SUR QUELQUES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET p-adiques DE GL 2 (Q p ) I. par. Christophe Breuil

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1 SUR QUELQUES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL 2 (Q ) I ar Christohe Breuil Résumé. Soit un nombre remier et F un cors local comlet de cors résiduel fini de caractéristique. En 993, Barthel et Livné ont montré ([], [2]) l existence de rerésentations d un tye nouveau de GL 2 (F ) sur F qu ils ont batisées suersingulières et sur lesquelles on ne sait resque rien. Dans cet article, on détermine toutes les rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) avec leurs entrelacements. Cela achève la classification des rerésentations lisses irréductibles de GL 2 (Q ) sur F avec caractère central et met en évidence une bijection naturelle entre les classes d isomorhisme de rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) et les classes d isomorhisme de rerésentations irréductibles de Gal(Q /Q ) de dimension 2 sur F. Table des matières. Introduction Préliminaires Invariants sous le ro--iwahori Preuve des résultats rinciaux Références Introduction Soit un nombre remier, F un cors local comlet our une valuation discrète de cors résiduel fini de caractéristique et F une clôture séarable de F. Il est Mots clefs. Rerésentation suersingulière, entrelacement. Je remercie Alain Genestier our de nombreuses discussions durant la gestation de cet article.

2 2 C. BREUIL maintenant connu que, our l, il existe une bijection naturelle entre les classes d isomorhisme de rerésentations lisses suercusidales de GL n (F ) sur F l et les classes d isomorhisme de rerésentations irréductibles de Gal(F /F ) de dimension n sur F l ([8]). On eut même étendre cette corresondance de façon à inclure les rerésentations semi-simles de Gal(F /F ) de dimension n ([8]). L étae suivante consiste à regarder le cas l = et, comme de sérieuses comlications sont attendues, à se limiter dans un remier tems à GL 2 et aux rerésentations galoisiennes de dimension 2. La classification des rerésentations semi-simles de dimension 2 de Gal(F /F ) sur F à artir des caractères fondamentaux de Serre ([7]) n est as difficile. Il y a quelques années, Barthel et Livné se sont attelés à la tâche de déterminer toutes les rerésentations lisses irréductibles avec caractère central de GL 2 (F ) sur F. Outre les caractères (= les rerésentations de dimension ), ils ont trouvé des séries rinciales et des séries séciales qu ils ont comlètement étudiées, et des rerésentations d un tye nouveau qu ils ont aelées suersingulières et laissées de côté arès avoir démontré qu elles étaient toutes quotients d induites comactes quotientées ar l image d un endomorhisme T ([2]) et que leur duale lisse était nulle (résultat non ublié de Livné). Le but de cet article est de faire l étude comlète des rerésentations suersingulières dans le cas articulier, mais imortant, où F = Q. Contrairement à la classification des séries rinciales ou séciales, celle des rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) met alors clairement en évidence une corresondance naturelle entre ces rerésentations et les rerésentations irréductibles de Gal(Q /Q ) de dimension 2 sur F. Soit Z le centre de GL 2 (Q ), r un entier comris entre 0 et et Sym r F 2 la rerésentation naturelle de GL 2 (Z ) (agissant via GL 2 (F )) qu on étend à GL 2 (Z )Z en envoyant sur l identité. On note : ind GL 2(Q ) GL 2 (Z )Z Symr F 2 le F -esace vectoriel des fonctions f : GL 2 (Q ) Sym r F 2 à suort comact modulo Z telles que f(kg) = Sym r (k) ( f(g) ) (g GL 2 (Q ), k GL 2 (Z )Z) muni de l action à gauche usuelle de GL 2 (Q ). On eut définir sur cet esace un certain endomorhisme GL 2 (Q )-équivariant injectif T (voir 2.6) et considérer, our λ F et χ : Q F un caractère lisse, les divers quotients : π(r, λ, χ) = [ (ind GL 2 (Q ) GL 2 (Z )Z Symr F 2 ) ] /(T λ) (χ dét) qui sont lisses et de dimension infinie. Dans [] et [2], Barthel et Livné ont comlètement étudié π(r, λ, χ) lorsque λ 0. On regarde ici le cas λ = 0.

3 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 3 Théorème. (cf. corollaires 4.. et 4..4). Pour r {0,..., }, les rerésentations : ( ind GL 2 (Q ) GL 2 (Z )Z Symr F 2 ) / sont irréductibles. Il s ensuit d arès [] et [2] que les rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) sont exactement les rerésentations π(r, 0, χ) et que l on a : Corollaire.2. Les rerésentations lisses irréductibles de GL 2 (Q ) sur F ayant un caractère central sont les rerésentations suivantes : (i) les χ dét où χ : Q F est un caractère lisse, (ii) les S (χ dét) où χ est comme en (i) et S la rerésentation séciale définie dans [], (iii) les π(r, λ, χ) où χ est comme en (i), r {0,..., }, λ F \ {, }, et r {,, 2}, λ {, +}. Soit ω le caractère cyclotomique modulo vu comme caractère de Q via l isomorhisme de récirocité (normalisé our que les uniformisantes corresondent aux Frobenius géométriques), et µ l unique caractère quadratique non ramifié de Q. Contrairement à ce qui se asse lorsque λ 0, les π(r, 0, χ) admettent entre elles des entrelacements non triviaux : Théorème.3 (cf. corollaire 4..5). Les équivalences entre les rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) sont les suivantes (r {0,..., } et χ : Q F ) : π(r, 0, χ) π(r, 0, χµ ) π(r, 0, χ) π( r, 0, χω r ) π(r, 0, χ) π( r, 0, χω r µ ). Soit ω 2 : I F le caractère fondamental de Serre de niveau 2 où I est le sous-groue d inertie de Gal(Q /Q ) et notons ind(ω2) s our s {0,..., } l unique rerésentation (irréductible) de Gal(Q /Q ) sur F de déterminant ω s et telle que ind(ω2) s I ω2 s ω s 2. On sait que, our r {0,..., } et χ : Q F, les rerésentations ρ(r, χ) = (ind(ω2 r+ )) χ ont our déterminant ω r+ χ 2 et éuisent les rerésentations irréductibles de G de dimension 2 sur F avec les isomorhismes : On en déduit : ρ(r, χ) ρ(r, χµ ) ρ(r, χ) ρ( r, χω r ) ρ(r, χ) ρ( r, χω r µ ).

4 4 C. BREUIL Corollaire.4. Il existe une (unique) bijection entre les classes d isomorhisme de rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) et les classes d isomorhisme de rerésentations irréductibles de Gal(Q /Q ) de dimension 2 sur F telle que π(r, 0, χ) corresonde à ρ(r, χ) our tout r {0,..., } et tout caractère χ. Le résultat clef dont on déduit les deux théorèmes récédents est le calcul des invariants de π(r, 0, χ) sous le ro--sous-groue du sous-groue de GL 2 (Z ) des matrices triangulaires suérieures modulo (théorème et corollaire 4..4). Il est obtenu ar une récurrence descendante sur le diamètre dans l arbre de SL 2 (Q ) du suort modulo T des fonctions f relevant de tels invariants. Il utilise de façon essentielle le fait qu on travaille avec Q et il est faux sinon (il semble qu il y ait lus d invariants en général, cf. remarque finale). Du cou, on eut se demander si les analogues our F Q des rerésentations π(r, 0, χ) ne sont as réductibles lorsque F Q (il faudrait alors étudier leur(s) quotient(s) irréductible(s)). Cela dit, on eut quand même s attendre à ce que le corollaire.4 reste toujours vrai, i.e. conjecturer l existence, our tout cors F comme au début, d une bijection naturelle entre ces quotients irréductibles (i.e. entre les classes d isomorhisme de rerésentations suersingulières de GL 2 (F )) et les classes d isomorhisme de rerésentations irréductibles de Gal(F /F ) de dimension 2 sur F. L article est organisé comme suit : la section 2 raelle les notations, formules et résultats nécessaires à la suite, la section 3 contient deux roositions techniques mais élémentaires qui ermettent de déduire le calcul des invariants de π(r, 0, χ) sous le ro--iwahori et la dernière section contient les reuves des résultats de cette introduction. Signalons qu on eut étendre la corresondance de l énoncé.4 de manière à inclure les rerésentations semi-simles de dimension 2 de Gal(Q /Q ) sur F (voir la fin de l article). La corresondance qu on obtient sera utilisée dans [3] our rédire la réduction modulo de certaines rerésentations -adiques de Gal(Q /Q ) de dimension 2 sur Q. 2. Préliminaires 2.. On fixe une clôture algébrique F de F ainsi qu un longement du cors résiduel F de F dans F. On note q = f le cardinal de F, O l anneau des entiers de F, ϖ une uniformisante de O et val la valuation ϖ-adique sur F normalisée ar val(ϖ) =. On note G = GL 2 (F ), K = GL 2 (O), I le sous-groue d Iwahori

5 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 5 de K, I() le ro--sous-groue de I et Z le centre de G. On a donc : { } a b I =, a O ϖc d, d O, b O, c O { } a b I() = I, a d (ϖ) ϖc d { } a 0 Z =, a F 0 a. 0 On note enfin α =, β = et w =. On raelle que β 0 ϖ ϖ 0 0 normalise I et I() et que l on a les décomositions de Cartan : G = ( ) ( ) () KZα n KZ = IZα n KZ IZβα n KZ. n N n N 2.2. Soit A l arbre de SL 2 (F ) ([5]) : ses sommets sont en bijection équivariante avec les classes G/KZ our l action à gauche de G. On ose I 0 = {0} et, si n Z >0, I n = {[λ 0 ] + ϖ[λ ] ϖ n [λ n ], λ i F} O où [ ] désigne le rerésentant multilicatif. Pour n N et λ I n, on définit : ϖ gn,λ 0 n λ = 0 gn,λ = ϖλ ϖ n+. On a g 0 0,0 = Id, g 0,0 = α et : (2) βgn,λ 0 = gn,λw. On a également IZα n KZ = gn,λ 0 KZ et IZβα n KZ = gn,λ KZ. D arès λ I n λ I n (), les gn,λ 0 et g n,λ forment donc un système de rerésentants de G/KZ : ( ) ( ) G = gn,λkz 0 gn,λkz. n,λ n,λ Pour n N, on ose : n N Sn 0 = IZα n KZ Sn = IZβα n KZ Bn 0 = Sm 0 Bn = m n Sm m n S n = S 0 n S n B n = B 0 n B n. En articulier S 0 = KZ αkz. On eut voir que S 0 n S n (res. B 0 n B n ) est l ensemble des sommets de A de distance n (res. inférieure ou égale à n) de KZ our la distance naturelle sur A (cf. [5]). De même S n S 0 n (res. B n B 0 n ) est l ensemble des sommets de A de distance n (res. inférieure ou égale à n) de αkz.

6 6 C. BREUIL 2.3. Soit σ une rerésentation lisse de KZ sur un F -esace vectoriel V σ de dimension finie. On note : ind G KZσ le F -esace vectoriel des fonctions f de G dans V σ à suort comact modulo Z telles que f(kg) = σ(k) ( f(g) ) (g G, k KZ) muni de l action à gauche de G : (gf)(g ) = f(g g). Ces fonctions sont automatiquement (uniformément) localement constantes. Comme dans [2], our g G et v V σ on note [g, v] l élément de ind G KZσ défini comme suit : [g, v](g ) = σ(g g) v si g KZg [g, v](g ) = 0 si g / KZg. On a g([g, v]) = [gg, v] et [gk, v] = [g, σ(k)v] si k KZ. De lus, tout élément de ind G KZσ s écrit comme une somme finie i [g i, v i ] où g i G et v i V σ ([2]). D arès le 2.2, on eut toujours rendre les g i distincts dans {g 0 n,λ, n N, λ I n } {g n,λ, n N, λ I n}. L écriture i [g i, v i ] récédente est alors unique. Soit f ind G KZσ, on aelle suort de f l ensemble des sommets gkz A tels que f(g ) 0 (c est indéendant du rerésentant g choisi). On écrit f S n (res. B n, res. S 0 n, res. S n + S n, etc.) si le suort de f est contenu dans S n (res. B n, res. S 0 n, res. S n Sn, etc.). Dans ce cas, on eut écrire f = [g i, v i ] avec v i = 0 si g i KZ / S n (res. B n, res. S 0 n, res. S n Sn, etc.) L algèbre de Hecke relativement à KZ et σ est ar définition End G (ind G KZσ). Par récirocité de Frobenius, elle s identifie à l algèbre de convolution des fonctions ϕ : G End F (V σ ) à suort comact modulo Z telles que : ϕ(k gk 2 ) = σ(k ) ϕ(g) σ(k 2 ) our k, k 2 KZ et g G ([2]). Soit ϕ une telle fonction, T l endomorhisme corresondant de ind G KZσ, g G, v V σ et [g, v] l élément défini au 2.3. Alors on a la formule (cf. [2]) : (3) T ([g, v]) = [gg, ϕ(g )(v)]. g KZ G/KZ On écrit T (S n ) (res. T (S n ) + T (S n ), etc.) our désigner le sous-f -esace vectoriel des fonctions T (f) avec f à suort dans S n (res. S n Sn, etc.) On suose maintenant que le suort ( de ϕ) dans G est KZα KZ = KZαKZ et on ose, our λ O, w λ = K. On a KZαKZ = λ ( ) αkz g,λ 0 KZ (cf. 2.2) et (g 0,λ ) = wα w λ (λ I ). On déduit alors λ I

7 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 7 de la formule (3) : (4) T ([g, v]) = λ I [ gg 0,λ, σ(w)ϕ(α )σ(w λ )(v) ] + [gα, ϕ(α )(v)]. Pour 0 m n, soit [ ] m : I n I m les alications troncatures qui envoient n i=0 ϖi [λ i ] sur m i=0 ϖi [λ i ] si m et sur 0 si m = 0. Notons que, si λ I n et λ I n, alors λ + ϖ n λ I n+n et λ + ϖ n λ I n+n. Dans le système de rerésentants du 2.2, la formule (4) s exlicite comme suit : Si n et µ I n : (5) (6) T ([g 0 n,µ, v]) = λ I [g 0 n+,µ+ϖ n λ, σ(w)ϕ(α )σ(w λ )(v)] T ([g n,µ, v]) = λ I [g n+,µ+ϖ n λ, ϕ(α )σ(w λ w)(v)] + [gn,[µ] 0 n, σ(ww [µ] n µ )ϕ(α )(v)] ϖ n Si n = 0 : (7) + [gn,[µ] n, σ(w [µ] n µ )ϕ(α )σ(w)(v)]. ϖ n T ([Id, v]) = λ I [g,λ, σ(w)ϕ(α )σ(w λ )(v)] + [α, ϕ(α )(v)] (8) T ([α, v]) = λ I [g,λ, ϕ(α )σ(w λ w)(v)] + [Id, σ(w)ϕ(α )σ(w)(v)]. Bien sûr on asse des formules our g 0 n,µ à celles our g n,µ en aliquant β des deux côtés du signe = uis en utilisant la formule (2) et le fait que w 2 = Id On suose maintenant que σ est l une des rerésentations σ r suivantes : r = (r,..., r f ) {0,..., } f et σ r est l unique rerésentation de KZ dont l esace sous-jacent est : V σ r = ( Sym r F 2 ( ) F Sym r 2 F 2 ( ) F F Sym r f F 2 ) ϖ 0 a b telle que σ r = Id et, si K : ( a σ r c 0 ϖ c d ) ( b a b a b (v d v f ) = v c d c d ) v 2 ( a q b q c q d q ) v f où K agit sur Sym r j F 2 via l action naturelle de GL 2 (F) sur F 2 (noter que la définition des σ r fait intervenir le choix de ϖ). A torsion rès ar les caractères, les σ r donnent toutes les rerésentations lisses irréductibles de dimension finie de KZ sur F ([2]). On identifiera dans la suite Sym r j F 2 avec le F -esace vectoriel

8 8 C. BREUIL r j i=0 F x r j i j yj i des olynômes homogènes de degré r j en les variables x j et y j avec l action à gauche de K donnée ar : a b x r j i c d j yj i = (ax j + cy j ) rj i (bx j + dy j ) i D arès [2], il existe une unique fonction ϕ : G End F (V σ r ) à suort dans KZα KZ telle que ϕ(k α k 2 ) = σ r (k ) ϕ(α ) σ r (k 2 ) (k, k 2 KZ, g G) et ϕ(α ) = U r U rf où U rj End F (Sym r j F 2 ) est défini ar U rj (x r j i j yj) i = 0 si i r j et U rj (y r j j ) = yr j j. On note T l oérateur de Hecke corresondant (cf. 2.5) et, our λ F, indg KZ σ r la rerésentation conoyau du (T λ) morhisme G-équivariant injectif : ind G KZσ r T λ ind G KZσ r. On note aussi, comme dans [2], 0 = (0,..., 0), = (,..., ) et µ λ : F F le caractère non ramifié µ λ (x) = λ val(x) (λ F ). Le théorème suivant résume une artie des résultats de [] et [2] : Théorème Soit r {0,..., } f et χ : F F un caractère lisse. (i) Tout quotient irréductible de (ind G KZσ r ) (χ dét) est un quotient (irréductible) de indg KZ σ r (T λ) (χ dét) our un certain λ F. (ii) Si λ F, alors indg KZ σ r (T λ) (χ dét) est irréductible si et seulement si ( r, λ) / {( 0, ±), (, ±)}. (iii) Si ( r, λ) {( 0, ±), (, ±)}, alors indg KZ σ r (T λ) (χ dét) est de longueur 2, de semi-simlifiée isomorhe à (χµ λ dét) ( S (χµ λ dét) ) où S est une rerésentation lisse irréductible de G aelée rerésentation séciale. (iv) Les seules équivalences entre les rerésentations irréductibles en (ii) et (iii) sont les suivantes : ( r, λ) / {( 0, ±), (, ±)} (avec λ F ) et : ind G KZσ r (T λ) (χ dét) indg KZσ r (T + λ) (χµ dét) ind G KZσ (T λ) (χ dét) indg KZσ 0 (T λ) (χ dét). (v) Il n y a as d équivalences entre les rerésentations irréductibles en (ii) et (iii) et les quotients irréductibles de indg KZ σ r (χ dét) our toutes valeurs de r et χ.

9 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 9 Définition ([2]). (i) On aelle séries séciales les rerésentations : S (χ dét). (ii) On aelle séries rinciales les rerésentations : ind G KZσ r (T λ) (χ dét) our λ F et ( r, λ) / {( 0, ±), (, ±)}. (iii) On aelle rerésentations suersingulières les quotients irréductibles de : ind G KZσ r (χ dét) our r {0,..., } f. Dans [2], il est également démontré que toute rerésentation lisse irréductible de G sur F admettant un caractère central est soit un caractère, soit une série séciale, soit une série rinciale, soit une rerésentation suersingulière. En dehors du cas F = Q qui fait l objet de cet article, rien n est connu (outre leur existence [2]) sur les quotients irréductibles de indg KZ σ r. 3. Invariants sous le ro--iwahori On suose maintenant F = Q et ϖ =. On fixe r {0,..., } et on note σ r au lieu de σ r la rerésentation de KZ définie au 2.6. On identifie V σr = Sym r F 2 à r F x r i y i comme au 2.6. On note également ϕ la fonction i=0 définie au 2.7 et T l oérateur de Hecke associé. Dans la base (x r i y i ) 0 i r, ϕ(α ) est donc donné ar la matrice :

10 0 C. BREUIL 3.. Lemme (9) (0) 3... Soit v = r c i x r i y i Sym r F 2 et λ I, on a : i=0 σ r (w)ϕ(α )σ r (w λ )(v) = ϕ(α )σ r (w λ w)(v) = ( r i=0 c i ( λ) i ) x r ( r c i ( λ) )y r i r. i=0 Démonstration. Calcul. Corollaire Soit v Sym r F 2 tel que σ r (w)ϕ(α )σ r (w λ )(v) = 0 (res. ϕ(α )σ r (w λ w)(v) = 0) our tout λ I, alors v = 0. Démonstration. On utilise 3.. et le fait que, our 0 r, la matrice : r..... r r 2... r r est inversible modulo. On eut aussi dire qu un olynôme de degré qui a zéros est nul. Corollaire La rerésentation indg KZ σr est de dimension infinie. Démonstration. Sinon, il existe N 0 tel que tout f ind G KZσ r est dans B N + T (ind G KZσ r ). Considérant f = [g 0 n,0, y r ] our n > N, on a f T (h) B N our un h ind G KZσ r. Par les formules du 2.5 et le corollaire 3..2, cela entraîne que h doit être à suort dans B n et que les termes de f T(h) à suort dans B n doivent tous être nuls. Un examen des formules (5) et (9) montre que cela est imossible. Remarque Dans [2], il est démontré que ind G KZσ r, en tant que F [T ]- module, est libre de rang infini, d où en articulier le corollaire ci-dessus. Lemme Soit n N, n, µ I n, c(x) F [X] de degré r et osons S 0 = S et S = S0, 0 alors : λ I c(λ) [ g 0 n,µ+ n λ, xr] T (S 0 n ) + S 0 n 2 λ I c(λ) [ g n,µ+ n λ, yr] T (S n ) + S n 2.

11 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I Démonstration. La deuxième assertion se déduit de la remière en aliquant β. Si c(x) = r i=0 c ix i, alors, on vérifie à artir des formules (5), (7) et (9) que : d où le résultat. λ I [ g 0 n,µ+ n λ, c(λ)xr] T ([ g 0 n,µ, r c i ( ) i x r i y i]) Sn 2 0 Lemme Soit f : F F une alication quelconque. Alors il existe un unique olynôme c(x) F [X] de degré inférieur ou égal à tel que c(λ) = f(λ) our tout λ F. Démonstration. Il s agit de trouver (a 0,..., a ) F tel que : i=0 a i λ i = f(λ) λ F. i=0 L existence et l unicité découlent du fait que la matrice : ( ) 2... ( ) est inversible modulo. Lemme Soit i {0,..., }. On a : λ F λ i = 0 si i λ F λ i = si i =. Démonstration. Triviale. Lemme Soit (λ 0, λ, λ 2 ) F 3, alors : [λ 0 ] + [λ ] + 2 [λ 2 ] + [λ 0 + ] + [λ + λ 0 + (λ 0+) ] + 2 [λ 2 + P λ0 (λ )] ( 3 ) où P λ0 (X) est un olynôme de degré et de coefficient dominant λ 0 + (λ 0+). Démonstration. Calcul sur les vecteurs de Witt W (F ) = Z. Voir [6] ar exemle.

12 2 C. BREUIL 3.2. On définit X0 0 = [Id, x r ], X = [α, y r ] et, si n Z >0 : Xn 0 = λ [ r+ g 0 n,µ+ n λ, xr] λ I µ I n X n = µ I n λ I λ r+ [ g n,µ+ n λ, yr]. On a Xn 0 Sn, 0 Xn Sn et βxn 0 = Xn our tout n N. Si v Sym r F 2 a b a b, on écrit v our σ c d r (v). c d a b c d KZ et Proosition Suosons r 2 et convenons que S 0 = S0, S = S0 0 et S = S 0. Soit n Z >0 et f n un élément de ind G KZσ r tel que f n S n et gf n f n T (ind G KZσ r ) + B n g I(). On a alors : (i) gf n f n T (S n ) + S n 2 g I() (ii) il existe (c 0, c ) F 2 tels que f n c 0 Xn 0 c Xn T (S n ) + S n 2. Démonstration. (i) Comme gf n f n S n our g I(), en regardant les suorts des fonctions et d arès le corollaire 3..2 et les formules du 2.5, on voit qu on doit avoir gf n f n T (B n ) + B n our tout g I(). Comme T (B n 2 ) B n si n 2, on a gf n f n T (S n ) + B n. En regardant encore les suorts, cela entraîne gf n f n T (S n ) + S n 2. (ii) On écrit f n = fn 0 + fn où fn 0 est à suort dans Sn 0 et fn à suort dans Sn. Comme I() réserve Sn 0 et Sn, T (Sn ) 0 Sn 0 Sn 2 0 et T (Sn ) Sn Sn 2, on a gfn 0 fn 0 T (Sn ) 0 + Sn 2 0 et gfn fn T (Sn ) + Sn 2 our tout g I(). Il suffit donc de montrer fn 0 c 0 Xn 0 T (Sn ) 0 + Sn 2 0 our un c 0 F, l égalité analogue our fn s en déduisant ar le même raisonnement aliqué à β fn en remarquant que β normalise I(). On écrit donc fn 0 = λ I n [gn,λ 0, v λ] où v λ Sym r F 2. Un calcul donne (en utilisant 3..8) : n [ ] [g n,λ, 0 v λ ] [gn,λ, 0 v λ ] = gn,λ, 0 v λ v λ ) n [ ( λ [g n,λ, 0 v λ ] [gn,λ 0 +, v λ+ ] = gn,λ 0 n + (λ n +) ] +, v λ v λ+ où λ + = [λ 0 ] + [λ ] n [λ n + ] si λ = [λ 0 ] + [λ ] n [λ n ] (λ i F ). D arès 3.. et l hyothèse, on doit donc avoir our tout λ I n : () v λ v λ F x r ) (2) ( λ n + (λ n +) v λ v λ+ F x r.

13 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 3 L égalité () entraîne v λ F x r + F x r y et, en notant v λ = c λ x r + d λ x r y, l égalité (2) entraîne : λ (c ) n + (λ n + ) λ c λ+ + d λ x r + (d λ d λ+ )x r y F x r. Donc d λ d λ+ = 0 et d λ ne déend que de [λ] n et as de λ n. Fixons [λ] n et notons d λ = d [λ]n et c λ = c [λ]n (λ n ) que l on voit comme un olynôme en λ n de degré ar le lemme Les formules (5), (9) et le calcul récédent montrent que : c [λ]n (λ n ) c [λ]n (λ n + ) + d [λ]n λ n + (λ n + ) est un olynôme en λ n de degré r. Comme c [λ]n (λ n ) c [λ]n (λ n + ) est λ un olynôme en λ n de degré 2 et comme r 2, d n + (λ n +) [λ]n doit être aussi de degré 2, ce qui oblige d [λ]n = 0. Donc c [λ]n (λ n ) c [λ]n (λ n +) doit être de degré r, ce qui force c [λ]n (λ n ) de degré r +. Changeant de notations, on eut donc écrire : fn 0 = [g 0 n,µ+ n λ, c µ(λ)x r ] λ I µ I n avec c µ (X) F [X] de degré r +. Modulo T (Sn ) 0 + Sn 2, 0 on eut suoser c µ (λ) = c µ λ r+ar le lemme 3..5 où c µ F ne déend que de µ. Donc : fn 0 c µ λ r+ [g 0 n,µ+ n λ, xr ] T (Sn ) 0 + Sn 2 0 µ I n λ I et on eut remlacer fn 0 ar la double somme. ( Il reste ) à montrer que c µ est µ indéendant de µ. Soit µ I n, les termes dans f n 0 fn 0 à suort dans les classes KZ(g 0 n,µ+ n λ ) our λ I sont : (c 0 c µ ) λ I λ r+ [g 0 n,µ+ n λ, xr ]. µ Mais la condition f n 0 fn 0 T (Sn )+S 0 n 2 0 entraîne (formules (5) et (9)) que (c 0 c µ )λ r+ est de degré r en λ, ce qui force c 0 = c µ. Comme ceci doit être vrai our tout µ I n, on voit que la constante c 0 = c µ convient. Remarque Pour r =, il y a un énoncé analogue à 3.2. à condition de remlacer X 0 n (res. X n) ar λ I n [g 0 n,λ, x 2 y] (res. λ I n [g n,λ, xy 2 ]). Nous n en aurons as besoin. Proosition Suosons r 2 et soit f ind G KZσ r tel que gf f T (ind G KZσ r ) our tout g I(), alors f T (ind G KZσ r ) + B.

14 4 C. BREUIL Démonstration. Soit n N maximal tel que S n Su(f). On suose n 2 sinon c est fini et on traite d abord le cas n 3. On écrit f = n i=0 f i où f i est à suort dans S i. On a : g(f n ) f n + g(f n ) f n + g(f n 2 ) f n 2 T (B n ) + B n 3. En examinant les suorts, on voit que g(f n ) f n T (B n )+B n et g(f n ) f n T (B n 2 ) + B n 2 our tout g I(). Par le (ii) de la roosition 3.2. aliqué à f n, quitte à modifier f n 2, on eut suoser f n = c 0 X 0 n + c X n. Par le (i) de la roosition 3.2. aliqué à f n, on a g(f n ) f n T (S n 2 ) + S n 3, d où : (3) g(f n ) f n + g(f n 2 ) f n 2 T (B n ) + B n 3. Soit λ = [λ 0 ] + [λ ] n [λ n ] I n, un calcul donne : n 2 g n,λ 0 = g 0 n, λ où Z et λ [ ] = [λ 0 ]+[λ ]+...+ n 2 [λ n 2 +]+ n λ n + λ n 2 + (λ n 2+) (cf. lemme 3..8). D où, en changeant de notation : n 2 X n 0 Xn 0 = c µ (λ)[g 0 n,µ+ n λ, xr ] µ I n λ I ( ) où c µ (X) = X (µ n 2 ) + µ r+ n 2 X r+ F [X] si µ = [µ 0 ] + [µ ] n 2 [µ n 2 ]. On déduit des formules (5), (9) et du lemme 3..7 : n 2 X n 0 Xn 0 Y T (Sn ) 0 où : Y = ( ) r (r + ) (µ n 2 ) + µ n 2 [gn 2,[µ] 0 n 2, (µ n 2 x + y) r ] µ I n = ( ) r (r + ) [g 0n 2,µ, ] λ F (λ ) + λ (λx + y) r µ I n 2 = ( ) r (r + ) [ g 0 (4) n 2,µ, y r + x( ) ], µ I n 2 étant un olynôme homogène( en x et) y de degré r (nul si r = 0). On a n 2 donc, en aliquant (3) à g = : c 0 n 2 Y + f n 2 f n 2 T (B n ) + B n 3 + Sn.

15 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 5 Un examen des suorts montre (via le corollaire 3..2) qu on a en fait : c 0 n 2 Y + f n 2 f n 2 T (Sn ) + T (B n 3 ) + B n 3 + Sn. Les termes à suort dans les classes KZ(gn 2,µ) 0 (µ I n 2 ) qui aaraissent dans le membre de droite roviennent de T (Sn 3) 0 T (B n 3 ). Les formules (5) et (8) (avec le lemme 3..) montrent qu ils sont somme de [gn 2,µ, 0 v µ ] our des v µ dans F x r. Pour le membre de gauche, les termes à suort dans KZ(g n 2,µ) 0 n 2 rovenant de f n 2 f n 2 sont de la forme : n 2 [g n 2,µ, 0 v µ ] [gn 2,µ, 0 v µ ] = [gn 2,µ, 0 v µ v µ ] our des v µ r i=0f x r i y i. Suosons r, alors v µ v µ r i=0 F x r i y i. Les [gn 2,µ, 0 v µ ] aaraissant dans c 0 Y doivent donc aussi vérifier v µ r i=0 F x r i y ị ) = 0. Suosons r = 0. Un calcul montre qu alors f n 2 f n 2 = 0 uis Y = T ([Id, ]) [α, ] si n = 3 et Y = T ( µ I n 3 [gn 3,µ, ]) si n 4. Ceci ne donne rien sur c 0. On fait alors agir n 3 I(). Un calcul analogue à (4) utilisant les lemmes 3..8 et 3..7 n 3 montre que X n 0 Xn 0 Y T (Sn ) 0 où : Y = (µ n 3 ) + µ n 3 [g 0 n 2,µ, ] = (λ ) + λ [g 0 n 2,µ+ n 3 λ, ] ( La formule (4) force c 0 n 2 et : µ I n 2 µ I n 3 λ I c 0 n 3 Y + f n 2 f n 2 T (Sn ) + T (B n 3 ) + B n 3 + Sn. Ecrivons f n 2 = µ I n 3 λ I c µ (λ)[g 0 n 2,µ+ n 3 λ, ] + f n 2 avec c µ (X) F [X] de degré (lemme 3..6) et fn 2 Sn 2. On obtient donc : + λ +c µ(λ ) c µ(λ))[g 0 n 2,µ+ n 3 λ, ] T (B0 n 3)+B n 3 +Sn+S n 2. (c0 (λ ) µ I n 3 λ I Un examen des suorts et la formule (5) montrent que le olynôme : c 0 (X ) + X + c µ (X ) c µ (X) = c 0 X + P (X), où P (X) est de degré 2, doit être constant. Cela force encore c 0 = 0. Finalement, dans tous les cas on a c 0 = 0 et f = c X n + f n + f n 2 + etc. En aliquant le raisonnement récédent à β f (qui vérifie encore gβ f β f

16 6 C. BREUIL T (ind G KZσ r ) our tout g I() uisque β normalise I()), on obtient de même c = 0, d où f n = 0. Par récurrence descendante sur le suort de f modulo l image de T, on est ainsi ramené au cas n = 2. Comme récédemment, on écrit alors f = f 2 + f + f 0 avec our tout g I() : g(f 2 ) f 2 + g(f ) f + g(f 0 ) f 0 T (B ). Par le (ii) de la roosition 3.2. aliqué à f 2, quitte à modifier ( f 0 on ) eut suoser f 2 = c 0 X2 0 + c X2. Le même calcul que our n 3 donne X 2 0 X2 0 Y T (S) 0 où Y = ( ) r (r+)[id, y r +x( )], étant un olynôme homogène en x et y de degré r (nul si r = 0). On a ainsi : c 0 Y + f f + f 0 f 0 T (S) + T (S 0 ) + S2. Les termes à suort dans la classe KZ qui aaraissent à droite roviennent de T (S0) T (S 0 ) et leur somme est encore de la forme λ[id, x r ] our un λ F. Les termes ( à suort ) dans la classe ( KZ ) qui aaraissent à gauche roviennent de Y et de f 0 f 0. Pour f 0 f 0, leur somme est de la forme [Id, v] avec v r i=0 F x r i y i et le même raisonnement que dans le cas n 3 our r 0 fournit c 0 = 0, uis c = 0 ce ( qui achève ) la reuve dans ce cas. Reste le cas r = 0, mais un calcul montre que [g,λ, ] [g,λ, ] = 0 our tout λ I. Donc f f est à suort dans S. 0 Comme dans ce cas f 0 f 0 = 0, on obtient c 0 Y T (S) + T (S 0 ) + S2 + S 0 avec Y = [Id, ]. Un examen attentif des suorts montre que cela entraîne c 0 = 0, uis c = 0 en remlaçant f ar β f. Ceci achève la reuve. Théorème Suosons r 2 et notons [Id, x r ] (res. [α, y r ]) l image de [Id, x r ] (res. [α, y r ]) dans indg KZ σr. On a : ( ind G ) I() KZσ r = F T (ind G [Id, x r ] F [α, y r ]. KZσ r ) Démonstration. Il est d abord clair que la famille ([Id, x r ], [α, y r ]) est libre sur F (aucune combinaison linéaire de [Id, x r ] et [α, y r ] ne eut être dans l image de T our des questions de suort). Soit f ind G KZσ r tel que gf f T (ind G KZσ r ) our tout g I(). Par la roosition 3.2.3, quitte à modifier f ar un élément dans l image de T, on eut suoser que f est à suort dans B. Par la roosition 3.2., quitte à modifier encore f ar un tel élément, on eut écrire : f = c 0 X + c X + [Id, v 0 ] + [α, v ]

17 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 7 où (c 0, c ) F 2 et (v 0, v ) Vσ 2 r. Un calcul donne en utilisant les formules (7) et (9) : ) X 0 X 0 = ((λ λ I ) r+ λ r+ [g,λ, 0 x r ] ( [ r ( = T Id, ( ) r+ r+ ) ] ) i x r i y i [α, ( ) r+ (r + )y r ]. Par hyothèse, obtient : c 0 [α, ( ) r+ (r + )y r ] + i=0 f f T (S 0 ). Comme [α, v ] [α, v ] = 0, on [ ] c X c X + Id, v 0 v 0 = T (f 0 ) où f 0 = [Id, w 0 ] + [α, w ] S 0 ((w 0, w ) Vσ 2 r ). Comme il n y a as de termes à suort dans les classes KZ(g,λ 0 ) (λ I ) dans le membre de gauche, il n y en a as non lus dans T (f 0 ), ce qui entraîne w 0 = 0 ar la formule (7) (et le corollaire 3..2). Mais comme dans T ([α, w ]) il n y a as de termes à suort dans la classe KZα, on a c 0 [α, ( ) r+ (r + )y r ] = 0 d où c 0 = 0 uisque r 2. Le même raisonnement aliqué à β f donne c = 0. On a donc f = [Id, v 0 ] + [α, v ] et g([id, v 0 ] + [α, v ]) [Id, v 0 ] [α, v ] T (S 0 ) our tout g I(). Cela entraîne facilement g([id, v 0 ]) = [Id, v 0 ] et g([α, v ]) = [α, v ] i.e. v 0 Vσ I() r et σ r (w)(v ) Vσ I() r soit finalement v 0 F x r et v F y r. Remarque Le théorème est encore vrai our r = comme conséquence de l entrelacement entre indg KZ σ 0 et indg KZ σ : voir section suivante Preuve des résultats rinciaux Corollaire 4... Suosons r 2, la rerésentation indg KZ σr est irréductible. Démonstration. Soit V indg KZ σr une sous-g-rerésentation non nulle. Puisque I() est un ro--groue, V I() 0 (cf. [] ar exemle) et ar 3.2.4, il existe (c 0, c ) F 2 \ {(0, 0)} tel que c 0 [Id, x r ] + c [α, y r ] V. Si c 0 = 0 (res. c = 0), alors V = indg KZ σr uisque [α, y r ] (res. [Id, x r ]) engendre ind G KZσ r (car σ r est irréductible). Suosons c 0 0 et c 0. Quitte à renormaliser, on eut rendre

18 8 C. BREUIL c 0 =. Si r 0, soit λ F V soit : tel que λ r. On a [Id, x r ] + λ r c [α, y r ] V [Id, x r ] + c [α, y r ] V 0 ([Id, xr ] + c 0 [λ] [α, y r ] ) d où on déduit [α, y r ] V. Donc on a encore V = indg KZ σr. Si r = 0, our λ I soit g λ K tel que g λ αkz = g,λ 0 KZ. On a : soit : [Id, ] + c [α, ] + λ I g λ ( [Id, ] + c [α, ] ) V ( + )[Id, ] + c ( [α, ] + λ I [g,λ, ]) = [Id, ] + c T ([Id, ]) = [Id, ] V et V est encore tout. Soit ω : Q F le caractère lisse défini ar ω() = et ω(x) = x si x Z (x est la réduction modulo de x). Proosition Soit r {0,..., }. La sous-kz-rerésentation σ r de indg KZ σ r (ω r dét) engendrée ar l image de [α, y r ] est isomorhe à σ r. a b Démonstration. Soit I et λ I c d \ {0}, un calcul donne (dans la rerésentation (ind G KZσ r ) (ω r dét)) : a b [α, y c d r ] = a r d r a b (5) [α, y c d r ] = a r [α, y r ] 0 0 λ λ [α, y r ] = [g 0,λ, y λ r ] = ( λ) r [g,λ, x r ] w[α, y r ] = ( ) r [g,0, 0 x r ]. Comme K = 0 I wi, σ λ I λ r a donc our esace V σ r sous-jacent l image de F [g,λ 0, x r ] F [α, y r ]. Suosons d abord r = 0, il résulte de la λ I formule (7) et des lemmes 3.. et 3..6 que : F [g,λ, 0 x ] T (S0) 0 + F [α, y ] λ I

19 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 9 et V σ 0 est de dimension, engendré ar l image [α, y ] de [α, y ]. Donc σ 0 est un caractère (dét) s our un s {0,..., 2}. Mais comme I agit trivialement sur [α, y ] (cf. formule (5)), on a s = 0 et σ 0 = σ 0. Suosons maintenant r 0 i.e. r 2. Soit f (ind G KZσ r ) (ω r dét) de suort dans S0 0 et non nul. Pour des raisons de suort, on a : f / λ I F [g,λ, x r ] + F [α, y r ] + T (S 0 ). On en déduit V σ r (F [Id, x r ] F [α, y r ]) = F [α, y r ] et donc, d arès 3.2.4, V I() σ = F r [α, y r ]. Soit σ r σ r une sous-k-rerésentation non nulle. On a 0 V I() σ V I() r σ = F r [α, y r ] ce qui entraîne V I() σ = F r [α, y r ], donc σ r σ r uisque F [α, y r ] engendre σ r. La rerésentation σ r est donc irréductible. Soit c( ) F et (c(λ)) λ I F. D arès la formule (7) et les lemmes 3.. et 3..5, on a c( )[α, y r ] + λ I c(λ)[g,λ 0, x r ] T (S 0 ) si et seulement si le olynôme en X associé à (c(λ)) λ Iar le lemme 3..6 est de degré r et a c( ) comme coefficient de X r. Comme l esace des olynômes de F [X] de degré r est de dimension r, on obtient dim(v σ r ) = + ( r) = r+. La classification des rerésentations irréductibles de dimension finie de K sur F ( (voir ) [2]) force alors σ r σ r (dét) s our un a 0 s {0,..., 2}. L action de I sur [α, y r ] montre qu on doit avoir s = 0 i.e. σ r σ r. Corollaire Soit r {0,..., }, il existe un (unique) isomorhisme G-équivariant : ψ r : ind G KZσ r T (ind G KZσ r ) indg KZσ r T (ind G KZσ r ) (ωr dét) tel que ψ r ( [Id, xr ] ) = [α, y r ]. Démonstration. Il résulte de la roosition 4..2 et de la récirocité de Frobenius ([2]) qu envoyer [Id, x r ] sur [α, y r ] induit un morhisme G-équivariant surjectif ψ r : ind G KZσ r indg KZ σ r (ω r dét). Suosons d abord r / {0, }. Par 4.., indg KZ σ r (ω r dét) est un quotient irréductible suersingulier de ind G KZσ r. D arès le théorème 2.7., ψ r se factorise forcément ar indg KZ σr qui est

20 20 C. BREUIL encore irréductible, d où le résultat dans ce cas. Pour r = 0, on a : ψ 0 T ([Id, ]) = ψ0 ([α, ] + ) [g,λ, ] λ I = βψ 0 ([Id, ]) + λ I g,λψ 0 ([Id, ]) = [w, y ] + [ ] λ, y λ I ] = [Id, x ] + [Id, λ I (λx + y) = [Id, x ] + [Id, ( λ ) ] x = 0, λ I donc ψ 0 se factorise ar indg KZ σ 0 qui est irréductible, d où le résultat dans ce cas. Pour r =, on remarque que ψ = ψ Corollaire La rerésentation indg KZ σ est irréductible et : ( ind G ) I() KZσ = F [Id, x ] F [α, y ]. Démonstration. Découle de 4.. et Raelons (cf. [2]) que our tout r {0,..., }, on a : ind G KZσ r 0. indg KZσ r (µ dét) [g, v] µ (dét(g))[g, v]. Corollaire Les seules équivalences entre les rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) sont les suivantes (r {0,..., } et χ : Q F ) : ind G KZσ r (χ dét) T (ind G KZσ r ) ind G KZσ r (χ dét) T (ind G KZσ r ) indg KZσ r T (ind G KZσ r ) (χµ dét) indg KZσ r T (ind G KZσ r ) (χωr dét). Démonstration. On a déjà construit de telles équivalences, il s agit de montrer qu il n y en a as d autres. Soit (r, r ) {0,..., } 2 et χ, χ deux caractères tels que indg KZ σr (χ dét) indg KZ σ r (χ dét). Quitte à tensoriser ar χ dét,

21 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 2 on eut suoser χ =. On écrit χ = µ λ ω s où λ F et s {0,..., 2}. L égalité des caractères centraux entraîne ω r = µ λ 2ω r +2s d où λ 2 = i.e. λ {, +} et on est ramené à indg KZ σr indg KZ σ r (ω s dét) avec s {0,..., 2}. Notons que our = 2 cela achève la reuve. Suosons 2 dans la suite. D arès 3.2.4, on a [Id, x r ] c 0 [Id, x r ] + c [α, y r ] our (c 0, c ) F 2. Si g = a b I, on a g[id, x c d r ] = a r [Id, x r ], g[id, x r ] = a r +s d s [Id, x r ] et g[α, y r ] = a s d r +s [α, y r ]. Si c 0 0 et c 0, cela force a r = a r +s d s = a s d r +s our tout (a, d) (F ) 2 ce qui entraîne s = 0 et (r, r ) {(0, ), (, 0)}. Si c = 0, cela force a r = a r +s d s qui entraîne s = 0 et r = r ou (r, r ) {(0, ), (, 0)}. Si c 0 = 0, cela force a r = a s d r +s qui entraîne r + s {0, } et soit s = r soit (s, r) = (0, ). Si r + s = 0, alors s = 0, r = 0 et r = 0 ou r =. Si r + s = et s = 0, alors r = et r = 0 ou r =. Enfin, si r + s = et s 0, alors s = r et r = r On note G = Gal(Q /Q ), I son sous-groue d inertie et on normalise l injection du cors de classe local ι : Q G ab de telle sorte que les uniformisantes s envoient sur les Frobenius géométriques. Grâce à ι, on identifie les caractères (lisses) de Q dans F et les caractères (finis) de G ab dans F. Lemme Soit ε : G ab Z le caractère cyclotomique -adique et ε sa réduction modulo. On a (ε ι)() = et ε ι = ω. Démonstration. Résultat classique du cors de classe local (our la normalisation récédente). Voir ar exemle le 4 du chaitre III de [4]. Soit ω 2 : I µ 2 (Q ) F le caractère fondamental de niveau 2 de Serre défini ar ω 2 (g) = g(/(2 ) ) si g I /(2 ). On a ω 2 2 = et ω + 2 = ω I. Pour s {0,..., }, on note ind(ω2) s l unique rerésentation irréductible de G de dimension 2 sur F de déterminant ω s et dont la restriction à I est ω2 s ω s 2. Lemme Soit (r, r ) {0,..., } 2 et χ, χ : Q F deux caractères (lisses). Alors (ind(ω2 r+ )) χ (ind(ω r + 2 )) χ si et seulement si (r, χ ) = (r, χ) ou (r, χ ) = (r, χµ ) ou (r, χ ) = ( r, χω r ) ou (r, χ ) = ( r, χµ ω r ). Démonstration. On laisse au lecteur le soin de vérifier qu on a bien des isomorhismes our les valeurs (r, χ ) données. Il reste à voir qu il n y en a as d autres. Soit (r, r ) et (χ, χ ) tels que (ind(ω2 r+ )) χ (ind(ω r + 2 )) χ. Quitte à tensoriser ar χ, on eut suoser χ =. On écrit χ = µ λ ω s où λ F

22 22 C. BREUIL et s {0,..., 2}. L égalité des déterminants entraîne ω r+ = µ λ 2ω r ++2s d où λ 2 = i.e. λ {, +} et on est ramené à ind(ω2 r+ ) (ind(ω r + 2 )) ω s. Quitte à inverser r et r et à remlacer s ar s, on eut suoser r r et, en restreignant à I, on a ω2 r+ = ω r ++(+)s 2 ou ω2 r+ = ω r ++(+)s 2. Le remier cas donne 2 r r + ( + )s qui force r = r et s = 0. Le deuxième cas donne 2 (+)(r +s )+ (r +r) qui entraîne + (r +r) qui force r +r =. D où +(s r) qui force s r { +, 0}. Si s r = +, alors s = 0, r = et r = 0. Sinon s = r et r = r. Si (π, V ) est une rerésentation lisse de G ou de KZ sur un F -esace vectoriel V, on note (π, V ) la rerésentation donnée ar π (g) v déf = π( τ g ) v (v V, g G ou KZ et τ g désigne la transosée de g dans G = GL 2 (Q )). Raelons que le dual de Cartier d une rerésentation de G est son dual usuel tordu ar ε. Corollaire Il existe une (unique) bijection entre les classes d isomorhisme de rerésentations suersingulières de GL 2 (Q ) et les classes d isomorhisme de rerésentations irréductibles de Gal(Q /Q ) de dimension 2 sur F telle que : ind G KZσ r (χ dét) (ind(ω2 r+ )) χ our tout r {0,..., } et tout caractère χ. De lus, cette bijection envoie ( ind G KZ σ r ) sur le dual de cartier de ind(ω r+ 2 ). Démonstration. Pour la remière assertion, il faut vérifier que deux rerésentations suersingulières dans la liste ci-dessus sont isomorhes si et seulement si les rerésentations galoisiennes associées le sont aussi. Cela découle de 4..5 et Pour la deuxième assertion, il est clair d arès les définitions que l alication f ( g f( τ g ) ) induit un isomorhisme G-équivariant : (ind G KZσ r ) ind G KZ(σ r) (ind G KZσ r ) (ω r dét). On éargne au lecteur la vérification du fait que cet isomorhisme induit ar assage au quotient : ( ind G KZσ r ) indg KZσ r (ω r dét) qui corresond bien à la rerésentation (ind(ω r 2 )) ω. On eut également définir une corresondance (motivée ar les résultats de [3]) qui inclut les rerésentations semi-simles de dimension 2 de G : Définition Soit r {0,..., }, λ F, χ : Q F un caractère lisse et [ 3 r] l unique entier dans {0,..., 2} congru à 3 r modulo. On aelle corresondance semi-simle modulo our GL 2 (Q )

23 REPRÉSENTATIONS MODULAIRES ET -ADIQUES DE GL2(Q) I 23 la corresondance suivante entre classes d isomorhisme de rerésentations semisimles de Gal(Q /Q ) de dimension 2 sur F et certaines classes d isomorhisme de rerésentations lisses semi-simles de GL 2 (Q ) sur F : (i) si λ = 0 : (ii) si λ 0 : ( ω r+ µ λ 0 ind G χ 0 µ λ où ss signifie semi-simlifiée. (ind(ω r+ 2 )) χ indg KZσ r KZσ r (T λ) χ ) ss ( ind G ) ss χ KZσ [ 3 r] ω r+ χ (T λ ) On a noté χ au lieu de χ dét our alléger l énoncé. Raelons que indg KZ σr (T λ) et ind G KZ σ [ 3 r] (T λ ) sont génériquement irréductibles (voir 2.7) et que, vu la normalisation choisie, le caractère non ramifié µ λ côté G envoie le Frobenius arithmétique sur λ. On laisse au lecteur le soin de vérifier à artir du théorème 2.7. (et du corollaire 4.2.3) que l existence d un isomorhisme entre rerésentations de GL 2 (Q ) de cette liste entraîne l existence d un isomorhisme entre rerésentations galoisiennes associées et vice-versa. Ceci assure que la corresondance en est bien définie. Remarque On verra dans [3] que les rerésentations de GL 2 (Q ) un eu ( bizarres ) qui aaraissent dans la définition 4.2.4, à savoir les rerésentations ind G ss KZ σ r ind G (T λ) KZ σ [ 3 r] ss, ω r+ (T λ ) aaraissent aussi comme réduction modulo (semi-simlifiée) de rerésentations -adiques simles de GL 2 (Q ), ce qui est la raison rinciale our les introduire. Ces rerésentations ont génériquement une interrétation en termes d induites araboliques (cf. [2]) : ind G KZσ r (T λ) ind G B(µ λ ω r µ λ ) ind G KZσ [ 3 r] ( ω r+ ind G (T λ B (ω r µ λ )ω (µ λ )ω ) ) où B désigne le sous-groue de Borel de G. On note qu il s agit récisément des séries rinciales dont on aimerait qu elles soient entrelacées mais qui ne le sont as en l =. Remarque Suosons F = F ((t)), ϖ = t et considérons la rerésentation indg KZ σ 0 = indg KZ. Alors, au moins our > 2, on eut montrer que l image de l élément Xn 0 = µ I n λ I λ [ g 0 n,µ+t n λ, ] est invariante sous I() ) I() lorsque n 3. Cela entraîne que est de dimension infinie. Suosons ( ind G KZ σ 0 F = Q f (l unique extension non ramifiée de Q de degré f) avec f >, ϖ =

24 24 C. BREUIL et considérons encore indg KZ. Alors, au moins our > 2, on eut montrer que l image de l élément Xn 0 = µ I n λ I λ [ g 0 n,µ+ n λ, ] est invariante sous I() ind G I() lorsque n 2. Cela entraîne que KZ σ 0 est encore de dimension infinie. La raison our laquelle la récurrence du 3.2 dans ce cas ne donne rien est que λ F λ = 0 dès que F F. Références [] Barthel L., Livné R., Modular reresentations of GL 2 of a local field : the ordinary, unramified case, J. of Number Theory 55, 995, -27. [2] Barthel L., Livné R., Irreducible modular reresentations of GL 2 of a local field, Duke Math. J. 75, 994, [3] Breuil C., Sur quelques rerésentations modulaires et -adiques de GL 2 (Q ) II, à araître. [4] Neukirch J., Class Field Theory, Sringer-Verlag, 986. [5] Serre J.-P., Arbres, amalgames, SL 2, Astérisque 46, 3 ième édition, Soc. Math. de France, 983. [6] Serre J.-P., Cors locaux, 3 ième édition, Hermann, 968. [7] Serre J.-P., Proriétés galoisiennes des oints d ordre fini des courbes ellitiques, Inv. Math. 5, 972, [8] Vignéras M.-F., Corresondance de Langlands semi-simle our GL n (F ) modulo l, Inv. Math. 44, 200, C. Breuil, Déartement de Mathématiques, U.M.R du C.N.R.S., Université Paris- Sud, 9405 Orsay, France breuil@math.u-sud.fr