fois «la projection de sur» si (C à d ) alors. 0 Le produit scalaire est commutatif: Figure 1.4. Produit scalaire de 2 vecteurs.. ( 1.15) LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.2

3 Il est également distributif par rapport à l'addition ou la soustraction de vecteurs... ( 1.16) En utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs.... ( 1.17) en particulier :. ( 1.18) Le produit scalaire est commutatif:. ( 1.19) Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un vecteur sin (1.20) dont le module est la direction est normale au plan formé par et Le sens obtenu par la règles de «la main droite» ou du «tire bouchon». On lit : "A vectoriel B" ou "A croix B«Le produit vectoriel n est pas commutatif : Figure 1.5. Produit vectoriel ( 1.21) Le produit vectoriel est distributif : ( 1.22) Si, le produit vectoriel est maximal Si 0, le produit vectoriel est nul (cas de deux vecteurs parallèles ou anti parallèles 0 ( 1.23) ; ; ( 1.24) Si on exprime le produit vectoriel en fonction des composantes cartésiennes : et peut s écrire sous forme d'un déterminant de troisième ordre comme suit : ( 1.25) ( 1.26) Le vecteur unitaire est donné par : sin ( 1.27) LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.3

4 Le double produit vectoriel est donné par: ( 1.28) a. Remarque : Il est important de noter que, en général, on a: ( 1.29) Systèmes de coordonnées usuels En électromagnétisme, on fait appel souvent, en plus du système de coordonnées cartésiennes, à d'autres systèmes de référence dont les plus fréquemment utilisés sont les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques Le système de coordonnées cartésiennes Le système de coordonnées cartésiennes comprend trois axes mutuellement perpendiculaires : les axes, et. Un point P de l'espace est repéré par ses coordonnées(x,y,) comprises entre et. Ce point est l'intersection de trois plans, et. On définit les vecteurs unitaires, et portés par les trois axes, et définis par l'équation (1.21):,,,,,, O y O y x (a) x (b) Figure 1.6. Vecteur de position A tout point,,, est associé un vecteur de position dont la grandeur est la distance et le sens celui de O vers P. ( 1.30) Le vecteur joignant les points et, orienté de vers donne la position relative de par rapport à, est donné par : ( 1.31) Le système de coordonnées cylindriques. Dans ce système, tout point peut être défini comme l'intersection de trois surfaces mutuellement perpendiculaires ; une surface cylindrique (.), un plan (.) et un autre plan (.). Donc, le point est défini par ses coordonnées:, et telles que: 0, 02, r est la distance du point à l'axe dans un plan perpendiculaire à l'axe Au point,,, on définit les vecteurs unitaires, et tels que: soit normal à la surface cylindrique. soit normal au plan. soit normal au plan. r,, y,, (1.32) 0 Le sens de ces trois vecteurs unitaires est celui des coordonnées croissantes x Figure 1.7. Coordonnées cylindriques. LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.4

5 Le système de coordonnées sphériques Dans ce système, tout point est défini comme l'intersection de trois surfaces mutuellement perpendiculaires: une surface sphérique (. ); une surface conique (.) et un plan (.) Donc, le point est défini par ses coordonnées:,, ; telles que 0 ; 0 02, Au point,,, on définit les vecteurs unitaires, et tels que: soit normal à la surface cylindrique. soit normal au plan. soit normal au plan., ; 0 (1.33) Figure 1.8. Système de coordonnées sphériques REMARQUE 1. L ordre de coordonnées est important et doit être soigneusement respecté. L angle représentant le même angle à la fois dans le système cylindrique et dans le système sphérique. 2. Tout vecteur peut être décomposé en trois vecteurs, respectivement parallèles aux trois vecteurs unitaires, dans chacun de ces trois systèmes de coordonnées : Cartésien : Cylindrique : Sphérique : Changement de coordonnées La conversion des coordonnées cylindriques ou sphériques d un point est en coordonnées cartésiennes peut se faire par projection dans chaque cas du vecteur de position sur les trois axes Ox, Oy et O. a. Cartésiennes en cylindriques La conversion des coordonnées cylindriques ou sphériques d'un point est en coordonnées cartésiennes peut se faire par projection dans chaque cas du vecteur de position sur les trois axes, et b. Cartésiennes en cylindriques D'après la Erreur! Source du renvoi introuvable.(voir TD) : (1.34) c. Cartésiennes en sphériques D'après la Figure 1.8(voir TD) LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.5

6 (1.35) 1.3. Analyse vectorielle Champ scalaire On appelle ainsi toute fonction scalaire,, associée à tout point de l'espace repéré par ses coordonnées,,. La valeur de ce champ dépend évidemment des variables,,. EXEMPLE : la température, la pression ou la masse volumique de l'air dans l'atmosphère. le potentiel électrique Champ vectoriel On définit ainsi toute fonction vectorielle,, associée à tout de point,, et définie par la donnée de trois champs scalaires:,,,,,,,, (1.36) EXEMPLE : le champ électrique et champ magnétique sont des champs vectoriels Les intégrales vectorielles La circulation d un vecteur le long d une ligne Considérons un champ vectoriel et une ligne représentant un parcours quelconque dans l'espace le long d'une courbe, et limitée aux points et (Figure 1.9). Figure 1.9. Circulation d un vecteur le long d une ligne Si la courbe est fermée, on écrit :. ( 1.37) Si.. 0, on dit que le champ vectoriel est conservatif. ( 1.38) Le flux d'un vecteur à travers une surface Considérons un champ vectoriel et une surface quelconque. Soient un élément infinitésimal de surface et le vecteur normal à. On définit le flux du champ vectoriel à travers la surface par :.. Si la surface est fermée, c'est à dire si elle délimite un volume fini, on écrit : puisque ( 1.39). ( 1.40) Différentielles vectorielles Divergence La divergence en point du champ de vecteurs,, est définie par : lim ( 1.41) Cette grandeur est une quantité scalaire. L intégration se fait ici sur la surface d un volume infinitésimale qui entoure le point et tend vers éro. L intégration. est appelée circulation de A quand la divergence d un champ de vecteurs n est pas nulle. Si 0 : la région contient des points singuliers Si 0 : la région contient des points sources Si 0 : la région contient des points de convergence. LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.6

7 a. Divergence en coordonnées cartésiennes Considérons le parallélépipède (cube) de cotés, et, parallèles aux axes, et respectivement (Figure 1.10). Le champ de vecteurs est alors pris au point P, sommet du cube correspondant aux plus petites valeurs des coordonnées, et. Δ P Δ Δ Figure Divergence en coordonnées cartésiennes Pour calculer. pour le cube, il faut intégrer sur les six faces. Sur chacune de ces faces, est dirigé vers l'extérieur ; puisque les faces sont perpendiculaires aux axes, une seule composante de intervient dans le calcul relatif à deux faces parallèles. 1 Comme les faces sont petites, on peut écrire : x. de sorte qu au total pour les deux faces, on obtienne :.. Δ. Δ (1.42) Δ. Δ. Δ Δ. Δ. Δ (1.43).. Δ. Δ. Δ (1.44) On applique le même procédé aux deux autres paires de faces, et on fait la somme des résultats :... (1.45) avec :Δ Δ. Δ. Δ En appliquant la relation (1.41) on obtient, en coordonnées cartésiennes, l expression de la divergence : On introduit l opérateur «Nabla» ou del qui est vecteur défini, en coordonnées cartésiennes, par : appliqué à un vecteur s'écrit comme suit : ainsi la divergence est donnée par :. (1.46) (1.47)..... (1.49) ATTENTION : L opérateur Nabla n est défini qu en coordonnées cartésiennes (1.48) b. Divergence en coordonnées cylindriques : 1 1 (1.50) LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.7

8 c. Divergence en coordonnées sphériques : (1.51) Gradient d'un champ scalaire a. Gradient d'un champ scalaire en coordonnées cartésiennes On considère un champ scalaire représenté par une fonction scalaire,,. Il s'agit de savoir comment varie la fonction f lorsque les coordonnées d'un point P quelconque de coordonnées,, deviennent,, (Figure 1.11),,,, Figure Gradient de la fonction scalaire f Le vecteur représentant le déplacement infinitésimal du point est : La variation de de à est donnée par : En introduisant l opérateur nabla, on a : On en déduit :... (1.52) (1.53)... (1.54) (1.55) Le champ de vecteurs, noté, est appelé le gradient de la fonction scalaire. la direction de correspond à un maximum d accroissement de la fonction. b. Gradient d'un champ scalaire en en coordonnées cylindriques,, 1 (1.56) c. Gradient d'un champ scalaire en en coordonnées sphériques,, 1 1 (1.57) Rotationnel d'un champ vectoriel Le rotationnel d'un champ vectoriel est un autre champ de vecteurs. On considère un point sur une surface limitée par une ligne fermée C. on choisit un sens d'orientation pour. étant perpendiculaire et est orienté suivant la règle de la main droite (Erreur! Source du renvoi introuvable.). Δ Figure Rotationnel d'un champ vectoriel LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.8

9 La composante du rotationnel de suivant est définie par : (1.58) a. dans les systèmes de coordonnées Déterminons l'expression de en coordonnées cartésiennes pour cela, considérons une surface rectangulaire de côtés Δ, Δparallèles aux axes y et. Si au coin No. 1 de Δexiste un champ vectoriel. On choisit le sens du parcours le sens inverse des aiguilles d'une montre de sorte que. (1.59) (1.60) Soit (1.62) De la même manière, on peut déterminer les composantes et. D'où alors, le en coordonnées cartésiennes : (1.63) ce qui peut se mettre sous d'un déterminant d'ordre 3 : Les termes de la deuxième ligne sont les composantes de, donc : (1.61) (1.64) (1.65) b. en coordonnées cylindriques 1 c. en coordonnées sphériques d. Propriétés du rotationnel La divergence du rotationnel est Nulle pour n'importe quelle fonction vectorielle : (1.66) 1 (1.67) 0 (1.68) Le rotationnel d'un gradient est Nul pour n'importe quelle fonction scalaire : 0 (1.69) (1.70) (1.71) Un champ vectoriel est dit irrotationnel si 0 (1.72) LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.9

10 1.4. Notion d angle solide Soit une surface fermée entourant un point O et soit un point sur cette surface repéré par un vecteur de position par rapport à O. La quantité est la projection de l élément de surface sur un plan perpendiculaire à (Figure 1.13). Appelons cette surface projetée : (1.73) On définit l'angle solide l'angle dans l'espace sous lequel le point O "voit" la surface ds'. Il est donné par le rapport : Ω (1.74) L'angle solide total sous lequel le point voit tout la surface fermée S est : Ω Ω (1.75) ds ds' Surface fermée R' O Sphère ΩΩ Figure Angle solide Considérons une sphère de centre O et de rayon (la sphère est située entièrement à l'intérieur de S). puisque et 4 (surface de la sphère) Ω 4 (1.76) Donc quelle que soit la forme de la surface fermée S, l'angle sous lequel un point O voit cette surface est égale à 4. Si le point O est à l'extérieur de la surface. Celle ci peut être divisée en deux parties S 1 et S 2, vue du point O sous le même angle solide (fig.1.14). Cependant dans le cas de S 1, le vecteur unitaire normal à S pointe vers la moitié de l'espace où se trouve O. alors que dans le cas de S 2, il pointe vers l'autre moitié (Figure 1.14). Le vecteur est donc positif dans un cas et négatif dans l'autre de sorte que : l'angle solide sous lequel un point extérieur voit une surface fermée est donc nul Ω 0. Ω 0 (1.77) S 1 S 2 O Figure Angle solide cas où le point O est à l'extérieur de la surface LET54/Chap. 1. / Pr. Ahmed GHERBI / Département d Electrotechnique Faculté de Technologie U.F.A. Sétif 1 Page 1.10