et Théorie des Nombres

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1 Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté UMR 6623 CNRS Directeur : C. Le Merdy Publications Mathématiques de Besançon Algèbre et Théorie des Nombres Responsable : C. Maire Algèbre et Théorie des Nombres Actes de la conférence Cohomologie l-adique et corps de nombres décembre 2007, CIRM Organisateur : Philippe Blanc Années Février 2009

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3 TABLE DES MATIÈRES H. Carayol Cycles évanescents (en lien avec la théorie automorphe) p. 5 T. Hausberger Sur les réalisations des correspondances de Langlands dans la cohomologie des tours de Drinfeld et de Lubin-Tate p. 33 O. Fouquet Systèmes d Euler pour les tours de courbes de Shimura p. 79 J. Tilouine Cohomologie des variétés de Siegel et représentations galoisiennes associées aux représentations cuspidales cohomologiques de GSp 4 (Q) p. 97 M. Dimitrov Applications arithmétiques de la cohomologie l-adique des variétés modulaires de Hilbert p. 115 L. Nyssen Histoires de formes trilinéaires et de vecteurs test p. 129 Z. Wojtkowiak On l-adic Galois Periods, relations between coefficients of Galois representations on fundamental groups of a projective line minus a finite number of points p

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5 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON Cycles évanescents (en lien avec la théorie automorphe) H. Carayol

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7 CYCLES ÉVANESCENTS (EN LIEN AVEC LA THÉORIE AUTOMORPHE) par Henri Carayol Table des matières 1. Introduction Le cas des courbes Le cas de la dimension supérieure Références Introduction L objet de cet article est d expliquer le lien entre la théorie automorphe et celle des cycles évanescents. Le sujet remonte au début des années 70 : plus précisément, à des travaux de Langlands ([La]) et de Deligne ([De4]) visant à élucider le comportement aux mauvaises places des représentations galoisiennes associées aux formes modulaires. Ce problème, en ce qui concerne les représentations de dimension 2 associées aux formes classiques ou de Hilbert, a été résolu une dizaine d années plus tard dans ma thèse ([Ca1], [Ca2]). Le cas de la dimension supérieure s est alors posé et a donné lieu à divers travaux qui ont culminé dans la preuve par Harris et Taylor ([HT]) de la conjecture de Langlands locale pour GL n. Ce résultat frappant n a en rien clos le sujet ; au contraire divers travaux plus récents et dont je parlerai brièvement ont encore enrichi la théorie et affiné de diverses façons les résultats de Harris et Taylor. En général, les espaces de cycles évanescents qui interviennent sont trop compliqués pour être explicitement calculés. L idée fondamentale de Deligne est de relier cet espace global (lié aux formes automorphes et aux variétés de Shimura) à un espace local (lié à des représentations de groupes p adiques

8 et à des espaces de déformations de groupes formels), puis de jouer sur les relations entre le local et le global. A mon avis il s agit de l une des idées parmi les plus remarquables que Deligne a eues au cours de sa carrière scientifique (et aussi parmi celles qui ont eu une influence considérable), bien qu elle soit sans doute moins connue que d autres ; lui même ne l a exposée que dans une lettre manuscrite à Piatetskii-Shapiro, dans laquelle certaines questions techniques n étaient pas résolues. D ailleurs la méthode ne peut pleinement fonctionner (du moins dans le cas de variétés de dimension plus grande que 1) qu avec la théorie des cycles évanescents de Berkovich. La théorie que nous allons exposer a atteint sa maturité pendant que Berkovich a développé la sienne relative aux espaces analytiques p adiques et je pense que les besoins automorphes ont constitué pour ce dernier une motivation importante. Je me limiterai dans cet exposé aux cas très particuliers où les espaces de cycles évanescents qui interviennent sont liés soit à cette construction de Deligne, soit à une autre, au bout du compte équivalente et due à Drinfeld. Le groupe local qui intervient est alors soit GL n, soit le groupe multiplicatif d un corps gauche d invariant 1/n, avec n entier. C est actuellement essentiellement la seule situation où nous avons obtenu des résultats à peu près complets. La théorie dans le cas de groupes plus généraux que GL n est l objet d un vaste programme initié par Rapoport et Zink il y a plus de dix ans. Mais ces groupes plus généraux posent des problèmes bien plus difficiles sur tous les plans. C est pourquoi ce programme, bien que de nombreux résultats aient déjà été obtenus, est encore beaucoup moins avancé. Il en sera très peu question dans la suite. 2. Le cas des courbes 2.1. Représentations l-adiques associées aux formes modulaires. On sait, depuis le début des années 60 en poids 2 (Eichler - Shimura) et depuis la fin de cette même décennie pour les poids 2 (Deligne), associer des représentations galoisiennes l adiques aux formes modulaires. Plus précisément, soit f = a n q n une forme modulaire de poids k 2, niveau N et caractère Nebentypus ɛ. Fixons d autre part un plongement du corps Q(f), engendré par les coefficients de f, dans Q l. Il existe alors une représentation continue : σ f,l : Gal(Q/Q) GL 2 (Q l ) qui est non-ramifiée en dehors de N et telle que, pour p ne divisant pas Nl, on ait : ( ) trace σ f,l (Frob p ) = a p, det σ f,l (Frob p ) = p k 1 ɛ(p). 8

9 Ces relations traduisent l essentiel de ce que l on peut dire du point de vue classique des relations entre f et σ f,l. Mais elles ne disent rien de ce qui se passe aux mauvaises places (lorsque p divise N), ni ce qui arrive quand p = l. Dans cet exposé, je supposerai toujours p l, car le cas où p = l relève de techniques différentes. De fait il était difficile du point de vue classique de formuler, même conjecturalement, ce qu on attendait des propriétés de σ = σ f,l aux places p N : tout au plus conjecturait-on que le conducteur d Artin de σ devait être égal à N. A la fin des années soixante et au début de la décennie suivante les choses changent complètement avec le développement du programme de Langlands, qui permet de formuler une conjecture beaucoup plus précise. À f correspond une représentation automorphe π = π v de GL 2 (A) (où A désigne l anneau des adèles de Q) ; le produit tensoriel précédent est étendu à toutes les places de Q (nombres premiers et place archimédienne). Si f est de poids k, la composante archimédienne π est isomorphe à la représentation essentiellement de carré intégrable DS k de GL 2 (R) qui apparaît dans la représentation de la série principale induite (induction unitaire) par les deux quasi-caractères suivants de R : µ(t) = t k 1 2 sgn(t), ν(t) = t 1 2. Pour chaque place finie p, π p est définie sur Q(f), et l on a supposé choisi un plongement de ce corps dans Q l. Par ailleurs la correspondance de Langlands locale associe à chaque représentation (admissible, irréductible) de GL 2 (Q p ) une représentation continue du groupe de Weil-Deligne local W D Qp ; ceci a un sens sur C mais aussi sur Q l et sur ce dernier corps on obtient plus simplement une représentation continue du groupe de Weil W Qp, sous-groupe de Gal(Q p /Q p ) constitué des éléments qui induisent par réduction une puissance de Frobenius. Dans les années 70 cette conjecture n était connue que dans certains cas ; elle a été démontrée en toute généralité (avec Q p remplacé par un corps local arbitraitre) par Kutzko en 1980 ([Ku]). Notons π p σ(π p ) la correspondance de Langlands locale, normalisée de telle sorte que les facteurs locaux L et ɛ soient reliés par les identités (dans lesquelles χ désigne un quasi-caractère arbitraire de Q p W ab Q p ) : L(s, σ(π p ) χ) = L(s 1 2, π p χ), ɛ(s, σ(π p ) χ) = ɛ(s 1 2, π p χ) ; elle diffère par une torsion de la correspondance usuelle. Le résultat suivant a été conjecturé dans les années 70 et démontré en 1984 : 9

10 Théorème 2.1. ([La], [De4], [Ca2]) Pour tout p l, la (Frobenius semisimplifiée de la) restriction de σ f,l au groupe de decomposition en p, ou plus précisément au groupe de Weil W Qp, est isomorphe à σ(π p ). Le cas non ramifié correspond au cas où π p est une série principale non ramifiée (induite de deux caractères non ramifiés de Q p) et il n est pas difficile alors de voir que l énoncé dans ce cas est équivalent aux égalités (*) ci-dessus. Une avancée esssentielle est due à Langlands dans son article [La] : il a prouvé le résultat quand π p est une série principale ramifiée ou bien une représentation spéciale. Peu de temps après, Deligne (dans une lettre à Piatetskii-Shapiro) a compris le cas des représentations cuspidales ordinaires (induites par induction automorphe à partir d un caractère d une extension quadratique ce qui s appelait à l époque construction de Weil). Nous allons maintenant donner une idée des méthodes employées par Langlands et Deligne et expliquer comment intervient la théorie des cycles évanescents Géométrie des courbes modulaires et méthode de Langlands. La construction des représentations l-adiques dont il vient d être question se fait en décomposant la cohomologie l-adique des courbes modulaires sous l action des opérateurs de Hecke. Classiquement, les courbes modulaires X 0 (N), X 1 (N), X(N) sont les quotients du demi-plan de Poincaré par certains sous-groupe de congruence de SL 2 (Z). Du point de vue de la théorie automorphe moderne (adélique) on préfère partir d un sous-groupe compact et ouvert K du groupe GL 2 (A f ) des points de GL 2 à valeurs dans les adèles finies, et considérer le quotient : M K (C) = GL 2 (Q) \ X GL 2 (A f )/K, avec X = C R (double demi-plan de Poincaré). Ce quotient n est rien d autre (pour K assez petit) qu une réunion finie de quotients du demi-plan de Poincaré par des sous-groupes de congruence de SL 2 (Z). Ces objets, à priori des surfaces de Riemann, admettent des structures de variétés algébriques sur C et sont en fait naturellement des courbes M K définies sur Q, qui possèdent aussi des compactifications (lisses) M K. Elles constituent de façon naturelle un système projectif lorsque K varie : cela est clair du point de vue analytique et il se trouve que les morphismes du système sont définis sur Q. La construction des représentations galoisiennes attachées aux formes automorphes peut alors s exprimer par l égalité suivante qui exprime la décomposition de la (limite inductive de la) cohomologie l-adique sous la double action du groupe de Galois et du groupe GL 2 (A f ) : ( ) lim K H 1 (M K Q Q, Q l ) = π π f σ(π), 10

11 où la somme est étendue aux représentations automorphes dont la composante archimédienne est DS 2 (autrement dit il s agit du cas des formes de poids 2). On obtient une construction analogue pour les formes de poids k en remplaçant ci-dessus le faisceau constant Q l par un système local l-adique convenable et en considérant les groupes de cohomologie d intersection (plus simplement ici, si l on préfère, l image de la cohomologie à support dans la cohomologie). Dans la suite et pour simplifier, je ne considérerai que le faisceau constant et donc les formes de poids 2. Le cas général ne présente que de faibles différences techniques, peu importantes du point de vue de cet exposé. Notons M n,h la courbe M K lorsque K est le produit du sous-groupe de congruence principal de niveau n dans GL 2 (Z p ) (constitué des matrices congrues à 1 modulo p n ) par un sous-groupe H de GL 2 (A p f ). Notation analogue M n,h pour la compactifiée. Lorsque n = 0 cette courbe a bonne réduction en p : sa cohomologie coïncide donc avec celle de sa fibre en p, dont l ensemble des points (muni de l action de Frobenius et des opérateurs de Hecke) admet une description explicite. Cela permet d obtenir le cas classique : déterminer la trace de Frobenius en un p qui ne divise pas le niveau de la forme modulaire. En termes adéliques comme dans la formule ci-dessus, on récupère ainsi les représentations automorphes π telles que π p soit une représentation de la série principale sphérique (induite de deux quasi-caractères non-ramifiés). Dans le cas général on montre que M n,h peut s obtenir par restriction des scalaires à partir d une courbe définie sur l extension cyclotomique Q p n engendrée par les racines p n -ièmes de l unité. On dispose d un modèle M n,h de M n,h sur l anneau des entiers Z p n de Q p net ce modèle est lisse sauf aux points supersinguliers (le schéma M n,h est un espace de modules pour des courbes elliptiques munies de certaines structures et les points supersinguliers sont les points de la fibre spéciale correspondant à des courbes elliptiques supersingulières). De plus la fibre spéciale de M n,h est réduite et c est une réunion de composantes irréductibles lisses et qui s intersectent aux points supersinguliers seulement. On a un compactifié M n,h qui vérifie des propriétés semblables. On s intéresse aux groupes de cohomologie H n,h de : M n,h Q p = ι M n,h Qp n,ι Q p ι décrivant l ensemble des plongements de Q p n dans Q p. Si l on considère la réunion : M n,h Z p = def M n,h Zp n,ι Z p ι 11

12 et si nous notons M n,h F p sa fibre spéciale, alors la théorie des cycles évanescents produit la suite exacte suivante : 0 H n,h 1 H n,h H n,h 2 avec H n,h 1 = H 1 (M n,h F p, Q l ) et où H n,h 2 est la somme, pour tous les points supersinguliers x de la fibre spéciale, des groupes de cycles évanescents RΦ 1 x : pour un tel x, l espace RΦ 1 x est par définition la cohomologie de la fibre générique géométrique [X (x) ] η de l henselisé strict de X en x. La flèche de droite est presque surjective (le groupe GL 2 (A f ) opère sur son conoyau via le déterminant, de sorte qu aucune forme parabolique n y intervient). Notons H 1 (resp. H 2, resp. H) les limites inductives, quand n et H varient, de ces espaces de cohomologie. Langlands a utilisé dans [La] une comparaison entre les formules de traces de Selberg et de Lefschetz (compte tenu du fait qu il est possible d avoir une description combinatoire de l ensemble des points points de M n,h F p ) et il a ainsi calculé H 1. Il est également possible de retrouver le même résultat à partir d une version de la relation de congruence, due à Piatetskii-Shapiro ([PS]). Langlands a ainsi obtenu la description suivante de cet espace, muni des actions de G(A f ) et Gal(Q p /Q p ) : H 1 = π π f σ (π p ) où π décrit l ensemble des représentations automorphes cuspidales de GL 2 (A) telles que π DS 2 et que π p soit une représentation de la série principale (incluant les ramifiées) ou bien une représentation spéciale. Dans cette formule on a σ (π p ) = σ(π p ) quand π p est principale, tandis que, lorsque π p est spéciale, σ (π p ) est seulement la moitié de la représentation spéciale σ(π p ), i.e. son sous-espace invariant de dimension 1. L article de Langlands réglait ainsi le cas où la composante locale π p était une représentation de la série principale (ramifiée ou non) ou bien spéciale ; le cas des cuspidales, qui se retrouvent donc toutes, d après ce qui précède, dans la partie évanescente H 2 de la cohomologie, restait complètement mystérieuse : aucun calcul direct ne semble possible car pour n grand les courbes modulaires présentent des singularités très compliquées L idée de Deligne. L idée qu a eue Deligne, peu de temps après, fut de contourner cette difficulté majeure en reliant la cohomologie évanescente à une représentation U ( représentation locale fondamentale ) du produit triple GL 2 (Q p ) Dp W Qp où D p désigne le corps de quaternions (unique à isomorphisme près) de centre Q p et W Qp le groupe de Weil. Cette représentation 12

13 est construite de façon purement locale en considérant des déformations de groupes formels. Plus précisément, soit Σ un groupe formel de dimension 1 et de hauteur 2 sur F p (un tel groupe est unique à isomorphisme près). L anneau End(Σ) Q est isomorphe à D p. Les déformations de Σ munies d une structure de niveau p n (ce qui signifie, au niveau du moins de la fibre générique, une trivialisation de la p n -torsion du groupe) sont représentées par un schéma Def n Σ, qui admet une structure de Z p n-schéma (où Z p n est comme défini ci-dessus ). La représentation locale fondamentale est construite à partir de la cohomologie de la fibre générique géométrique de ce schéma : Φ n Σ = H 1 (Def n Σ Zp n Q p, Q l ) Cependant, afin de tenir compte des actions des différents groupes en jeu, il est préférable de partir d un groupe formel qui est seulement défini à isogénie près. Il est alors possible de parler de déformations et de structures de niveau pour un tel objet. Je ne vais pas expliquer ici les détails précis de ces constructions, pour lesquels je renverrai à [Ca2]. Je vais simplement exprimer, de façon un peu vague, ce que l on obtient, puis j expliquerai comment cela est utilisé pour résoudre le problème posé. Ces constructions fournissent finalement un espace de paramètres Q p et pour chaque x un espace vectoriel Φ n x comme ci-dessus (ces espaces constituent une sorte de faisceau sur ). Sur agissent les trois groupes GL 2 (Q p ) (via det), D p (via l inverse de la norme réduite), et finalement W Qp (via l inverse de l homomorphisme de la théorie du corps de classes) ; ces trois actions se relèvent au système des Φ x, limite inductive des Φ n x. La représentation locale fondamentale est l espace des sections : U H 0 (, Φ) où Φ désigne le faisceau sur constitué des Φ x définis ci-dessus, et qui sont invariantes sous un sous-groupe ouvert du centre de GL 2 (Q p ) (ceci afin d avoir une représentation raisonnable ). Il est classique de décrire l ensemble des points supersinguliers de la fibre spéciale lim n M n,h F p comme le quotient M ss = G(Q) \ G(A p f )/H où l on a noté G le groupe multiplicatif D de l algèbre de quaternions D sur Q qui n est ramifiée qu en p et on remarquera que G(A p f ) est isomorphe à G(A p f ) ; on fixera un tel isomorphisme, ce qui nous permettra dans la suite d identifier ces deux groupes. 13

14 On démontre alors qu une description similaire (sous forme d un quotient) est aussi valide pour le faisceau (au-dessus de l ensemble des points supersinguliers) RΦ 1 des cycles évanescents : on a une identification RΦ 1 = G(Q) \ Φ G(A p f )/H On obtient cela en utilisant le théorème de Serre et Tate (qui affirme que les déformations formelles d une courbe elliptique correspondent à celles du groupe p-divisible sous-jacent), mais on a besoin en plus d un résultat permettant de comparer les cycles évanescents ordinaires et formels. Pour les courbes un tel résultat a été prouvé par Brylinski (dans un appendice à ma thèse voir cidessous) ; des résultats analogues (quoique légèrement différents) en dimension plus grande ont été obtenus par Berkovich et j en parlerai dans la deuxième partie de cet article. On peut donc voir (à quelques détails techniques près que je négligerai dans la suite) H 2 comme l ensemble des applications : f : G(A p f ) U qui sont G(Q)-équivariantes à gauche et invariantes à droite sous un sousgroupe compact ouvert de G(A p f ). A une telle f on associe alors l application suivante f de G(A) vers U : f (g p f g pg ) = g 1 p.f(g p f ) laquelle est maintenant invariante à gauche sous G(Q) et à droite invariante sous G(R) et équivariante sous l action de G(Q p ). On obtient de cette manière un isomorphisme : H 2 ( A 1 U ) G(Q p) où A 1 désigne l espace des formes automorphes sur G de composante archimédienne triviale. Ce dernier espace se décompose comme une somme π de représentations automorphes irréductibles et nous obtenons la formule : H 2 = π p f U(π p ) où la somme est étendue à l ensemble des π automorphes de composante archimédienne triviale et où U(π p ) désigne la composante isotypique (relative à l action de G(Q p )) correspondant à la contragrédiente de π p. On utilise alors la correspondance de Jacquet-Langlands entre représentations de G et celles de G. Localement en un nombre premier q, c est une bijection entre représentations de G(Q q ) et représentations de la série discrète de G(Q q ) et elle se globalise en une correspondance entre représentations automorphes de G(A) et de G(A) : à π = q π q on associe π = q π q avec π q = π q aux places q où D n est pas ramifiée (donc ici toutes les places sauf p et ) tandis que sinon c est la représentation de G(Q q ) qui correpond à π q par la 14

15 correspondance locale. On montre alors que π est automorphe lorsque π l est, et qu on obtient ainsi toutes les représentations automorphes de G(A) dont les composantes locales aux places ramifiées appartiennent à la série discrète. Utilisant cette correspondance ainsi que la formule ( ) ci-dessus, on conclut de ce qui précède que, pour π p cuspidale, la représentation galoisienne correspondante restreinte au groupe de Weil local en p est donnée par : π p σ(π) Gal(Qp /Q p) = U(π p ) où π p désigne la représentation de G(Q p ) qui correspond à π p par la correspondance locale de Jacquet-Langlands. Le point crucial est que σ(π) Gal(Qp /Q p) ne dépend que de π p. Une fois qu on sait cela il est facile de traiter le cas des représentations dites ordinaires : il s agit de celles obtenues à partir d un quasi-caractère du groupe multiplicatif d une extension quadratique de Q p par une construction due à Weil (et maintenant généralisée par ce que l on appelle l induction automorphe ). Cette construction locale admet un avatar global. Tant du point de vue local que global, ces constructions constituent le pendant automorphe de l induction à partir du groupe de Galois d une extension quadratique. Si maintenant π p est une représentation de Weil locale, alors on est ramené au cas où π est globalement obtenue à partir d un caractère de Hecke d un corps quadratique. Il n est pas difficile alors de voir (puisque la situation est controlée en presque chaque place) que la représentation galoisienne est globalement induite ; par restriction au groupe de Galois local en p on obtient alors ce qu on veut Courbes de Shimura. À la suite de cette lettre informelle de Deligne, il restait deux questions non réglées : d une part le problème technique de comparer cycles évanescents usuels et formels (i.e. définis à partir du complété formel) ; d autre part la question des représentations extraordinaires (non induites) était restée ouverte. Ces deux questions ont été résolues dans ma thèse (1984). Dans un appendice à ce travail, Brylinski avait utilisé un argument utilisant la résolution des singularités (pour les courbes) pour prouver l égalité entre cycles évanescents usuels et formels, plus quelques résultats de continuité nécessaires au fonctionnement correct de l argument de Deligne. Ma contribution personnelle a consisté à étudier les courbes de Shimura pour découvrir que leurs réductions pouvaient être décrites par une théorie très semblable à celle des courbes modulaires. Une telle courbe est définie à partir d un corps totalement réel F, muni d un plongement τ : F R, et d une algèbre de quaternions B/F qui est déployée à la place τ et ramifiée aux autres places archimédiennes. On désigne par G le groupe multiplicatif de B, vu comme groupe algébrique sur Q : G = Res F/Q (B ). Le groupe G(R) est isomorphe au produit GL 2 (R) (H ) d 1, où H designe le corps des quaternions 15

16 de Hamilton et il opère via son premier facteur sur X = C R (comme plus haut, le double demi-plan de Poincaré ). Pour K un sous-groupe compact et ouvert du groupe G(A f ), la courbe de Shimura associée peut être définie analytiquement comme le quotient analogue à celui qui définissait les courbes modulaires : M K (C) = G(Q) \ X G(A f )/K, et ce n est d ailleurs rien d autre qu une réunion finie disjointe de quotients Γ i \ X + du demi-plan de Poincaré par des sous-groupes discrets de SL 2 (R). On retrouve les courbes modulaires lorsque F = Q et que B est déployée, tandis que dans les autres cas les courbes obtenues sont propres. D après Shimura, ces courbes admettent un modèle canonique sur le corps F (plongé dans C via τ). Pour K variant, elles constituent un système projectif de courbes sur F. Comme dans le cas des courbes modulaires, on montre que l on peut utiliser ces courbes pour construire des représentations l-adiques de dimension 2 du groupe Gal(F /F ) : on décompose pour cela la limite inductive des groupes de cohomologie l-adique et l on obtient la formule suivante analogue à la formule ( ) ci-dessus : ( ) lim K H 1 (M K F F, Q l ) = π π f σ(π) la somme étant étendue aux représentations automorphes de G(A) de composante archimédienne triviale aux places τ et telles que π τ DS 2. Cela donne une construction de représentations galoisiennes σ(π) de degré 2 associées aux π qui interviennent. Via la correspondance de Jacquet-Langlands, ces dernières correspondent à des formes modulaires de Hilbert de poids parallèle 2. En remplaçant le faisceau constant par des systèmes locaux convenables, on peut obtenir des composantes archimédiennes (des poids) plus générales. Une des dificultés techniques essentielles que l on rencontre lorsque l on tente d étudier la réduction de ces courbes de Shimura est qu elles ne représentent pas de façon naturelle un problème de modules (défini en termes de schémas abéliens polarisés munis de certaines actions et de certaines structures de niveau). Ce n est toutefois pas loin d être le cas : il existe une famille de groupes G (admettant le même groupe dérivé que G) telles que les courbes de Shimura M K définies à partir de G plutôt que de G soient solution d un tel problème de modules, mais défini en général sur un corps F différent de F. Les courbes M K sont très proches des M K : elles ont, en un sens que je ne vais pas chercher à préciser, les mêmes composantes connexes. On peut reconstituer assez facilement (bien que cela soit techniquement embrouillé) M K par une sorte de recollement des M K. 16

17 Au bout du compte, on s aperçoit en étudiant ainsi la réduction d un modèle entier des M K F p en une place p de F où B est déployée qu il existe sur ce modèle (ou plutôt sur une limite projective convenable) un groupe p-divisible E défini de façon canonique et qui joue le rôle du groupe p-divisible associé à la courbe elliptique universelle sur les courbes modulaires. Ce groupe est en fait muni d une action de l anneau O p des entiers de F p et il constitue ce que Drinfeld avait nommé un O p -module divisible. En un point x de la fibre spéciale deux cas sont possibles : ou bien E x est isomorphe à une extension d un groupe de Lubin-Tate par le module constant F p /O p (cas ordinaire), ou bien ce groupe est isomorphe à l unique module infinitésimal de hauteur 2 (voir plus bas pour des définitions plus précises). Tout cela généralise des choses bien connues dans le cas des courbes modulaires. Les points supersinguliers de ces courbes constituent des ensembles finis descriptibles de façon analogue à ce qu on a dit plus haut dans le cas des courbes modulaires. De plus on a un avatar du théorème de Serre et Tate qui permet de calculer le complété formel en un point de nos courbes comme un espace de déformations (avec structures de niveau) du O p -module divisible correspondant. Ces similarités permettent d adapter les méthodes de Langlands et de Deligne et de prouver les résultats voulus en une place p où π p est soit principale, soit cuspidale ordinaire Représentations extraordinaires. Expliquons maintenant comment prouver le théorème ci-dessus à partir de ce qui précède. Le cas qu il nous reste à traiter est celui où π p est une représentation cuspidale extraordinaire et cela correspond au fait que σ(π p ) est primitive (non induite par un caractère du groupe de Galois d une extension quadratique de Q p ). Les représentations induites ont pour image dans le groupe P GL 2 un sous-groupe diédral. Les représentations primitives de degré 2 ont une image projective isomorphe soit au groupe alterné A 4 soit au groupe symétrique S 4 (le cas A 5 étant exclu puisque les groupes de Galois locaux sont résolubles). Chacun des deux groupes possibles admet des 2-sous-groupes de Sylow qui sont des groupes diédraux ; plus précisément il en existe un seul (distingué) dans le cas A 4 tandis qu on en a 3 dans le cas S 4 et l on choisit arbitrairement l un des 3. Dans les deux cas il correspond à ce sous-groupe de Sylow, qui est d indice 3, une extension cubique F p de Q p, qui est galoisienne dans le cas A 4 mais non dans le cas S 4. La théorie automorphe produit un foncteur de changement de base qui à une représentation (admissible, irréductible) de GL 2 (Q p ) en associe une de GL 2 (F p ). Localement ce n est rien d autre que ce qui correspond, via la correpondance de Langlands locale, à la restriction d une représentation galoisienne de W D Qp à W D Fp, et ces foncteurs aux différentes places se globalisent en une opération qui fait passer d une représentation automorphe de GL 2 (A Q ) à une autre de GL 2 (A F ), pour F une extension cubique de Q (habituellement 17

18 on ne sait faire ce changement de base que dans le cas des extensions galoisiennes cycliques, le cas cubique non galoisien constituant une exception et résultant de travaux de Jacquet, Piatetskii-Shapiro et Shalika). On choisit alors un corps cubique totalement réel F tel que F Q p F p. Notons Π la représentation automorphe de GL 2 (A F ) associée à π par changement de base. Alors Π p, associée à la restriction (diédrale d après le choix de F p ) de σ(π p ) au groupe de Weil de F p, est une représentation ordinaire. De ce qui précède on déduit que la représentation galoisienne l-adique associée à π, qui n est autre bien sûr que la restriction de σ f,l au groupe de Galois de F, est ce que l on espère à la place p. On conclut alors en remarquant (c est un simple exercice de théorie des groupes) que la représentation σ(π p ) est caractérisée par sa restriction à Gal(F p /F p ) et par son déterminant (qui est connu ici). Pour conclure ce paragraphe, mentionnons que l on a un analogue du théorème précédent pour les représentations associées aux formes modulaires de Hilbert sur des corps totalement réels et que ce théorème se démontre de façon analogue. Dans le cas du corps Q on a une preuve différente, due à Louise Nyssen [Ny], qui ne fait pas usage des courbes de Shimura. Elle utilise plutôt un argument de congruence avec des formes de poids Le cas de la dimension supérieure 3.1. La représentation locale fondamentale en dimension supérieure. La généralisation de notre représentation locale en dimension supérieure n est pas très difficile dans son principe : il suffit de considérer des modules formels de hauteur supérieure à 2. Donnons quelques définitions plus précises que ce que nous avons fait jusqu alors. Soit K un corps local non archimédien, de corps résiduel k fini dont on note p la caractéristique et q le cardinal. K est donc soit un corps p-adique (extension finie de Q p ) soit isomorphe au corps F q ((t)) des séries de Laurent formelles en une variable. Notons O l anneau des entiers de K et fixons une uniformisante ϖ. Nous désignerons par Ônr l anneau des entiers du complété d une extension non-ramifiée maximale K nr de K. On appelle O module formel (de dimension 1) sur une O algèbre R un groupe formel Σ de dimension 1, muni d une action de l anneau O, de telle sorte que l action dérivée sur Lie(Σ) soit donnée par le morphisme structural O R. Dans le cas où R est un corps extension du corps résiduel k de K, on peut définir la hauteur h de Σ de la façon suivante : une coordonnée X sur le groupe formel étant choisie, q h est alors l ordre de la série formelle en X qui exprime l action de ϖ (dans la suite cet ordre et donc la hauteur seront toujours finis). On ne confondra pas cette notion avec la hauteur de Σ vu simplement comme groupe formel (dans le cas où K est un corps p adique, la hauteur 18

19 du groupe est égale à h.deg[k : Q p ]). Lorsque K = Q p, un Z p -module formel n est rien de plus qu un groupe formel. Ces objets ont été étudiés par Drinfeld ([Dr1]) au début des années 70 dans son travail sur les modules elliptiques. Les résultats habituels sur les groupes formels se transposent sans difficulté. En particulier, sur k, clôture algébrique du corps résiduel de K, il existe un unique (à isomorphisme près) module formel Σ h de hauteur h. L anneau des endomorphismes de Σ h est isomorphe à l ordre maximal du corps gauche D K,h de centre K, de dimension h 2 et d invariant 1/h dans le groupe de Brauer. On s intéresse à la théorie des déformations de Σ h, autrement dit au foncteur Def qui à une Ônr algèbre artinienne R de corps résiduel k associe l ensemble des classes d isomorphisme de déformations de Σ h sur R (O modules formels sur R munis d un isomorphisme entre leur réductions modulo l idéal maximal de R et Σ h ). On peut montrer que Def est (pro-)représentable par un schéma formel que nous noterons Def 0 Σ ; on a en fait un isomorphisme Def 0 Σ Spf ( Ô nr [[T 1, T 2,... T h 1 ]] ) Nous noterons Σ h la déformation universelle de Σ h. On définit pour chaque entier m 1 un schéma formel Def m Σ au-dessus de Def 0 Σ comme le classifiant des structures de niveau m sur le groupe Σ h. Audessus de la fibre générique de Def 0 Σ, une telle structure est simplement la donnée d un isomorphisme entre (ϖ m O/O) h et la ϖ m -torsion du module formel, et on a la notion de base de Drinfeld (qu il est peu important de connaître précisément pour la suite de cet exposé) qui permet de définir cette notion même sur la fibre spéciale. Lorsque m > m on a une inclusion évidente de (ϖ m O/O) h dans (ϖ m O/O) h qui permet de restreindre une base de niveau m en une de niveau m. Cela définit une projection de Def m Σ sur Defm Σ. D autre part le groupe GL h (O) agit de façon naturelle sur les structures de niveau et cela définit des actions de ce groupe sur les différents espaces Def m Σ, actions compatibles aux projections ci-dessus. On voit facilement que la projection de Def m Σ sur Def0 Σ constitue un revêtement galoisien de groupe GL h(o/ϖ m O). Ce revêtement est étale en fibre générique, mais au contraire très ramifié au-desssus de la fibre spéciale. Dans l article [Ca3] j avais essayé de généraliser de façon un peu naïve la construction faite dans le cas de la dimension 1 et expliquée dans la première partie de cet exposé : l idée était de considérer la cohomologie (en degré médian h 1) de la fibre générique de Def m Σ. Toutefois cet espace de cycles évanescents formels ne semble pas avoir en dimension plus grande les bonnes propriétés (analogues au résultat de Brylinski mentionné plus haut) qu il présente pour les courbes. Un bonne construction des groupes de cycles évanescents dans ce contexte a été fournie par Berkovich (cf. [Be1] [Be2] [Be3]) dans le cadre de sa 19

20 théorie des espaces analytiques p-adiques. Je renvoie le lecteur intéressé par la théorie de Berkovich à l exposé de Ducros au séminaire Bourbaki [Du]. C est pour de toutes autres raisons que Berkovich avait développé cette nouvelle théorie des espaces analytiques p-adiques, mais elle s est avérée constituer un cadre parfait pour le développement d une bonne théorie de la cohomologie étale l-adique. Par une heureuse coïncidence, il a compris cela précisément au moment où la communauté automorphe avait besoin de ces résultats, ce qui a constitué pour lui un précieux encouragement et un test immédiat ; et cela a permis par ailleurs des avancées inespérées du côté automorphe. On considère donc les espaces de cycles évanescents l adiques (où l p est un nombre premier fixé) associés par la théorie de Berkovich à la fibre générique de Def m Σ (laquelle est de façon naturelle un espace analytique p adique). Nous noterons ces espaces Ψ i K,l,h,m (ou plus simplement Ψi h,m lorsque K et l seront fixés). Lorsque m varie, ils constituent un système inductif (à morphismes injectifs) de limite (réunion) Ψ i h. On a déjà vu que le groupe GL h (O) agissait sur l espace Def m Σ (action sur la structure de niveau). D autre part, Le groupe OD h des éléments inversibles de l ordre maximal O Dh du corps gauche D h = D K,h est le groupe des automorphismes de Σ h et en tant que tel il agit sur l espace de la déformation universelle et sur Σ h. Ces deux groupes agissent donc sur les Ψ i h,m, et aussi sur leur limite (actions qui commutent entre elles). On a enfin une action du groupe d inertie Gal(K/K nr ). Il est possible (en considérant les isogénies) d étendre ces actions en une action du sous-groupe : A h GL h (K) D h W K constitué des triples (g, d, w) qui vérifient la relation : det(g) 1 N(d)Cl(w) O, où N désigne la norme réduite et Cl : W K K l application de réciprocité de la théorie du corps de classes. Dans [Ca3] j avais défini la représentation locale fondamentale U = U h,k en induisant de A h au produit GL h (K) Dh W K la représentation Ψ h 1 h. Pour χ un caractère (à valeurs dans Q l ) du groupe K, notons U(χ) le sous-espace de U où le centre de GL h (K) agit par χ. A l époque où j avais rédigé cet article les définitions de Berkovich n étaient pas encore connues et j avais défini les choses naïvement (considérant la cohomologie de la fibre générique, vue algébriquement). De ce fait la conjecture que j avais énoncée n était pas correcte, elle le devient presque en remplaçant ce point de vue naïf par celui de Berkovich. La conjecture prédisait 20

21 une décomposition : U(χ) = π j(π) L(π) où π décrit l ensemble des représentations, de caractère central χ, de la série discrète de GL h (K). Les deux autres constituants du produit tensoriel sont j(π), la contragrédiente de la représentation de Dh associée à π par la correspondance de Jacquet-Langlands généralisée (connue à l époque seulement dans le cas des corps p-adiques, le cas des corps de fonctions est beaucoup plus récent et dû à Badulescu). L désigne la correspondance de Langlands locale, convenablement normalisée (entre représentations de GL h (K) et représentations du groupe de Weil, et qui n était alors établie que pour h = 1, 2 ou 3.) Enfin L(π) désignait un quotient de L(π) (différent de L(π) seulement dans le cas où π n est pas cuspidale). La conjecture ainsi énoncée est vraie pour h = 1 : c est un exercice de vérifier qu elle ne constitue qu une reformulation de la théorie de Lubin-Tate. Elle l est aussi pour h = 2 sur un corps p-adique : c est ce qu il résulte de mes travaux issus de la méthode de Deligne et dont j ai donné une idée dans le paragraphe précédent. Pour h > 2 la partie de cette conjecture relative aux cuspidales est vraie ; autrement dit la partie isotypique correspondant à π (ou j(π) ) est bien celle que l on attend : cela a été prouvé par Boyer en 1998 dans le cas des corps d égale caractéristique puis, peu de temps après, par Harris et Taylor dans un travail où ils prouvaient l existence de la correspondance de Langlands locale pour les corps p-adiques (dont on avait démontré l existence, en égale caractéristique, dans l article [LRS] de Laumon, Rapoport et Stuhler). Dans le cas des représentations non cuspidales, les choses sont plus compliquées et ont été élucidées, plus récemment, par Boyer (voir plus bas). Pour obtenir tous ces résultats on utilise de nouveau une comparaison entre le local et le global qui consiste à exprimer des groupes de cycles évanescents de certaines variétés de Shimura (ou de leurs analogues sur les corps de fonctions) en termes de cette représentation locale fondamentale. Dans le paragraphe suivant je vais dire quelques mots au sujet des variétés de Shimura qui interviennent et je renverrai aux articles originaux, ou bien à mon exposé [Ca4] au séminaire Bourbaki, pour plus de détails Variétés de Shimura associées à certaines formes de groupes unitaires. Les variétés considérées sont celles attachées à des formes de groupes unitaires. Plus précisément, on peut définir un tel groupe G de la façon suivante : partant d un corps totalement réel F, on note F le composé de F avec un corps quadratique imaginaire E. On se donne une algèbre à division B de centre F et de degré n 2, munie d une involution de seconde espèce (i.e. qui induit sur F la conjugaison par rapport à F ) et positive. On 21

22 conjugue cette involution par un élément β tel que β = β, et l on obtient ainsi une seconde involution (autrement dit x = βx β 1 ). Le groupe auquel on s intéresse est le groupe G associé à cette involution : c est un groupe réductif défini sur Q dont l ensemble des points à valeurs dans une Q algèbre R est donné par : G(R) = {g B R ; bb R } = {g B R ; bβb βr } C est une forme intérieure du groupe de similitudes unitaires de degré n associé au corps F. Il est possible de choisir β de telle sorte qu aux places archimédiennes ce groupe soit le produit d un groupe de type (n 1, 1) et de (d 1) groupes de type (n, 0). Le groupe G(R) opère via le premier facteur sur la boule unité X de C n 1, qui constitue l espace hermitien symétrique associé. Dans cette situation, on peut définir les variétés de Shimura associées Sh U, avec U un sous groupe compact ouvert de G(A f ). Ce sont des variétés algébriques projectives définies sur le corps F, dont l ensemble des points complexes est donné par : Sh U (C) = G(Q) \ [X G(A f )/U] Comme dans le cas des courbes, Sh U (C) est en fait une réunion de quotients Γ \ X de X par des groupes de congruence Γ de G(R). D après Shimura (voir [De2]), Sh U admet sur le corps F un modèle que l on peut (à quelques complications techniques près, que je passerai sous silence) décrire en termes d un problème de modules faisant intervenir des variétés abéliennes A à isogénie près de dimension dn 2, munies d une action de B, d une polarisation et d une structure de niveau, telles que l involution de Rosati associée induise l involution sur B ; une condition décrivant l algèbre de Lie de A doit être satisfaite. Utilisant ce problème de modules, il est possible de décrire la réduction des variétés Sh U en une place P de F, de caractéristique résiduelle p, telle que le corps E soit décomposé en p et que l algèbre B soit déployée aux deux places de F qui relèvent P. On note P 1 = P, et P 2 P r les autres places de F de caractéristique résiduelle p. On les relève en des places P i de F (au dessus d une même place de E). Le groupe G(Q p ) est isomorphe à Q p GL n (F P1 ) BP B P 2. On suppose que le sous-groupe U est décomposé en un r produit U p U p, avec U p G(A p f ) (adèles finies sans la composante en p) et que U p G(Q p ) est lui-même décomposé en le produit du sous-groupe Z p de Q p et de sous-groupes U P1 GL n (F P1 ) et U P i BP i. Dans ces conditions, on montre que notre variété a bonne réduction lorsque U P1 est le sous groupe compact maximal GL n (O F,P ) GL n (F P ) tandis que, lorsque U P1 est un sous-groupe de congruence dans GL n (O F,P ), cette variété 22

23 présente une mauvaise réduction dont la théorie généralise celle des courbes modulaires. Nous noterons encore Sh U un modèle sur O = O F,P de notre variété. La raison fondamentale de cette similitude avec la réduction des courbes modulaires est que toute la théorie de la réduction des variétés que nous considérons est gouvernée par un O F,P -module divisible G qui joue le rôle du groupe p- divisible de la courbe elliptique universelle sur les courbes modulaires. C était d ailleurs déjà ce fait qui permettait de comprendre la réduction des courbes de Shimura en une place de déploiement de l algèbre de quaternions. Donnons une idée approximative de la construction de ce module divisible, qui constitue un morceau du groupe p-divisible d un schéma abélien : le schéma de modules (défini sur O = O F,P ) associé à la variété de Shimura fait intervenir un schéma abélien A (qu on préfère maintenant ne plus considérer à isogénie près) polarisé, muni d une action d un ordre O B B ; cet ordre doit être stable par l involution, tel que sa complétion en p soit maximale, et tel que O B,P1 = M n (O F,P1 ) = M n (O). On décompose ensuite le groupe p-divisible associé à A sous l action de l algèbre O F Z p O B Z p. On obtient de la sorte une somme directe faisant apparaître les différentes places P i ainsi que leurs conjuguées (par rapport à F ) P i : A p = A P 1 A P 2 A P r A P 1 A P 2 A P r Les conditions mentionnées plus haut et portant sur l algèbre de Lie forcent les groupes A P 2 A P r à être ind-étales (ce qui fait que les structures de niveau sont les mêmes qu en caractéristique 0). D autre part, A P 1 est un M n (O)-module et se décompose de ce fait ( équivalence de Morita ) en la somme de n copies d un O-module noté G. Alors les conditions imposées font que G est un O module divisible de dimension infinitésimale 1 et de hauteur totale n. C est ce groupe qui joue un rôle fondamental. Ses déformations permettent de reconstituer celles de A P 1 puis de tout A p (en effet, les déformations des A P i sont triviales pour i > 1 et l on a une dualité de Cartier qui pour chaque i lie A P i et A P i ). Ainsi on a un analogue du théorème de Serre- Tate. Lorsque le groupe U P1 est un sous groupe de congruence distinct de GL n (O), la mauvaise réduction se décrit en termes de structures (bases de Drinfeld) sur ce module G. 23

24 Sur la fibre spéciale Sh U s = Sh U O k la hauteur de la partie infinitésimale (resp. étale) de G varie entre 1 et n et cela définit une stratification de cette [h] fibre. On notera dans la suite Sh U s le lieu où la hauteur de la partie étale (h) est h (ce sont des fermés, qui constituent une suite croissante) et Sh U s [h 1] [h] le complémentaire de Sh U s dans Sh U s (localement fermé de dimension [0] (0) h). En particulier Sh U s = Sh U s est constitué d un nombre fini de points supersinguliers (tels que le groupe G soit purement infinitésimal). Les cycles (h) évanescents le long de Sh U s sont liés aux déformations de Σ n h et donc à la représentation locale Ψ i n h. Le lien exact a été élucidé par Harris et Taylor ([HT]) et nous allons dans le paragraphe suivant donner une idée de leurs constructions. En égale caractéristique p, autrement dit sur les corps de fonctions d une variable sur un corps fini, on a des analogues locaux des variétés de Shimura associés à nos groupes unitaires. On pourrait partir des variétés modulaires de Drinfeld (classifiant des modules elliptiques ) ou bien des Chtoukas. On a plutôt travaillé avec des analogues propres, construits pas Laumon, Rapoport et Stuhler ([LRS]). Ces variétés sont également gouvernées par un O-module divisible Thèse de Boyer et travaux de Harris-Taylor. La thèse de Pascal Boyer a constitué le premier pas vers une généralisation en dimension supérieure de la méthode de Deligne. Dans ce travail, il se place en égale caractéristique et parvient à démontrer le résultat voulu en généralisant cette méthode au cas des variétés de Deligne-Rapoport-Stuhler. Un point important dans cette thèse consistait à établir un analogue, dans cette situation, du théorème de Serre et Tate. Une autre étape essentielle consistait à montrer que les strates autres que la strate supersingulière ne pouvaient contribuer aux représentations cuspidales de GL n (ce qui généralise des idées contenues dans l article [PS] de Piatetskii-Shapiro). Avec tout cela il pouvait appliquer une méthode semblable à celle de Deligne : il montrait en gros que la représentation locale fondamentale réalise - du moins dans sa partie reliée aux cuspidales - une correspondance entre représentations des trois groupes GL n (K), D n et W K qui est la correspondance de Jacquet-Langlands généralisée entre les deux premiers. Par aileurs, elle est telle que la représentation du groupe de Weil ainsi associée à une représentation cuspidale π v coïncide avec la restriction au groupe de Weil local d une représentation galoisienne provenant d une représentation automorphe Π de composante locale π v. Or pour les corps de fonctions, on sait que les représentations locales automorphes et galoisiennes se correspondent partout par la correspondance de Langlands locale (dont 24

25 on démontre ainsi l existence [LRS]) : cela est une conséquence du fait que l on sait que les fonctions L admettent des équations fonctionelles avec des constantes exprimables en termes de constantes locales. Pour les corps de nombres, la situation paraissait moins favorable car s il était relativement clair que les travaux de Boyer pouvaient s étendre à ce cas, on ne connaissait pas l existence de la correspondance de Langlands locale dans ce cas (ni les bonnes propriétés requises des fonctions L). A l époque, j étais pessimiste sur cette question et ne pensais pas que ces méthodes géométriques, que j avais pourtant contribué à promouvoir, puissent donner les résultats voulus. Mais j avais tort... Que cela soit possible résulte d une idée, rétrospectivement assez élémentaire, mais fondamentale et qui m avait complétement échappé. C est Harris (dans [Har2]) qui a découvert cela. Expliquons, de façon un peu approximative, de quoi il s agit. Utilisant la représentation locale fondamentale, on associe à chaque représentation cuspidale π de GL n (K) une représentation galoisienne σ n (π). Il est alors possible, en ne considérant que les points supersinguliers des variétés de Shimura discutées au numéro précédent (et asociées à un groupe unitaire en n variables) de montrer que cette application σ calcule la restriction en une place (où le groupe est déployé) de la représentation galoisienne attachée à une représentation automorphe Π de composante cuspidale en cette place. L idée de Harris consiste à étendre cette application σ aux induites irréductibles de cuspidales. Soit n un entier, dont on se donne une partition n = n 1 +n 2 + +n k. Si π 1, π k sont des représentations cuspidales des groupes GL ni (K), on note π = π 1 π 2 π k l induite (induction unitaire) à partir du parabolique de GL n (K), associé à la partition considérée, de la représentation π 1 π 2 π k (une représentation du sous-groupe de Levi que l on étend trivialement). On suppose que cette induite est irréductible. Alors on lui associe la représentation galoisienne : σ n (π) = σ n1 (π 1 ) n 1 n σ n2 (π 2 ) n 2 n σ nk (π k ) n k n Supposons qu il soit encore vrai que cette application calcule (à semisimplification près) la restriction en une place de la représentation galoisienne attachée à une représentation automorphe Π de composante π, non nécessairement cuspidale. Alors les applications σ h vérifient bien les conjectures de Langlands locales (une propriété qui signifie que des facteurs epsilon, que l on sait définir tant du côté automorphe que galoisien, sont préservés). Harris a découvert que cette propriété était une conséquence du théorème d induction de Brauer, des propriétés des facteurs ɛ locaux et de l existence de 25

26 l induction automorphe et de la construction des représentations galoisiennes attachées aux formes automorphes. Le cœur du travail de Harris et Taylor consiste a prouver cette propriété et cela nécessite de comprendre non pas seulement les cycles évanescents aux points supersinguliers du schéma Sh U mais aussi le long des différentes strates Sh U (h) s. La structure de ce schéma le long d une telle strate est contrôlée par les déformations du O-module divisible G, dont la partie étale G et est localement isomorphe à (ϖ m O/O) h et la partie infinitésimale G 0 à Σ n h. Supposons, comme au paragraphe précédent, que le sous-groupe U est décomposé en un produit de sous-groupes relatifs aux différentes places de F. On écrit U = U P U P, où U P désigne la composante en P et U P le produit de toutes les autres. On suppose de plus que U P = UP m coïncide avec le m-ième groupe de congruence dans GL n (O F,P ). On note alors Sh m,u P la variété correspondante (ainsi qu un modèle sur l anneau O). Un tel modèle est lisse lorsque m = 0 et devient ramifié dès que m > 0. Pour comprendre les cycles évanescents le long des différentes strates, on introduit les variétés d Igusa (généralisant les courbes du même nom qui interviennent dans la théorie des courbes modulaires). Ce sont des variétés sur le corps résiduel k. Les variétés d Igusa de première espèce sont les revêtements, notés I (h) U P,m, de la partie Sh (h) m,u P s de la fibre spéciale où G et est de hauteur h. Un tel revêtement est défini comme classifiant les isomorphismes (structures de niveau partielles) entre (ϖ m O/O) h et (G) et ϖm. Il est étale galoisien de groupe GL h (O/ϖ m O). La variété d Igusa I (h) est la fibre spéciale d un schéma formel U P I(h),m U P,m, classifiant les structures de niveau étales partielles comme plus haut, au dessus (h) du complété de Sh 0,U P le long de sa fibre spéciale Sh 0,U P. On peut définir au-dessus de I (h) un revêtement noté U P I(h) (t) (cette fois-ci très ramifié au,m U P,m dessus de la fibre spéciale) qui classifie les bases de Drinfeld partielles : (ϖ t O/O) n h (G) 0 ϖ t vers la partie formelle (G) 0 ϖ de (G) t ϖ t. Ce revêtement constitue un modèle formel de Sh m,u P au voisinage de sa fibre spéciale et la théorie de Berkovich nous permet alors d identifier les espaces cycles évanescents que nous voulons calculer à ceux de I (h) U P,m (m). Notons Φ j (t) ce faisceau de cycles évanescents (au-dessus de I (h) ). Il s agit U P,m d exprimer ce faisceau en termes de la représentation locale fondamentale. En s 26

27 un k-point x de la fibre spéciale, l espace des déformations de G x se projette sur celui des déformations de la partie formelle Gx 0 et on vérifie sans peine que cette projection est formellement lisse. Si l on fixe un isomorphisme entre Gx 0 et Σ n h, on obtient alors un isomorphisme entre les espaces correspondants de déformations et donc entre les espaces de cyles évanescents Φ j (t) et Ψ j n h,t. Mais le groupe G 0 n est pas constant et il n existe donc pas de tel isomorphisme sur I (h). Pour remédier à cela, on introduit les variétés d Igusa de seconde U P,m espèce : J (h) U P I(h),m,s U P,m k k qui classifient les isomorphismes entre les sous-groupes de points de ϖ s torsion du groupe Σ n h et du groupe G 0. Ces revêtements constituent (pour s variant) un système projectif de revêtements étales de I (h) U w,m k k, de groupe de Galois OD n h. Intuitivement ce système trivialise notre groupe G 0 et donc le faisceau des cycles évanescents, qui devient sur la limite isomorphe à Ψ j n h,t. Utilisant la théorie de Berkovich et un passage à la limite (un peu délicat) on peut effectivement montrer que le faisceau des cycles évanescents sur I (h) U P,m k k est celui obtenu à partir de faisceau constant Ψ j n h,t sur la limite projective des J (h) U P,m,s par passage au quotient par O D n h (lequel opère, rappelons-le, sur la représentation locale). Cela peut s exprimer autrement, en considérant l ensemble des représentations (admissibles, irréductibles) ρ de D n h (modulo torsion par un caracère non ramifié). Chacune définit (à partir du système projectif des variétés d Igusa de seconde espèce) un système local F(ρ) sur I (h). On obtient alors un isomorphisme : U P,m Φ j (t) = ρ F(ρ) Ψ j n h,t (ρ). Telle est la relation entre les cycles évanescents et la représentation locale. Harris et Taylor utilisent ensuite une méthode englobant à la fois celle de Deligne dont nous avons expliqué le principe dans la première partie, et celle initiée par Langlands et qui consiste à comparer les formules des traces de Selberg et de Lefschetz. On doit pour cela décrire l ensemble des points des variétés d Igusa, munies des actions des différents groupes qui interviennent. Le résultat obtenu finalement avec une extrême virtuosité prouve finalement que la restriction au groupe de Galois local en P peut se calculer de façon purement locale, et c est ce que l on voulait. On peut alors conclure en appliquant le résultat de Harris expliqué ci-dessus. Énonçons le résultat qu ils obtiennent. On part d une représentation automorphe Π qui apparaît dans la cohomologie (à valeurs dans un faisceau) de 27

28 notre variété de Shimura. On note R(Π) la représentation galoisienne correspondante ; on ne fixe pas le degré de cohomologie mais on considère plutôt la représentation virtuelle ( 1) n 1 i ( 1)i [R i (Π)]. Supposons que la composante locale en P est une induite Π p = π = π 1 π 2 π t de cuspidales. Alors la représentation (virtuelle) [R(Π)], restreinte au groupe de Weil local en p (ce qu on note par un indice p), est donnée par la formule : n[r(π) p ] = dim([r(π)])[ σ n (Π p )] Autres travaux, et résultats plus récents. Dans cet exposé, je me suis attaché à un aspect particulier de cette théorie, qui consiste en l étude des cycles évanescents pour des variétés de Shimura associées à des groupes unitaires d un certain type, en une place où le groupe est déployé (isomorphe à GL n (K)). On a des résultats semblables en une place où le groupe est isomorphe au groupe multiplicatif du corps gauche DK,n de centre K de dimension n 2 et d invariant 1/n. Les espaces qui interviennent sont alors des espaces analytiques p-adiques : le demi-plan généralisé de Drinfeld Ω n K consiste en l espace projectif de dimension n 1 privé de tous ses hyperplans rationnels, et Drinfeld ([Dr2]) en a construit une famille de revêtements Rev n,m K. La cohomologie de ces objets fournit encore des représentations du produit GL n (K) Dn W K. On obtient ainsi une seconde représentation locale fondamentale et on montre qu elle possède exactement les mêmes propriétés que celle décrite ici : pour les corps de fonctions cela résulte du travail de Thomas Hausberger [Hau] tandis que dans les cas des corps p-adiques cela résulte de [Har1] et [HT]. Cela avait été conjecturé (du moins implicitement) par Drinfeld dès le milieu des années 70. La relation entre ces deux types d objets géométriques, qui produisent au bout du compte des représentations identiques, a été pendant longtemps une question ouverte. Ceux dont nous avons parlé plus haut constituent un système de revêtements, de groupe GL n (O K ), d une base où opère O D n. Pour ceux du type Drinfeld, les groupes jouent des rôles symétriques, i.e. c est GL n (K) qui opère sur Ω n K (action évidente) tandis que les revêtements admettent pour groupes de Galois des quotients de O D n. Ce n est qu assez récemment que Faltings [Fal] (voir aussi [FGL]) est parvenu à prouver que les limites projectives des deux systèmes (vues dans une catégorie convenable) coïncidaient. La méthode de Harris et Taylor, fondée sur des calculs de formules de traces, ne déterminait que des représentations virtuelles, sommes alternées des espaces correspondant aux différents degrés de cohomologie. Cela permet d obtenir essentiellement la partie des représentations (locales et globales) correspondant aux cuspidales. Boyer ([Boy2], [Boy3]) est finalement venu a bout de la 28

29 description de la filtration de monodromie dans l étude des suites spectrales correspondantes, et cela lui permet une description complète des différents objets tant locaux que globaux. Signalons également un article de Taylor et Yoshida [TY], dans lequel ils déterminent la monodromie des représentations galoisiennes qui apparaïssent en cohomologie de degré médian (par une méthode plus simple que celle de Boyer, mais qui ne va pas aussi loin). Je mentionnerai aussi le travail [Da] de Dat, dans lequel il considère les mêmes objets que ci-dessus, mais se plaçant dans la catégorie dérivée des représentations lisses de GL n (K), et il obtient des résultats plus fins, pour les représentations non cuspidales mais elliptiques, qu en considérant simplement les groupes de cohomologie. Je renvoie à l exposé de Thomas Hausberger pour une description plus approfondie de ces points, en particulier des travaux de Boyer et de ceux de Dat. Je terminerai cet exposé en disant quelques mots de ce qu il advient lorsqu on sort du cadre des formes de GL n. Rapoport et Zink [RZ2] ont construit des espaces analytiques qui généralisent ceux considérés dans cet exposé, et qui permettent d uniformiser les différentes strates de la fibre spéciale des variétés de Shimura de type PEL (ou même EL). Utilisant les modèles locaux ainsi obtenus, on peut espérer calculer la cohomologie des variétés de Shimura en une place de mauvaise réduction, ce que l on sait faire dans certains cas (même si la théorie est moins avancée pour de tels groupes généraux). Il s agit pour l instant essentiellement de la mauvaise réduction de type parahorique. Cette théorie a connu ces dernières années de multiples et importants développements. Je renverrai le lecteur intéressé par ces modèles locaux à l article d exposition [Ra]. L. Fargues ([Far]) et E. Mantovan ([Ma]) ont utilisé les espaces de Rapoport-Zink pour étendre le travail de Harris et Taylor à des groupes unitaires d un type plus général que ceux considérés dans [HT]. Voir aussi [RZ1] pour des calculs de cycles évanescents dans un esprit un peu diférent de ce que nous avons exposé ici. Références [Be1] V.G. Berkovich, étale cohomology for non-archimedean analytic spaces, Publ. Math. I.H.E.S. 78 (1993), [Be2] V.G. Berkovich, Vanishing cycles for formal schemes, Invent. Math. 115 (1994), [Be3] V.G. Berkovich, Vanishing cycles for formal schemes II, Invent. Math. 125 (1996), [Boy1] P. Boyer, Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld et conjecture de Langlands locale, Invent. Math. 138 (1999)

30 [Boy2] P. Boyer, Faisceau pervers des cycles évanescents des variétés de Drinfeld et filtration de monodromie locale du modèle de Deligne-Carayol, à paraître aux Mémoires de la SMF. [Boy3] P. Boyer, Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, livre en préparation. [Br] J. Brylinski, Un lemme sur les cycles évanescents en dimension relative 1, Appendice à [Ca2]. [Ca1] H. Carayol Sur la mauvaise réduction des courbes de Shimura, Compositio Math. 59, 1986, [Ca2] H. Carayol Sur les représentations l-adiques associées aux formes modulaires de Hilbert, Ann. Sci. E.N.S. 19, 1986, [Ca3] H. Carayol, Non abelian Lubin Tate theory, dans Automorphic forms, Shimura varieties, and L functions vol II (L. Clozel et J.S. Milne, eds), Academic Press (1990). [Ca4] H. Carayol, Preuve de la conjecture de Langlands locale pour GL n : travaux de Harris-Taylor et Henniart, Séminaire Bourbaki. Vol. 1998/1999. Astérisque 266 (2000). [Da] J.-F. Dat Théorie de Lubin-Tate non abélienne et représentations elliptiques, Invent. Math. 169 (1) (2007), [De1] P. Deligne Formes modulaires et représentations l-adiques, Séminaire Bourbaki, exp. 355 (Février 1969). Lectures Notes in Math. 179, , Springer [De2] P. Deligne Travaux de Shimura, Séminaire Bourbaki, exp. 389 (Février 1971). Lectures Notes in Math. 244, , Springer [De3] P. Deligne Le formalisme des cycles évanescents, Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique (SGA7 II) Lectures Notes in Math. 340, , Springer [De4] P. Deligne Lettre à Piatetskii Shapiro. (1973) [Dr1] V.G. Drinfeld Elliptic modules, Mat. Sbornik 94 (136) (1994) [Dr2] V.G. Drinfeld Coverings of p-adic symmetric domains, Funkcional. Anal. i Priložen. 10 (2) (1976) [Du] A. Ducros Espaces analytiques p-adiques au sens de Berkovich, Séminaire Bourbaki. Vol. 2005/2006. Astérisque 311 (2007). [Fal] G. Faltings A relation between two moduli spaces studied by V.G. Drinfeld, Algebraic number theory and algebraic geometry, , Contemp. Math. 300, Amer. Math. Soc., Providence, RI, [Far] L. Fargues Cohomologie des espaces de modules de groupes p-divisibles et correspondance de Langlands locales, Variétés de Shimura, espaces de Rapoport- Zink et correspondances de Langlands locales, Astérisque 291 (2004), [FGL] L. Fargues, A. Genestier, V. Laforgue L isomorphisme entre les tours de Lubin-tate et de Drinfeld, Progress in Mathematics Vol. 262, Birkhäuser [Har1] M. Harris, Supercuspidal representations in the cohomology of Drinfeld upper half spaces : elaboration of Carayol s program, Invent. Math. 129 (1997),

31 [Har2] M. Harris, The local Langlands conjecture for GL(n) over a p adic field, n < p, Invent. Math. 134 (1998), [Hau] T. Hausberger Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (4) (2005) [HT] M. Harris, R. Taylor On the geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Math. Studies 151, Princeton University Press (2001). [KM] N. Katz and B. Mazur Arithmetic moduli of elliptic curves, Annals of Math. Studies 108, Princeton University Press (1985). [Ku] Ph. Kutzko The local langlands conjecture for GL(2), Annals of Math. 112 (1980), [La] R. P. Langlands Modular forms and l-adic representations, Modular functions of one variable (Antwerp, 1972), Lectures Notes in Math. 349, , Springer [LRS] G. Laumon, M. Rapoport et U. Stuhler, D elliptic sheaves and the Langlands correspondence, Invent. Math. 113 (1993), [Ma] E. Mantovan On certain unitary groups Shimura varieties, Variétés de Shimura, espaces de Rapoport-Zink et correspondances de Langlands locales, Astérisque 291 (2004), [Ny] L. Nyssen Représentations extraordinaires, Compositio Math. 115, 3 (1999), [PS] I.I. Piatetskii-Shapiro Zeta functions of modular curves, Modular functions of one variable (Antwerp, 1972), Lectures Notes in Math. 349, , Springer [Ra] M. Rapoport A guide to the reduction modulo p of Shimura varieties, automorphic forms I, astérisque 298 (2005), [Ro] J. Rogawski, Representations of GL(n) and division algebras over a p adic field, Duke Math. J. 50 (1983), [RZ1] M. Rapoport et T. Zink, Über die lokale Zetafunktion von Shimuravarietäten. Mondromiefiltration und verschwindende Zyklen in ungleicher charakteristik Invent. Math. 68 (1982) n 1, [RZ2] M. Rapoport et T. Zink, Period spaces for p divisible groups, Annals of Math. Studies 141, Princeton University Press (1996). [TY] R. Taylor, T. Yoshida, Compatibility of local and global langlands correpondences, J. Amer. math. Soc. 20 (2) (2007) novembre 2008 Henri Carayol, Université de Strasbourg et CNRS - 7 Rue René Descartes - F Strasbourg Cedex - FRANCE 31

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33 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON Sur les réalisations des correspondances de Langlands dans la cohomologie des tours de Drinfeld et de Lubin-Tate T. HAUSBERGER

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35 SUR LES RÉALISATIONS DES CORRESPONDANCES DE LANGLANDS DANS LA COHOMOLOGIE DES TOURS DE DRINFELD ET DE LUBIN-TATE par Thomas Hausberger Résumé. Le cadre de cet article est celui du programme de Langlands : on réalise les correspondances de Langlands (du moins pour les supercuspidales) et de Jacquet-Langlands locales dans la cohomologie de certains espaces de modules de groupes p-divisibles, à savoir la tour dite de Lubin-Tate et la tour des revêtements de Drinfeld. Après avoir présenté les différents objets, de nature locale et globale (variétés de Shimura et variétés modulaires de Drinfeld), on explicite les résultats de Boyer-Harris-Taylor et de Hausberger- Harris sur la cohomologie des deux tours et on indique les grandes lignes des preuves. Cela répond à une conjecture de Deligne, Drinfeld et Carayol datant de L isomorphisme de Faltings-Fargues entre les deux tours est également évoqué ainsi que les travaux de Dat qui donne une réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands pour les représentations dites elliptiques en travaillant dans une catégorie dérivée appropriée. Abstract (On the realizations of the Langlands correspondences in the cohomology of the Drinfeld and Lubin-Tate towers) The framework of this article is the Langlands program : the local Langlands correspondence (for supercuspidals) and the local Jacquet-Langlands correspondence are realized in the cohomology of some moduli spaces of p- divisible groups, precisely the so-called Lubin-Tate tower and the tower of Drinfeld s coverings. After presenting the different objects, of local and global (the Shimura varieties and Drinfeld s modular varieties) nature, results by Boyer-Harris-Taylor and Harris-Hausberger on the cohomology of the two towers are described and the main lines of the proofs are sketched. This responds to a conjecture of Deligne, Drinfeld and Carayol dating from The Faltings-Fargues isomorphism between the two towers is also mentionned as well as the work of Dat who gives a cohomological realization of the Langlands correspondence for the so-called elliptic representations, working in an appropriate derived category. Classification mathématique par sujets (2000). 11G, 11F, 11S37, 11G09, 11G10, 11G18, 11G35, 11R39, 14G22, 14G35, 14L05.

36 Table des matières Introduction Le programme de Langlands Les deux tours L isomorphisme de Faltings-Fargues Les acteurs globaux Les suites spectrales Réalisations géométriques des correspondences Calcul de la cohomologie non supercuspidale Réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands pour les représentations elliptiques Perspectives Références Introduction Cet article d exposition fait suite à celui de Henri Carayol : on y expose les résultats récents mentionnés en fin de texte. Il s agit donc toujours de la réalisation du programme de Carayol décrit dans [17] (sur une idée de Deligne [26]). L accent est mis sur les deux représentations locales fondamentales qui réalisent les correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales, donc sur les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld (et les liens qui les unissent), dont on considère la cohomologie étale l-adique à support compact. L aboutissement est le théorème 8 qui décrit totalement cette cohomologie. Les détails seront donnés dans le cas des corps de fonctions (celui des corps de nombres est, dans les grandes lignes, similaire), à la fois parce que l auteur est davantage familier des variétés modulaires de Drinfeld et du fait que les variétés de Shimura ont déjà trouvé bonne place dans l article de Carayol. Des rappels historiques sont fournis et les contributions des différents auteurs précisés au cours du texte. Figurent aussi, autant que faire se peut, les grandes lignes des preuves. Face à la grande quantité de littérature que cela représente, l auteur de ce texte sollicite l indulgence du lecteur quant aux raccourcis et simplifications auxquelles il a dû opérer pour rendre ce texte concis et lisible, raccourcis qui ont pour résultats d inévitables imprécisions. 36

37 1. Le programme de Langlands Nous allons faire quelques rappels concernant la correspondance de Langlands locale pour le groupe linéaire, ainsi que la correspondance de Jacquet- Langlands locale qui est une instance des diverses fonctorialités prévues par Langlands, les deux correspondances apparaissant de paire dans la cohomologie des variétés globales que nous présenterons plus loin dans cet article. On se donne donc K un corps local non archimédien, c est-à-dire soit une extension finie K/Q p de corps résiduel k = F q, soit un corps de séries formelles de Laurent en une indéterminée K = F q ((t)). Comme de coutume, on note O son anneau des entiers et ϖ une uniformisante La correspondance de Jacquet-Langlands locale. Soit D d l algèbre à division de centre K et d invariant 1/d. Désignons par A (d) l ensemble des (classes d équivalence de) représentations complexes admissibles irréductibles du groupe D d (ces représentations sont de dimension finie). D autre part, soit A(d) l ensemble des (classes d équivalence de) représentations complexes admissibles irréductibles du groupe GL d (K). On note A 2 (d) le sous-ensemble constitué des représentations qui sont essentiellement de carré intégrable (i.e. les coefficients matriciels sont intégrables modulo le centre), lequel contient l ensemble A 0 (d) des représentations cuspidales (leurs coefficients sont à support compact modulo le centre). Tant les éléments de A(d) que ceux de A (d) admettent des caractères (pour les premiers, ils sont définis sur les éléments semi-simples réguliers). Théorème 1. Il existe une famille de bijections (d 1) : JL d : A 2 (d) A (d), π JL(π) caractérisée par l égalité (au signe près) des caractères χ π (g) = ( 1) d 1 χ JL(π) (g ) sur les éléments réguliers associés ( i.e. qui ont même polynôme minimal). Ce théorème a été démontré, dans le cas des corps p-adiques, par Jacquet et Langlands (pour d = 2 ; [52]), puis par Rogawski, Kazhdan et Vignéras (pour d quelconque ; [64] [24]). Il est dû à Badulescu en égale caractéristique (voir [1] ou [2] pour une généralisation). Les preuves procédent par voie globale et reposent sur la formule des traces de Selberg. Dans ce qui suit, on considérera non pas des représentations complexes mais à valeur dans Q l (l p). La notion de représentation essentiellement de carré intégrable est une notion algébrique (c est évident pour les cuspidales ; pour 37

38 les autres, cela résulte du cas cuspidal, du théorème de classification de Zelevinsky des séries discrètes pour GL d et de considérations sur la rationalité du processus d induction). On peut donc transporter la bijection du théorème précédent, via l isomorphisme Q l C choisi : la correspondance de Jacquet- Langlands locale est équivariante sous l action de Aut(C) parce que les caractères des représentations le sont. Désormais, les éléments de A(d) et A (d) seront vues comme des Q l -représentations La correspondance de Langlands locale. On considère maintenant le groupe de Weil W K, constitué des éléments du groupe de Galois absolu Gal(K/K) qui induisent une puissance entière du Frobenius Fr q sur le corps résiduel k de l extension maximale non ramifiée K nr (K désigne bien entendu une clôture séparable en égale caractéristique). Ce dernier s insère donc dans une suite exacte 1 I K W K < Fr q > Z 1, où I K = Gal(K/K nr ) désigne le sous-groupe d inertie, et il est doté de la topologie pour laquelle I K, muni de sa topologie de Krull, est un sous-groupe ouvert et le quotient W K /I K est discret. Pour tout entier d 1, nous désignons par G(d) l ensemble des (classes d équivalences de) représentations complexes de Weil-Deligne continues de degré d Frob-semi-simples du groupe W K. Précisément, il s agit d un couple (ρ, N), où ρ est une représentation complexe continue semi-simple de dimension d de W K (son espace E est doté de la topologie discrète) et N un endomorphisme nilpotent de E qui commute avec l action de l inertie et tel que ρ(f r)n = q 1 Nρ(F r). On a noté F r un élément de Frobenius géomètrique, qui induit Fr 1 q sur le corps résiduel k. Nous considérons également le sousensemble G 2 (d) des représentations indécomposables, qui contient celui G 0 (d) des représentations irréductibles (cela implique N = 0). Théorème 2. Il existe une famille de bijections (d 1, i {, 2, 0}) : L d : A i l (d) Gi l (d), π L(π) caractérisée par la compatibilité à la théorie du corps de classe (avec laquelle elle coïncide pour d = 1, la normalisation étant telle que l uniformisante ϖ corresponde au Frobenius géométrique F r), la compatibilité à la torsion par un quasi-caractère et au passage à la contragrédiente, et la préservation des fonctions L et facteurs ɛ de paires. 38

39 Ce théorème célèbre a été démontré par Kutzo pour d = 2 ([53]) puis par Henniart pour d = 3 ([48]). Pour d quelconque, il a été d abord démontré par Laumon, Rapoport et Stuhler en égale caractéristique ([54]) puis, dans le cas p-adique, indépendemment par Henniart d une part ([49] ; voir également [51] pour l unicité) et Harris et Taylor ([46]) d autre part, après un résultat partiel de Harris ([42]). Le lecteur pourra consulter également les exposés de Carayol [19] et [20] au séminaire Bourbaki. Remarque 1. Bien que la correspondance de Langlands locale soit établie dès qu elle l est pour les cuspidales, qui constituent les briques élémentaires au vu de la classification de Bernstein et Zelevinsky ([9], [69] ; voir également l article d exposition [63]), la preuve de Harris et Taylor passe par une construction de la correspondance pour π générale (c est nécessaire afin de démontrer la préservation des facteurs ɛ de paires). A vrai dire, le théorème précédent est démontré non pas pour des représentations à valeurs complexes, mais pour des représentations l-adiques, et c est pour cela que le formalisme de Weil-Deligne a été introduit ([25]). La géométrie des variétés modulaires globales dont il sera question plus tard fournit (sur Q l ) la correspondance dite de Hecke r d (π) = L d (π ) 1 d 2, qui est invariante par Aut(C) (voir [50]). On peut donc transporter la bijection via l isomorphisme Q l C choisi. A partir de maintenant, on regardera A i d (K) et Gi d (K) comme des ensembles de Q l -représentations. On peut alors oublier N dans la définition (on considère donc les représentations l-adiques continues de dimension d de W K telles que l action du Frobenius soit semi-simple), car on récupère cet opérateur appelé monodromie par le théorème de monodromie l-adique de Grothendieck. Lorsque l on s intéresse aux réalisations géométrico-cohomologiques de ces correspondances, les objets locaux à considérer sont les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld. 2. Les deux tours On poursuit avec les notations précédentes et désigne par K nr le complété de l extension maximale non-ramifiée de K et Ônr son anneau des entiers. On note également O Dd l ordre maximal du corps gauche D d et O d O Dd l anneau des entiers de l extension non ramifiée de degré d. Ainsi O Dd s identifie-t-il à l algèbre O d [Π] soumises aux relations Π d = ϖ et Πa = a q Π (a O d ). 39

40 On rappelle qu un O-module formel X (défini sur une O-algèbre B dans laquelle l image de π est nilpotente) est un groupe formel muni d une action de O induisant l action naturelle sur son algèbre de Lie. Un O Dd -module formel est un O-module formel muni d une action de O Dd prolongeant celle de O. Il est dit spécial si l action de O d sur Lie(X) est telle qu elle décompose Lie(X) = i Z/dZ Lie(X) i selon les d plongements O d K en d composantes toutes de rang 1. En d autres termes, on demande que Lie(X) soit un O d B-module localement libre de rang 1 (définition due à Drinfeld). Enfin, une isogénie de O-modules formels est une isogénie de groupes formels O-équivariante. Sa hauteur est la O-hauteur de l isogénie X(ϖ), c est-à-dire l entier h tel que X(ϖ) = t qh + a h 1 t qh a 1 t q + ϖt. Une quasi-isogénie X 1 X 2 est un élément dans Hom(X 1, X 2 ) O K qui possède un inverse (dans Hom(X 1, X 2 ) O K). C est une isogénie à multiplication près par une puissance de X 2 (ϖ), ce qui permet d en définir la hauteur. Un O Dd -module formel spécial est de dimension d et hauteur d 2. Nous allons, pour chaque objet, en donner la présentation classique ([19]) puis la description selon le formalisme de Rapoport-Zink ([60]), qui en constitue le cadre naturel, pour la comparaison ([39]) et la généralisation La tour des revêtements de Drinfeld. Tout commence avec le demi-plan ϖ-adique généralisé de Drinfeld ([28]) : Ω d = P d 1 H/K H, où H parcourt l ensemble des hyperplans de P d 1 rationnels sur K. C est un analogue non-archimédien des espaces hermitiens symétriques, pour le cas du groupe linéaire GL d. Pour d = 2, on retrouve l analogue, déjà considéré par Tate ([67]), du double demi-plan de Poincaré H ± = P 1 (C) P 1 (R). La variété Ω d est munie d une structure d espace rigide-analytique. Elle possède un modèle formel Ω d, construit par Deligne, dont Ω d est donc la fibre générique au sens de Raynaud ([62]) et sur lequel agit PGL d (K). Fixons Φ un O Dd -module formel spécial sur k (ils sont tous isogènes). Drinfeld a découvert que Ω d ˆ Ônr classifie, sur les Ônr -algèbre s où l image de ϖ est nilpotente, les couples (X, ρ) tels que X est un O Dd -module formel spécial sur B et ρ : Φ B X B est une quasi-isogénie de hauteur zéro (on note B = B/ϖ n B et rigidifie donc la fibre spéciale uniquement). Soit maintenant X le O Dd -module formel universel au-dessus de Ω d ˆ Ônr. La fibre générique χ d n du noyau de la multiplication par ϖ n est localement pour la topologie étale isomorphe à 40

41 Ω d O Dd /ϖ n O Dd. On définit alors, suivant Drinfeld ([29]), les revêtements Σ d n = Isom ODd (ϖ n O Dd /O Dd, χ d n) de Ω d ˆ K nr, qui sont des revêtements étales galoisiens de groupe (O Dd /ϖ n O Dd ). Le groupe GL d (K), identifié à Aut ODd (Φ) O K, agit via l isogénie ρ et se relève aux revêtements. Cela correspond à l action naturelle sur Ω d tordue v(det g) par g F rq sur K nr. Enfin, les Σ d n constituent un système projectif via les inclusions ϖ m O Dd /O Dd ϖ n O Dd /O Dd pour m n. Le groupe D d) d agit sur la base de la tour par d F r v(nrd q, où Nrd : D K désigne la norme réduite, et se relève aux revêtements de façon compatible à l action de O D d sur la tour. En définitive, le groupe D d agit sur la tour par correspondances et cette action commute avec celle de GL d (K) sur chaque étage. Il est commode pour ce qui suit de prendre des hauteurs de hauteur abitraire, dans l esprit du formalisme de Rapoport-Zink, ce qui permet également de simplifier la description des actions. Nous transformons au passage l action à gauche de Drinfeld en une action à droite (afin d obtenir au final une action à gauche sur la cohomologie l-adique). On obtient un Ônr -schéma formel Md Dr,0, muni d une action à droite de GL d (K), qui se décompose en M d Dr,0 = d,[h] d,[h] h Z M Dr,0, où M Dr,0 désigne la composante connexe où la quasiisogénie ρ est de hauteur dh. On a donc M d,[0] Dr,0 = Ω d ˆ Ônr (mais les actions ne se comparent pas directement). Le schéma M d Dr,0 est muni d une donnée de descente non effective à Spf(O) : φ : Md Dr,0 ( Md Dr,0 ) Frq, qui envoie M d,[h] Dr,0 d,[h 1] sur ( M Dr,0 ) Frq. Soit M d Dr,0 la fibre générique de M d Dr,0 ; à l aide de structures de niveau η, on définit une tour de revêtements étales M d Dr,U indexée par les sous-groupes ouvert U de O D d, munie d une action à droite de GL d (K) D d définie par (g, d) : M d Dr,U M d Dr,d 1 Ud, (X, ρ, η) (X, ρ g, η d). Si l on pose U n = 1 + ϖ n O Dd, on retrouve M d,[0] Dr,U n = Σ d n. L action est telle que (g, d) envoie M d,[h] g)+v(nrd d)] Dr,U sur Md,[h+v(det. Cela conduit à définir le Dr,dUd 1 noyau (GL d (K) D d W K) 0 du caractère surjectif GL d (K) D d W K Z (g, d, w) v(det g) + v(nrd d) + v(cl(w)) 41

42 où cl : W K K désigne le morphisme du corps de classes. Ce sous-groupe agit sur M d,[0] Dr,U ; en terme de représentations, la cohomologie de Md Dr,U n est l induite de (GL d (K) D d W K) 0 à GL d (K) D d W K de la cohomologie de Σ d n. L action de K plongé centralement dans GL d (K) D d par x (x, x 1 ) est triviale. Noter également que l action de W K est définie via la donnée de descente, qui n est effective qu en quotientant par le sous-groupe engendré par une puissance de ϖ, ce qui revient au niveau de la cohomologie à fixer un caractère central d ordre fini (ce que nous ferons, voir théorème 8) La tour de Lubin-Tate. On s intéresse maintenant au foncteur des déformations par quasi-isogénie d un O-module formel Φ d de hauteur d et dimension 1, cas étudié (lorsque la quasi-isogénie est de hauteur zéro, donc un isomorphisme) originellement par Lubin et Tate ([56]) puis Drinfeld ([28] ; il s en sert essentiellement pour démontrer la lissité des variétés de modules elliptiques). On obtient le Ônr -schéma formel Md LT,0, muni d une action de d 1. D d identifié au groupe des quasi-isogénies de Φ d. On a une décomposition M d LT,0 = d,[h] d,[h] h Z M LT,0, où M LT,0 désigne la composante où la quasi-isogénie ρ est de hauteur h. On retrouve en degré 0 le résultat de Lubin-Tate-Drinfeld : M d,[0] LT,0 = Spf(Ônr [[t 1,..., t d 1 ]]). La fibre générique M d LT,0 est donc isomorphe, en tant qu espace rigide-analytique, à Z copies de la boule unité B Comme dans le cas précédent, on peut définir une tour indexée par les sousgroupes ouverts de GL d (O). Mieux, à l aide de la notion de structure de niveau de Drinfeld, on peut définir des structures entières (la structure de niveau était uniquement en fibre générique dans le cas précédent) : si X est un O-module formel sur B, il s agit d un morphisme de O-modules η : (ϖ n O/O) d m B, où m B désigne l idéal maximal de B, tel que x ϖ n O/O (t η(x)) divise la série formelle donnant l action de ϖ sur X. On obtient des schémas formels M d LT,n. Revenons en fibre générique : la tour M d LT,U est munie d une action à droite par correspondances de GL d (F ) où pour g GL d (F ) tel que g 1 Ug GL d (O) on a g : M d LT,U M d LT,g 1 Ug, d une action à droite de D d sur chaque étage (légère modification par rapport au formalisme de Rapoport-Zink qui choisissent cette action à gauche ; les deux points de vue différent par d d 1 ), et d une donnée de descente à la Weil (non effective). Décomposant la tour en M d LT,U = h Z Md,[h] LT,U et définissant le noyau (GL d(k) D d W K) 1 du 42

43 caractère surjectif GL d (K) D d W K Z (g, d, w) v(det g) + v(nrd d) + v(cl(w)) l action sur M d LT est géométriquement induite de celle de (GL d(k) D d W K ) 1 sur M d,[0] LT. Le sous-groupe K, plongé diagonalement dans GL d (K), agit trivialement. D d 2.3. Les représentations locales fondamentales. Il existe différentes théories des espaces rigides-analytiques, depuis la définition de Tate ([67] ; noter que ces espaces apparaissent d emblée comme le contexte naturel où a lieu l uniformisation de certaines courbes elliptiques) et la vision de Raynaud en tant que fibre générique de schémas formels ([62]). Nous choisissons la théorie de Berkovich, qui est une des plus riches de part le formalisme cohomologique étale élaboré ([4]), Berkovich prouvant également les théorèmes de comparaison de type GAGA (géométrie algébrique - géométrie analytique ; [6]), de changement de base,..., que l on peut souhaiter. Une des motivations de Berkovich a d ailleurs été, suite aux travaux de Drinfeld, de fournir les outils de géométrie analytique-rigide nécessaires à la réalisation du programme décrit par Carayol ([19]) autour de la correspondance de Langlands locale. Comme application, il prouve une conjecture de Deligne sur les cycles évanescents ([5]) qui est cruciale pour ce programme (voir plus loin ou l article d exposition de Carayol). Le lecteur pourra également consulter le compte-rendu de Berkovich à ICM 1998 ([8]), où Berkovich expose les idées sous-jacentes à sa théorie et ses motivations, ou bien encore lire l exposé de Ducros au séminaire Bourbaki ([32]). On considère les deux tours définies au paragraphe précédent : GL d (K) M d Dr,n et M d LT,n D d D d r Z Ωd GL d (K) d 1 Définition 1. Les représentations locales fondamentales sont les espaces de cohomologie étale l-adique à support compact Uc,? i = lim H i c((m d?,n ) K, Q l) GL d (K) D d W K n où? = Dr ou LT et où l action sur la cohomologie résulte de l action sur les tours décrite au paragraphe précédent. r Z B 43

44 Bien entendu, comme dans le formalisme l-adique traditionnel, on a H i c((m d?,n ) K, Q l) = lim m H i c((m d?,n ) K, Z/lm Z) Zl Q l (plus exactement, Berkovich définit d abord la cohomologie à support sur les ouverts distingués puis passe à la limite inductive). Remarque 2. Une définition alternative est la suivante : on considère ULT i = lim Ind GL d(k) D d W K n (GL d (K) D d W K) 1 H0 (M d,[0] LT,n k, Ri Ψ form η Q l ) où Ψ form η désigne le foncteur cycles évanescents de Berkovich. Ce foncteur calcule la cohomologie sans support, laquelle est duale de U c,lt (dualité de Poincaré). Nous en dirons plus au paragraphe 5.2 Proposition 2.1. Les représentations Uc,? i sont des représentations admissibles modulo le centre du groupe produit GL d (K) D d W K. Remarque 3. Le centre de GL d (K) D d translate les composantes connexes M d,[h] c,?, h Z, donc l action ne peut être admissible. C est pourquoi dans le théorème 8 nous fixerons le caractère central χ : l action est admissible sur le plus grand quotient Uc,?,χ i de U c,? i où le centre de GL d(k) agit via χ. Ce résultat est essentiellement dû à Berkovich, qui a developpé une théorie des espaces analytiques munis d une action de groupe (rappelée brievement dans l appendice A de [47]). Lemme 1 (Berkovich). (i) Soit U un sous-ensemble ouvert distingué d un K-espace analytique quasi-algébrique X. Alors les groupes de cohomologie à support compact H i c(u K, Q l ) sont de dimension finie. (ii) Si X est de plus un G-espace ( i.e. muni d une action continue du groupe G) et G contient un sous-groupe ouvert qui est un pro-p-groupe (avec p l), alors l action de G sur H i c(x K, Q l ) est lisse. Le point (ii) démontre la lissité de l action de GL d (K) sur les espaces Uc,Dr i, celle de D provient de la définition même des revêtements et l action galoisienne est continue d après un résultat général similaire de Berkovich. Par contre, le point (i) du lemme ne permet pas de démontrer l admissibilité, mais seulement que la cohomologie à support est de type fini. En effet, on peut calculer la cohomologie par une suite spectrale correspondant à un recouvrement de Čech, qui fait intervenir un nombre fini d induites compactes 44

45 de représentations de la forme H i c(u K, Q l ), pour des ouverts distingués U K. Le résultat en découle et Uc,Dr i est donc une représentation de longueur finie. Du côté Lubin-Tate où les rôles de D d et GL d(k) sont échangées, la situation est meilleure car M d,[0] LT,n est, en vertu du théorème d uniformisation que nous énoncerons plus loin, un ouvert distingué d un espace analytique quasialgébrique, si bien que H i c((m d,[0] LT,n ) K, Q l) est de dimension finie. L admissibilité de l action de GL d (K) D d sur U c,lt i en résulte directement, car M d LT,n est l espace des invariants sous le sous-groupe de congruence principal 1 + ϖ n M d (K). De plus, la cohomologie sans support de M d,[0] LT,n (donc de M d LT,n par induction) a bien un sens, contrairement au côté Drinfeld. En définitive, Uc,Dr i est également admissible (modulo le centre), en vertu du théorème d isomorphisme de Faltings-Fargues et son corollaire cohomologique, que nous allons maintenant exposer. 3. L isomorphisme de Faltings-Fargues Si l article de Falting a ouvert la voie ([34]), il a fallu à Fargues quelques années de labeur afin de constuire les outils techniques nécessaires à rendre valides les arguments de loc. cit. Signalons également que Genestier et V. Lafforgue ont donné une seconde démonstration du résultat qui suit, plus simple mais valable uniquement en égale caractéristique et utilisant la théorie du module de coordonnées ([40]). Elle figure à la fin de l ouvrage [39]. Le premier énoncé de [39] est le suivant : Théorème 3 (Faltings-Fargues ; [39] th..0.1). Il existe une padification MLT de la tour de Lubin-Tate et un isomorphisme MLT MDr, où MDr est un certain éclatement formel admissible de M Dr. Cet isomorphisme est équivariant lorsque l on munit M Dr de l action de GL d (K) D d obtenue en tordant l action naturelle par l involution (g, d) ( t g 1, d) de GL d (K) D d. Apportons quelques éclaircissements, car donner un sens à l isomorphisme est déjà un gros travail! Remarque Le schéma formel Ω est ϖ-adique : un idéal de définition de Ω est (π) et il est localement de la forme Spf(O K t 1,..., t d /I) en tant que schéma formel (comme de tradition, O K t 1,..., t d désigne le complété ϖ-adique de O K [t 1,..., t d ], constitué des séries formelles 45

46 restreintes). Les MDr,U sont les normalisés de Ω dans M Dr,U et M Dr = lim MDr,U est un schéma formel ϖ-adique qui constitue un U modèle entier (formel) de la tour M Dr. 2. On dispose également de modèle s entiers de la tour de Lubin-Tate : ils sont construits à partir de la notion de base de Drinfeld ([28]). Mais ils ne sont pas π-adiques car déjà en niveau zéro O K [[t 1,..., t d 1 ]] ne l est pas (un idéal de définition est (ϖ, t 1..., t d 1 )). C est pourquoi il faut p-adifier. Le modèle entier MLT est construit en recollant des cellules indexées par l immeuble de PGL d (donc en utilisant les correspondances de Hecke), de façon à pouvoir comparer par la suite avec le côté Drinfeld. 3. L isomorphisme n est pas algébrique : il existe des K-points qui s envoient sur des K \ K-points. C est d ailleurs pour cela qu il a fallu ϖ-adifier. 4. Les espaces M? = lim M U?,U (pour? = Dr et LT ) ne sont pas des espaces rigides au sens classique du terme (ils ne le sont qu en niveau fini). Le théorème permet de donner un sens à l isomorphisme en recourant à de bons modèle s entiers. Signalons que Fargues a également développé une théorie des espaces rigides pour laquelle ces limites projectives ont un sens, indépendemment de l existence de tels models. Le second résultat de Fargues est une application cohomologique, qui est nouvelle par rapport aux travaux de Faltings. On peut paraphraser le théorème principal 13.2 du chapitre IV de [39], étendu par le yoga habituel du cas des coefficients de torsion au cas des coefficients l-adiques, comme suit : Théorème 4 (Fargues). Soit l involution de GL d (K) définie par g t g 1 ; il y a un isomorphisme de GL d (K) D W K -modules lisse H c(m d LT ) H c(m d Dr). Remarque 5. De façon précise, Fargues énonce un résultat d équivalence de topos rigide-étale et obtient donc un résultat au niveau de la catégorie dérivée, dont a besoin Dat pour ses travaux que nous mentionnerons brièvement plus loin. La constuction de l isomorphisme entre les tours est extrêmement élaborée et les méthodes rigides employées très techniques, aussi est-il difficile d expliquer en quelques mots pourquoi ça marche. Il est conseillé de commencer par comprendre l isomorphisme au niveau des points (chapitre 2 de loc. cit. ), ce qui ne nécessite pas de modèle entier particulier ni d éclatement formel : on constate alors, suivant Fargues, que la théorie de Fontaine est au coeur de 46

47 l isomorphisme (périodes cristallines, etc.). On peut également consulter [36] pour une description de l isomorphisme au niveau des squelettes des deux tours, ce qui permet de comprendre comment ces deux objets d allure très dissemblable (rien qu à les regarder en niveau zéro) puissent être en relation : méditer sur le dessin en page 2 de loc. cit. relatif au cas d école d = 2 et K = Q p. 4. Les acteurs globaux Ce sont les variétés de Shimura dans le cas des corps de nombre (dont il est question dans [46] et dans le survey de Carayol) et les variétés modulaires de Drinfeld dans celui des corps de fonctions, que nous détaillons maintenant Les variétés modulaires de Drinfeld. Commençons par un petit rappel historique : les premiers objets visibles dans la littérature sont les modules elliptiques de Drinfeld ([28]), qui apparaissent simultanément avec Ω d. En effet, Drinfeld montre que l espace de module MI d des modules elliptiques (rigidifiés par une structure de niveau I et de degré d) constitue un analogue (pour d = 2) des courbes modulaires Y (N) : on obtient un résultat d uniformisation p-adique semblable à la description usuelle de Y (N)(C) comme quotient du demi-plan de Poincaré M d I ( F ) GL d (F )\[Ω d GL d (A )]/ GL d (O, I), où la place du corps global F joue le rôle de la place archimédienne et où GL d (O, I) désigne le sous-groupe de GL d (O A ) constituté des éléments qui sont congrus à 1 modulo I (bien entendu, on a noté A les adèles de F ). Il s agit même d un isomorphisme d espaces rigides-analytiques. En calculant H 1 := lim H 1 ( M 2 I I ( F ), Q l ), Drinfeld réussit à établir un analogue de la théorie d Eichler-Shimura : il attache une repésentation galoisienne l-adique de dimension 2 à toute représentation automorphe Π de GL 2 (A) telle que Π est la Steinbeg St. Cela lui permet de démontrer la correspondance de Langlands locale pour d = 2 ([31]). Drinfeld introduit alors de nouveaux objets, de nature plus géométrique (la définition d un module elliptique est une définition algébrique élémentaire) : les faisceaux elliptiques et montre l équivalence ( en dehors de la place ) des deux notions ([30] ; voir également [27]). Puis il définit les Stukas (ou F - faisceaux, la place ne jouant plus de rôle particulier), ce qui lui permet de démontrer la correspondance de Langlands globale pour d = 2. 47

48 Les variétés modulaires de Drinfeld ne sont pas propres, ce qui pose des problèmes ardus (compactification, formules des traces, etc.) qui sont difficiles à résoudre pour d > 2. Une solution est apportée par Laumon, Rapoport et Stuhler à travers les D-faisceaux elliptiques ([54]) qui sont donc des variantes compactes des faisceaux elliptiques de Drinfeld. Ces nouvelles variétés ne sont plus associées à GL d mais au groupe multiplicatif d un corps gauche D de centre F, de dimension d 2 sur F et déployé au-dessus de. La correspondance de Langlands locale en égale caractéristique en résultera, en décomposant la cohomologie de l espace de modules obtenu sous l action des opérateurs de Hecke, de manière similaire à ce qu à décrit Carayol pour les variétés de Shimura. Le lecteur pourra consulter [19] pour un compte-rendu agréable à lire de ces travaux (correspondance de Langlands locale uniquement). Notations : Soit X/F q une courbe projective lisse, de corps de fonctions F = F q (X) et soit D un faisceau d ordres maximaux de D et R le lieu de ramification de D. On se donne, o deux places distinctes fixées tel que D = M d (F ). La place sera l analogue de la place achimédienne et le complété F o jouera le rôle du corps local K de la partie locale de cet exposé. Enfin, soit I X { } un sous-schéma fermé fini non vide. La définition d un D-faisceau est essentiellement celle d un diagramme de fibrés vectoriels sur la courbe X : Définition 2. Un D-faisceau elliptique (de zéro z : S X R { } et pôle ) défini sur un F q -schéma S est la donnée d un diagramme commutatif... j i E i E i+1... t i... τ E τ j i τ i E i+1... où les E i sont des D X O S -modules à droite localement libres de rang 1, τ E i = (Id X Frob S/Fq ) E i, et les conditions suivantes sont vérifiées : (i) Périodicité : E i+d = E i ({ } S) (ii) Pôle : E i+1/ji (E i ) (Γ ) A i, pour A i un O S -module localement libre de rang d (iii) Zéro : E i+1 /t i ( τ E i ) (Γ z ) B i, pour B i un O S -module locallement libre de rang d (iv) Normalisation : χ(e 0 X s ) [0, d[ pour tout point géométrique s 48

49 On retiendra qu un D-faisceau E possède un zéro et un pôle. Le morphisme zéro permet de voir l espace de modules Ell I des D-faisceaux elliptiques (munis d une structure de niveau I) comme un schéma au-dessus de X R { }. Le pôle est quant à lui fixe (sans quoi on aboutit à la définition d un D-chtoucas de L. Lafforgue, qui parvient ainsi à démontrer la correspondance de Langlands globale pour GL d, d > 2). Théorème 5 ([54]). Le schéma Ell I est projectif, lisse et purement de dimension relative d 1 au-dessus de X R { }. Pour cela, Laumon, Rapoport et Stuhler vérifient (entre autres) le critère valuatif de propreté, en utilisant un théorème de réduction semi-stable développé par Drinfeld dans un travail sur la compactification des espaces de modules de Stukas. Enfin, les Ell I constituent un système projectif lorsque I varie. Notant A les adèles finies, on a une action à droite de D (A ) sur la limite projective lim Ell I F o, définie via les opérateurs de Hecke. I 4.2. Etude de la mauvaise réduction : les théorèmes d uniformisation. Il s agit tout d abord de prolonger le schéma Ell I au-dessus de Spec O o, dans les deux cas suivants : (1) le cas où o I (en dehors de R), étudié par Boyer ([14]), qui va donner lieu à un théorème d uniformisation faisant apparaêtre les espaces de Lubin- Tate ; (2) le cas où D o est le corps gauche D d d invariant 1/d, étudié par l auteur de ce texte dans [47], où interviennent l espace de Drinfeld (si o I) et ses revêtements (si mult o (I) > 0). On autorise donc le zéro z à intersecter le niveau et le lieu de ramification respectivement. Les propriétés des variétés de modules sont résumées ci-dessous : Ell I projectif zéro projectif lisse de dimension relative d 1 plat propre o o D o = D d X I { } R o I, o R 49

50 Pour que cela soit vrai, il faut imposer dans le cas (2) une condition supplémentaire, dite condition spéciale (sinon le schéma obtenu ne serait pas plat au-dessus de Spec O o ). A tout D-faisceau elliptique est associé, par une construction due à Drinfeld, un O o -module ϖ o -divisible noté Gr o (E), muni d une action de D o, et l on demande que ce soit un D o -module formel spécial, au sens du paragraphe 2.1. Noter également que les schémas de modules Ell I ne sont plus lisses (leurs fibres spéciales sont très ramifiées au-dessus de Spec k(o), comme on va le voir avec les théorèmes d uniformisation). Rappelons que les premiers résultats d uniformisation p-adique remontent à Tate qui introduit dans [67] la notion d espace analytique rigide en traitant du cas des courbes elliptiques à réduction multiplicative. Un peu plus tard, Mumford utilise le point de vue des schémas formels de Raynaud ([62]) pour montrer que les courbes de genres quelconques, en certaines places de mauvaise réduction, peuvent être uniformisées par des ouverts convenables du demi-plan p-adique Ω 2 Q p = P 1 ( Qp ) P 1 (Q p ) ([57] ; voir aussi [61] et [58] pour une généralisation en dimension supérieure). Čerednik découvre alors ([21]) que tel est le cas de la courbe de Shimura S associée à une algèbre de quaternions indéfinie de centre Q, en une place p où est ramifiée : S Q p est la réunion de (formes tordues galoisiennes) de quotients à la Mumford de Ω 2 Q p par des sous-groupes de Schottky de PGL 2 (Q p ) (du moins, lorsque l exposant en p du niveau est maximal). Peu après, Drinfeld en donne une explication naturelle (voir [29] ou son exégèse [11] par Boutot et Carayol) en découvrant que Ω d Q ˆ Ẑnr p p est un espace de modules pour les O p -modules formels (rigidifiés). L uniformisation p-adique provient alors de ce qu en la place p considèrée, la courbe de Shimura paramètre des variétés abéliennes toutes isogènes dont le groupe p-divisible est de ce type. Depuis, l uniformisation p-adique des variétés de Shimura a été développée par de nombreux auteurs ([18], [59], [60], [68] ; voir également l article d exposition [12]). Nous allons maintenant expliciter les théorèmes d uniformisation dans les deux cas qui nous concernent. Par rapport à ces rappels historiques, le cas D o = D d est l analogue de l uniformisation de Čerednik-Drinfeld. Le cas de Boyer est l analogue du résultat obtenu par Carayol pour certaines variétés de Shimura ([18]) Le cas D o = D d. Les raisons de l uniformisation sont les mêmes que celles évoquées plus haut : d une part, tous les D-faisceau elliptique E définis sur k(o) sont isogènes. Leurs fibres génériques sont donc isomorphes et 50

51 l on montre que l algèbre D des endomorphismes d une telle fibre générique s identifie à D en dehors des places, o et vérifie D = D d tandis que D o est déployé. Le groupe ϖ o -divisible Gr o (E) associé à E est un D o -module spécial. Notant Φ l unique (à isogénie près) D o -module formel spécial sur k(o), l ensemble des algébrisations de Φ, c est-à-dire des D-faisceaux elliptiques sur k(o) munis d un isomorphisme Φ Gr o (E), est en bijection avec l ensemble de doubles-classes Z I = D (F )\D (A )/K,o I, où l on a noté K,o I le sous-groupe compact ouvert de D (A ) constitué des éléments qui s envoient sur 1 modulo I. On utilise alors la description modulaire de l espace Ω d pour construire une application Ω d Z k(o) k(o) I Ell I k(o). Rentre ensuite en scène le second ingrédient essentiel, à savoir l analogue du théorème de Serre et Tate qui dit que déformer un D-faisceau elliptique E revient à déformer son groupe ϖ o -divisible Gr o (E). On démontre ainsi : Théorème 6 (Hausberger ; [47] 8.2). (a) Si o I alors il existe un isomorphisme de O o -schémas formels Êll I /{so} [( Ω d ˆ Ônr o ) Z I ]/ GL d (F o ), où Êll I /{s o} désigne le complété formel le long de sa fibre spéciale et où l action à droite de GL d (F o ) sur Ω d ˆ Ônr est l action décrite au paragraphe 2 composée avec l involution g t g 1. (b) Si par contre mult o (I) = n alors il existe un isomorphisme d espaces rigides-analytiques sur F o : (Ell I ) an [Σ d n Z I o]/ GL d (F o ). Ces isomorphismes sont compatibles, lorsque I varie (i.e. n et I o varient), aux opérations de projection, et l isomorphisme ainsi obtenu entre les deux systèmes projectifs est équivariant pour l action du groupe D (A ) D (A,o ) D o. Remarque Le D o -module formel Gr o (E)) provient en fait de la fibre en o du D-faisceau elliptique E, qui est un D o -module de coordonnées. Or la théorie du module de coordonnées, qui à un tel objet fait correspondre un module formel (et réciproquement), est une théorie de Dieudonné contravariante. L identification de D avec l algèbre d endomorphismes de la fibre générique de E induit ainsi un isomorphisme 51

52 M d (F o ) = D o End 0 D o (Φ) tel que g correspond à la quasi-isogénie t g 1. Cela explique la présence de l involution dans l énoncé du théorème. 2. L uniformisation (b) est uniquement rigide-analytique car il n y a pas de modèle formel connu des revêtements de Drinfeld. C est essentiellement une conséquence formelle de (a) : l isomorphisme décrit se relève au niveau des D o -modules formels spéciaux portés par les deux membres (l un est associé au D-faisceau elliptique universel au-dessus de Êll I /{s o} par la construction Gr o de Drinfeld et l autre provient de la description modulaire de Ω d ˆ Ônr ). Il suffit alors de considérer la ϖo n -torsion. 3. L isomorphisme obtenu est un isomorphisme d espaces analytiques sur F o et non sur Fo nr : il y a des torsions galoisiennes et le quotient de droite est en définitive une union disjointe finie de tordues galoisiennes de quotients Σ d n/γ pour des sous-groupes de congruences Γ PGL d (K). 4. Une formulation alternative est la suivante : il existe un isomorphisme d espaces rigides-analytiques sur F nr o : (Ell I ) an nr ˆ F o [M d Dr,n Z I o]/ GL d (F o ) compatible à l action du Frobenius Frob o et celle (par correspondances) de D (A ) D (A,o ) D o Le cas o I. La géométrie est beaucoup plus riche dans le cas étudié par Boyer. En effet, la fibre spéciale Ell I,so au-dessus de s o = Spec k(o) est stratifiée par des sous-schémas localement fermés Ell =h I,s o, 1 h d, de pures dimensions d h, caractérisés par la propriété qu en tout point géométrique z o de Ell =h I,s o le O o -module ϖ o -divisible G = Gr o (E) se décompose en parties étale et connexe : 1 Gét z o G zo G c z o 1 avec G c z o de hauteur h (et donc Gét z o de hauteur d h). Cela contraste avec le cas précédent où l action de l algèbre à division rigidifiait tout. On rappelle que Φ h désigne l unique (à isogénie près) O o -module formel de dimension 1 et hauteur h. On a vu que le foncteur des déformations de Φ h par quasi-isogénie est représentable par le schéma formel Mh LT,0. La composante h,[0] connexe correspondant aux quasi-isogénies de hauteur zéro vérifie M LT,0 Spf Ônr o [[t 1,..., t h 1 ]]. En rajoutant une structure de niveau n, on obtient M h,[0] LT,n Spf Defh n (consulter [28] 4 pour les équations). Notons F o /O o le O o -module ϖ o -divisible étale de hauteur 1 sur k(o) et Φ h,h = Φ h (F o /O o ) h. Le groupe des quasi-isogénies de Φ h,h s identifie à D h 52

53 GL h (F o ), où D h désigne l algèbre à division sur F o d invariant 1/h. On obtient encore un foncteur représentable et la partie étale rajoute h variables à l anneau de séries formelles. Boyer démontre alors un analogue du théorème de Serre et Tate : déformer un D-faisceau elliptique E revient à déformer le O o -module ϖ o -divisible Gr o (E), lequel est de la forme Φ h,d h au sein de la strate Ell =h I,s o. En définitive, le complété formel en un point géométrique z o de Ell =h I,s o s exprime Êll I /{ zo} Spf(Def h n[[t 1,..., t d h ]]) où n = mult o (I). Regardons maintenant ce qui se passe lorsque h = d (par analogie avec le cas des courbes elliptiques, cela correspond au lieu supersingulier). Alors Gr o (E) est infinitésimal et l on démontre que Ell =d I,s o (k(o)) correspond à une seule classe d isogénie (de D-faisceax elliptiques). L algèbre D des endomorphismes de la fibre générique de ces D-faisceaux est telle qu elle s identifie à D en dehors des places, o et vérifie D o = D d, D = D opp d = D d. Comme plus haut, il en résulte un paramétrage de Ell =d I,s o (k(o)) par les doubles classes Z I = D (F )\D (A )/K,o I (à la différence près que l algèbre D n est pas la même). Combinant ce fait avec l analogue du résultat de Serre-Tate, Boyer démontre : Théorème 7 (Boyer ; [14]). Il existe un isomorphisme de schémas formels sur Ônr o : Êll I /{so;=d} [ Md LT,n Z I o]/d o compatible à l action du Frobenius Frob o et celle (par correspondances) de D (A ) D (A,o ) D o, où n = mult o (I) et Êll I /{so;=d} désigne le compété formel de Ell I Oo Ôo nr le long de Ell =d I,s o k(o) k(o). Remarque Nous avons légèrement reformulé le résultat de loc. cit. (prop. 14.2) afin de mettre en avant le parallèle entre les deux cas d uniformisation. 2. La notation Md LT,n signifie que l action de GL d (F o ) D o est modifiée par rapport à celle définie au paragraphe 2 afin de tenir compte du fait que la construction du O o -module ϖ o -divisible Gr o (E) passe par la théorie du module de coordonnées. 53

54 5. Les suites spectrales Elles relient les représentations locales fondamentales : à la représentation globale : U i c,dr, U i LT GL d (F o ) D o W Fo Ho i := lim H i (Ell I F o, Q l ) D (A ) W Fo I (action définie à l aide des opérateurs de Hecke) La suite spectrale de Hochschild-Serre. Proposition 5.1 (Harris-Hausberger ; [47] cor. 10.7) Il existe une suite spectrale D (A,o ) D o W Fo D (A ) W Fo - équivariante : E i,j 2 = Exti GL d (F o) mod. lisse 2(d 1) j, (Uc,Dr (d 1), A ) = Hi+j D o, où A désigne l espace des formes automorphes sur D triviales à l infini et D l involution de GL d (F o ) définie par g t g 1. Via le théorème d uniformisation, il s agit de relier la cohomologie de (M d Dr,n ) F o à celle du quotient [(M d Dr,n ) F o Z I o]/ GL d (F o ) (Ell I ) an, d où F o la terminologie. S inspirant du travail réalisé par Harris dans le cas des corps de nombres ([41]), cette suite spectrale a été construite à la main, en utilisant des recouvrements de Čech (sur des ouverts distingués où le revêtement est trivialisable car le groupe agit librement) et la théorie de Berkvich des espaces analytiques munis d une action de groupe. En effet, il n existait pas de résultat général valable pour les espaces considérés. Depuis, Fargues a écrit une suite spectrale de Hochschild-Serre qui s applique à tous les résultats d uniformisation de ce type connus ([35] 4.5.2) La suite spectrale des cycles évanescents. Soit X un Spf Ônr o - schéma formel (spécial au sens de [5]). Le foncteur R Ψ form η o associe à un faisceau étale sur la fibre générique X ηo de X (au sens de Raynaud) un complexe de faisceaux étales constructibles sur la fibre spéciale X so. Si on applique cette d,[0] construction à X = M LT,n dont la fibre spéciale est réduite à un point, on obtient des faisceaux R i Ψ form η o Q l tels que H 0 (M d,[0] LT,n k(o), Ri Ψ form η o Q l ) = H i ((M d,[0] LT,n ) F o, Q l ), 54

55 de sorte que la représentation locale fondamentale (version sans support) n est autre que ULT i = lim Ind GL d(k) D d W K n (GL d (K) D d W K) 1 H0 (M d,[0] LT,n k(o), Ri Ψ form η Q l ). D une façon générale, si Z Spec Ônr o est un schéma et x un point géométrique de la fibre spéciale Z s, on peut considérer d une part le complexe des cycles évanescents algébriques R Ψ ηo Q l sur Z s, et d autre part celui des cycles évanescents formels R Ψ form η o Q l associés au complété formel X = Ẑ/{ x} de Z en x. Berkovich démontre le théorème de comparaison ([5]) : (R Ψ ηo Q l ) x R Ψ form η o Q l. Prenant Z = Ell I Oo et z o un point supersingulier, il résulte alors du théorème de Serre-Tate (voir paragraphe 4.2.2) un isomorphisme Ô nr o (R Ψ ηo Q l ) zo R Ψ form η o Q l, où les cycles évanescents formels sont ceux du début de ce paragraphe qui calculent la cohomologie de M d,[0] LT,n. Pour la strate supersingulière toute entière, uniformisée par le théorème 7, on trouve H 0 (Ell =d I,s o k(o), R i Ψ ηo Q l ) [H 0 (Z I o, Q l ) H 0 ( M d LT,n k(o), Ri Ψ form η o Q l )] Do, où mult o (I) = n. Passant à la limite sur I, on obtient ainsi la description suivantes des cycles évanescents supersinguliers : Proposition 5.2 (Boyer [14]). Il existe un isomorphisme équivariant pour l action de D (A ) W Fo D (A,o ) D o W Fo lim H 0 (Ell =d I,s o k(o), R i Ψ ηo Q l ) Hom (Ǎ D o D, Ũ LT i ), I où A D désigne l espace des formes automorphes sur D triviales à l infini, Ǎ D sa contragrédiente et ŨLT i indique une légère modification de l action (voir remarque 7 2.). Enfin, la cohomologie des cycles évanescents est reliée à celle de la variété globale par la suite spectrale suivante : Proposition 5.3. Il existe une suite spectrale D (A ) W Fo -équivariante : E i,j 2 = lim I H i c(ell I,so k(o) k(o), R j Ψ ηo Q l ) = H i+j o 55

56 6. Réalisations géométriques des correspondences 6.1. Enoncé du théorème. Théorème 8 (Boyer). Soit χ un caractère de K d ordre fini ; notant avec un indice χ le plus grand quotient où le centre de GL d (K) (resp. celui de D ) agit par χ (resp. χ 1 ), on a la décomposition suivante : (U d 1+i c,dr,χ )Fr-ss = s i+1 s d π A 0 d s,χ (K) (resp. (U d 1+i c,lt,χ )Fr-ss =) S i,s (π) JL(St s (π)) L(π)( i d s 2 ) si 0 i d 1, (resp. S i,s (π) JL(St s (π )) L(π )( i d s 2 )) 0 sinon, où St s (π) (resp. Speh i (π) désigne la représentation de Steinberg (resp. de Speh) généralisée et S i,s (π) est l unique sous-module irréductible de l induite normalisée Speh i (π) i s 2 St s i (π) i 2 (0 i s 1) Donnons quelques éclaircissements et interprétations : 1. Toutes ces représentations sont des sous-quotients de π 1 s 2 π s 1 2. On parle de représentations elliptiques. La Steinberg (resp. la représentaion de Speh) généralisée St s (π) (resp. Speh i (π)) est l unique quotient (resp. sous-espace) iréductible de cette induite. Il résulte de la théorie de Bernstein et Zelevinsky que l induite Speh i (π) i s 2 St s i (π) i 2 est de longueur deux. Par rapport à la classification, son unique sous-module irréductible S i,s (π) correspond 1 s i 1+ à l orientation du graphe de sommets s i = (π 2 ) 1 i s et d arêtes (s i, s i+1 ) donné par s 1 s 2... s i s i+1... ss (et son unique quotient irréductible à l orientation s 1 s 2... s i s i+1... ss ). Il correspond à S i,s (π) par la correspondance de Langlands locale la représentation L(π)( 1 s s 1 2 ) L(π)( 2 ) où la matrice de la monodromie N se termine par son unique bloc de Jordan non trivial qui est de taille s i. 2. Ce résultat a été conjecturé par Carayol pour i = 0 (et démontré dans le cas d = 2, voir [18] et [17], le cas d = 1 étant équivalent à la théorie de Lubin-Tate [55], [56]) et par Harris en dehors du degré médian (notes 56

57 non publiées). Pour la partie supercuspidale de la cohomologie, la conjecture était connue sous le nom de conjecture de Deligne-Carayol dans le cas Lubin-Tate et conjecture de Drinfeld-Carayol dans le cas des revêtements de Drinfeld. Pendant longtemps, les seuls résultats connus sur la partie non supercuspidale de la cohomologie était dûs à Schneider et Stuhler ([65]) qui explicitent la cohomologie (sans support) de l espace de base Ω d. Ce sont en partie ces résultats qui inspirèrent à Harris sa conjecture. 3. Un grand soin doit être accordé à la normalisation des diverses actions pour que le théorème soit correct tel qu énoncé précédemment. De plus, les différents auteurs prennent, selon le contexte, la cohomologie avec ou sans support. Une autre source potentielle d erreur est que la partie galoisienne de la cohomologie qu isolent Harris et Taylor fait apparaêtre une contragrédiente (cas des corps p-adiques) qui ne figure pas dans l énoncé de Laumon, Rapoport et Stuhler. Cela compense en fait la contragrédiente introduite en égale caractéristique par la construction légèrement différente du groupe formel sous-jacent. En définitive, différentes variantes existent dans la littérature et l auteur de ce texte espére avoir donné un énoncé cohérent en reproduisant ainsi la conjecture 9.6 de [47]. 4. Le théorème décrit donc la Frob-semi-simplifiée de la représentation locale fondamentale Uc. i L action de GL d (K) D d I K sur la cohomologie est semi-simple mais Boyer travaille à Frob-semi-simplification près. 5. Les séries discrètes (c est-à-dire les Steinberg généralisées) sont concentrées en degré médian d 1 où l on obtient une somme de termes de la forme St s (π) JL(St s (π? )) L(π? )( i d s 2 )). La correspondance de Jacquet-Langlands est donc réalisée (à contragrédiente près dans le cas Lubin-Tate), mais la correspondance de Langlands locale l est uniquement pour les supercuspidales (s = 1). Enfin, sans mener de calcul, expliquons pourquoi la cohomologie à support est concentrée en degrés compris entre d 1 et 2(d 1). Cela est possible du côté de Drinfeld, grâce à des résultats de dimension cohomologique dûs à Berkovich, valables pour une classe d espaces analytiques incluant les revêtements de Drinfeld. Comme M d Dr est de dimension d 1, la cohomologie avec support est en degrés au plus 2(d 1) (cf. [47] Annexe A). Pour l autre inégalité, on utilise les résultats de [7], qui s appliquent à M d,[0] Dr,K n = Σ d n (cf. introduction de loc. cit. ) : les revêtements de Drinfeld peuvent s écrire comme une union 57

58 croissante de sous-domaines analytiques compacts quasi-affines V m (au sens de [7] déf. 5.5). D après le corollaire 6.2 du théorème 6.1 de loc. cit., la cohomologie H c(v m ˆ K, Q l ) est en degrés au moins d 1 (ce corollaire utilise une dualité de Poincaré). On obtient le résultat en prenant la limite inductive sur m Calcul de la partie supercuspidale de la cohomologie. Il s agit du résultat suivant : la partie supercuspidale est concentrée en degré médian d 1 et les composantes π-isotypiques, pour π supercuspidale et définies par U d 1 c (π) = Hom GLd (K)(π, U d 1 ) sont données par U d 1 1 d c,dr (π) = JL(π) L(π 2 ), U d 1 c,lt (π) = JL(π ) L(π 1 d 2 ). Le tableau suivant résume les diverses contributions : côté Drinfeld côté Lubin-Tate corps p-adiques Harris ([41] ; 1997) Harris-Taylor complété par Harris-Taylor ([46]) ([46] ; 1998) (voir également [45]) cas d égale Hausberger Boyer caractéristique p ([47] ; 2000) ([14] ; 1998) Remarque Comme on peut s en douter, les démonstrations de ces conjectures de Deligne-Drinfeld-Carayol sont intimement liés à celles de la correspondance de Langlands locale. 2. Toutes les preuves procèdent par voie globale (i.e. utilisent un résultat d uniformisation). Des résultats purement locaux existent mais ne donnent que des résultats partiels, ne permettant pas de calculer la partie galoisienne ([33] [66]). Remarque 9. Dans le cas Lubin-Tate, les auteurs calculent en fait, ce qui est plus naturel dans leur contexte, la partie ρ-isotypique du dual de U d 1 c,lt, pour ρ une représentation de D, car les cycles evanescents calculent la cohomologie sans support. En d autres termes, on a côté Lubin-Tate : U d 1 LT (JL(π )) := H d 1 (M d LT ˆ K, Q l )(JL(π )) π L(π 1 d 2 ). Suivant Carayol ([17]), nous conservons la symétrie des énoncés. 58

59 Schéma de la preuve côté Drinfeld. On rappelle que F o joue le rôle du corps local K et se donne une représentation supercuspidale π de GL d (F o ). On commence par intégrer la représentation locale π au sein d une représentation globale Π qui sera une représentation automorphe de GL d (A) telle que Π o = π et Π = St (le type à l infini doit être de celui qui apparaît dans la cohomologie de la variété globale Ell, d où ce choix). En utilisant des résultats de Henniart (que l on démontre à l aide d une formule des traces), on transfère Π au groupe D (resp. D ), en une représentation automorphe Π de D (A) (resp. Π de D (A)) telle que Π o = JL(π) et Π = St (resp. Π o = π et Π = 1 ). Ce sont deux instances d une correspondance de Jaquet-Langlands globale (qui n était pas disponible en toute généralité à l époque, avant les travaux récents de Badulescu). Le principe est que les composantes locales ne diffèrent qu en les places ramifiées où elles se correspondent via la correspondance de Jaquet-Langlands locale. On a donc Π,o Π,o. De plus, on peut supposer (d après Henniart) que Π et Π sont de multiplicité un forte. La suite spectrale de Hochschild-Serre E i,j 2 = Exti 2(d 1) j, GL d (F o) lisse (Uc,Dr (d 1), A ) = Hi+j D o est D (A ) W Fo -équivariante (on rappelle que l action de GL d (F o ) sur U, c,dr est celle de Drinfeld composée avec g t g 1 ). De plus, les E i,j 2 sont admissibles en tant que représentations de D (A ) W Fo (c est une conséquence du fait déjà cité que les groupes de cohomologie à support des revêtements de Drinfeld sont de type fini). Prendre la composante Π,o -isotypique dans la suite spectrale a alors un sens et l on utilise le fait suivant : E i,j 2 (Π,o ) = Ext i 2(d 1) j GL d (F o) lisse (Uc,Dr (d 1), π ) = 0 car π est supercuspidale (on a également utilisé la multiplicité forte de Π), d où Or (1) = Hom GLd (F o)(u 2(d 1) j c,dr (1) := E 0,j 2 (Π,o ) H j o(π,o ) =: (2). (d 1), π ) = Hom GLd (F o)(π, U 2(d 1) j c,dr (d 1)) et { 0 si j d 1 (2) = JL(π) L(π)( 1 d 2 ) si j = d 1 d après Laumon-Rapoport-Stuhler. Cela démontre la conjecture de Drinfeld- Carayol. 59

60 Le côté Lubin-Tate. La clef réside dans le fait suivant : les strates non supercuspidales (h < d) sont géométriquement induites, au sens où il existe un sous-schéma fermé Ell =h I,s o,1 de Ell=h I,s o stable sous un parabolique P h (F o ) de GL d (F o ) et tel que Ell =h I,s o = Ell =h I,s o,1 P h (O o/ϖo n ) GL d (O o /ϖo n ) où n = mult o (I). En terme de représentations, il en résulte que la partie supercuspidale de la cohomologie se calcule aux points supersinguliers : notant Ell I, so = Ell I,so k(o), la partie supercuspidale de la suite spectrale de stratification E p,q 1 = H p+q c (Ell =d p I, s o, R j Ψ ηo Q l ) = H p+q c (Ell I, so, R j Ψ ηo Q l ) dégénère, et fournit des isomorphismes H q c(ell =d I, s o, R j Ψ ηo Q l ) supercusp. H q c(ell =d I, s o, R j Ψ ηo Q l ) supercusp. Soit donc π une représentation supercuspidale de GL d (F o ). Comme précédemment, on choisit une représentation automorphe Π de GL d (A) telle que Π o = π et Π = St. Puis on transfère aux groupes D et D, les représentations automophes Π et Π obtenues étant de multiplicité un forte et telles que Π o = π, Π = St et Π o = JL(π), Π = 1. (On rappelle que l algèbre à division d invariant 1/d est D o.) D après la discussion précédente, la composante Π,o Π,o -isoypique est telle que H q c(ell =d I, s o, R j Ψ ηo Q l )(Π,o ) H q c(ell I, so, R j Ψ ηo Q l )(Π,o ). En particulier, ces groupes de cohomologie sont nuls sauf pour q = 0 car Ell =d I, s o est de dimension zéro. Cela montre que la partie Π,o -isotypique de la suite spectrale des cycles évanescents dégénère, d où un isomorphisme Or (1) := E 0,j 2 (Π,o ) H j o(π,o ) =: (2). (1) = Hom (Ǎ D o D, Ũ j LT )(Π,o ) = Hom D (JL(π ), Ũ j LT ) o d après la proposition 5.2 et { 0 si j d 1 (2) = π L(π)( 1 d 2 ) si j = d 1 d après Laumon-Rapoport-Stuhler. On obtient le résultat annoncé, sous réserve que la modification de l action se traduise bien par une contragrédiente pour l action de GL d (F o ) D o. La conjecture de Deligne-Carayol est démontrée. 60

61 Remarque 10. Par rapport à [14], Boyer tient compte dans [13] de cette modification de l action Preuve du théorème 8. Avant de détailler un peu les travaux récents de Boyer, expliquons comment le théorème 8 se déduit du résultat local principal de [13], [16] et [15], à savoir le : Théorème 9 (Boyer, cf. [15] ; voir également [13] IV ) Pour tout diviseur g de d = sg et toute représentation irréductible cuspidale π de GL g (K), on a { L(π U d 1 i LT (JL(St s (π )( d+s 2(i+1) 2 ) [ s i 1, i ] π 0 i < s ))) 0 i < 0 où [ s i 1, i ] π est l unique sous-espace irréductible de l induite St s i (π) Speh i (π). Comme la catégorie des représentations lisses de D est essentiellement semisimple, on peut écrire Uc,LT i,χ = Uc,LT i,χ(ρ) ρ. ρ,χ ρ=χ En utilisant la dualité de Poincaré, on obtient ( Uc,LT i (ρ) = Hom D (ρ, Uc,LT i ) Hom D (ρ, Hom D (U 2(d 1) i LT, ρ )(1 d) Hom D (ρ, U 2(d 1) i LT ) (1 d) U 2(d 1) i LT ) (1 d)) ( U d 1 i LT )(ρ )) (1 d) (isomorphisme GLd (K) W K - En résumé, U d 1+i c,lt (ρ) équivariant). Cela permet de retranscrire le résultat de Boyer en terme de cohomologie avec support, sachant que la duale de [ s i 1, i ] π est [ i, s i 1] π. Or [ i, s i 1] π est l unique sous-module irréductible de Speh i (π) St s i (π) = Speh i (π) i s 2 St s i (π) i 2 que l on a noté S i,s (π) dans l énoncé du théorème Calcul de la cohomologie non supercuspidale Nous poursuivons avec les mêmes notations que la preuve du théorème de Deligne-Carayol, toujours en égale caractéristique. Le but de ce paragraphe est d exposer les grandes lignes de la preuve du théorème 9 donnée par Boyer dans [13]. 61

62 La première étape consiste à transposer les résultats de Harris et Taylor ([46]) au cas des corps de fonctions, jusqu au calcul de la représentation virtuelle locale dont la composante JL(St s (π))-isotypique s exprimera : (1) d 1 ( 1) i [ U d 1 i LT,d (St s 1 s(π))] = ( 1) i d + s 2(i + 1) [S i,s (π) L(π)( )] 2 i=0 i=0 dans le groupe de Grothendieck. Pour cela, on développe la géométrie afin de déméler les strates : c est le rôle des variétés d Igusa de première et seconde espèce qui rigidifient respectivement la partie étale et connexe du O o -module ϖ o -divisible Gr o (E) associé au D-faisceau elliptique E. On rappelle que la strate Ell =h I,s o est géométriquement induite : Ell =h I,s o = Ell =h I,s o,1 P h (O o/ϖo n) GL d (O o /ϖo n ) où P h (F o ) désigne un parabolique de GL d (F o ) comprenant deux blocs diagonaux de tailles h et d h. Notant n = mult o (I), cette description provient de la structure de niveau de Drinfeld η : (ϖo n O o /O o ) d Gr o [ϖo n ] : comme Gr o [ϖo n ] est isomorphe à (ϖo n O o /O o ) d h, le noyau de η est un facteur direct a de rang h dans (ϖo n O o /O o ) d. On obtient des sous-schémas fermés Ell =h I,s et P o,a h opère sur Ell =h I,s. o,1 Les variétés d Igusa de première espèce classifient les structures de niveau partielles ηét : (ϖo n O o /O o ) d h Grét o [ϖo n ]. Cela définit un revêtement étale de groupe GL d h (O o /ϖo n O o ). Or on peut démontrer que l extension 1 Grét o Gr o Gro c 1 est scindée modulo ϖo n après torsion par la puissance Frob dh o du Frobenius. Cela permet d envoyer I I =h o,n dans Ell =h I,s, où la structure de niveau η se décompose en o,a ηét : (ϖo n O o /O o ) d /a Grét o [ϖo n ] et η c : a Gro[ϖ c o n ], de sorte que le diagramme suivant est commutatif galoisien I =h I o,n Ell=h I,s o I =h I o,n g n,a Ell =h I,s o,a Ell =h I,s o Frob dh o Ell =h et g n,a est une bijection sur le schéma réduit Ell =h I,s o,a,red au niveau des points géométriques. Les variétés I I =h o,n constituent un système projectif avec des morphismes de transition (définis de sorte que les diagrammes précédents commutent) I I =h Frob (n n )h o o,n I I =h o,n, et sont munies d une action par correspondances de GL d h (F o ). I,s o 62

63 On introduit ensuite des variantes formelles : en prenant le complété formel le long de la strate Ell =h I,s o, on obtient des extensions formelles étales Î I o,=h,n Êll I o,=h, de fibre spéciale I I =h o,n Ell=h I,s o, classifiant les structures de niveau partielles ηét au-dessus de Êll I o,=h. On définit alors le schéma formel Î I o,=h,n(t) classifiant les structures de niveau (de Drinfeld) partielles η c : (ϖo n O o /O o ) t Gro[ϖ c o n ]. Il s agit d un revêtement très ramifié de ÎI o,=h,n. Puis on étend le morphisme g n,a en un morphisme ĝ n,a : Î I o,=h,n(n) Êll I,=h,a faisant commuter le diagramme précédent (étendu aux complétés). Pour des raisons de dimension, ĝ n,a est un isomorphisme. On définit ensuite l action par correspondances de GL d h (F o ) GL h (F o ) sur la tour (ÎI o,=h,n) n, de façon compatible à l action sur I I =h o,n et aux morphismes ĝ n,a. En un point géométrique z o de I I =h o,n, la fibre de ÎI o,=h,n(t) s identifie à l espace des déformations de (Gr o ) zo muni d une structure η c partielle de niveau t. Le choix d un isomorphisme (Gr c o) zo Φ h induit un isomorphisme entre (ÎI o,=h,n(t)) zo et Spf Def h h,[0] t M LT,t. Cependant, le groupe Grc o n est pas constant sur le système projectif des I I =h o,n, si bien qu un tel isomorphisme n existe pas globalement. C est pourquoi l on introduit les variétés d Igusa de seconde espèce. Il s agit de revêtements étales galoisiens J I =h o,n(s) I=h I o,n k(o) de groupe (O Dh /ϖ s O Dh ) obtenus par des rigidifications Gro[ϖ c s ] Φ h [ϖ s ]. Par le système projectif J I =h o,n ( ) de groupe O D h, on associe à toute représentation admissible τ de O D h un système local F(τ), c est-à-dire un Q l -faisceau lisse obtenu comme quotient du faisceau constant de fibre τ par l action de O D h. Par ailleurs, la (double) tour (J I =h o,n (s)) n,s est munie d une action par correspondances de (GL h (F o ) D h W F o ) 1 GL d h (F o ). Avec les notations du paragraphe 5.2, on considère les cycles évanescents R Ψ ηo Q l associés à Ell I (où n = mult o (I)) ainsi que les cycles évanescents formels R Ψ form Q l associés à Def h n. On pose Ψ i h,n = H0 (R i Ψ form Q l ), sur lequel agit (GL h (F o ) D h W F o ) 1, et Uh,n i = IndGL h(f o) D h W Fo (GL h (F o) D h W Ψi Fo )1 h,n, de sorte que la représentation locale fondamentale est ULT i,h = n lim U h,n i. On s intéresse à F(Ψ i h,n ). D après ce qui précède, la restriction à Ell=h I, s de o,1 R i Ψ ηo Q l coïncide avec les faisceaux évanescents associés à ÎI o,=h,n(n) (via ĝ n,1 ), que nous noterons Ψ i h,n. En un point géométrique z o de I I =h o,n k(o) on 63

64 a donc un isomorphisme de fibres (R i Ψ ηo Q l ) zo (Ψ i h,n) zo (F(Ψ i h,n )) z o. En effet, un point de (Ψ i h,n ) zo étant donné, il correspond à tout oùn z o ( ) de z o dans J I =h o,n ( ) la donnée d un isomorphisme Grc o Φ h, donc d un isomorphisme (Ψ i h,n ) zo (Ψ i h,n )) z o (via (ÎI o,=h,n(n)) zo Def h n), d où finalement un point de (Ψ i h,n ) z o, et ceci de façon compatible à l action de O D h. D après un résultat de Bekovich (voir l appendice de [46]), on a en fait un isomorphisme de faisceaux R i Ψ ηo Q l Ell =h F(Ψi I, so,1 h,n ). Décomposant l action de O D h sur Ψ i h,n en composantes isotypiques, on obtient une décomposition du faisceau F(Ψ i h,n ) = τ F(τ) Ψi h,n (τ), d où finalement des isomorphismes (2) lim H j c(ell =h I, s o,1, R i ΨQ l ) h I τ ( lim H j c(ell =h I, s o,1, F τ ) Ũ LT i,h (τ)) h eτ I où la somme porte sur les classes d équivalence inertielle de représentations admissibles irréductibles de D h. On a utilisé la réciprocité de Frobenius Hom D (τ, Uh,n i ) = Hom h O (τ D O, Ψ i h,n ) pour faire apparaêtre U LT i,h. h D h La formulation un peu compliquée provient du fait que la restriction τ O se décompose a priori en un nombre fini e τ (divisant h) de composantes irréductibles ρ i et ρ j coïncide avec ρ i sur O D h D h si et seulement si ρ j = ρ i ξ v Nrd pour un caractère ξ : Z Q l (équivalence inertielle). Bien que nous n ayons pas suivi les actions, ces isomorphismes sont équivariants pour l action de D (A,o ) GL h (F o ) GL d h (F o ) W Fo. Précisons que lim H j I c(ell =h I, s o,1, F(τ)) est vue comme une représentation de D (A,o ) GL d h (F o ) Z via le quotient (GL h (F o ) D h W F o ) 0 /O D h isomorphe à Z. Un élément (g,o, go, c gét o, σ o ) appartenant au grand groupe cidessus agit alors via (g,o, gét o, v(det go) c v(cl(σ o ))) (go, c σ o ) sur le produit tensoriel du second membre de (2). Pour être exact, il faut également modifier l action de GL d (F o ) sur la représentation locale fondamentale, ce qui est matérialisé comme d habitude par la notation Ũ LT i,h. C est pour cela également qu apparaît le groupe (GL h (F o ) D h W F o ) 0 et non (GL h (F o ) D h W F o ) 1. On considère maintenant la représentation virtuelle globale 2d 2 H o = ( 1) d 1 i lim H i (Ell I F o, Q l ). I i=0 64

65 D après la suite spectrale des cycles évanescents et celle de stratification, nous avons (3) H o = Sachant que d 1 j=0 h=1 d ( 1) j lim I H c(ell =h I, s o, R j Ψ ηo Q l ). H c(ell =h I, s o, R j Ψ ηo Q l ) = Ind GL d(f o) P h (F o) H c(ell =h I, s o,1, R j Ψ ηo Q l ) (égalité qui commute à la limite sur I), on peut utiliser l isomorphisme (2). Soit donc s un diviseur de d, π o une représentation supercuspidale de GL d (F o ) s et Π une représentation automorphe (de multiplicité un forte) de D (A) telle que Π = St et Π o = St s (π o ). On prend d autre part τ = JL(St s (π o )). La composante Π,o -isotypique de H o a déjà été calculée dans [54] : on trouve Π o L(Π o ). La démarche est classique : on compte par la formule des traces de Lefschetz les points fixes sous l action d une correspondance de Hecke tordue par une puissance assez grande de Frobenius, puis transfert les intégrales orbitales obtenues afin de reconnaître le côé géométrique de la formule des traces de Selberg. Boyer adapte alors ces méthodes pour calculer la composante Π,o -isotypique de H h,τ = 2d 2h i=0 ( 1) d h i lim H j I c(ell =h I, s, F o,1 τ ), les fonctions de transfert étant fournies par Harris et Taylor. Si V désigne l espace de la représentation τ et s un entier suffisamment grand pour que τ soit trivial sur 1 + ϖoo s Dh, alors H j c(ell =h I, s, F o,1 τ ) H j c(j I =h o,n (s), Q l) V (O D h /ϖoo s Dh ). On applique les formules des traces, après avoir obtenu une description adélique de J I =h o,n (s)(k(o)). Enfin, on injecte le résultat dans l égalité (3). Il en résulte une formule de récurrence qui permet de démontrer le résultat annoncé (1), moyennant le calcul d une induite parabolique, qui fait justement apparaître les S i,s (π o ). Il s agit maintenant de montrer qu aucune annulation ne se produit dans l égalité (1) : c est là que réside la contribution originale de Boyer, au sens où l on a essentiellement jusqu à présent traduit dans le language des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler les résultats de Harris et Taylor. C est un travail très délicat, technique et calculatoire. Essayons, autant que faire se peut, d en mettre en avant la portée conceptuelle et les ingrédients. Le contexte catégoriel est celui des W Fo -faisceaux pervers de Hecke, dont les objets sont des tours (F I ) I I de Q l -faisceaux pervers (voir [3] où ces derniers sont définis comme le coeur de la catégorie triangulée munie de la t-structure 65

66 de perversité (1) ) F I munies d une action de D (A ) W Fo par les correspondances de Hecke, l action de l inertie étant supposée potentiellement unipotente sur chaque F I. C est une catégorie abélienne, munie des foncteurs usuels (j I,!, Rj I,, j I,! = Im(j I,! Rj I, ) et des versions perverses p ji = p j I! pour toute immersion ouverte affine j I : U I X I, etc.) et de la dualité de Verdier. On utilisera le yoga habituel sur les faisceaux pervers : par exemple, pour tout i, h i F I a un support de dimension inférieure ou égale à i. Le foncteur j! (extension intermédiaire) est particulièrement important car il permet de définir les constituants simples de F I : un tel faisceau pervers se dévisse en faisceaux pervers simples j! L I associés à des systèmes locaux L I sur des ouverts U I. L exemple typique qui nous concerne est le complexe Ψ I = RΨ ηo Q l [d 1]( d 1 2 ) des cycles évanescents globaux sur le schéma de Hecke X = Ell I, so (après décalage et torsion). La stratification par les schémas localement fermés X =h = Ell =s I, s o qui partitionnent X s exprime comme une suite d inclusions X d... X 1 = X où X h désigne l adhérence schématique de X =h. On note i h et j h les inclusions respectives X h X et X =h X h. Par perversité, l image de Ψ I dans le groupe de Grothendieck des faisceaux pervers est déterminée par celle de i ( 1)i [R i Ψ I X =h] dans le groupe de Grothendieck des faisceaux localement constants. Or l isomorphisme (2) peut se réécrire comme un isomorphisme D (A ) W Fo -équivariant (4) (R i Ψ I X =h) h τ (F(τ) I Ũ i LT,h (τ)) h eτ, où l on note encore F(τ) le système local F(τ) Ph (O o/ϖo n O o) GL d (O o /ϖo n O o ) sur X =h induit à partir de F(τ) sur Ell =h I, s (on a posé mult o,1 o(i) = n). Cela conduit à définir les W o -faisceaux pervers de Hecke sur X =sg I, que Boyer note HT (π o, Π s ), associés à une représentation supercuspidale π o de GL g (F o ) et une représentation Π s de GL sg (F o ), pour 1 g d et 1 s s g où s g = d g, par la formule HT (π o, Π s ) = F(JL(St s (π o )))( d sg ) Π s [d sg], 2 où l action du Levi GL sg (F o ) GL d sg (F o ) (le radical unipotent agit trivialement) est donnée par celle sur F(JL(St s (π o ))) et l action de GL sg (F o ) sur Π s, le groupe de Weil agissant via son quotient Z sur F(JL(St s (π o ))) de façon tordue par le caractère ( d sg 2 ). En particulier, on prend Π s = St s (π o ) et définit (1) Les faisceaux pervers n etant ni des faisceaux, ni pervers, la terminologie requiert une explication. [3] p

67 les W o -faisceaux pervers de Hecke sur X h P(s, π o ) = j sg I,! HT (π o, St s (π o ) L(π o ). (ce sont bien des faisceaux pervers car j h est une immersion affine). Pour F un W o -faisceau pervers, Boyer note F πo la partie π o -isotypique, c està-dire la composante L(π o ) Io -isotypique de F. Avec ces notations et les remarques précédentes, on a l égalité suivante dans le groupe de Grothendieck (5) e πo [Ψ I,πo ] = s g s 1 s=1 i=0 ( 1) i [j sg I,! HT (π o, S i,s (π o )) L(π o )( s 2i 1 )] 2 en vertu de (4) et (1), où e πo désigne le cardinal de la classe d équivalence inertielle de π o. Partant de cette égalité, une partie du travail est de démontrer le résultat plus précis suivant : (6) e πo [Ψ I,πo ] = s g 1 s=1 s g s <t s g t s 1 mod 2 [P(t, π o )( s 2 )] Pour cela, on étudie la monodromie N, à laquelle est associée la filtration de monodromie (de longueur finie) M i V M i+1 V, où V désigne l espace de la représentation de W Fo considérée, caractérisée par le fait que N(M i V ) M i 2 V et que N i induit un isomorphisme gr i V gr i V au niveau des gradués. Rappelons également qu il existe une seconde filtration liée à l action de W Fo (mais cette fois au Frobenius et non à l inertie), la filtration par les poids que nous noterons W i V W i+1 V, introduite par Deligne et caractérisée par le fait que les gradués gri W sont de poids i, c est-à-dire que les valeurs propre d un relèvement du Frobenius géométrique agissant sur gri W sont des entiers algébriques de norme q i/2. La conjecture de monodromie-poids dit que M i (H j (X F o, Q l ) = W i+j (H j (X F o, Q l )) si X est propre et lisse sur K. Elle est connue en égale caractéristique suite aux travaux de Deligne sur les conjectures de Weil. Si maintenant on considère le cas du complexe R ΨQ l des cycles évanescents, l action de l inertie définit également un endomorphisme nilpotent dans la catégorie des faisceaux pervers, d où un objet filtré dans la catégorie dérivée des faisceaux sur la fibre spéciale. Notant gr k les gradués associés à Ψ I, et gr k,πo leur partie π o -isotypique, on dispose de suites spectrales D (A )-équivariantes (7) E i,j 1,gr,glob,π o = h i+j gr i,πo = R i+j+d 1 Ψ πo. 67

68 Le théorème de monodromie-poids dit dans ce contexte que gr i,πo est pur de poids i. Il en résulte directement, compte-tenu de (6) et du fait que les P(t, π o ) sont purs de poids zéro, l égalité (8) e πo gr i,πo = P(i, π o )( i 2 ). i <t s g t i 1 mod 2 Si z o désigne un point géométrique de la fibre spéciale, la fibre z oψ I est munie d une action de N mais n est pas a priori un faisceau pervers. Le complexe des cycles évanescents formels R Ψ form Q l l est par contre, et Fargues étend dans l appendice [38] l isomorphisme z oψ I R Ψ form Q l à la filtration de monodromie : on a des isomorphismes z ogr k gr form k, ainsi qu au niveau des termes des suites spectrales associées. Or on a vu que si z o est un point géométrique de la strate Ell =h I, s o, alors R Ψ form Q l calcule la cohomologie de la tour M [0] LT,h. En posant gr k,loc,h,π o = Ind GL h(f o) D h W Fo (GL h (F o) D h W Fo )1 z ogr k,πo, on a donc une suite spectrale de monodromie locale (9) E i,j 1,gr,loc,h,π o = h i+j gr i,loc,h,πo = U i+j+d 1 LT,h,π o ( d 1 2 ). On prend h = d = sg. Le théorème 8 décrivant la représentation locale fondamentale de Deligne-Carayol résulte alors directement du fait que la suite spectrale (7) dégénère en E 2, donc également la suite spectrale locale (9), comptetenu du résultat de Berkovich-Fargues énoncé plus haut. Précisément, le calcul de E i,j 2,gr,loc,d,π o sont de la forme E i s+1,s 1 2i 2,gr,loc,d,π o déduit de celui de E i,j 2,gr,glob,π o montre que les termes non nuls S i,s (π o ) z of(s, π o ) L(π o )( s(g+1) 2(i+1) 2 ), la représentation z of(s, π o ) de D d restant encore à déterminer (car F(s, π o) provient en fait de la restriction de JL(St s (π o )) à O D d, et n est donc pas connue entièrement a priori), ce que l on peut faire en travaillant dans le groupe de Grothendieck, en comparant avec (1). Bien entendu, on trouve JL(St s (π o )). Il reste à expliquer comment on démontre (6) à partir de (5) et comment on calcule les termes de la suite spectrale de poids globale à partir de (8). Le principe est encore une récurrence sur d : on suppose donc connu le théorème 8, ainsi que l expression des h i gr k,loc,h,πo pour tout h < d, c est-à-dire les germes des h i gr k,πo en les points non supersinguliers. Expliquons, de manière vague, comment Boyer procède. Il commence par montrer que gr k,πo diffère du résultat attendu (8), dans le groupe de Grothendieck, d une somme de faisceaux pervers concentrés en les points supersinguliers. Ces derniers sont des faisceaux pervers ponctuels déterminés complètement par le 68

69 H 0. S en suivent des calculs cohomologiques aboutissant, en corollaire, au calcul de certains groupes lim H i I c(ell =h I, s o, R j Ψ I,πo Q l ), ou plus exactement de leur composante Π,o -isotypique pour Π une représentation automorphe de D (A). Boyer montre ensuite que la connaissance de la partie de poids minimal d s = s(g 1) des U d 1 j LT,d (St s(π o )) suffit à déterminer les termes de la suite spectrale de poids. L examen de la partie Π,o -isotypique de la suite spectrale des cycles évanescents, pour Π telle que Π = St et Π o = St s (π o ) puis Π o = Speh s (π o ) permet alors de conclure. On utilise pour cela, entre autres, le théorème de Lefschetz difficile et un contrôle obtenu sur la contribution de la strate supersingulière. En fait, on découvre que seule la strate supersingulière contribue en poids s(g 1). On se retrouve donc dans une situation similaire à celle du paragraphe où les E i,j 2 (Π,o ) sont nuls sauf pour i = 0. En définitive, Boyer réussit à exploiter à chaque étape les résultats connus sur la cohomologie des faisceaux pervers et les groupes de cohomologie de ces faisceaux, au niveau des diverses suites spectrales en jeu, et à progresser ainsi dans un bon ordre dans des calculs d apparence inextricables! La machinerie du côté des corps de nombres opère de la même manière ([16], [15]). Le recours au théorème de monodromie-poids (qui n est connu qu en égale caractéristique), s il a permis de simplifier certains passages de la preuve précédente, peut être contourné, notamment grâce à la dualité de Verdier et à un argument de changement de base dû à Harris. Par contre, on l obtient en tant que corollaire, pour les variétés de Shimura en question. Signalons également que Boyer présente dans [16] une preuve simplifiée grâce à une information supplémentaire sur la cohomologie de la représentation locale U i fournie par Fargues ([37]) : en travaillant du côté de la tour de Drinfeld, on peut démontrer un résultat de dualité (issue de la dualité de Poincaré) faisant intervenir l involution de Zelevinsky entre composantes orthogonales pour l action de GL d (K) (indexées par les classes de conjugaison de sousgroupes de Levi, ou encore par le centre de Bernstein [10]). Au contraire, Boyer explique dans [15] comment s en passer. 8. Réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands pour les représentations elliptiques Le théorème 8 montre qu interviennent dans la cohomologie des deux tours certaines représentations elliptiques de GL d (K) et que la correspondance 69

70 de Jacquet-Langlands locale (convenablement étendue, voir remarque cidessous) est réalisée alors que la correspondance de Langlands locale ne l est que pour les supercuspidales. En travaillant dans la catégorie dérivée des Q l -représentations lisses de GL d (K) D d, Dat construit un complexe de cohomologie RΓ c ((M d ) K, Q l ) qui est plus riche au sens où d une part il fait intervenir toutes les représentations elliptiques et d autre part il réalise la correspondance de Langlands (ou plus exactement celle de Hecke, c est-àdire la vesion tordue compatible aux automorphismes de C qui apparait dans la géométrie). Théorème 10 (Dat ; [23]). Pour toute représentation lisse irréductible π de GL d (K) on a H(π) := i Z hi (RHom D b (GL d (K))(RΓ c ((M d ) K, Q l ), π)) { JL(π) L(π)( d 1 2 ) si π est elliptique 0 sinon en tant que représentation de D d W K. Remarque On rappelle que les représentations elliptiques (de support la supercuspidale π 0 de GL d/s (K) et profondeur s) sont les sousquotients irréductibles de l induite π 0 1 s 2 π 0 s 1 2. Elles sont paramétrées par les différentes orientations du graphe de sommets s i = 1 s i 1+ (π 0 2 ) 1 i s et d arêtes (s i, s i+1 ) : par exemple, la représentation notée S i,s (π 0 ) dans l énoncé du théorème 8 correspond à s 1 s 2... s i s i+1... ss Si I = {i 1,..., i k } désigne l ensemble (ordonné par ordre croissant) des indices des sommets où l orientation de l arête (s i, s i+1 ) est de gauche à droite, la représentation obtenue, notée Ss I (π 0 ), est l unique sous-module irréductible de l induite St n0 (π 0 ) i 0+ n 0 s 2 St nk (π 0 ) i k+ n k s 2, où n j = i j+1 i j (0 j k ; on a posé i 0 = 0 et i k+1 = s). En particulier, S i,s (π 0 ) = Ss I (π 0 ) avec I = {1,..., i}. La représentation de W K correspondante est L(Ss I (π 0 )) = Sp n0 (σ 0 )(i 0 + n 0 s 2 ) Sp nk (σ 0 )(i k + n k s 2 ) où σ 0 = L(π 0 ) et la représentation spéciale (généralisée normalisée) Sp n (σ 0 ) est σ 0 ( 1 n 2 ) σ 0( n 1 2 ), la monodromie agissant par un bloc de Jordan de taille n. Ce sont les sous-modules indécomposables de L(Ss I (π 0 )). 2. L inverse de la correspondance de Jacquet-Langlands induit une injection R(D d ) R(GL d(k)) au niveau des groupes de Grothendieck des 70

71 représentations de longueur finie. On montre que cette application induit a son tour un isomorphisme R(D d ) R(GL d (K)) sur le quotient R(GL d (K)) de R(GL d (K)) par les combinaisons linéaires d induites paraboliques. Cela permet de prolonger la correspondance de Jacquet- Langlands en un morphisme JL : R(GL d (K)) R(D d ) et seules les représentations elliptiques ont une image non nulle. Avec les notations précédentes, on a [Ss I (π 0 ))] = [St s (π 0 )] au signe près. 3. M d désigne au choix M d LT ou Md, Dr qui ont même cohomologie d après le théorème de Faltings-Fargues (on rappelle que désigne l involution g t g 1 de GL d (K)). 4. Le support de la somme directe est fini : précisément, avec les notations de la première remarque, on a k ( H(Ss I (π 0 )) JL(St s (π 0 )) Sp nj (L(π 0 ))(i j + n j 1 + d s ) 2 2 ) [s k 1+2j] j=0 en tant que représentation graduée de D d W K. La beauté du résultat est qu en définitive les contributions des différents degrés cohomologiques s assemblent parfaitement! L écriture de la suite spectrale de Hochschild-Serre (cf. paragraphe 5.1) a déjà fait intervenir un complexe cohomologique dans la catégorie dérivée des GL d (K)-modules lisses, construit à l aide d un recouvrement de Čeck de Md Dr,n par des ouverts distingués, de nerf l immeuble de PGL d (K) ([47] ). On a signalé que cette suite spectrale a été généralisée par Fargues, qui s est inspirée d idées de Jannsen et Huber afin de traiter des cas où une telle structure simpliciale n est pas disponible ([35] chap. 4). C est ce travail qu adapte Dat pour construire RΓ c. La construction possède de bonnes propriétés de fonctorialité et peut s appliquer aussi bien à M d Dr,n que Md LT,n. On passe ensuite à la limite inductive sur n. Dat commence par traiter le cas de la base de la tour, du côté Drinfeld : en d autres termes, il calcule i Z hi (RHom D b (GL d (K))(RΓ c ((Ω d ) K, Q l ), π)) dans un premier article ([22]). Il s inspire pour cela du travail de Schneider et Stuhler, dont le formalisme a permis de calculer (entre autres) la cohomologie sans support des Ω d (la cohomologie avec support ne vérifie par contre pas les axiomes de [65]). Le calcul des H i c et de leurs extensions mutuelles permet de montrer que le complexe RΓ c est scindé : on a RΓ c ((Ω d ) K, Q l ) i Hi c(ω d ) K, Q l )[ i] dans D b (GL d (K)). Un tel scindage induit un isomorphisme entre l algèbre d endomorphismes End D b (GL d (K)) RΓ c 71

72 et i j Extj i GL d (K) (Hd 1+j c, Hc d 1+i ) muni du cup-produit, que l on peut calculer. On obtient une algèbre de matrices triangulaires supérieures et il s agit d identifier l action du groupe de Weil W K. D une part, Dat montre que pour tout relèvement F r du Frobenius il existe un unique scindage F r-équivariant. D autre part, il étudie l action du sous-groupe d inertie I K à travers l opérateur N de monodromie (après avoir vérifié que cette action est bien continue). On est ramené à démontrer que N est d ordre de nilpotence d : pour cela, Dat utilise les cycles évanescents associés à un quotient Ω d /Γ par un sous-groupe Γ de PGL d (K) co-compact assez petit (le quotient est alors algébrisable), sur lequel on sait expliciter l action de N. Pour le cas de la tour entière se posent différents problèmes : afin de suivre la même démarche, il faut d une part connaître la cohomologie des revêtements. Dat utilise pour cela le résultat de Boyer (théorème 8). D autre part, le contrôle de la nilpotence de N passe par un modèle formel des revêtements Σ d n : or on a déjà fait remarquer qu on ne sait pas définir dans ce contexte une structure de niveau de Drinfeld. En définitive, c est du côté de la tour de Lubin-Tate que Dat va œuvrer, le résultat se transférant ensuite par l isomorphisme de Faltings-Fargues (que Fargues a également rédigé, à la demande de Dat, en terme d égalités dans la catégorie dérivée). On considère donc la composante ρ-isotypique RΓ c (ρ), on montre qu elle est scindable dans D b (GL d (K)) et on suit à peu près le même programme. Pour démontrer que N est d ordre de nilpotence s lorsque ρ = JL(Ss I (π 0 )), Dat est contraint de recourir à une description fine de la géométrie de la variété globale, à travers la fibre z R ΨQ l du complexe des cycles évanescents (voir paragraphe 7) en un point supersingulier, fibre qui constitue un GL d (K)-module gradué (avec action de W K ) tel que z R ΨQ l i H i (M d,[0] LT, Q l)[d 1 i]. Il relève z R ΨQ l en un objet z éq R ΨQ l RΓ(M d,[0] LT, Q l)[d 1] dans D b (GL d (K)) et conclut à l aide de la filtration de monodromie déterminée par Boyer qui fournira le résultat de non annulation. Plus exactement, Dat utilise la bi-filtration (par les noyaux et les images de N) qui possède la propriété mirifique qu un bigradué est concentré en un seul degré cohomologique, de sorte qu il est déteminé dans la catégorie dérivée par sa cohomologie (cela conduira Boyer à utiliser également la bifiltration dans les dernires versions de son article [13]). En définitive, il s agit d un travail très élaboré (Dat développe 72

73 le formalisme catégoriel des faisceaux pervers de Hecke pour construire le foncteur zéq et justifier les délicats passages à la limite) qui raffine et complète les résultats de Boyer. 9. Perspectives Michael Harris a énoncé dans ses exposés à ICM 2000 ([43] ; voir également [45] 8) et ICM 2002 ([44]) de nombreuses conjectures (certaines sont dues à Kottwitz et Rapoport) qui s apparentent à des généralisations et avatars de la conjecture de Deligne-Drinfeld-Carayol. Il s agit d une part, dans la veine de l article [46] et en utilisant des techniques rigides-analytiques, de construire des stratifications pour des variétés de Shimura plus générales (de type PEL) et d étudier les cycles évanescents, les modèle s locaux étant ournis par les espaces de Rapoport-Zink ([60]) qui font intervenir des paires de groupes (G, J), l un étant une forme intérieure de l autre. Ce programme a été réalisé en partie par Fargues ([35]) et donne la classification attendue des séries discrètes des deux groupes par le paramêtre de Langlands (paramétrisation encore conjecturale dans le cas général), les deux L-paquets étant reliés par une correspondance de type Jacquet-Langlands. Un des problèmes est que l on ne sait pas définir les généralisations des structures de niveau de Drinfeld nécessaires afin de déméler les strates (difficulté qu à dû contourner Fargues en introduisant une formule des traces de Lefschetz rigide-analytique). Côté corps de fonctions, la théorie des G-faisceaux elliptiques ou G-chtoucas est encore à élaborer, pour d autres groupes que GL d, et comprendra son cortège de résultats d uniformisation, les modèle s locaux étant également à inventer... D autre part, on peut considérer la correspondance de Langlands modulo l (Vignéras) et réaliser géométriquement ces correspondances (c était d ailleurs la motivation initiale de Dat : mieux comprendre cette correspondance pour les séries discrètes). Ou bien encore le cas l = p (travaux de Breuil) qui offre un champs d investigation essentiellement vierge... Signalons enfin que Faltings a récemment annoncé une généralisation du théorème d isomorphisme des deux tours à d autres paires (G, J) que (GL d, D d )... Références [1] Alexandru Ioan Badulescu. Orthogonalité des caractères pour GL n sur un corps local de caractéristique non nulle. Manuscripta Math., 101(1) :49 70,

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79 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON Systèmes d Euler pour les tours de courbes de Shimura O. FOUQUET

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81 SYSTÈMES D EULER POUR LES TOURS DE COURBES DE SHIMURA par Olivier Fouquet Résumé. Soit F un corps de nombres totalement réel. Nous construisons dans ce qui suit une famille analytique T de représentations p-adiques ordinaires du groupe de Galois Gal( F /F ) à partir de la cohomologie étale de tours de courbes de Shimura quaternioniques. Nous construisons ensuite un système de classes de cohomologie équivariantes sous l action de l algèbre de Hecke et des groupes de Galois d extensions diédrales de F bien choisies. Ce système induit un système d Euler pour T et toutes ses spécialisations, donc en particulier pour les représentations p-adiques associées aux formes automorphes quaternioniques de poids supérieurs à 2. Abstract. Let F be a totally real field. From the étale cohomology of towers of Shimura curves, we manufacture an analytic family T of ordinary p- adic representation of the Galois group Gal( F /F ). We then construct a system of cohomology classes equivariant under the action of the Hecke algebra and of the Galois groups of well-chosen diedral extensions of F. This system induces an Euler system for T and all its specializations, and in particular for the Galois representations attached to quaternionic automorphic forms of weight greater than Introduction 1.1. Motivation. Soit X un schéma projectif lisse sur un corps de nombres K. À X et un entier n est conjecturalement associé un motif M = h i (X)(n) qui interviendra ici par ses réalisations cohomologiques étale, de Betti et de de Rham ainsi que par les structures supplémentaires et isomorphismes de comparaisons afférents. Soit p un nombre premier. La réalisation étale M p de M est une représentation du groupe de Galois absolu Classification mathématique par sujets (2000). 11R23,14G35,11F80,11F33. Mots clefs. Systémes d Euler. Courbes de Shimura. Théorie de Hida.

82 G K de K. Fixons un plongement de K dans C et un ensemble S fini de places finies contenant toutes les places de K au-dessus de p et toutes les places de mauvaise réduction de M. La fonction L complexe partielle de M p est alors définie par le produit infini : L(M p, K, S, s) = l / S det Kp (1 Fr(l)X M I l p ) En l / S, le schéma X a bonne réduction donc le facteur det Kp (1 Fr(l)X M Ip p ) appartient à K[X]. Soit L (M p, K, S) le terme principal du développement de Taylor de L(M p, K, S) en 0. La reformulation de [Kat93a] et [FPR94] des conjectures de Bloch-Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L prédit l existence d une droite fondamentale (M) définie à partir de la cohomologie motivique de M et de son espace tangent. Par construction, la droite fondamentale (M) K C est canoniquement isomorphe à C. En particulier, le C-espace vectoriel (M) K C contient L (M p, K, S). C est une conjecture profonde de [Del79] et [Beĭ84] que la pré-image des valeurs spéciales dans (M) K C provient en fait d un élément ζ M (K, S) de (M). Les conjectures de Bloch-Kato prédisent alors que l image de ζ M (K, S) dans (M) K K p engendre une structure entière dans un certain complexe de cohomologie à support compact. Supposons maintenant que M soit muni d une action supplémentaire d une Q- algèbre semi-simple commutative A, ou encore que M est à coefficients dans A. La philosophie des conjectures équivariantes sur les nombres de Tamagawa prédit que la construction précédente de ζ M (K, S) est équivariante, ce qui signifie en particulier que les ζ M (K, S) vérifient des relations de systèmes d Euler. Supposons par ailleurs que la représentation résiduelle de M p est absolument irréductible. La théorie de la déformation de [Maz89] implique alors que M p est une spécialisation d une représentation galoisienne universelle M univ à coefficients dans un anneau universel de déformation R univ. Si l on se restreint aux déformation vérifiant certaines conditions, il est souvent possible d identifier l anneau R univ avec un anneau T dont A est une spécialisation. Dans ce cas, le système des {ζ Mn (K, S)} pour M n dans un sous-ensemble bien choisi de déformations de M donne naissance à un système équivariant pour la déformation universelle M univ. Conjecturalement, il est donc possible sous certaines hypothèses d associer à une représentation galoisienne géométrique M des systèmes d éléments spéciaux équivariants reliés aux valeurs spéciales des fonctions L et qui s étendent en un système spécial équivariant pour certaines déformations universelles de M Exemples fondamentaux. Les conjectures évoquées ci-dessus acquièrent un sens très concret dans les exemples classiques suivants. 82

83 Théorie d Iwasawa classique. Soit M le motif Q(1) et p un nombre premier impair. Pour L un extension abélienne de Q, soit X L = Q(1) Spec Q Spec L et M L le motif associé. Le motif M L est muni d une action de Q[Gal(L/Q)]. La réalisation étale de M L en p est la représentation lim µ p n( L) Z Q n qui est de dimension 1, donc absolument irréductible, et admet la structure entière T L = lim µ p n( L) n Supposons L totalement réelle et non-ramifiée en dehors de S. Il est montré dans [Kat93a, Kat93b] 5.14 et respectivement (voir aussi [BG03] 5.1 et [Fla04] théorème 5.9) que l image de ζ(l, S) dans H 1 et(spec[z, 1/S], T L ) s identifie avec l image d unités cyclotomiques bien choisies. Dans ce cas, la propriété d équivariance des ζ(l, S) se traduit par le fait que les unités cyclotomiques forment un système d Euler au sens de [Rub00, Kat04]. Soit Q /Q la Z p -extension cyclotomique de Q et Λ l anneau Z p [[Gal(Q /Q)]]. La déformation universelle de T est le Λ-module T Zp Λ. Il est connu que le système d Euler des unités cyclotomiques s étend en un système d Euler pour T Zp Λ Tours de courbes modulaires. Soit M le motif d une forme modulaire f S 2 (Γ 1 (Np s 0 ), χ) propre, nouvelle et ordinaire en p. La réalisation étale de M p peut s écrire sous la forme H 1 et(x 1 (Np s 0 ) Q Q, Qp ) m pour m un idéal maximal de l algèbre de Hecke h ord (Np s 0 ). Supposons que la représentation résiduelle ρ f est une représentation absolument irréductible de Gal( Q/Q). Pour s plus grand que s 0, soit M s le motif modulaire dont la réalisation étale est H 1 et(x 1 (Np s ) Q Q, Qp ) m Les motifs M s sont munis d une action de la limite inverse h ord (Np ) en s des algèbres de Hecke ordinaires. Les éléments ζ s (Q, S) associés à M s sont construits dans [Kat04] et vérifient la relation d équivariance voulue sous l action de h ord (Np ) : la projection de ζ s (Q, S) dans (M s ) induite par la projection de X 1 (Np s ) sur X 1 (Np s ) est égale à ζ s (Q, S). Éventuellement sous quelques hypothèses techniques de théorie de déformation, l anneau de déformation universelle ordinaire de M p s identifie à h ord (Np ), voir par exemple [Wil95] et [SW01], si bien que le système des ζ s (Q, S) définit un système d Euler pour la déformation universelle ordinaire de M p. 83

84 1.3. Objectifs. L objectif de cet article est d étudier le cas du motif d une courbe de Shimura. Soit X un courbe de Shimura quaternionique sur un corps de nombre totalement réel F et M p la réalisation étale du motif associé pour p un nombre premier impair. Nous construisons une déformation ordinaire de M à partir de tours de courbes au-dessus de X. Nous montrons ensuite que certains points CM bien choisis dans cette tour de courbes fournissent des classes de cohomologie vérifiant les propriétés d équivariance souhaitées sous l action de l algèbre de Hecke et sous l action de Gal(L/K) où K est une extension totalement complexe de F et L une extension abélienne de K diédrale sur F. En particulier, nous construisons ainsi un système d Euler pour la déformation universelle ordinaire de M p. En spécialisant ce système d Euler, nous obtenons ainsi des systèmes d Euler pour les représentations galoisiennes associées aux formes automorphes ordinaires de poids supèrieur à 2, ce qui réalise une généralisation commune du système d Euler construit dans [Nek04] et des résultats de [How07]. 2. Tours de courbes de Shimura 2.1. Notations. Pour K un corps de nombres ou une extension finie de Q l, nous notons G K le groupe de Galois absolu de K. Soit p un nombre premier impair et O l anneau des entiers d une extension finie de Q p. Soit F un corps de nombres totalement réel de degré d. Soit τ 1 l une de ses places infinies. Soit S B un ensemble fini de places non-archimédiennes de F tel que : S B d 1 (mod 2) Soit Ram(B) = {τ j j 1} S B et B l unique algèbre de quaternions sur F dont l ensemble de ramification est exactement Ram(B). Soit G le groupe réductif sur Q tel que G(Q) = B et soit Z son centre. Soit A f l anneau des adèles finies de Q. Pour U un sous-groupe compact ouvert de G(A f ), soit X(U) la courbe de Shimura telle que : X(U)(C) = G(Q)\(C R G(A f )/U) Si F est égal à Q et B est M 2 (Q), nous notons encore X(U) la compactification lisse de X(U), si bien que la courbe X(U) est toujours supposée compacte. Si U et U sont des sous-groupes compacts ouverts de G(A f ) suffisamment petits et tels que U U, il existe une application plate finie naturelle : X(U ) X(U) 84

85 En particulier, si g G(A f ), le sous-groupe U gug 1 est inclus dans U donc il existe un diagramme X(U gug 1 ) [ g] X(g 1 Ug U) X(U) T (g) X(U) définissant la correspondance de Hecke T (g). Un élément a de A f peut être considéré comme un élément de G(A f ) via l isomorphisme A f Z(G(Af )) et définit donc une correspondance sur X(U) notée < a >. Cette action se factorise à travers un groupe fini G(U). Si g G(A f ) vérifie ( ) 1 0 g = 0 ϖ v en v et est égale à l identité hors de v, nous notons T (g) = T (v). L algèbre de Hecke h est la O-algèbre engendrée par les T (v) et les < a > Tours de courbes de Shimura. Considérons maintenant une tour {U(s)} s 1 de sous-groupes compacts ouverts de G(A f ). Supposons que U(s) v soit indépendant de s en v (p) et que U(s) v tende vers l identité en v (p). Soit X(s) la courbe X(U(s)) et M(s) son premier groupe de cohomologie étale à coefficients dans O. Soit G = lim s G s = lim G(U(s)) s Vu comme sous-algèbre de End(M(s)), l algèbre h est une algèbre sur O[[G]]. Si pour simplifier nous supposons que U(s) v est maximal en dehors de (p) et que ( ) U(s) v = {g GL 2 (O F,v ) g mod ϖ 0 1 v} s en (p), nous voyons que G/G tors est isomorphe à Z 1+δ p où δ est le défaut de la conjecture de Leopoldt. La dualité de Poincaré induit un accouplement sur Het(X(s) 1 F F, O) pour chaque niveau s. <, > : H 1 et(x(s) F, O) H 1 et(x(s) F, O) O( 1) Cet accouplement n est pas compatible avec l action de l algèbre de Hecke, ce qui est déjà apparent dans le cas classique des courbes modulaires X 1 (Np s ). Soit M un h[g F ]-module M dont l action de σ G F sur x M est notée σx. Le h[g F ]-module M< n > est défini égal à M en tant que h-module et tel que σ G F agisse sur x M< n > par < χ cyc (σ) >σx. Soit F [s] le corps 85

86 des constantes de X(s) défini dans [Del71]. Le schéma X(s) F F [s] est muni d un F [s]-morphisme W s généralisant l involution de Fricke. Lemme 2.1. Soit M(s) le groupe de cohomologie Het(X(s) 1 F F, O). La dualité de Poincaré et l involution de Fricke W s définissent un accouplement : (1) (, ) : M(s) M(s) O( 1) (x, y) < x, W s y > Cet accouplement induit un isomorphisme de h[g F ]-modules : α : M(s) Hom O (M(s), O)( 1)< 1 > Soit e ord le projecteur ordinaire de Hida. Par définition, l opérateur de Hecke T (p) est inversible sur l image de e ord. Soit m un idéal maximal de l algèbre semi-locale h ord. M ord m = lim e ord m Het(X(s) 1 F F, O) s Une partie de la subtilité de cette construction provient du sens exact à donner à la limite lim. En effet, l application de transition naturelle s X(s + 1) π X(s) induit π : H 1 et(x(s + 1) F F, O) p N ( H 1 et(x(s) F F, O) ) pour une certaine puissance p N de p. La limite inverse pour π est donc nulle. La limite est donc prise relativement à X(s + 1) [ g] X(s + 1) π X(s) π g pour g = ( ) ϖ v en v p. La projection sur la partie ordinaire assure que cette construction a bien un sens. 86

87 L accouplement du lemme 2.1 est compatible avec la limite inverse en s et défini donc un accouplement sur Mm ord qui fait de ce dernier un O[[G/G tors ]]- module réflexif. Supposons que F vérifie la conjecture de Leopoldt en p. Dans ce cas : G/G tors Zp Le module Mm ord est donc réflexif de rang fini sur un anneau régulier de dimension 2. Il est donc libre. Remarque : Cet article ne traite pour des raisons de briéveté que du cas des structures de niveau U(s) de type : ( ) U(s) v = {g GL 2 (O F,v ) g mod ϖ 0 1 v} s Le cas d une structure de niveau générale se réduisant à l identité en v divisant p n est pas significativement différent. Dans ce cas plus général, la liberté de Mm ord sur O[[G/G tors ]] se démontre en invoquant un théorème de contrôle exact, voir [Fou07a] pour une démonstration Représentations galoisiennes associées à Mm ord. La théorie de Hida implique que la représentation galoisienne Mm ord interpole les représentations galoisiennes attachées à certaines formes modulaires de Hilbert propres ordinaires. Soit Spec arith (h ord m ) Spec(h ord m ) le sous-ensemble dense des points arithmétiques de Spec(h ord m ). Soit P Spec arith (h ord m ) un point arithmétique et f P la forme automorphe qui lui est associé. La représentation ) P /P(M ord (M ord m est isomorphe à la représentation galoisienne associée à une forme modulaire de Hilbert ordinaire propre, voir par exemple [Hid88] corollaire 3.5. Soit λ : h ord h ord m le morphisme canonique associé à m et Mm ord (s) = e ord m M(s). Soit ρ m la G F - représentation résiduelle associée à l idéal m. Proposition 2.2. Supposons que ρ f est absolument irréductible. Supposons de plus l une des deux conditions suivantes. 1. Il existe un niveau s tel que : dim F e ord m H 1 et(x(s) F F, O/ϖ)[m] = 2 Autrement dit, l idéal m est de multiplicité résiduelle L entier p est plus grand que 7. Soit L = F (ζ p ). La représentation ρ m GL est absolument irréductible. Soit v une place finie au dessus de p. Alors l extension définie par ρ m Iv n est pas équivalente à : m ) P 0 F ρ m Iv F( 1) 0 87

88 Autrement dit, le type de déformation de ρ f est minimal. Alors Mm ord est libre de rang 2 sur h ord m qui est un anneau de Gorenstein. Sous l hypothèse 2, l anneau h ord m est d intersection complète. De plus, la représentation Mm ord est non-ramifiée en dehors de S B {v p}. Soit v une place n appartenant pas à S B {v p}. Soit χ Γ le caractère à valeurs dans O[[G/G tors ]] défini par la composition : χ Γ : G F Gal(F Q /Q) Z p O[[G/G tors ]] Il existe alors un caractère ω tel que la représentation M ord m vérifie : (2) det(1 X Fr(v) M ord m ) = 1 λ m (T (v))x + ω(fr(v))χ Γ (Fr(v))N F/Q ϖ v X 2 Démonstration. Sous l hypothèse 1, le lemme 15.1 de [Maz77], le théorème et la proposition de [Car94] généralisés au contexte des courbes de Shimura montrent que Mm ord est libre de rang 2 sur h ord m et que h ord m est un anneau de Gorenstein. Sous l hypothèse 2, la liberté de Mm ord et le fait que h ord m soit d intersection complète résultent du théorème 1 de [Fuj99]. Pour obtenir l assertion (2), il suffit d établir un résultat comparable pour un sous-ensemble Zariski dense de Spec(h ord m ). Pour le choix Spec arith (h ord m ), il s agit alors du corollaire 3.5 de [Hid88]. Si le caractère ω restreint à G tors est un carré, alors ω peut s écrire ω = χ 2. Le caractère χ Γ est un carré car p est impair. Soit χ 1/2 Γ un choix fixé de caractère dont le carré est égal à l inverse de χ Γ. La représentation T = Mm ord (1) χ 1 χ 1/2 Γ vérifie : T L anneau h ord m Hom O[[G/Gtors]](T, O[[G/G tors ]])(1) Hom h ord m est de Gorenstein donc T (T, Hom O[[G/G tors]](h ord m, O[[G/G tors ]])) Hom h ord m (T, hord m )(1) et la représentation T est donc auto-duale. L obstruction à ce que ω soit un carré provient de la 2-torsion de G. Nous faisons l hypothèse que cette construction est possible. Soit v un place au-dessus de p. D après [Wil88] théorème 2, le G Fv -module T s insére dans une suite exacte 0 T + v T T v 0 où T v + est un h ord m -module libre de rang 1 non-ramifié. Autrement dit, la représentation T est ordinaire au sens de Greenberg. 88

89 3. Systèmes d Euler pour T Iw 3.1. Points CM dans la tour X(s). Soit K une extension quadratique totalement imaginaire de F se plongeant dans B par q : K B Soit q : A f (K) G(A f ) le plongement idèlique induit. Le demi-plan supérieur admet un unique point fixe z sous l action du groupe multiplicatif de K. L ensemble des points CM sur X(s) relatif à K est l ensemble CM(X(s), K) = {x = [z, b] X(s)(C) b G(A f )} D après la loi de réciprocité de Shimura, les points CM sont algébriques sur des extensions abéliennes de K diédrales sur F. Nous considérons une famille de points x(c, s) X(s)(K ab ) dans la tour {X(s)} décrite par la donnée d un point CM initial x = [z, b] et de modifications locales de x associées á un idéal c de O F premier à Ram(B), le conducteur de x(c, s), et à un entier s, le niveau de x(c, s). Le point x(c, s) est défini par : x(c, s) = [z, bb(c, s)] Localement, l élément b(c, s) G(A f ) est donné par : 1. En dehors de c(p), b(c, s) v est l identité. 2. En v c et v (p) : ( ) ϖv 0 b(c, s) v = En v (p), soit t = ord v c. ( ) ϖ s+t b(c, s) = v Ces points généralisent dans notre contexte les points de Heegner sur X 0 (N). L action de Gal( K/K) ab sur la famille x(c, s) peut être décrite explicitement. La propriété fondamentale des x(c, s) est la relation de distribution suivante liant l action galoisienne sur x(c, s) à l action de l algèbre de Hecke. Proposition 3.1. Soit L l ensemble des produits d une puissance de p et de premiers distincts O F inertes dans O K, n appartenant pas à S B et ne divisant pas un idéal dépendant de x et des éléments de torsion de O K (voir [Fou07b] proposition ou [Nek04] proposition 2.10 pour les détails). Soit cl un élément de L. (3) T (l)x(c, s) = u(c) σ x(cl, s) σ Gal(K(cl,s)/K(c,s)) 89

90 (4) T (p)x(c, s) = σ Gal(K(c,s+1)/K(c,s)) σ x(c, s + 1) Le terme u(c) est égal à 1 sauf si c = 1 auquel cas u(c) = O K /O F. Après projection sur la partie ordinaire, le point x(c, s) peut être vu comme un éléments de CH 1 (X(s) F K(c, s)) 0 Z O. L application d Abel-Jacobi p- adique Φ : CH 1 (X(s) F K(c, s)) 0 H 1 (K(c, s), e ord H 1 et(x(s) F, O)(1)) permet donc de construire des classes de cohomologie dans la cohomologie galoisienne de H 1 et(x(s) F, O)(1) à partir de x(c, s). Plus précisément, la construction e ord m CH 1 (X(S) F K(c, s)) Z O Φ H 1 (K(c, s), Mm ord (s)(1)) H 1 (K 0 (c, s), M ord m (s)(1) χ 1 χ 1/2 Γ ) res 1 H 1 (K(c, s), Mm ord (s)(1) χ 1 χ 1/2 Γ ) Cor cs/c H 1 (K 0 (c), Mm ord (s)(1) χ 1 χ 1/2 Γ ) T (p) s H 1 (K 0 (c), Mm ord (s)(1) χ 1 χ 1/2 Γ ) fournit des classes z(c, s) dans H 1 (K 0 (c), Mm ord (s)(1) χ 1 χ 1/2 Γ ). La propriété (4) montre alors que les {z(c, s)} s, ou plus précisément une très légère modification des z(c, s), forment un système projectif pour le changement de niveau. Donc : (5) z(c) = lim s z(c, s) H 1 (K 0 (c), T ) Soit K K 1 K n K la tour d extensions définissant la Z d p-extension de K diédrale sur F. L algèbre de groupe O[[Gal(K /K)]] est isomorphe à O[[X 1,, X d ]]. La propriété (3) montre alors que les {z(cp t, s)} t forment un système projectif pour la corestriction. Donc : (6) z(c) = lim t z(cp t, s) lim t H 1 (K 0 (cp t ), T ) D après le lemme de Shapiro : lim H 1 (K 0 (cp t ), T ) H 1 (K 0 (c), T h ord hord m m [[X 1,, X d ]]) t Soit : T Iw = T h ord m hord m [[X 1,, X d ]] 90

91 La propriété suivante vient compléter la preuve que les classes z(c) vérifient les relations caractéristiques d un syst `me d Euler. Proposition 3.2. Soit cl. Soit v une place de K(c) au-dessus de l et w l unique place de K(cl) au-dessus de v. Soit Fr(l) la classe de conjugaison du morphisme de Frobenius de l. Alors : (7) loc w z(cl) = u(1) Fr(l) loc w z(c) H 1 (K(cl) w, T Iw ) 3.2. Propriétés locales des classes équivariantes. Pour L une extension finie de K, soit Hf 1(L, T Iw) le groupe de Selmer de Greenberg défini par : Hf 1 (L, T Iw) = ker H 1 (L, T Iw ) H 1 (L nr v, T Iw ) H 1 (L v, (T Iw ) v ) v p v p Les classes de Hf 1(L, T Iw) sont donc non-ramifiées en dehors de p et nulles après projection dans la cohomologie de T Iw en les places divisant p. Théorème 1. Les classes z(c) vérifient : z(c) H 1 f (K(c), T Iw) Remarque. La démonstration qui suit est une adaptation des méthodes de B.Howard qui traite le cas F = Q dans l article [How07]. Démonstration. En dehors de p, l assertion (6) montre que z(c) est une norme universelle d une sous Z p -extension de K 0 (cp )/K 0 (c). La classe z(c) est donc non-ramifiée, par exemple par [Rub00] corollaire B.3.5. En p, on commence par étudier la localisation de z(c) en un idéal premier arithmétique P de poids 2. Soit f P la forme modulaire propre ordinaire associée á P et V (f P ) la représentation galoisienne qui lui est associée. Quitte à considérer z(c) P comme classe de H 1 (L, T Iw R P ) pour une extension L bien choisie, la classe z(c) P peut-être vue comme classe de H 1 (L, V (f P )). La classe z(c) P est par définition dans l image de l application d Abel-Jacobi p- adique donc dans le groupe de Selmer de Bloch-Kato d après [BK90] exemple D après [Nek06] proposition , les groupes de Selmer et de Bloch- Kato coïncident pour la représentation attachée à une forme modulaire ordinaire. La classe z(c) P appartient donc à PH 1 (K 0 (c), T Iw ) P pour une infinité de P. Ceci montre que z(c) est un élément de H 1 (K 0 (c), T Iw ) tors. Le module H 1 (K 0 (c), T Iw ) tors est de type fini sur R, donc noethérien. La classe z(c) est dans l image de la corestriction d une Z p -extension, donc divisible. Elle est donc nulle. 91

92 En général, il est souhaitable de pouvoir travailler avec des tours de courbes admettant une structure de niveau fixe non-triviale N en dehors de p. Dans ce cas, mon résultat est plus faible. Théorème 2. Il existe un élément régulier λ R TIw tel que pour tout c L, la classe λz(c) soit dans Hf 1(K(c), T Iw). Si toutes les places divisant N se décomposent dans K, alors λ = 1 convient. Lorsque F est égal à Q et que B = M 2 (Q), ce résultat a été établi par Benjamin Howard dans [How07]. Les théorèmes 1 et 2 ainsi que les assertions (3 )et (7) montrent que les z(c) forment un système d Euler pour T Iw Conséquences. Soit R = h ord m [[X 1,, X d ]]. Soit S l anneau des entiers d une extension finie de Frac(O). Soit Sp une spécialisation de R, c est-à-dire un morphisme de O-algèbre Sp : R S de conoyau fini. La spécialisation Sp induit une spécialisation T Sp de T Iw définie par : T Sp = T Iw R,Sp S, A Sp = T Iw R,Sp Frac(S)/S L existence d un système d Euler pour T Iw implique l existence d un système d Euler pour chaque T Sp. Si le système z(c) est non-trivial, il induit un système non-trivial que nous notons également z(c) pour presque toutes les spécialisations de Sp. Soit v une place de F divisant p. Une spécialisation T Sp vue comme représentation de G Fv s insère dans la suite exacte ordinaire 0 (T Sp ) + v T Sp (T Sp ) v 0 Une spécialisation T Sp est dite exceptionnelle s il existe une extension finie L w de F v telle que H 0 (G Lw, (T Sp ) w) soit non-nul. Parmi les spécialisations de T Iw se trouvent en particulier les représentations galoisiennes associées aux formes automorphes de représentation résiduelle ρ éventuellement tordue par un caractère de Gal(K /K). Le fait que de telles représentations admettent un système d Euler était déjà connu dans le cas où F = Q et B = M 2 (Q) par [Kol90, Nek92, How07] et pour les formes automorphes sur F totalement réel de poids parallèles 2,, 2 et de caractère central trivial par [Nek04]. Comme dans [Kol90, Nek92, How04a], nous pouvons considérer les classes κ(c) dérivées de Kolyvagin de z(c). Proposition 3.3. Supposons la représentation ρ non-diédrale. Il existe un entier n tel que les classes dérivées p n κ(c) forment un système de Kolyvagin 92

93 pour T Sp. Autrement dit, il existe un système de conditions locales tel que et tel que si l c : p n κ(c) H 1 f(c) (K, T Sp/I c T Sp ) loc l κ(c) = Fr(l) loc l κ(cl) Remarque : Une étude fine des propriétés des classes dérivées et de leurs images dans la cohomologie de G Kv permet de démontrer la proposition précédente sans la puissance de p superflue, voir pour cela [Fou07a]. Corollaire 3.4. Supposons que l image de ρ contienne assez d homothéties et que la spécialisation T Sp ne soit pas exceptionnelle. Supposons que l image de z(1) dans H 1 f (K, T Sp) ne soit pas de torsion. Alors : Et : H 1 f (K, A Sp) = Frac(S)/S M M l(m) l(h 1 f (K, T Sp)/S p n z(1)) Démonstration. Ceci résulte de l existence d un système de Kolyvagin nonnul pour T Sp et de la méthode des systèmes d Euler telle que présentée dans [Nek92] et axiomatisée dans [How04a, How04b]. Des techniques de descente sur les groupes de Selmer, ou mieux sur les complexes de Selmer, permettent de déduire du corollaire précédent des divisibilités entre idéaux caractéristiques dans la théorie d Iwasawa diédrale des formes automorphes quaternioniques ordinaires. [Beĭ84] [BG03] [BK90] [Car94] [Del71] Références A. A. Beĭlinson. Higher regulators and values of L-functions. In Current problems in mathematics, Vol. 24, Itogi Nauki i Tekhniki, pages Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, David Burns and Cornelius Greither. On the equivariant Tamagawa number conjecture for Tate motives. Invent. Math., 153(2) : , Spencer Bloch and Kazuya Kato. L-functions and Tamagawa numbers of motives. In The Grothendieck Festschrift, Vol. I, volume 86 of Progr. Math., pages Birkhäuser Boston, Boston, MA, Henri Carayol. Formes modulaires et représentations galoisiennes à valeurs dans un anneau local complet. In p-adic monodromy and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (Boston, MA, 1991), volume 165 of Contemp. Math., pages Amer. Math. Soc., Providence, RI, Pierre Deligne. Travaux de Shimura. In Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pages Lecture Notes in Math., Vol Springer, Berlin,

94 [Del79] [Fla04] [Fou07a] [Fou07b] [FPR94] [Fuj99] [Hid88] P. Deligne. Valeurs de fonctions L et périodes d intégrales. In Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, pages Amer. Math. Soc., Providence, R.I., With an appendix by N. Koblitz and A. Ogus. Matthias Flach. The equivariant Tamagawa number conjecture : a survey. In Stark s conjectures : recent work and new directions, volume 358 of Contemp. Math., pages Amer. Math. Soc., Providence, RI, With an appendix by C. Greither. Olivier Fouquet. Euler systems for towers of Shimura curves. Prépublication disponible sur http ://math.jussieu.fr/ olivierfouquetx, Olivier Fouquet. Tour de courbes de Shimura, systèmes de Kolyvagin et théorie d Iwasawa des formes modulaires ordinaires. PhD thesis, Université Paris VI, Jean-Marc Fontaine and Bernadette Perrin-Riou. Autour des conjectures de Bloch et Kato : cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions L. In Motives (Seattle, WA, 1991), volume 55 of Proc. Sympos. Pure Math., pages Amer. Math. Soc., Providence, RI, Kazuhiro Fujiwara. Deformation rings and hecke algebras in the totally real case, Preprint, 99pp. Haruzo Hida. On p-adic Hecke algebras for GL 2 over totally real fields. Ann. of Math. (2), 128(2) : , [How04a] Benjamin Howard. The Heegner point Kolyvagin system. Compos. Math., 140(6) : , [How04b] Benjamin Howard. Iwasawa theory of Heegner points on abelian varieties of GL 2 type. Duke Math. J., 124(1) :1 45, [How07] [Kat93a] [Kat93b] [Kat04] [Kol90] [Maz77] [Maz89] Benjamin Howard. Variation of Heegner points in Hida families. Invent. Math., 167(1) :91 128, Kazuya Kato. Iwasawa theory and p-adic Hodge theory. Kodai Math. J., 16(1) :1 31, Kazuya Kato. Lectures on the approach to Iwasawa theory for Hasse-Weil L-functions via B dr. I. In Arithmetic algebraic geometry (Trento, 1991), volume 1553 of Lecture Notes in Math., pages Springer, Berlin, Kazuya Kato. p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms. Astérisque, (295) :ix, , Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques. III. Viktor Kolyvagin. Euler systems. In The Grothendieck Festschrift, Vol. II, volume 87 of Progr. Math., pages Birkhäuser Boston, Boston, MA, Barry Mazur. Modular curves and the Eisenstein ideal. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (47) : (1978), B. Mazur. Deforming Galois representations. In Galois groups over Q (Berkeley, CA, 1987), volume 16 of Math. Sci. Res. Inst. Publ., pages Springer, New York,

95 [Nek92] Jan Nekovář. Kolyvagin s method for Chow groups of Kuga-Sato varieties. Invent. Math., 107(1) :99 125, [Nek04] Jan Nekovář. The Euler system method for CM points on Shimura curves. In L-functions and Galois representations (Durham, July 2004), London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, [Nek06] Jan Nekovář. Selmer complexes. Astérisque, (310) :559, [Rub00] Karl Rubin. Euler systems, volume 147 of Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, Hermann Weyl Lectures. The Institute for Advanced Study. [SW01] C. M. Skinner and Andrew J. Wiles. Nearly ordinary deformations of irreducible residual representations. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 10(1) : , [Wil88] Andrew Wiles. On ordinary λ-adic representations associated to modular forms. Invent. Math., 94(3) : , [Wil95] Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat s last theorem. Ann. of Math. (2), 141(3) : , avril 2008 Olivier Fouquet, Institut de Mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013, Paris, FRANCE [email protected] Url : olivierfouquetx/ 95

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97 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON Cohomologie des variétés de Siegel et représentations galoisiennes associées aux représentations cuspidales cohomologiques de GSp 4 (Q) J. TILOUINE

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99 COHOMOLOGIE DES VARIÉTÉS DE SIEGEL ET REPRÉSENTATIONS GALOISIENNES ASSOCIÉES AUX REPRÉSENTATIONS CUSPIDALES COHOMOLOGIQUES DE GSp 4 (Q) par J. Tilouine Ce texte reprend le contenu de deux exposés qui présentent, avec commentaires (mais sans résultat nouveau), une idée de R. Taylor [11] pour construire la représentation galoisienne associée à une forme cuspidale π sur GSp(4) dont la composante à l infini est dans la série discrète. Cette idée n utilise pas la formule des traces pour GSp 4 mais seulement : la théorie de Hodge (et de Hodge-Tate), les relations de congruences à la Eichler-Shimura et la dualité de Poincaré. Cette méthode montre qu on peut associer à π une représentation galoisienne qui est, soit de la forme voulue, soit d une forme étrange. Le théorème dans sa version finale, qui consiste à exclure la forme étrange, nécessite le recours à la formule des traces. Il est dû à Laumon [8] et à Weissauer [12]). Nous nous concentrons sur la contribution de R. Taylor, en ajoutant quelques commentaires sur les progrès de [8] et [12]. La forme finale est la suivante (les notations sont expliquées dans le texte). Soit G = GSp 4, A = Q f Q l anneau des adèles rationnelles et G(A) = G f G, avec G f = GSp 4 (Q f ) et G = GSp 4 (R). Soit T le tore de G des t = diag(t 1, t 2, νt 1 2, νt 1 1 ). Soit λ : t ta 1 tb 2 (a b 0) un poids dominant pour (G, B, T ) ; soit λ le poids dominant dual et Π bλ+ρ le paquet des séries discrètes de G de caractère infinitésimal λ + ρ (ρ demi-somme des racines positives). Ce paquet comprend deux éléments π H b λ+ρ et π W b λ+ρ. Théorème 0.1. Soit π f une représentation lisse admissible de G f pour laquelle il existe des représentations lisses admissibles de G f, π 1 et π 2, équivalentes à π f en presque toute place, et telles que π 1 π H b λ+ρ et π 2 π W b λ+ρ soient automorphes cuspidales. Alors, pour tout nombre premier l, il existe une représentation galoisienne continue

100 ρ π,l : Gal (Q/Q) GL 4 (Q l ) non-ramifiée hors de Ram(π) {l, } et telle que pour tout nombre premier q en-dehors de cet ensemble fini, det(1 4 X ρ π,l (F r q )) = P π,q(q a+b+3 X), où P π,q(q s ) 1 est le facteur d Euler en q de la fonction L automorphe de degré 4 associée à π. On définit ainsi un système strictement compatible de représentations galoisiennes, pures de poids a + b + 3. Ces représentations sont de Hodge-Tate de poids 0, b + 1, a + 2, a + b + 3. La précaution concernant π 1 et π 2 au lieu de π f vient de ce que la multiplicité un pour π f π H, conjecturée, n est pas établie. Elle le sera dès que le transfert global de GSp(4) à GL 4 sera établi [1]. Nous concluons ce texte par une description conjecturale de toutes les représentations galoisiennes associées à une représentation cuspidale cohomologique de GSp(4, Q) (mais dont la composante à l infini n est pas nécessairement dans la série discrète). Dans cette partie, nous suivons et développons légèrement l approche suivie par T. Itô dans la dernière section de [7]. 1. Variétés de Siegel-Shimura, systèmes locaux 1 Soit J = et G = GSp 4 = {X GL 4 ; t XJX = νj} le schéma en groupes réductifs déployés sur Z associé à J. On note s = ( ) 1 et 1 2 =. 1 On introduit le diagramme des sous-groupes paraboliques standard P G / \ \ / B Q ( où B désigne le sous-groupe de Borel constitué des matrices triangulaires supérieures de G, P désigne le groupe des matrices triangulaires supérieures par blocs (1, 2, 1) de G, et Q celui des matrices triangulaires par blocs (2, 2) ) 100

101 de G. On introduit les décompositions de Levi Q = MU et B = T N, où M est isomorphe à GL(2) G m par (A, ν) diag(a, νs t As), et T est ( le tore de ) rang 3 des t = diag(t 1,, t 2, νt 1 2, νt 1 1 ). U consiste en les matrices 12 u 0 1 ( ) 2 a b où u =. c a Soit A = Q f Q l anneau des adèles rationnelles ; on note G A = G f G la décomposition du groupe des A-points de G. ( ) Soit h : Res C/R C x12 ys G /R le morphisme envoyant x + iy sur ys x1 2 Soit X l orbite de h par conjugaison sous G et C = Stab G (h). Soit K G f un sous-groupe compact ouvert. La variété de Siegel-Shimura (de genre 2) de niveau K est définie comme S K = G Q \G A /KC = G Q \(X G f /K) Si K est net (le sous-groupe de C engendré par les valeurs propres des éléments de KG G Q ne contient pas de racine de l unité autre que 1), S K est une variété analytique complexe lisse de dimension 3, et aussi une variété algébrique complexe quasi-projective lisse (non projective). Si K K, on a un morphisme fini S K S K. Si g G f, la multiplication à droite r g : G A G A par g induit une correspondance algébrique T K (g) (dont les deux projections sont finies) S K S K gkg 1 S K g 1 Kg S K On munit ces variétés de systèmes locaux comme suit. Soit X (T ) le groupe des caractères de T. On paramétrise ce groupe par le réseau L de Z 3 des triplets (a, b; c) tels que c a + b (mod 2) ; L X (T ), (a, b; c) (t t a 1 tb 2 ν c a b 2 ). La restriction de ce caractère au centre est z z c. On prend c = a + b dans la suite. Soit λ X (T ) dominant pour (G, B, T ) ; on a donc a b 0. Soit V λ la représentation de Weyl de G de plus haut poids λ. On définit le système local V λ,k sur S K comme le faisceau des sections localement constantes du fibré G Q \(G A V λ )/KC G Q \G A /KC, l action sur G A V λ étant donnée par γ(g, v)kc = (γgkc, γv). Les faisceaux V λ,k sont compatibles aux morphismes S K S K. En faisant agir la multiplication à droite par g G f trivialement sur V λ, on définit une action de la correspondance algébrique T K (g) sur (S K, V λ,k ). 101

102 2. Cohomologie Pour tout g f G f et tout compact ouvert K G f, on a donc une action de T K (g) sur H (S K, V λ,k ). Ces actions sont compatibles aux morphismes de transition S K S K. En passant à la limite inductive on obtient une action de G f sur H (S, V λ ) = indlim K H (S K, V λ,k ) C est un G f -module admissible, i.e. les K-invariants sont de dimension finie : H (S, V λ ) K = H (S K, V λ,k ). Par le théorème de comparaison de de Rham, et en tirant les faisceaux par G A S = G Q \(G A /C ) H (S, V λ ) = H (E (S, V λ ))) = H (E (G A, V λ ) G Q equiv,c inv. ) Grâce à l isomorphisme G A V λ G A V λ, (g, v) (g, g 1 v), on a H (E (G A, V λ ) G Q equiv,c inv. ) = H (E (G A, V λ ) G Q inv,c equiv ) et on reconnaît dans le membre de droite la cohomologie d algèbre de Lie relative, qu on calcule par le complexe de Koszul relatif. On peut donc exprimer le membre de droite en termes de groupes de (g, C )-cohomologie : H (E (G A, V λ )) G Q inv,c equiv ) = H (g, C, C (G Q \G A ) V λ ). Ceci permet d introduire en plus de H c (S, V ) et H! = Im(H c H ) la cohomologie L 2 et la cohomologie cuspidale. On définit des inclusions C cusp C c/centre C (2) C où la condition de cuspidalité est définie par N Q \N A f(gn)dn = 0, N désignant le radical unipotent d un des paraboliques P, Q, B. La première inclusion est donnée par un système inductif de troncatures lisses par des compacts mod. centre de plus en plus grands, les autres inclusions étant naturelles. Les (g, C )-modules correspondent définissent les cohomolologies cuspidales, à support compact, L 2, resp. classique. Ces inclusions induisent des morphismes H cusp(s, V λ ) H c (S, V λ ) H (2) (S, V λ) H (S, V λ ) Rappelons que Borel a démontré que l application induite est injective. H cusp(s, V λ ) H! (S, V λ) 102

103 3. Cohomologie cuspidale On rappelle que le module de Harish-Chandra (Ccusp) (C ) de Ccusp est le sous-(g, C )-module (admissible) constitué des vecteurs C -finis (dont la C - orbite engendre un sous-espace de dimension finie). On démontre (livre de Borel-Wallach) que l inclusion (Ccusp) (C ) V λ Ccusp V λ de (g, C )-modules induit un isomorphisme de (g, C )-cohomologie. On peut décomposer le (g, C )-module de Harish-Chandra de Ccusp en constituants simples : Ccusp(G Q \G A ) (C ) = m π.π f π (C ) π cusp. où π = π f π parcourt les classes d isomorphisme de représentations cuspidales, m π est la multiplicité de π et π (C ) désigne le (g, C )-module des vecteurs lisses de π. On a de plus la décomposition H cusp(s, V λ ) = π cusp. m π π f H (g, C, π (C ) V λ ) Pour chaque π = π f π cuspidale, la (g, C )-cohomologie de π (C ) V λ est nulle à moins que le caractère infinitésimal du module coefficient ne soit trivial ; ceci équivaut à dire que le caractère infinitésimal de π est égal à celui de Vλ = V λ b, la représentation de Weyl de plus haut poids λ = (a, b; c). De plus on a la décomposition de Hodge : H m (g, C, π (C ) V λ ) = u+v=m H u,v (g, q, π (C ) V λ ) (voir [2] ou [6]). Soit t l algèbre de Lie réelle du tore T ; notons que par différentiation, X (T ) se plonge canoniquement comme réseau dans le dual linéaire de t. Soit ρ = (2, 1; 0) la demi-somme des racines positives de (G, B, T ). Par l isomorphisme d Harish-Chandra γ : Zg = (Sym t) W on peut interpréter le caractère infinitésimal de V bλ comme λ + ρ. La somme ne porte donc que sur les π tels que χ π = λ + ρ. La classification de Vogan- Zuckerman pour G = GSp 4 donne les modules de Harish-Chandra avec cette propriété : La série discrète contient deux telles représentations : π H b λ+ρ et π W b λ+ρ ; elles sont telles que -la (g, q)-cohomologie de π H b λ+ρ V λ est nulle sauf en bidegré (3, 0) et (0, 3), où elle est de dimension 1, 103

104 -la (g, q)-cohomologie de πb W V λ+ρ λ est nulle sauf en bidegré (2, 1) et (1, 2), où elle est de dimension 1, Si a > b > 0, il n y a pas d autre représentations. Si a > 0, b = 0, il y a une représentation πλ 1 unitaire mais pas tempérée ; elle n est donc pas dans la série discrète ; elle contribue aux H 2,0 et H 0,2 (chacun est de dimension 1), et aux H 3,1 et H 1,3 (chacun de dimension 1). Si a = b > 0, il y a deux représentations π 2,± λ, avec π2, λ = π 2,+ λ sgn. Elles sont également non tempérées. Elle interviennent dans H 1,1 et H 2,2 (à chaque fois avec dimension 1) Si a = b = 0, les représentations sont ν c/2 et ν c/2 sgn ; elles interviennent dans H 0,0, H 1,1, H 2,2 et H 3,3 (à chaque fois avec dimension 1). On définit la composante π f -isotypique du G f -module H cusp(s, V λ ) comme H cusp[π f ] = π f W πf où W πf = Hom Gf (π f, H cusp). H cusp = π cusp. H cusp[π f ] Notons que par la classification de VZ, on peut estimer la dimension (finie) de W πf : donc W πf = π=π f π cusp. m π H (g, C, π (C ) V λ ) dim W πf = 2m(π f π H b λ+ρ ) + 2m(π f π W b λ+ρ ) + 4m(π f π 1 λ ) + 2m(π f π 2,± λ ) où π 1 λ resp. π2,± λ peut intervenir en poids (a, 0) resp. (a, a). 4. Cohomologie l-adique On va introduire les trois ingrédients-clés pour l étude des représentations galoisiennes : -décomposition de Hodge-Tate et endomorphisme de Sen, -dualité de Poincaré -relations d Eichler-Shimura. Les S K admettent des modèles canoniques sur Spec Q. Plus précisément, pour chaque sous-groupe compact ouvert K, soit Q K le sous-corps de Q ab fixé par [ν(k), Q]. Il y a des modèles S K /Q munis de morphismes S K Spec Q K à fibres géométriques connexes, qui sont espaces de modules fins de variétés abéliennes principalement polarisées (en abrégé, VAPP) avec structure de niveau K ; on note A K la VAPP universelle A K S K définies sur Q K. 104

105 Les morphismes de transition S K S K sont compatibles à l inclusion Q K Q K. Soit x un point géométrique de S K, on a une représentation continue φ x : π 1 (S K, x) GSp(T l A K,x ) = GSp 4 (Z l ) 4.1. Décomposition de Hodge-Tate et endomorphisme de Sen. Soit λ un poids dominant pour (G, B, T ). La composée de φ x avec l action de G(Z l ) sur V λ (Q l ) fournit un faisceau lisse sur le modèle canonique S K. En passant à la limite sur les niveaux, on obtient un G f Gal (Q/Q)-module H et(s Q, V λ (Q l )) Par Faltings-Chai Chap.VI, il est de Hodge-Tate. Pour décrire sa décomposition de Hodge-Tate, on introduit le sous-ensemble W M du groupe de Weyl W constitué des representants de Kostant de W M \W. Ils sont définis par la condition w(φ + G ) Φ G ΦM. Soit s α resp. s β la réflexion associée à la racine courte α = (1, 1; 0), resp. à la racine longue β = (2, 0; 0). On voit facilement que W M = {w 0, w 1, w 2, w 3 } où w 0 = Id, w 1 = s β, w 2 = s β s α, w 3 = s β s α s β. Posons H w0 = 0, H w1 = b 1, H w2 = a 2 et H w3 = a b 3. Suivant Faltings-Chai, on définit des G f -modules admissibles A v w u (λ) 0 u, v 3 en termes de la cohomologie cohérente du complexe BGG dual ; par exemple, A 0 w 3 (λ) = indlim K,Σ H 0 (S Σ K, ω a+3,b+3 ), où S Σ K désigne la compactification toroidale de S K associée à l éventail Σ et ω i,j (i j 0) est le prolongement canonique à S Σ K du fibré des différentielles relatives de A K /S K de poids (i, j). Rappelons que le faisceau ω i,j sur S K est le faisceau localement libre de rang i j + 1 associé à la représentation Sym i j det j St 2 du sous-groupe de Levi M de Q. On a alors la décomposition de Hodge-Tate G f Gal(Q/Q)-équivariante : H m et (S Q, V λ (Q l )) Q l = u+v=m A v w u (λ) Q l (H wu (λ)) On abrège H wi (λ) en H i. Soit W 3 π,l = Hom G f (π f, H 3 et(s Q, V λ (Q l ))). Posons m H (π f ) = m(π f π H b λ+ρ ) et m W (π f ) = m(π f π W b λ+ρ ) Le corollaire suivant est une application directe s un théorème de Sen : Corollaire 4.1. Soit π cuspidale telle que m H (π) > 0 et m W (π) > 0. Considérons la représentation galoisienne Gal (Q l /Q l ) GL(W 3 π,l ). Soit C l son image et c l son algèbre de Lie. Il existe un endomorphisme Φ de c l Q l de valeurs propres H i i = 0, 1, 2, 3, avec multiplicité resp. m H (π f ), m W (π f ), m W (π f ), m H (π f ). 105

106 Démonstration : Cela résulte immédiatement du théorème de Sen suivant. Soit (σ l, V l ) une représentation l-adique de Hodge-Tate de Gal(Q l /Q l ), soit g l l algèbre de Lie de Im σ l ; Il existe alors un endomorphisme Φ g l ( Q l ) dont les valeurs propres sur V l Q l sont les poids de Hodge-Tate comptés avec multiplicités. Pour déterminer les multiplicités, on vérifie que pour u+v = 3, la dimension de Hom Gf (π f, A v w u (λ)) est égale à m H (π f ) si uv = 0, et à m W (π f ) si u ou v vaut 2. Pour cela, on utilise un théorème de M. Harris [6] qui décompose le G f -module A v w u (λ) (donné par une limite inductive d espaces de cohomologie cohérente) comme somme des π f H u,v (g, q, π V λ ) m(π) Ces derniers espaces ont la dimension voulue grâce à la classification de VZ rappelée ci-dessus. Il reste à rappeler que les espaces A v w u (λ) ont une structure Q-rationnelle naturelle puisque ce sont des espaces de cohomologie cohérente de faisceaux définis sur Q ; donc les Hom Gf (π f, A v w u (λ)) ont une structure Q- rationnelle naturelle, de sorte que les dimensions sur C ou sur Q l des gradués sont les mêmes Dualité de Poincaré. Le cup-produit induit un accouplement parfait (sur les K-invariants, pour chaque K net) Het,! m (S Q, V λ(q l )) H 6 m et,! (S Q, V bλ (Q l )) Het,c(S Q, 6 V (0,0;c) (Q l )) tr Q l ( 3 c) Cet accouplement est G f Gal (Q/Q)-équivariant si l on munit Q l ( 3 c) de l action de G f par g f ν(g f ) c. On omet le caractère algébrique ν dans la formule qui suit : Lemme 4.2. H 6 et,c(s Q, V (0,0;c) (Q l )) = χ (χ c ) (χ gal χ 3 c l ) où χ : Q f /Q + Q l parcourt les caractères continus d image finie et χ l est le caractère cyclotomique l-adique. Dans cette décomposition, la trace est le morphisme de projection sur le caractère trivial. Du point de vue galoisien, on a en effet par dualité de Poincaré étale : H 6 et,c(s Q, V (0,0;c) (Q l ))) = H 0 et(spec (Q ab ) Q, V (0,0; 3 c) (Q l )) = χ (χ gal χ 3 c l ) L identification du H 0 de S avec celui de Spec (Q ab ) vient de la théorie des modèles canoniques rappelée ci-dessus. La partie concernant G f vient de la fonctorialité de cette dualité pour les correspondances algébriques et de ce que 106

107 la théorie des modèles canoniques précise que dans l identification du H 0 de S avec celui de Spec (Q ab ), l action de g f G f se fait par la loi d Artin de ν(g f ). Rappelons que si π est cuspidale sur G(A), de caractère central ω π (d ordre fini), on a π q = π q ω π,q en tout q non-ramifé. En effet, le paramètre de Langlands local en une telle place est σ(π q )(F r q ) = (où P π,q(x) = (1 α q X)(1 β q X)(1 γ q X)(1 δ q X)) et donc α q β q γ q δ q σ(ω π,q ) = ν σ(π q ) : F r q α q δ q = β q γ q, σ(π q ) = σ(π q ) σ(ω π,q ) R. Taylor pose dans [11] la question : a t-on globalement π = π ω π? Nous remercions le rapporteur qui a attiré notre attention sur le fait suivant : la réponse à cette question est positive. En effet, pour toute place v de Q, la représentation locale π v satisfait π v = π v ω(π v ) puisque g π v ( t g 1 ) réalise la dualité et que gj t g = λ(g)j. En l absence de réponse à cette question au moment de la rédaction de [11], Taylor a eu recours à une astuce : introduire un ensemble fini Π de représentations cuspidales π presqu équivalentes, c.à.d. dont les paramètres locaux σ(π q ) sont égaux pour presque tout q, et qui est stable par π π ω π. Nous appelerons un tel ensemble Π un paquet autodual tordu. Pour un tel paquet, soit W i Π,l = π Π W i π,l et W Π = i W i Π,l. Il résulte de la dualité de Poincaré que (ω gal π WΠ,l i = (W 6 i Π,l ) Q l (ωπ gal χ 3 c l ) ne dépend pas de π Π par Cebotarev) Relations d Eichler-Shimura. Soit K un compact ouvert net. Soit q un premier ne divisant pas le niveau de K ; soit H G,q resp. H M,q, la Q-algèbre de Hecke non ramifiée de G(Q q ) resp. de M(Q q ). Soit S G M : H G,q H M,q la transformée de Satake partielle tordue S G M(f)(m) = U(Q q) f(mu)du. L algèbre H M,q est engendrée sur H G,q par U q = M(Z q )diag(1, 1, q, q) M(Z q ). Le polynôme minimal P q (X)de U q sur H G,q est un polynôme unitaire de degré 4 appelé polynôme de Hecke. Pour toute représentation cuspidale π cohomologique telle que π K 0, soit λ π : 107

108 H G,q Q la représentation donnant l action de H G,q sur la droite πq G(Zq). Soit P π,q (X) le polynôme réciproque de Pπ,q(X) = (1 α q X)... La spécialisation de P q (X) via λ π est q 4(c+3) P π,q (q c 3 X). Faltings-Chai ont montré ([3] Chap.VI) que Proposition 4.3. (Relations d Eichler-Shimura) Le Frobenius géométrique F r q agissant sur H et, (S K Q, V λ (Q l )) est annulé par P q (X) (avec = ou c). Si on prend c = a + b comme dans le Théorème, comme les représentations cuspidales sont dans la cohomologie intérieure (qui est pure), on a Corollaire 4.4. Le Frobenius géométrique F r q agissant sur W π,l est annulé par q 4(a+b+3) P π,q (q a b 3 X). Les valeurs propres de q a+b+3 σ(π q ) ont pour module q a+b+3. Dans cette deuxième partie, on présente, à des fins pédagogiques mais sans apport nouveau, certains aspects de la construction de la représentation galoisienne associée à une forme cuspidale π sur GSp(4) ; on étudie d abord le cas où la composante à l infini est dans la série discrète, puis on décrit sans démonstration les autres cas (on donne les résultats complets, non tous démontrés à ce jour). On suit une approche de R. Taylor [11] qui n utilise pas la formule des traces pour GSp 4 mais seulement : la théorie de Hodge- Tate, les relations d Eichler-Shimura et la dualité de Poincaré. Cette méthode montre qu on peut associer à π de type à l infini dans la série discrète, une représentation galoisienne qui est, soit de la forme voulue, soit d une forme étrange. Dans le cas où π est dans la série discrète, seul le recours à la formule des traces [8], [12], permet d exclure cette forme. 5. La méthode de Taylor Soit π cuspidale telle que m H (π) > 0 ou m W (π) > 0. Soit Π un paquet autodual tordu (cf. Sect. 4.2 de CVS), c est un ensemble fini de représentations cuspidales contenant π et stable par dualité tordue. Soit E un corps l-adique sur lequel sont définies toutes les parties finies π f de Π. Soit N(Π) un multiple commun des niveaux des π Π. On forme la semi-simplification W du E[Gal (Q/Q)]-module WΠ,l 3. Par hypothèse, W 0. Soit H l enveloppe de Zariski de l image de Galois dans GL E (W ). Ce groupe algébrique est réductif comme enveloppe de Zariski d un groupe agissant sur une somme d irréductibles. Soit s : H GL E (W ) la représentation fidèle de H sur W et r : Gal (Q/Q) H(E) la représentation galoisienne correspondante. Par dualité de Poincaré, on a un accouplement parfait 108

109 , : W W E(ωπ gal χ 3 c l ) Il existe un caractère algébrique n : H G m défini sur E tel que n r = ω gal π χ 3 c l et on a pour tout h H : hw, hw = n(h) w, w. Il s ensuit que les valeurs propres des h H interviennent par paires {α, n(h)/α}. Par les relations de congruence, on va voir en fait que : Lemme 5.1. Si h H, ses valeurs propres sont contenues dans l union d au plus deux paires {α, n(h)/α}. En effet, pour h dans la classe de conjugaison de r(f r q ) (q l premier à N(Π)), cela résulte des relations de congruences d Eichler-Shimura. On voit facilement que cette condition est Zariski-fermée. Soit H 0 la composante neutre de H et T H B H H 0 Q l un tore déployé maximal et un sous-groupe de Borel. Corollaire 5.2. La représentation algébrique W Q l fidèle de H 0 est telle que : 1) les poids de (H 0, B H, T H ) sont de la forme (λ 1, λ 2, n/λ 1, n/λ 2 ) et les multiplicités de λ i et n/λ i sont égales. 2) Il y a un élément φ T H (E) tel que multλ 1 (φ) = m H (Π) et multλ 2 (φ) = m W (Π). 3) dim W λ 1 = dim W n/λ 1 = m H (Π) et dim W λ 2 = dim W n/λ 2 = m W (Π). En effet, soient λ 1,..., λ n les poids de H 0 sur W. Soit t T H (E) un élément suffisamment régulier : λ i (t) λ j (t) pour tout i j et λ i (t)λ j (t) n(t) si λ i λ j n. Par le lemme la liste est en fait λ 1, λ 2, n/λ 1, n/λ 2 ; par l accouplement de dualité, mult (λ i ) = mult (n/λ i ). Par le théorème de Sen, on a Φ c l Lie H 0 E de valeurs propres H i (= 0, 1, 2, 3) sur W (on peut supposer qu il est défini sur E au lieu de Ê). On prend alors φ = exp l 2 Φ. Les valeurs propres de φ sont donc λ 1 (φ) = exp l 2 H 0, λ 2 (φ) = exp l 2 H 1, (n/λ 2 )(φ) = exp l 2 H 2, et (n/λ 1 )(φ) = exp l 2 H 3. Pour conclure concernant les multiplicités, il ne reste plus qu à vérifier que λ i n/λ i. Si l égalité avait lieu, en prenant h = φ, on trouverait 2H i = c 3 et donc H i = H 3 i, ce qui est faux car ces poids sont deux à deux distincts. En particulier, les multiplicités des poids ont les valeurs annoncées. On en déduit que le groupe semisimple (H 0 ) est de rang au plus deux ; la classification des groupes semisimples de rang 2 sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro fournit la liste de possibilités pour les couples ((H 0 ), s (H 0 ) ), puis pour s H 0 ainsi que les groupes (finis) d automorphismes extérieurs de H 0 préservant cette représentation (pages de [11]). En utilisant alors un 109

110 Lemme 5.3. (Serre) Soit F un corps de nombres et E un corps l-adique. Soit H un groupe algébrique défini sur E et R : Gal (F /F ) H(E) continue d image Zariski dense. Soit V un fermé de Zariski de H stable par conjugaison et de dimension strictement plus petite que celle de H. Alors l ensemble des places v de F telles que R(F r v ) V (E) est de densité nulle. Taylor obtient plusieurs théorèmes Cas m H (π) > 0 et m W (π) > 0. L hypothèse que m H (Π) > 0 et m W (Π) > 0 permet d exclure certains cas. Il reste : Théorème 5.4. Soit π f une représentation lisse admissible de G f. Supposons qu il existe deux représentations lisses admissibles π 1 et π 2 de G f presqu équivalentes à π f, telles que π 1 π H b λ+ρ et π 1 π W b λ+ρ soient cuspidales pour G(A). On a l un des cas suivants : 1) Il existe R : Gal (Q/Q) GL 4 (E ) (pour une extension finie E de E) non-ramifiée hors de Ram π {l, }, et telle que pour pour tout premier hors d un ensemble de densité nulle, R(F r q ) a le polynôme caractéristique voulu. et si m H (Π) = m W (Π), W = R mh (Π), 2) cas endoscopique : il existe R i : Gal (Q/Q) GL 2 (E ) (i = 1, 2) non ramifées hors de Ram π Ram π 1 Ram π 2 {l, }, telles que hors d un ensemble de densité nulle de premiers q, le polynôme caractéristique de R 1 R 2 (F r q ) est le polynôme voulu. De plus, W = R mh (Π) 1 R mw (Π) 2. 3) cas potentiellement CAP : il y a une extension finie galoisienne de groupe sur Q contenu dans D 8, et deux caractères continus χ i : Gal (Q/K) (E ) (i = 1, 2 tels que W K (après restriction à K) est isomorphe à (χ 1 (ωπ gal ) K χ 1 1 )mh (Π) (χ 2 (ωπ gal ) K χ 1 2 )mw (Π) χ 3 l Le cas 3) est ETRANGE ; il ne doit pas intervenir dans la série discrète. mais ne peut être exclu par l analyse de R. Taylor. De plus dans les cas 1) et 2), il y a a priori un ensemble exceptionnel de densité zéro de premiers non ramifiés où l on ne connaît pas le polynôme caractéristique de Frobenius. Le théorème est complété par [8] et [12]. On obtient le Th. annoncé. On conjecture que dans le cas 1), la représentation est irréductible. C est par exemple le cas si π est le lifting de Yoshida d une forme cuspidale de Hilbert sur un corps quadratique réel. Le cas 2) s appelle endoscopique, on l obtient de la manière suivante : on fixe deux entiers u > v 2 avec u v (mod 2) ; on prend une forme cuspidale classique f, resp. g, de poids u, resp. de poids v le lifting de Yoshida associé à f g fournit une forme cuspidale de Siegel dont la représentation galoisienne χ 3 l 110

111 de degré 4 est R = ρ f,l ρ g,l χ u v l et W = ρ mh (π) f,l (ρ g,l χ u v l ) mw (π). Remarque : Noter que les cas 1) et 2), il résulte du Théorème de Faltings- Chai Chap.VI sur les poids de la cohomologie H 3 et,! (S Q, V λ(q l )) que les représentations R de degré quatre sont pures de poids w = k 1 + k Cas où m 1 (π) + m 2 (π) > 0. On obtient les représentations de type CAP. Taylor obtient aussi des théorèmes dans ces cas. Dans la section cidessous, on voit comment elles entrent dans le paysage. 6. Panorama complet conjectural On trouve dans [7] une interprétation de [1] donnant la classification des représentations galoisiennes associées aux formes cuspidales pour GSp 4. Cette classification sera complètement démontrée lorsque le transfert de GSp 4 à GL 4 sera établi (par Arthur). La mention (R), resp. (NR) signifie que π est tempérée, ou de manière équivalente, que π satisfait la conjecture de Ramanujan : α i = p w 2 avec w = a + b + 3 pour toute valeur propre α i du Frobenius ρ π,l (F r q ), q l, q Ram(π). Les représentations galoisiennes associées à une représentation automorphe dans la série discrète de L 2 (G Q \G A ) sont de l un des six types suivants. Les cinq premiers types sont cuspidaux, le dernier ne l est pas. 1. représentation générale (R) On a Π = {π f }, m H (π) = m W (π) > 0 et ρ π,l est irréductible de dimension 4 d image contenue dans GSp 4, pure de poids a + b + 3, son D HT (covariant) intervient dans H w,0 H a+2,b+1 H b+1,a+2 H 0,w = grh 3 dr,! (S, V λ) 2. représentation de type Yoshida (R) C est le cas endoscopique. On a Π = {π f }, m H (π) > 0, m W (π) > 0 et ρ π,l = ρ f,l ρ g,l χ u v 2 l où les deux représentations de dimension 2 sont irréductibles (f, g cuspidales elliptiques) En fait, u = w + 1, v = a b + 2 et u v 2 = b + 1 et π = Θ(f g) est le Theta lift de H. Yoshida (Inv. Math.1980). L image de ρ π,l est contenue dans (GL 2 GL 2 ) 0 GSp 4. De plus, D HT (ρ f,l ) intervient dans H w,0 H 0,w et D HT (ρ g,l χ u v 2 l ) dans H a+2,b+1 H b+1,a+2 tous ces termes sont des sous-quotients de HdR,! 3 (S, V λ)). Il s ensuit 111

112 W Π,l = ρmh (Π) f,l (ρ g,l χ u v 2 l ) mw (Π) 3. représentation de type Soudry (NR) cas où les π Π sont Cuspidales Associées au parabolique de Klingen (CAP Klingen), ceci suppose λ = (a, 0). On a m 1 (Π) > 0 et m 2 (Π) = m H (Π) = m W (Π) = 0 ρ π,l = ρ f,l ρ f,l χ 1 l Pour mieux évoquer l intervention de l opérateur de Lefschetz qui explique la théorie de Hodge de cette représentation, on notera ρ π,l = ρ f,l ρ f,l ( 1) Son image est contenue dans le Levi du parabolique de Siegel de GSp 4. De plus, ρ f,l irréductble pure de poids w 1 (f forme cuspidale elliptique de poids w) D HT (ρ f,l ) intervient dans H w 1,0 H 0,w 1 qui provient de HdR,! 2 (contribution de m(π f πλ 1) > 0) et D HT(ρ f,l ( 1)) est pur de poids w + 1 intervient dans H w,1 H 1,w, (dans la décomposition de HdR,! 4 ). On a W Π,l = ρm1 (Π) π,l. 4. représentation de type Saito-Kurokawa (NR) Cas des Cuspidales Associées au parabolique de Siegel (CAP Siegel), ceci suppose λ = (a, a). C est le cas où m 2 (Π) > 0. On a alors m 1 (Π) = 0 et m H (Π) > 0 ou m W (Π) > 0. Blasius-Rogawski (BR) ont conjecturé qu alors m H (Π) > 0 et m W (Π) = 0. On a ρ π,l = χ ρ f,l χ( 1) Son image est contenue dans le Levi du parabolique de Siegel de GSp 4. De plus, ρ f,l est irréductible, pure de poids w, associée à une forme cuspidale elliptique de poids w + 1. En admettant la conjecture de BR, on voit que D HT (ρ f,l ) intervient dans H w,0 H 0,w donc dans HdR,! 3. Le caractère χ est de la forme χ = χ a 1 l ɛ (ɛ d ordre fini) et son image D HT (χ) intervient dans H a+1,a+1, un sous-quotient de HdR,! 2, et celle de χ( 1) intervient dans H a+2,a+2, sous-quotient de HdR,! 4 ; donc W Π,l = χa ρ B f,l χ( 1)A 5. représentation de type Howe, Piatetskii-Shapiro (NR) Cuspidale Associée au Borel (CAP Borel) C est le cas où m 2 (Π) > 0, m 1 (Π) = 0 et m H (Π) = m W (Π) = 0. On a ρ π,l = χ 1 χ 2 χ 1 ( 1) χ 2 ( 1) 112

113 Son image est contenue dans le tore maximal standard de GSp 4. les caractères χ i interviennent dans H a+1,a+1 dans le H! 2, et leurs twists par 1 interviennent dans le H! 4. et W Π,l = χa 1 χ B 2 χ 1 ( 1) A χ 2 ( 1) B pour certains A, B représentation de type dimension 1 C est un cas dans la série discrète non cuspidale. ρ π,l = χ χ( 1) χ( 2) χ( 3). Pour conclure, on peut noter que par [4], la correspondance locale de Langlands pour GSp 4 est maintenant complète de sorte que la question de la question de sa compatibilité à la correspondance globale ci-dessus peut être posée avec précision. Les résultats connus concernent la compatibilité dans le cas des séries principales non-ramifiées, certaines séries modérément ramifiiée (par A. Genestier et l auteur) et le cas de la représentation de Steinberg, par A. Genestier. Les autres cas de niveau Iwahorique sont tous décrits conjecturalement dans [10]. Références [1] J. Arthur :, Automorphic Forms of GSp(4), in Contributions to Automorphic Forms, Geometry, and Number Theory, pp.65-82, a volume in honor of J. Shalika, ed. by H. Hida, D. Ramakrishnan and F. Shahidi, Johns Hopkins University Press [2] A. Borel, N. Wallach : Continuous cohomology, discrete subgroups and representations of reductive groups, 2nd edition, Amer. Math. Soc., Providence, RI, [3] G. Faltings, C.-L. Chai : Degeneration of abelian varieties, Erg. der Math. u. ihre Grenzgebiete, Springer Verlag [4] W.-T. Gan, S. Takeda : The local Langlands correspondence for GSp(4), ArXiv : v3[mathNT]. [5] A. Genestier, J. Tilouine :Systèmes de Taylor-Wiles pour GSp(4),in Formes Automorphes (II), le cas du groupe GSp(4), pp , Astérisque 302, [6] M. Harris : Automorphic forms of -cohomology type as coherent cohomology classes, J. Diff. Geom. 32 (1990), [7] T. Itô : On motives and l-adic Galois representations associated to automorphic representations on GSp(4), in On Automorphic Forms on the Symplectic Similitude Group GSp(4). Proc. 9th Autumn Workshop in Hakuba, edited by M. Furusawa, [8] G. Laumon : Fonctions zêtas des variétés de Siegel de dimension trois, Formes Automorphes (II), le cas du groupe GSp(4), pp , Astérisque 302, SMF,

114 [9] A. Mokrane, J. Tilouine : Cohomology of Siegel varieties with p-adic integral coefficients and applications, pp.1-95 (2002), Astérisque 280, Publ. Soc. Math. France. [10] B. Roberts, R. Schmidt : Local Newforms for GSp(4), Springer Lecture Notes in Mathematics Vol 1918 (2007), 312 pages. [11] R. Taylor : On the cohomology of Siegel threefolds, Inv. Math.114 (1993), pp [12] R. Weissauer : Four-dimensional Galois representations, Formes Automorphes (II), le cas du groupe GSp(4), pp , Astérisque 302, SMF, le 7 avril 2008 J. Tilouine, LAGA, Institut Galilée, Université Paris 13, Villetaneuse [email protected] 114

115 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON Applications arithmétiques de la cohomologie l-adique des variétés modulaires de Hilbert M. DIMITROV

116

117 APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES DE LA COHOMOLOGIE l-adique DES VARIÉTÉS MODULAIRES DE HILBERT par Mladen Dimitrov Résumé. Ce texte est un résumé des résultats concernant la cohomologie l-adique des variétés modulaires de Hilbert obtenus dans [D1, D2] ainsi que de leurs applications arithmétiques, telles que la modularité de certaines représentations de dimension deux du groupe de Galois absolu d un corps de nombres totalement réel et la conjecture de Bloch-Kato pour le motif adjoint d une forme modulaire nouvelle de Hilbert. Nous saisissons l occasion pour détailler certains arguments qui n étaient mentionnés que brièvement dans les articles originaux. Abstract (Arithmetic applications of the cohomology of Hilbert modular varieties) This is a survey of the author s results on the l-adic cohomology of Hilbert modular varieties obtained in [D1, D2] as well as of their arithmetic applications, such as the modularity of certain two-dimensional representations of the absolute Galois group of a totally real number field, and the Bloch-Kato conjecture for the adjoint motive associated to a Hilbert modular newform. We take advantage of this opportunity to expand some of the arguments which were mentioned only briefly in the original articles. Soit F un corps de nombres totalement réel de degré d d anneau des entiers o, de groupe de Galois absolu G F = Gal(F /F ) et soit l un nombre premier. Nous commencerons par introduire deux problématiques. Je voudrais remercier Philippe Blanc pour l invitation qu il m a adressée pour participer à son colloque, Christian Maire pour sa proposition d éditer les actes du colloque et bien sûr le CIRM pour son accueil toujours très chaleureux. (1) Notes enrichies de l exposé donné au colloque Cohomologie l-adique et corps de nombres ayant eu lieu au CIRM du 10 au 14 décembre 2007.

118 1. Conjecture de modularité pour GL 2 /F. La modularité pour GL 1 /F concernant les représentations continues de dimension un de G F est l objet principal de la théorie de corps de classes global. Dans la formulation donnée par Weil, G ab F est décrit comme le quotient du groupe de classes d idèles A F /F par la composante connexe (F Q R) + de l identité. Ainsi, les caractères continus G F C correspondent-ils à des caractères de Hecke d ordre fini. Finalement, si l on suppose la conjecture de Leopoldt vraie pour F en l, tout caractère l-adique G F Q l s écrit comme produit d un caractère d ordre fini par une puissance l-adique du caractère cyclotomique χ l : G F Z l. Etant donné une représentation automorphe cuspidale π de GL 2 (A F ) engendrée par une forme modulaire de Hilbert holomorphe nouvelle de poids arithmétique et un plongement ι l : Q Q l, l on sait par Taylor [T] et al. leur associer une représentation l-adique (1) ρ π,l : G F GL 2 (Z l ) qui est irréductible, totalement impaire, non-ramifiée en dehors d un ensemble fini de places et potentiellement semi-stable en toutes les places divisant l (excepté quelques cas très rares, en ce qui concerne cette dernière propriété ; voir [K]). Réciproquement, Fontaine-Mazur [FM] et Langlands ont conjecturé que toute représentation l-adique de dimension deux ayant ces propriétés provient d une représentation automorphe π comme ci-dessus. La conjecture prédit plus précisément que l image de l inertie en toute place v de F divisant l est d ordre infini (resp. fini) si, et seulement si, la forme est de poids cohomologique (resp. de poids parallèle 1, ce qui est par ailleurs un cas particulier de la conjecture d Artin). 2. Conjectures sur le motif adjoint d une représentation automorphe de GL 2 /F. A toute représentation automorphe cuspidale π de GL 2 (A F ) telle que π appartient à la série discrète holomorphe, Blasius et Rogawski [BR] associent un motif A π sur F de rang 3 à coefficients dans Q, pur de poids 0 et autodual A π = A π. Pour tout ι l : Q Q l sa réalisation l-adique ad 0 (ρ π,l ) est donnée par l action adjointe de G F via ρ π,l sur les matrices 2 2 de trace nulle. Notons L(A π, s) et Γ(A π, s) la fonction L et le facteur d Euler correspondants. Les valeurs critiques au sens de Deligne [De] sont s = 0 et s = 1 et l équation 118

119 fonctionnelle échange s et 1 s. s = 1 s énonce : La conjecture de Beilinson et Deligne en Conjecture 2.1. ord s=1 L(A π, s) = h 1 f (F, ad0 (ρ π,l ) Zl Q l ) h 0 f (F, ad0 (ρ π,l ) Zl Q l ). Par une formule de Shimura, L(A π, 1) est proportionnel à la norme, pour le produit scalaire de Peterson, de la forme automorphe nouvelle associée à π et est donc non-nul. Puisque ρ π,l est irréductible, le lemme de Schur implique que h 0 f (F, ad0 (ρ π,l ) Zl Q l ) = 0. La conjecture de Beilinson et Deligne équivaut donc à h 1 f (F, ad0 (ρ π,l ) Zl Q l ) = 0. Concernant la valeur de L(A π, 1) nous disposons de la conjecture de Deligne [De] qui la prédit à un nombre algébrique non-nul près, et de la conjecture de Bloch et Kato [BK] sur les nombres de Tamagawa qui la prédit à une unité l-adique près, pour tout l, en fonction de certains invariants arithmétiques liés au motif A π, dont le plus intéressant et mystérieux en même temps est le groupe de Tate-Shafarevich H 1 f (F, ad0 (ρ π,l ) Zl Q l /Z l ) (voir aussi [DFG, 2.4]). 3. Normalisations de la correspondance de Langlands. Dans cette partie nous allons préciser nos conventions concernant la normalisations de la correspondance de Langlands pour GL 2 (F ). Pour toute place finie v de F l on choisit une uniformisante ϖ v de F v. Nous normalisons d abord l isomorphisme de corps de classes local, de façon que ϖ v soit envoyée sur un Frobenius géométrique. Ainsi la valeur absolue correspond-elle au caractère cyclotomique l-adique. Dans la suite, nous identifions les caractères de F v avec ceux du groupe de Weil de F v. Ensuite nous normalisons la correspondance de Langlands pour GL 2 (F v ) de manière à ce que π v corresponde à ρ v, si, et seulement si, pour tout caractère ϕ v l on a (2) L(π v ϕ v det, s) = L(ρ v ϕ v, s ) et ɛ(π v ϕ v det, s) = ɛ(ρ v ϕ v, s ). Ainsi normalisée, la correspondance de Langlands locale envoie une représentation sphérique π v de paramètres de Satake α v et β v sur l unique représentation non-ramifiée ρ v telle que le Frobenius (géométrique) admet comme polynôme caractéristique X 2 N(v) 1 2 (α v + β v )X + N(v)α v β v, qui n est autre que le polynôme X 2 T v X + N(v)S v évalué sur un vecteur non-nul de la 119

120 droite π GL 2(o v) v. Nous rappelons que T v = GL 2 (o v ) ( ) ϖ v GL2 (o v ) et S v = GL 2 (o v ) ( ϖ v ) 0 0 ϖ GL2 v (o v ) désignent les opérateurs de Hecke standards et l action est à gauche par translation à droite (KxK = i x ik envoie f π K sur i f( x i) π K ). De manière équivalente, l on peut dire qu étant donné deux caractères χ 1 et χ 2 de F v l induite unitaire : (3) Ind GL 2(F v) B(F v) (( ) ) a χ 1 (a)χ 2 (d) 0 d correspond à la représentation galoisienne χ 1 χ 2. Définition 3.1. Un poids (k, w 0 ) Z[J F ] Z est dit arithmétique (resp. cohomologique), si pour tout τ J F, on a k τ w 0 (mod 2) et k τ 1 (resp. k τ 2). Nous fixons un tel poids (k, w 0 ) et posons π = τ π τ, où π τ est l induite (non-unitaire) suivante : (( ) ) (4) Ind GL 2(R) a B(R) sgn(a) w 0 a 1 2 (kτ w0) d 1 2 (kτ +w 0) 0 d Un tel π τ est dans la série discrète si k τ 2 et uniquement dans sa limite sinon. Nous considérerons uniquement des représentations automorphes cuspidales π de GL 2 (A F ) dont la composante à l infini π est comme ci-dessus. La partie finie π ( ) d une telle représentation automorphe π est définie sur un corps de nombres et pour chaque plongement ι l : Q Q l l on sait lui associer une représentation l-adique ρ π,l : G F GL 2 (Q l ). Le caractère central de π correspond par la Théorie de corps de classes globale à det(ρ π,l )(1) (twist par le caractère cyclotomique). D après les travaux de Langlands, Deligne et Carayol, la correspondance π ρ π,l est compatible avec les correspondances de Langlands locales aux places v ne divisant pas l. Aux places v divisant l, lorsque l on sait démontrer que ρ π,l est potentiellement semi-stable, l on connaît aussi ses poids de Hodge-Tate qui sont les ( 1 2 (w 0 k τ ) + 1, 1 2 (w 0 + k τ ) ). τ J F Changer notre première convention (replacer les Frobenius géométriques par des Frobenius arithmétiques) revient à replacer ρ π,l par sa contragrédiente ρ π,l. La convention arithmétique est parfois appelée homologique, car pour une forme modulaire elliptique elle donne l action galoisienne sur son module de Tate. Nous préférons cependant la normalisation géométrique (ou cohomologique) car nos constructions sont cohomologiques et il est aussi plus agréable d avoir des poids de Hodge-Tate positifs. 120

121 Changer la deuxième convention revient à replacer π par sa contragrédiente π. Ceci a pour effet de changer le type à l infini en (k, w 0 ), ainsi que de faire agir les opérateurs de Hecke à droite, en translatant à droite par l inverse (KxK = i Kx i envoie f π K sur i f( x 1 i ) π K ). Le problème alors est que le caractère central de π ne correspond plus (par la théorie de corps de classes normalisée arithmétiquement) au déterminant de ρ π,l ( 1), mais à son inverse. Résumons les différents choix naturels pour la normalisation que nous avons rencontrés, en citant des références où ils sont utilisés : π ρ π,l (action de Hecke à droite et Frobenius arithmétique) est celui choisi classiquement (voir, par exemple [T]) ; π ρ π,l (action de Hecke à gauche et Frobenius arithmétique) est celui de Carayol [C] ; π ρ π,l (action de Hecke à droite et Frobenius géométrique) est le choix retenu dans [D1] ; π ρ π,l (action de Hecke à gauche et Frobenius géométrique) est le choix fait dans [F] et [D2]. C est également notre choix pour les présentes notes. Il existe d autres normalisations obtenues en tordant l une des quatre normalisations ci-dessus par une puissance demi-entière de la norme. La normalisation unitaire en fait partie, mais a le désavantage d ajouter au corps de nombres de coefficients les racines carrées des N(v) pour presque tout premier v de F, ce qui donne une extension infinie de Q. 4. Résultats sur la cohomologie des variétés modulaires de Hilbert. Soit K un sous-groupe compact ouvert de GL 2 (F Ẑ). Les points complexes de la variété modulaire de Hilbert analytique Y K sont donnés par le double quotient : GL 2 (F )\ GL 2 (A F )/K SO 2 (F Q R)(F Q R). C est une variété quasi-projective de dimension d, lisse si K est suffisamment petit. On peut compactifier Y K en y ajoutant un nombre fini de points fermés, les pointes. Cependant cette compactification n est jamais lisse si d > 1, à cause des unités de F. Y K admet des compactifications toroïdales lisses à l infini, c est-à-dire lisses lorsque Y K est lisse, dépendant de certaines décompositions de (F Q R) + en cônes polyédraux rationnels. 121

122 Lemme 4.1. Supposons que Y K est lisse. Alors pour tout sous-groupe distingué K de K d indice fini, le morphisme naturel Y K Y K est fini étale de groupe K/K (K F ). Démonstration. Par le théorème d approximation forte pour SL 2, Y K est une union finie de composantes connexes de la forme Γ x \ GL 2 (F Q R)/O 2 (F Q R)(F Q R). où Γ x = GL 2 (F ) xkx 1 SO 2 (F Q R)(F Q R) et où det x décrit un ensemble de représentants du groupe de classes de rayon strict Cl + det K := A F /F det(k)(f Q R) +. Notons que GL 2(F Q R)/O 2 (F Q R)(F Q R) n est autre que le produit de d copies du demi-plan de Poincaré H. D après notre hypothèse sur K, le groupe Γ x := Γ x /(Γ x F ), qui est le groupe fondamental de Γ x \H d, n a pas de torsion. Il s ensuit que pour tout x GL 2 (F Ẑ) le morphisme Γ x\h d Γ x \H d est étale de groupe Γ x /Γ x. Le lemme est une conséquence de la suite exacte de groupes suivante (5) 1 Γ x/γ x x 1 x K/K (K F ) det Cl + det K Cl + det K 1. Pour voir que la suite est exacte en K/K (K F ) il s agit de montrer que {y K det y F det(k )(F Q R) + } = K (K GL 2 (F )SO 2 (F Q R)(F Q R) ), ce qui découle encore du théorème d approximation forte pour SL 2. Il est important d observer qu alors que le groupe K/K agit naturellement sur Y K, seul K/K (K F ) agit fidèlement. C est l un des endroit où apparaît clairement la différence entre action locale et action globale (si F n est pas Q). Nous allons voir plus tard la contrepartie galoisienne de ce phénomène. Dans la suite nous supposons que : Hypothèse 0. K se décompose en produit v K v sur les places finies de v, K l = v l K v est isomorphe à GL 2 (o Z l ) et Y K est lisse. Dans la suite O désigne l anneau des entiers d une extension finie de Q l contenant la clôture galoisienne de F, et ϖ désigne une uniformisante de O. Fixons un poids cohomologique (k, w 0 ). Soit L(O) le système local sur Y K correspondant à la représentation algébrique irréductible de GL 2 (O) J F suivante τ J F ( sym kτ 2 det 1 2 (w 0 k τ )+1 ) (O 2 ). 122

123 Il est sous-entendu que K agit par sa l-composante K l que l on identifie d abord avec un sous-groupe de GL 2 (o O) en utilisant l hypothèse 0, puis avec un sous-groupe de GL 2 (O) J F via ι l : C Q l. L objet principal de notre étude sont les groupes de cohomologie singulière H (Y K, L(O)). Nos résultats concernent cependant uniquement certaines composantes découpées à l aide de l algèbre de Hecke que nous allons définir maintenant. En toute place v telle que K v = GL2 (o v ) l on considère le morphisme S v : Y K Y K venant de l action de ( ϖ v ) 0 0 ϖ v, ainsi que la correspondance Tv sur Y K provenant des morphismes pr 1, pr 2 : Y K K0 (v) Y K définis respectivement à l aide des deux inclusions K 0 (v) GL 2 (o v ) et K 0 (v) ( ϖ v ) GL2 (o v ) ( ϖ v ) 1. Les correspondances T v et S v agissent naturellement sur H (Y K, L(O)) ainsi que sur la cohomologie à support compact H c(y K, L(O)). Soit une représentation continue ρ : G F GL 2 (F l ). On choisit O assez grand pour que ρ soit à valeurs dans GL 2 (O /ϖ). Considérons l idéal maximal m ρ = (ϖ, T v tr(ρ(frob v )), S v det(ρ(frob v )) N F/ Q (v) 1 ), de l algèbre de Hecke abstraite T S = O[T v, S v v / S], où S est un ensemble fini assez grand de premiers contenant en particulier tous les premiers de ramification de ρ, ainsi que ceux divisant l et ceux où K n est pas maximal. Considérons les hypothèses suivantes : Hypothèse 1. Le premier l est non-ramifié dans F et il existe une représentation automorphe π de conducteur premier à l et de poids (k, w 0 ), avec l > τ kτ +w 0 2, telle que la réduction modulo l de ρ π,l soit isomorphe à ρ. Hypothèse 2. L image de G ef irréductible d ordre multiple de l. par l induite tensorielle Ind Q F ρ est Théorème 4.2. [D1, D2] Sous les hypothèses 0, 1 et 2 énoncées précédemment : (i) H (Y K, L(O)) mρ = H d (Y K, L(O)) mρ = H d c(y K, L(O)) mρ est libre de rang fini sur O ; (ii) si le morphisme Y K Y K est étale de groupe un l-groupe abélien, alors H d (Y K, L(O)) mρ est libre sur O[ ] et le T S -module de ses coinvariants H d (Y K, L(O)) mρ O[ ] O est isomorphe à H d (Y K, L(O)) mρ ; 123

124 (iii) si K v = GL2 (o v ), alors le morphisme pr 1 + pr 2 : H d (Y K, L(O)) 2 m ρ H d (Y K K0 (v), L(O)) mρ est injectif de conoyau libre sur O, où pr 1, pr 2 : Y K K0 (v) Y K sont les projections définissant la correspondance T v. Démonstration. Le (ii) est démontré dans [D2, Proposition 2.4]. Le (iii) généralise un théorème classique de Ribet portant le nom de lemme d Ihara (voir [D2, Théorème 3.1]). Le (i) est démontré dans [D1] en niveau K 1 et dans [D2, Théorème 2.3] pour des K plus généraux, satisfaisant néanmoins l hypothèse 0. Voici les grandes lignes de la démonstration qui suit la méthode développée par Mokrane, Polo et Tilouine. On traduit d abord l énoncé en cohomologie étale l-adique. Le modèle canonique de Y K est défini sur une extension finie abélienne totalement réelle H de Q non-ramifiée en l. Explicitement, H correspond par la théorie globale de corps de classes au groupe d idèles (6) A Q / Q (det(k) Ẑ ) R. Par le lemme de Nakayama, l on se ramène à l étude de la cohomologie à coefficients de torsion. D après un résultat de Wedhorn [We] généralisant les relations classiques d Eichler-Shimura, le (O /ϖ)[g H ]-module de cohomologie étale H (Y K, L(O /ϖ)) mρ est annulé par le polynôme caractéristique de Ind Q F ρ. Le lemme clé [D1, Lemme 6.5] dit alors que, sous l hypothèse 2, les facteurs de Jordan-Hölder de ce module sont tous isomorphes à la restriction de Ind Q F ρ à G H. La partie finale de l argument consiste à étudier l action du sous-groupe d inertie en l. Sous l hypothèse 1, la théorie de Fontaine-Laffaille donne les poids de Ind Q F ρ pour l inertie modérée. A ce stade nous avons besoin d un modèle de Y K sur une extension non-ramifiée de Z l (rappelons que H est non-ramifié en l), ainsi que de compactifications toroïdales lisses. Le théorème de comparaison de Faltings entre cohomologie étale et cristalline donne alors les poids de la cohomologie étale H (Y K, L(O /ϖ)) mρ en termes des sauts de la filtration de Hodge sur la cohomologie de De Rham logarithmique de Y K / Z n.r. l. Ces derniers sont calculés grâce à une version O-entière du complexe de Bernstein-Gelfand-Gelfand pour des algèbres de distributions. Nous référons à [D1] pour plus de détails concernant la démonstration. Ce théorème nous permet d effectuer des constructions arithmétiques sophistiquées à l aide de variétés modulaires de Hilbert, dont nous allons voir quelques exemples. 124

125 5. Variétés modulaires de Hilbert associés à ρ et opérateurs de Hecke. La différence entre le local est le global évoquée du côté automorphe, subsiste du côté galoisien. En effet, étant donné des caractères d ordre fini ϕ v de o v, v décrivant un ensemble fini de premiers de F, il n existe pas forcèment un caractère de Hecke ϕ de F recollant les ϕ v. Par conséquent, ρ ne possède pas forcèment une tordue de conducteur minimal, alors que c est bien sûr le cas localement. Ceci explique la nécessité des constructions sophistiquées décrites dans la suite. Fixons un caractère φ : G F O de conducteur premier à l et d ordre une puissance de l. Soit ψ : G F O l unique caractère tel que ψφ 2 soit le relèvement de Teichmüller de (det ρ)(k 0 1). Pour toute place finie v de F ne divisant pas l l on choisit un caractère ν v : G Fv F l tel que la valuation c v du conducteur de νv 1 ρ GFv soit aussi petite que possible. On note alors d v {0, 1, 2} la dimension du sous-espace de νv 1 ρ GFv invariant par l inertie. Si v divise l, posons c v = d v = 0. Soit ν v le relèvement de Teichmüller de ν v. On pose (7) K v = ker(k 1 (v cv ) det o v K v = ker(k 1 (v cv ) K 0 (v cv+dv ) det o v eν vφ O ), et eν vφ O ). Soit Σ un ensemble fini de premiers de F ne divisant pas l (contenant un certain ensemble P ρ de premiers de ramification de ρ ; voir [D2, Définition 4.2]). Posons (8) K Σ = K 0 (u) v Σ K v v / Σ {u} où u est un premier auxiliaire choisi comme dans [D2, 4.3] afin que K Σ satisfasse l hypothèse 0. Fixons une valeur propre α u de ρ(frob u ). Le T S -module H d (Y Σ, L(O)) admet aussi une action des opérateurs de Hecke U v = [ ( K 1 0 ) ] [ ( Σ 0 ϖ v KΣ, pour v Σ {u}, et des KΣ 1 0 ) ] 0 δ KΣ, pour δ (o Ẑ). Soit T Σ l image de T S dans l algèbre d endomorphismes O-linéaires du module : K v, (9) M Σ := H d (Y Σ, L(O))[ψ, νφ] (mρ,u u α u,u v;v Σ), où [ψ] désigne la partie ψ-isotypique pour l action des opérateurs de Hecke S v, v / S, et [ νφ] désigne la partie νφ-isotypique pour l action du groupe (o Ẑ). 125

126 Finalement, notons R Σ la O-algèbre universelle de déformations de ρ qui sont minimalement ramifiées en dehors de Σ, cristallines de bas poids en toutes les places divisant l et de déterminant ψ(1 k 0 ) (voir [M]). A l aide de la correspondance locale de Langlands pour GL 2 (voir [C]), l on peut démontrer que si π est une représentation automorphe qui contribue à M Σ, alors ρ π,l définit un homomorphisme de O-algèbres locales R Σ O. La méthode de Wiles [W] et Taylor-Wiles [TW], améliorée par Diamond et Fujiwara [F], donne : Théorème 5.1. [D2, Théorème 6.6] Sous les hypothèses 1 et 2 énoncées précédemment, il existe un isomorphisme canonique R Σ T Σ de O-algèbres qui sont des intersections complètes sur O. De plus M Σ est libre de rang 2 d sur T Σ et pour toute représentation automorphe π comme dans l hypothèse 2, le groupe H 1 Σ (F, ad0 (ρ π,l ) Q l / Z l ) est fini. On obtient immédiatement un résultat de relèvement modulaire, lié à la problématique introduite dans 1, ainsi qu une application à la conjecture 2.1. Corollaire 5.2. Soit une représentation continue ρ : G F GL 2 (F l ) vérifiant les hypothèses 1 et 2. Alors tout relèvement cristallin de ρ de poids appartenant à un intervalle de longueur l 2, qui est non-ramifié en dehors d un ensemble fini de premiers, provient d une représentation automorphe. Corollaire 5.3. Sous les hypothèses 1 et 2 la conjecture de Beilinson et Deligne est vraie pour A π (1) : H 1 f (F, ad0 (ρ π,l )) = Σ-périodes et fonction L-adjointe. Nous allons conclure ses notes en donnant une application à la conjecture de Bloch et Kato. Soit Σ un ensemble fini de premiers de F ne divisant pas l contenant les premiers de mauvaise réduction de A π. Pour tout J J F l on note ɛ J le caractère correspondant du groupe de Weyl O 2 (F Q R)/SO 2 (F Q R) = {±1} J F. Les éléments du groupe de Weyl agissent naturellement sur H d (Y K, L(O)) et le décomposent lorsque l est impair en somme directe de composantes ɛ J - isotypique. 126

127 L isomorphisme de Matsushima-Shimura-Harder identifie (M Σ O C)[π ( ), ɛ J ] avec l espace de formes automorphes suivant : K (10) π 0 (u) ( u [U πv u α u] ( ν v φ v ) 1) K v ( πv ( ν v φ v ) 1) K v [U v=0] v / Σ {u} qui se trouve être une droite! Cette droite est toute aussi intéressante que la droite nouvelle. Soit f Σ une base de cette droite, normalisée à l aide de son développement de Fourier. Rappelons que sous les hypothèses 1 et 2, le O-module M Σ est libre. Définition 6.1. On définit la période Ω J π,σ C / O comme la coordonnée de f Σ dans une O-base de M Σ [π f, ɛ J ] via ι l : C Q l. Notre résultat principal, généralisant en partie le résultat de Diamond, Flach et Guo [DFG] pour F = Q, s énonce : Théorème 6.2. [D1, Théorème B] Sous les hypothèses 1 et 2, pour tout J J F et pour tout plongement ι l : Q Q l l on a ι l Γ(A π, 1) L(A π, 1) O = Tam(ad 0 ( (ρ π,l )) Fitt O H 1 Ω J π,σ ΩJ F\J f (F, ad 0 (ρ π,l ) Zl Q l /Z l ) ), π,σ où Tam(ad 0 (ρ π,l )) O désigne l idéal de Tamagawa au sens de Fontaine et Perrin-Riou [FP-R]. Un corollaire immédiat est l invariance de la valuation l-adique de la période Ω J π,σ ΩJ F\J π,σ lorsque l on change J ou Σ, ou lorsque l on tord π par un caractère de Hecke d ordre fini et de conducteur premier à l. v Σ [BK] [BR] [C] [DFG] Références S. Bloch and K. Kato, L-functions and Tamagawa numbers of motives, in The Grothendieck Festschrift, Vol. I, vol. 86 of Progr. Math., Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp D. Blasius and J. Rogawski, Motives for Hilbert Modular Forms, Invent. Math., 114 (1993), pp H. Carayol, Sur les représentations l-adiques associées aux formes modulaires de Hilbert, Ann. Scient. éc. Norm. Sup., 19 (1986). F. Diamond, M. Flach, and L.Guo, The Tamagawa number conjecture of adjoint motives of modular forms, Ann. Scient. éc. Norm. Sup., 37 (2004), pp

128 [De] P. Deligne, Valeurs de fonctions L et périodes d intégrales, in Automorphic forms, representations and L-functions, Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979, pp [D1] M. Dimitrov, Galois representations modulo p and cohomology of Hilbert modular varieties, Ann. Sci. école Norm. Sup., 38, Issue 4 (2005), pp [D2], On Ihara s lemma for Hilbert Modular Varieties, to appear. [FM] J.-M. Fontaine and B. Mazur, Geometric Galois representations, in Elliptic Curves, Modular Forms & Fermat s Last Theorem (Hong Kong, 1993), J. Coates and S.-T. Yau, eds., Internat. Press, 1997, pp [FP-R] J.-M. Fontaine and B. Perrin-Riou, Autour des conjectures de Bloch et Kato : cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions L, in Motives (Seattle, WA, 1991), vol. 55 of Proc. Sympos. Pure Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp [F] K. Fujiwara, Deformation rings and Hecke algebras in the totally real case, arxiv:math.nt/ [K] M. Kisin, The Fontaine-Mazur conjecture for GL 2, preprint. [M] B. Mazur, An introduction to the deformation theory of Galois representations, in Modular Forms and Fermat s Last Theorem, G. Cornell, J. Silverman, and G. Stevens, eds., Springer-Verlag, 1997, pp [T] R. Taylor, On Galois representations associated to Hilbert modular forms, Invent. Math., 98 (1989), pp [TW] R. Taylor and A. Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Ann. of Math., 141 (1995), pp [We] T. Wedhorn, Congruence relations on some Shimura varieties, J. Reine Angew. Math., 524 (2000), pp [W] A. Wiles, Modular Elliptic Curves and Fermat s Last Theorem, Ann. of Math., 141 (1995), pp décembre 2008 Mladen Dimitrov, UFR de Mathématiques, Case 7012, Université Paris Diderot, 2 place Jussieu, PARIS cedex 05 [email protected] Url : 128

129 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON Histoires de formes trilinéaires et de vecteurs test L. NYSSEN

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131 HISTOIRES DE FORMES TRILINÉAIRES ET DE VECTEURS TEST par Louise Nyssen Résumé. Si F est un corps local et G le groupe GL 2(F ), on considère trois représentations admissibles et irréductibles π 1, π 2 et π 3 de G, dans des espaces vectoriels V 1, V 2 et V 3 de dimension infinie sur C. La dimension de l espace L = Hom G`V1 V 2 V 3, C des formes linéaires G-invariantes est 0 ou 1. Si c est 1, on dispose d une forme linéaire l non nulle dans L, pour laquelle on cherche un vecteur test, c està-dire un vecteur qui n est pas dans le noyau de l. La théorie nous assure l existence d un grand nombre de ces vecteurs, mais il s agit ici d en décrire un explicitement. Après les rappels nécéssaires sur les représentations, on expliquera dans quels cas on peut trouver des vecteurs test. On donnera ensuite quelques applications à l étude des fonctions L. Abstract (About trilinear forms and test vectors). Let F be a local field and G be GL 2(F ). Let (π 1, V 1), (π 2, V 2) and (π 3, V 3) be three admissible, irreducible, infinite dimensional representations of G. The space of trilinear, G-invariant forms L = Hom G`V1 V 2 V 3, C has dimension 0 or 1. When it is 1, there is a non zero linear form l in L, and one wants to find a test vector for l, that is, a vector which is not in the kernel of l. Theoretically, there are many test vectors. The point is to get an explicit one. The first part of this paper is a survey about test vectors : how to get the dimension of L and which explicit test vectors are already known. The second part describes some applications to L-functions. Classification mathématique par sujets (2000). 11F67, 11F70. Cet article a été rédigé à la suite du colloque Cohomologie l-adique et corps de nombres organisé au CIRM du 10 au 14 décembre 2007 par Philippe Blanc que je tiens à remercier pour cette semaine de travail agréable et enrichissante. Je remercie également Christian Maire qui s est chargé de la pésente publication.

132 1. Introduction Si F est un corps local et G le groupe GL 2 (F ), on considère trois représentations admissibles et irréductibles π 1, π 2 et π 3 de G, dans des espaces vectoriels V 1, V 2 et V 3 de dimension infinie sur C, pour s intéresser à l espace des formes linéaires G-invariantes sur V 1 V 2 V 3 L = Hom G ( V1 V 2 V 3, C ). Pour toute forme linéaire l de L, tout élément g de G et tout triplet d éléments (v, v, v ) de V 1 V 2 V 3 l ( π 1 (g)v π 2 (g)v π 3 (g)v ) = l(v v v ). La dimension de cet espace est 0 ou 1. Lorsqu elle vaut 1, on dispose d une forme non nulle dans L, définie à un scalaire près, et on cherche un élément v de V 1 V 2 V 3 qui ne soit pas dans son noyau. On l appelle vecteur test car on peut écrire, pour toute forme linéaire l de L l 0 dans L l(v) 0 dans C On commencera par traiter, dans les parties 2 et 3, le cas où F est un corps p-adique. La partie 2 est consacrée à des rappels sur les représentations. Dans la partie 3, on détaille les résultats sur la dimension de L, et on décrit les vecteurs test dans quelques cas. Il s agit des travaux de Dipendra Prasad dans [P], Gross et Prasad dans [G-P], prolongés dans [N]. Ensuite, on traitera le cas où F est archimédien. C est l objet de la partie 4, qui décrit les travaux de de Prasad dans [P], complétés par Loke dans [L]. Les parties 5 et 6 sont consacrées à des applications des résultats précédents. Après avoir décrit dans 5 une version globale du problème, on s intéressera dans 6, aux fonctions L : on évoquera d abord les travaux de Harris et Kudla sur la conjecture de Jacquet dans [H-K1] et [H-K2], puis on expliquera comment on utilise les vecteurs test pour estimer le comportement de certaines fonctions L au voisinage de la droite R(s) = 1 2 : ce sont les travaux de Bernstein et Reznikov dans [B-R 1], [B-R 2] et [R] d une part, Michel et Venkatesh dans [M-V] et [V], d autre part. 2. Rappels sur les représentations de GL 2 (F ) lorque F est un corps p-adique Considérons d abord le cas où F est une extension finie de Q p, pour un nombre premier p. On note O F l anneau des entiers, π F une uniformisante et q le cardinal du corps résiduel. On note la valeur absolue sur F, normalisée 132

133 pour que π F = q 1. On considère le groupe G = GL 2 (F ) et K = GL(O F ) qui est un sous-groupe compact maximal de G. Dans cette section, on se contente d énoncer les quelques définitions et propriétés des représentations admissibles de G qui nous serons utiles dans la suite. Pour un exposé complet et détaillé, on renvoie à [B-H] Induction. Soit (ρ, W ) une une repésentation d un sous-groupe fermé H de G. Soit Ind G ) H( ρ l espace des fonctions f de G dans W satisfaisant les conditions suivantes : pour tout élément h de H et tout élément g de G, ) f(hg) = H (h) 1 2 ρ(h) (f(g) il existe un sous-groupe ouvert compact K f de G tel que pour tout élément k de K f, et tout élément g de G, f(kg) = f(g). On fait agir G sur Ind G ) H( ρ par translation à droite. On obtient ainsi une représentation qu on appelle l induite de ρ de H à G. Avec la condition supplémentaire que f soit à support compact, on obtient l induite compacte, notée ind G ) H( ρ. Lorsque H\G est compact, il n y a pas de différence entre les deux. Avec le sous-groupe B des matrices triangulaires supérieures ( ) de G on utilise 1 x y B = δ où pour tout élément b de B de la forme b =, δ(b) = x 0 z z. Avec le sous-groupe T des matrices diagonales de G, T est trivial. On trouvera plus de détails sur les représentations induites dans [B-Z] Repésentations admissibles irréductibles de G. Soit π une représentation irréductible et admissible de G dans un C-espace vectoriel V. Elle possède un caractère central, c est à dire qu il existe un caractère ω : F C tel que, pour tout élément x de F et tout vecteur v de V π (( x 0 0 x ) )v = ω(x)v. Si elle est de dimension finie, elle est nécéssairement de dimension 1, c est-àdire qu il existe un caractère χ : F C tel que, pour tout élément g de G π(g) = χ ( det(g) ). 133

134 Pour obtenir les représentations admissibles irréductibles de G de dimension infinie, on utilise l induction ) parabolique. Soient µ et µ deux caractères de F. On note Ind G B (µ, µ la représentation obtenue en induisant le caractère B C ( ) x y µ(x)µ (z) 0 z C est une représentation admissible de G. µ Si µ ±1 elle est aussi irréductible. On dit qu elle appartient à la série principale. Sinon, elle possède un unique sous-quotient irréductible de dimension infinie, qu on note V. Il est de codimension 1. On dit que la représentation ainsi obtenue est une représentation spéciale. En particulier, on note St (pour( Steinberg) ) la représentation spéciale obtenue comme le quotient de Ind G B. 1 2,. 1 2 par l espace des fonctions constantes sur G. Les représentations admissibles irréductibles de G de dimension infinie qui ne s obtiennent pas de cette façon sont dites cuspidales. Cette définition semble artificielle : de fait, il existe d autres manières de caractériser les représentations cuspidales, mais comme elles interviendront assez peu dans cet exposé, nous ne détaillerons pas d avantage. Quand une représentation est spéciale ou cuspidale, on dit qu elle appartient à la série discrète Correspondance de Jacquet-Langlands. Soit D F l agèbre des quaternions définie sur F, et D F le groupe des éléments inversibles de D F. La correspondance de Jacquet-Langlands est une correspondance bijective entre les représentations de la série discrète de G et les représentations irréductibles de D F. Si (π, V ) est une représentation de la série discrète de G, on notera (π, V ) la représentation associée par la correspondance de Jacquet-Langlands Ramification et nouveau vecteur. Nous allons définir le conducteur d un caractère et celui d une représentation de dimension infinie. Soit χ un caractère de F. Si χ ( O F ) = {1}, on dit que χ est non ramifié. Autrement, la suite décroissante de sous-groupes compacts de F O F 1 + π F O F 1 + π F n O F 1 + π F n+1 O F fournit un plus petit entier n tel que χ ( 1 + π F n O F ) = {1} 134

135 On dit que le caractère est ramifié et que cet entier est son conducteur. Soit (π, V ) une représentation admissibles irréductible de G, de dimension infinie et de caractère central ω. La suite décroissante de sous-groupes compacts de G K 0 K 1 K n K n+1 avec K 0 = K = GL 2 (O F ) et pour tout entier n 1, { ( ) K n = Γ 0 (πf n a b } ) = K c π n F O F c d fournit une suite croissante de sous-espaces vectoriels de V V 0 = V K et pour tout entier n 1, ( ) V n a b = {v V K n, c d ( ( ) a b ) π v = ω(a)v } c d Il existe un plus petit entier n pour lequel l espace vectoriel V n n est pas réduit à {0}. Il est alors est de dimension 1. Tout générateur de V n s appelle un nouveau vecteur de la représentation, et n s appelle le conducteur de la représentation. On dit que π est ramifiée si n 1. Si n = 0, on dit qu elle est non ramifiée ou sphérique. On trouvera des détails sur les nouveaux vecteurs dans [C] et [G]. Si π appartient à la série principale, elle est induite à partir de deux caractères µ et µ, de conducteurs m et m. Le conducteur de π est alors m + m. Si π est une représentation spéciale, il existe un caratère η de F tel que π est isomorphe à η St. Le conducteur de π vaut 1 si η est non ramifié, deux fois le conducteur de η sinon. Si π est cuspidale, son conducteur est supérieur à deux Contragrédiente. Soit (π, V ) une représentation admissible irréductible de G. L espace V des formes linéaires sur V est lui-même une représentation de G. Pour tout élément g de G, tout vecteur v de V et toute forme linéaire ϕ de V, l action de g sur ϕ, notée π(g) est donnée par π(g)ϕ, v = ϕ, π(g) 1 (v) Mais elle n est pas forcément admissible. Il faut se restreindre à l ensemble Ṽ des formes linéaires dont le stabilisateur dans G est ouvert. On obtient ainsi 135

136 une représentation irréductibe et admissible de G, notée π, qui s appelle la représentation contragrédiente de π. Elle est isomorphe à la représentation ω 1 π où ω est le caractère central de π. En particulier, si ω est trivial, π est isomorphe à sa contragrédiente. On trouvera des détails sur les représentation contragrédientes dans [B-Z]. 3. Formes trilinéaires et vecteurs test lorsque F est un corps p-adique 3.1. Formes trilinéaires. Soient π 1, π 2 et π 3 trois représentations admissibles et irréductibles de G = GL 2 (F ), dans des espaces vectoriels V 1, V 2 et V 3 de dimension infinie sur C. Soit L = Hom G ( V1 V 2 V 3, C ) l espace des formes linéaires G-invariantes c est-à-dire les formes linéaires l sur V 1 V 2 V 3 telles que, pour tout élément g de G et tout triplet de vecteurs (v, v, v ) de V 1 V 2 V 3 l ( π 1 (g)v π 2 (g)v π 3 (g)v ) = l(v v v ). De façon analogue, si les (π i, V i ) sont des représentations irréductibles de de D F on définit l espace L = HomD F ( V 1 V 2 V 3, C ). En utilisant la théorie des paires de Gelfand, Prasad démontre dans [P] que la dimension des espaces L et L est 0 ou 1, et il donne un critère précis qui permet de la déterminer. Commençons par une remarque simple : si L est de dimension 1, le produit des caractères centraux de π 1, π 2 et π 3 est trivial. Nous ferons donc cette hypothèse dans toute la suite. Pour i {1, 2, 3}, on note σ i la représentation du groupe de Weil-Deligne associée à π i par la correspondance de Langlands locale. Le produit σ 1 σ 2 σ 3 est une représentation symplectique de dimension 8 du groupe de Weil-Deligne. A cause de la condition sur les caractères centraux, cette représentation est autoduale si bien que le facteur local ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) vaut 1 ou 1. Prasad démontre que si le facteur ε vaut 1, les trois représentations π i appartiennent à la série discrète, si bien qu on peut considérer les représentation (π i, V i ) de D F associées par la correspondance de Jacquet-Langlands, et s intéresser à l espace L défini ci-dessus. Dans [P], Dipendra Prasad démontre 136

137 Théorème 3.1 (Prasad). Soient π 1, π 2 et π 3 trois représentations admissibles et irréductibles de G dans des espaces vectoriels V 1, V 2 et V 3 de dimension infinie sur C. On suppose que le produit de leurs caractères centraux est trivial. Si au moins une des trois représentations appartient à la série principale ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1 et dim C L = 1. Si les trois représentations appartiennent à la série discrète, ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1 dim C L = 1 dim C L = 0 ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1 dim C L = 0 dim C L = Les vecteurstest connus. Pour chercher des vecteurs test, on aura besoin des nouveaux vecteurs. Dans toute la suite v 1, v 2 et v 3 désigneront les nouveaux vecteurs des représentations π 1, π 2 et π 3. Au début, la relation est facile. On trouve dans [P] Théorème 3.2 (Prasad). Si π 1, π 2 et π 3 sont des repésentations principales non ramifées, il existe une forme trilinéaire non nulle l dans L et v 1 v 2 v 3 est un vecteur test pour l. et dans [G-P] Théorème 3.3 (Gross-Prasad). Si pour chaque i dans {1, 2, 3}, il existe un caractère non ramifié η i tel que π i = η i St, et s il existe une forme trilinéaire non nulle l dans L, alors v 1 v 2 v 3 est un vecteur test pour l. Remarque 3.4. Dans cette situation, les trois représentations appartiennent à la série discrète. Puisque chaque caractère η i est non ramifié, il est entièrement déterminé par la valeur de η i (π F ) et la condition sur les caratères centraux impose que ( η 1 (π F )η 2 (π F )η 3 (π F )) 2 = 1 Or, d après [P] le facteur ε correspondant vaut ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = η 1 (π F )η 2 (π F )η 3 (π F ) Donc, on peut trouver une forme linéaire non nulle l dans L si et seulement si η 1 (π F )η 2 (π F )η 3 (π F ) = 1. Autrement, on dispose d un élément non nul l dans L pour lequel on peut trouver un vecteur test dans V 1 V 2 V 3 de la façon suivante : si R est l ordre maximal de D F, le sous-groupe compact ouvert R R R fixe une unique droite dans V 1 V 2 V 3 et tout élément 137

138 non nul de cette droite est un vecteur test pour l. C est la proposition 6.3 de [G-P]. La démonstration que donnent Gross et Prasad du théorème 3.3 s adapte très facilement au cas où une des représentations est principale et non ramifiée. On obtient un résultat comparable : Théorème 3.5 (Gross-Prasad). Si pour i = 1 et i = 2 il existe un caractère non ramifié η i tel que π i = η i St et si π 3 est une représentation principale non ramifée, il existe une forme trilinéaire non nulle l dans L et v 1 v 2 v 3 est un vecteur test pour l. Mais les choses se compliquent dès qu on augmente la ramification. Nous allons maintenant travailler dans le cas où π 1 et π 2 sont des représentations principales non ramifiées tandis que π 3 est ramifée. Dans ce cas, on peut supposer que le caractère central de chaque représentation est trivial. Notons ω 1, ω 2 et ω 3 les caractères centraux de π 1,π 2 et π 3. On sait que les caractères centraux de π 1 et de π 2 ne sont pas ramifiés. Comme le produit ω 1 ω 2 ω 3 est trivial, le troisième n est pas d avantage ramifié. Ils sont donc tous trois déterminés par leur valeur en π F. On choisit alors des caractères non ramifié η 1, η 2,η 3, tels que pour chaque i dans {1, 2, 3} : η i (π F ) 2 = ω i (π F ) et η 1 (π F )η 2 (π F )η 3 (π F ) = 1. Ainsi, le caractère central de chaque représentation η i 1 V i est trivial et V 1 V 2 V 3 = ( η 1 1 V 1 ) ( η2 1 V 2 ) ( η3 1 V 3 ). Cet isomorphisme nous permet de supposer que ω 1 = ω 2 = ω 3 = 1 ce qui simplifiera un peu les notations dans la suite. Par exemple les nouveau vecteurs des représentations sont simplement des vecteurs non nuls invariants par certains sous-groupes compacts : v 1 V 1 K v 2 V 2 K et v 3 V 3 Γ 0 (π n F ) On dispose d une forme linéaire non nulle l dans L, qui fournit un élément de Ṽ 3 { V3 C ϕ v l(v 1 v 2 v) Puisque ω 3 est trivial, la représentation π 3 est isomorphe à sa contragrédiente. Puisque l est G-invariante, et que v 1 et v 2 sont K-invariants, ϕ est K- invariante. Or π 3 est ramifiée, donc π 3 aussi, si bien que ϕ = 0 : v 1 v 2 v 3 n est pas un vecteur-test pour l. 138

139 Cependant, Gross et Prasad font la suggestion suivante : si R est un ordre maximal dans M 2 (F ) vérifiant R K = Γ 0 (π n F ) et si v 2 est un vecteur R - invariant dans V 2, la forme linéaire { V3 C v l(v 1 v 2 v) ) est invariante sous l action de R K = Γ 0 (πf (Ṽ3 n ). Comme Γ0 (πf n ) est de dimension 1, il reste une chance pour que v 1 v2 v 3 soit un vecteur test pour l. Cette suggestion a été mise en œuvre dans [N]. Pour obtenir R, il faut conjuguer le compact maximal K par une puissance d un certain élément γ de G. Soit n le conducteur de π 3. On sait que n 1. On pose ( ) πf 0 γ = R = γ n M 2 (O F )γ n et v2 = π 2 (γ n )v qui vérifient les relations attendues R = γ n Kγ n et R K = Γ 0 (π n F ). On est alors dans les conditions favorables : v 1 V 1 K v 2 V 2 R et v 3 V 3 K R. Il faudra toutefois imposer une certaine condition technique, notée CT (n) à π 1 et π 2, condition que nous allons expliquer maintenant. Puisque π 1 et π 2 sont des représentations principales non ramifiées, il existe des caractères non ramifiés µ 1 et µ 2 tels que pour i = 1 et i = 2, π i = Ind G B (µ ) 1 i, µ i La condition CT (n) porte sur la valeur des µ i (π F ) 2 : - si n = 1 { ou µ 1 (π F ) 2 1 µ 2 (π F ) si n 2 On obtient µ 1 (π F ) 2 = 1 ou k {1,..., n}, µ 1 (π F ) 2k 1 ou µ 2 (π F ) 2 = 1 ou k {1,..., n}, µ 2 (π F ) 2k

140 Théorème 3.6. Si π 3 est une représentation ramifiée de conducteur n et si π 1 et π 2 sont des repésentations principales non ramifées vérifiant la condition CT (n), il existe une forme linéaire non nulle l dans L, et avec les notations ci dessus v 1 π 2 (γ n )v 2 v 3 est un vecteur-test pour l. (1) 3.3. Quelques idées pour les démonstrations. Nous allons commencer par les théorèmes 3.2 et 3.6 qui sont complémentaires. Grandes lignes de la preuve de 3.2 et 3.6. Dans la situation du théorème 3.2 on peut se ramener, comme pour 3.6, au cas où les trois caractères centraux sont triviaux. On dispose alors de deux représentations principales non ramifiées ( ) π 1 = Ind G 1 B µ 1, µ 1 et π 2 = Ind G B (µ ) 1 2, µ 2 et d une représentation π 3 de conducteur n 0 et de caractère central trivial. On obtient facilement un premier isomorphisme ) ( ) Hom G (V 1 V 2 V 3, C Hom G V 1 V 2, Ṽ3 Pour i = 1 et i = 2, on définit deux caractères de B qu on peut restreindre à T ( ( ) x y ) (x) χ i = µ i. 0 z z En remarquant que ) V 1 V 2 = Res G Ind G G B B (χ 1 χ 2 on insère V 1 V 2 dans une suite exacte courte ( 0 ind G χ1 ) ext T V 1 V 2 χ 2 res Ind G B ( ) χ 1 χ 2 δ Ici, les éléments de V 1 V 2 apparaissent comme des fonctions sur G G. La surjection res est la ( restriction à la diagonale et l injection ext associe à une fonction f de ind G χ1 T χ 2 ), une fonction F définie par les relations ( ) 0 1 F (g, g) = 0 et F (g, g) = f(g) 1 0 Après certaines considérations techniques, on en déduit un deuxième isomorphisme ) ( ( Hom G (V 1 V 2, Ṽ3 Hom G ind G χ1 ) ) T, χ Ṽ3 2 (1) Depuis la rédaction de cet article, l auteur a démontré que le théorème 3.6 reste vrai sans la condition technique notée CT (n). 140

141 Enfin la dualité de Frobenius fournit un dernier isomorphisme ( Hom G (ind G χ1 ) ) ( χ1 ) T, χ Ṽ3 Hom T, 2 χ Ṽ3 T 2 C est une étape importante : ce dernier espace est bien connu et d après les lemmes 8 et 9 de [W], il est de dimension 1. C est ainsi que Prasad démontre le théorème( 3.1 dans) cette situation. Mais on en sait d avantage. Un générateur de Hom χ1 T χ 2, Ṽ3 T est donné par une forme linéaire ϕ sur V 3 vérifiant, pour tout élément t de T et tout vecteur v de V 3 Voici le point crucial ϕ ( π 3 (t)v ) = χ 2(t) χ 1 (t) ϕ(v) ϕ(v 3 ) 0. On démontre cette relation en faisant des calculs explicites dans le modèle de Kirillov de V 3. Pour n = 0, c est lemme 5.6.b de [P] et pour n 1, c est la proposition 2.6 de [G-P]. Le principe de la démonstration consiste ainsi à ramener la question du vecteur test dans un espace plus simple où on peut faire des calculs explicites. Pour revenir à notre espace de départ, ( ) il faut maintenant trouver des fonctions F dans V 1 V 2 et f dans ind G χ1 T χ 2 qui vérifient (1) F = ext(f), (2) il existe des coefficients c i dans C et des éléments g i de G tels que F = i c i π 1 (g)v 1 π 2 (g)v 2 (3) f est la fonction caractéristique de l orbite de Γ 0 (πf n ) dans T \G, c est-àdire qu on décompose G en doubles classes G = T r Γ 0 (πf n ), que f est nulle en dehors de T Γ 0 (πf n ) et que pour toute paire (t, k) dans T Γ 0(πF n ), f(tk) = χ 1(t) χ 2 (t). Prasad a décrit ces fonctions dans le cas n = 0 et l auteur de cet article a traité le cas n 1. Malheureusement, lorsqu on calcule les coefficients c i dans le cas n 1, des dénominateurs apparaissent. En écrivant qu ils ne doivent pas s annuler, on obtient la condition technique évoquée au paragraphe ( 3.2 ) Une fois qu on dispose de F et f, on choisit un générateur ϕ de Hom χ1 T χ 2, Ṽ3 T. On note Φ, Ψ, et l les éléments correspondant par les isomorphismes successifs ) ( ) ( ( Hom G (V 1 V 2 V 3, C Hom G V 1 V 2, Ṽ3 Hom G ind G χ1 ) ) ( χ1 ) T, χ Ṽ3 Hom T, 2 χ Ṽ3 T 2 141

142 l Ψ Φ ϕ Alors, grâce à (2) on trouve ( ) Ψ(F ) (v 3 ) = l (v 1 v2 ( c i π 3 (gi 1 ) ) )v 3, grâce à (3) on obtient ( ) ) Φ(f) (v 3 ) = f(g) ϕ (π 3 (g)v 3 dg = T \G i I T \T Γ 0 (π n F ) ϕ ) (π 3 (k)v 3 dk = λ ϕ(v 3 ) où λ est une constante non nulle (c est le volume de l orbite de Γ 0 (πf n ) dans T \G ) et grâce à (1) on obtient ( ) ( ) Ψ(F ) (v 3 ) = Φ(f) (v 3 ) Il en résulte que la forme linéaire { V3 C v l(v 1 v2 v) n est pas nulle. C est donc un nouveau vecteur pour Ṽ3. Comme v 3 est le nouveau vecteur de V 3, en particulier, elle n est pas nulle en v 3. On obtient le résultat espéré l(v 1 v 2 v 3 ) 0 Grandes lignes de la preuve de 3.3 et 3.5. Le principe est le même que précédemment mais la situation est un peu plus simple. On commence par se ramener au cas où les trois caractères centraux sont triviaux. Alors V 1 = V 2 = St et V 3 est une représentation de conducteur n = 0 ou 1 qui n est pas isomorphe à St sinon le facteur ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) vaudrait 1. On peut alors insérer V 1 V 2 = St St dans une suite exacte courte 0 St ind G T( 1 ) St St 0 qui fournit un isomorphisme ( ) ( ( ) ) Hom G V1 V 2, Ṽ3 HomG ind G T 1, Ṽ 3 et par Frobenius on obtient Hom G ( ind G T ( 1 ), Ṽ 3 ) HomT ( C, Ṽ 3 T ). 142

143 Comme précédemment, l espace Hom T ( C, Ṽ 3 T ) est de dimension 1 et si on choisit un générateur ϕ on sait que ϕ(v 3 ) 0. On choisit donc un tel générateur ϕ et on note l la forme linéaire qui lui correspond dans L par l isomorphisme Hom G ( V1 V 2 V 3, C ) Hom T ( C, Ṽ 3 T ) On calcule alors - beaucoup plus facilement que précédemment- une fonction f dans ind G ( ) T 1 qui est la fonction caractéristique de l orbite de Kn dans T \G, avec K 0 = K et K 1 = Γ 0 (π F ). Il vient ) l(v 1 v 2 v 3 ) = f(g) ϕ (π 3 (g)v 3 dg = λϕ(v 3 ) T \G où λ est une constante non nulle (c est le volume de l orbite de K n dans T \G). 4. Formes trilinéaires et vecteurs test lorsque F est archimédien Avant Prasad. L étude des formes trilinéaires invariantes a commencé dans le cas archimédien. En 1973 dans [O], Oksak décrit l espace des formes trilinéaires invariantes pour le groupe SL 2 (C), dans le but de décomposer le produit tensoriel de deux représentations dites «élémentaires»de SL 2 (C). En 1978 dans [Rep], Repka décompose le produit tensoriel de deux représentations irréductibles et unitaires de SL 2 (R), puis en 1981 dans [A-R1] et[a-r2], avec Asmuth, il fait la même chose en remplaçant R par un corps p- adique, où p est un nombre premier impair. Les travaux de Prasad, qui datent de 1990, étaient motivés par ceux Repka, dont il re-démontre certains résultats dans le contexte des (g, K)-modules (g, K)-modules. Lorsque G = GL 2 (R) avec F = R ou C, on note g l algèbre de Lie de G et K un sous-groupe compact maximal. On remlace les représentations de G par des (g, K)-modules. Lorsque F = R, on choisit K = O 2 (R). Les (g, K)-modules irréductibles de dimension infinie se répartissent en deux séries, comme dans le cas des corps p-adiques : la série principale et la série discrète. La correspondance de Jacquet-Langlands associe aux modules de la série discrète des représentations irréductibles de H, où H désigne l algèbre des quaternions de Hamilton sur R. Lorsque F = C, on choisit K = SU 2 (C) et tous les (g, K)-modules irréductibles de dimension infinie appartiennent à la série principale. 143

144 4.3. Formes trilinéaires. Soient (π 1, V 1 ), (π 2, V 2 ) et (π 3, V 3 ) des (g, K)- modules irréductibles de dimension infinie. Par la correspondance de Langlands locale, on leur associe des repésentations σ 1, σ 2 et σ 3 du group de Weil de R. Si le produit des caractères centraux des trois modules est trivial, le facteur ε obtenu vérifie ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = ±1 On s intéresse à l espace des formes trilinéaires invariantes L = Hom (g,k) ( V1 V 2 V 3, C ) Lorsque les trois modules appartiennent à la série discrète, on note V 1, V 2 et V 3 les représentations irrréductibles de H associées par la correspondance de Jacquet-Langland. On pose L = Hom H ( V1 V 2 V 3, C ). Dans [P] Prasad obtient pour F = R un résultat analogue au théorème 3.1, mais il manque le cas où les trois (g, K)-modules appartiennent à la série principale : Théorème 4.1 (Prasad). Soient (π 1, V 1 ), (π 2, V 2 ) et (π 3, V 3 ) des (g, K)- modules irréductibles de dimension infinie. On suppose que le produit de leurs caracères centraux est trivial Si les trois modules appartiennent à la série principale ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1. Si au moins un des trois modules appartient à la série principale et un autre appartient à la série discrète ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1 et dim C L = 1. Si les trois modules appartiennent à la série discrète, ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1 dim C L = 1 dim C L = 0 ε(σ 1 σ 2 σ 3 ) = 1 dim C L = 0 dim C L = 1 Ce théorème a été complété par Loke dans [L] : Théorème 4.2 (Loke). Soient (π 1, V 1 ), (π 2, V 2 ) et (π 3, V 3 ) des (g, K)- modules irréductibles de dimension infinie. On suppose que le produit de leurs caracères centraux est trivial lorsque F = R, si les trois modules appartiennent à la série principale l espace L est de dimension

145 lorsque F = C, les trois modules appartiennent nécéssairement à la série principale. Modulo une hypothèse technique portant sur les π i, l espace L est de dimension Vecteurs test. L article de Loke fournit également une description des vecteurs test dans les deux cas. Nous nous contenterons ici d expliquer brièvement le cas F = R, et nous renvoyons le lecteur intéressé au corollaire 4.6 de [L], pour le cas F = C. Les séries principales de GL 2 (R) sont paramétrées par des triplets (s, ε, m) C {0, 1} {0, 1}. Une série principale (π, V ) paramétrée par (s, ε, m) possède une base { w n V n Z et n ε mod 2 } dont les vecteurs sont déterminés en tant que vecteurs propres de certains opérateurs. Cette base permet de décrire les vecteurs test. Soient (π 1, V 1 ), (π 2, V 2 ) et (π 3, V 3 ) des (g, K)-modules qui appartiennent à la série principale. On suppose que le produit de leurs caractères centraux est trivial. Il existe alors une forme trilinéaire non nulle l dans L. Pour chaque i dans {1, 2, 3}, on note (s i, ε i, m i ) les paramètres de π i et (w i n) les vecteurs correspondants. De l hypothèse sur les caratères centraux, on déduit ε 1 + ε 2 + ε 3 0 mod 2 On peut alors supposer que ε 1 = ε 2, tandis que ε 3 = 0. Théorème 4.3 (Loke). Dans ces conditions si ε 1 = 1, w1 1 w2 1 w3 0 est un vecteur test pour l, si ε 1 = 0 et si m 1 + m 2 + m 3 est impair, w0 1 w2 0 w3 0 est un vecteur test pour l, si ε 1 = 0 et si m 1 + m 2 + m 3 est pair, w 2 1 w2 2 w3 0 est un vecteur test pour l Changement de groupe. Dans [D], Anton Deitmar étudie l espace des formes trilinéaires invariantes pour les représentations lisses d un groupe de Lie-semi simple. Il démontre que si cet espace est de dimension 0 ou 1, alors le groupe est localement un produit de groupes hyperboliques. 145

146 5. Globalisation Dans [G-P], Gross et Prasad donnent une version globale de leurs théorèmes locaux. Soit E une extension finie de Q qui n a pas de places complexes et A l anneau des adèles de E. Soit D une algèbre de quaternions sur E qui se ramifie en toutes les places réelles. Pour toute place v de E on note { 1 si D est déployée ε v (D) = 1 si D est ramifée Soient V 1, V 2, V 3 des représentations admissibles irréductibles du groupe G A = D A /E A. Théorème 5.1 (Gross-Prasad). L espace des formes linéaires G A invariantes l : V 1 V 2 V 3 C est de dimension 0 ou 1. C est 1 lorsque, pour toute place v de E ε v (σ 1 σ 2 σ 3 ) = ε v (D) Principe de la démonstration. Chacune des trois représentations V i s obtient comme le produit tensoriel restreint de repésentations V i,v du groupe G v = (D E v ) dont le caractère central est trivial. La condition sur les facteurs ε assure, en toute place v de E, l existence d une forme linéaire G v - invariante, non nulle l v : V 1,v V 2,v V 3,v C. La forme linéaire globale s obtient comme le produit tensoriel des formes locales. Pour trouver un vecteur test global, il faut faire des hypothèses supplémentaires aux places v où D se ramifie, dim C V i,v = 1, aux places v où D se déploie, les conducteurs des représentations V 1,v, V 2,v et V 3,v sont égaux, et ils valent 0 ou 1. On note n v leur valeur commune. La seconde hypothèse consiste à se placer dans les conditions des théorèmes 3.2 et 3.3. En chaque place v où D se ramifie, on note R v l ordre maximal de D E v. Le sous-groupe ouvert compact v ramifiée R v v déployée Γ 0 (π nv F ) de G fixe une unique droite dans chaque espace V i, et on note v i un vecteur non-nul de cette droite. 146

147 Théorème 5.2 (Gross-Prasad). Le vecteur v 1 v 2 v 3 est un vecteur test pour l. NB : la même méthode fournit des vecteurs test lorsqu on modifie la seconde hypothèse de manière à se placer dans les conditions des théorèmes 3.5 et Vers la cohomologie motivique. Dans [H-S] Harris et Scholl généralisent le théorème 3.1 de Prasad au cas où π 1, π 2 et π 3 sont des induites paraboliques, irréductibles ou non. Ils utilisent une version globale de ce résultat pour exhiber des éléments dans la cohomologie motivique du produit de deux courbes modulaires construites par Beilinson. 6. fonctions L 6.1. Fonction L d une représentation. Soient E une extension finie de Q et π une représentation automorphe cuspidale de GL(A E ). Elle se décompose en un produit tensoriel de facteurs locaux π = v π v et on lui associe une fontion L qui est définie par un produit eulérien sur le demi-plan R(s) > 1 L(π, s) = ( L(π v, s) avec L(π v, s) = 1 α ) 1(v) 1 ( qv s 1 α ) 2(v) 1 qv s v finie où q v est le cardinal du corps résiduel de E v, et où α 1 (v) et α 2 (v)sont des nombres complexes déterminés par π v. La fonction L se prolonge à tout le plan complexe, en une fonction analytique. Si v est une place infinie réelle de E, on pose L(π v, s) = Γ R (s µ 1 (v))γ R (s µ 2 (v)) avec Γ R (s) = π ( s s) 2 Γ 2 Si v est une place infinie complexe de E, on pose L(π v, s) = Γ C (s µ 1 (v))γ C (s µ 2 (v)) avec Γ C (s) = 2 (2π) s Γ ( s) R 2 où µ 1 (v) et µ 2 (v)sont des nombres complexes déterminés par π v. On complète la fonction L en une fonction Λ Λ(π, s) = L(π, s) v L(π v, s) 147

148 qui vérifie une équation fonctionnelle de la forme (1) N(q π ) s 2 Λ(π, s) = ε(π)n(qπ ) 1 s 2 Λ( π, 1 s) où q π est le conducteur de π et N(q π ) sa norme dans Q Fonction L de produit triple. Soit (π 1, π 2, π 3 ) un triplet de représentations automorphes cuspidales de GL(A E ). On peut lui associer une fonction L notée L(π 1 π 2 π 3, s) ou L(π 1 π 2 π 3, s). Pour cela, on introduit dans les notations un indice j dans {1, 2, 3} pour préciser à quelle représentations sont attachés les paramètres considérés. En toute place finie v où π 1, π 2 et π 3 ne sont pas ramifiées, la fonction L locale est (1 α j,η(1)(v)α j,η(2) (v)α j,η(3) (v)) 1 L ( (π 1 π 2 π 3 ) v, s ) = η q s v où η décrit l ensemble des applications de {1, 2, 3} dans {1, 2}. On pose alors L(π 1 π 2 π 3, s) = L ( (π 1 π 2 π 3 ) v, s ). v finie non ramifiée Cette fonction se prolonge en une fonction analytique de tout le plan complexe. Si on la complète par un facteur archimédien approprié, elle vérifie une équation fontionnelle comparable à (1), reliant les valeurs de la fonction L en s et 1 s. Le point s = 1 2 apparaît alors comme le centre de symétrie de cette équation fonctionnelle La conjecture de Jaquet. A la suite du travail de Prasad, Jacquet a formulé une conjecture sur les fonctions L de produits triples de représentations. Soient E une extension finie de Q et π 1, π 2 et π 3 des représentations cuspidales automorphes de GL(E). Pour chaque j dans {1, 2, 3}, la représentation π j se décompose en un produit tensoriel de facteurs locaux π j = π j,v v On note D l ensemble des algèbres de quaternions sur E qui se ramifient exactement aux places v où π 1,v, π 2,v et π 3,v appartiennent à la série discrète. Pour tout élément D α de D, on note (π j,α, V j,α ) la représentation automorphe de D α ( ) AE associée à πj par la correspondance de Jacquet-Langlands globale. Enfin, pour f 1,α, f 2,α et f 3,α dans V 1,α, V 2,α et V 3,α respectivement, on définit l intégrale I(f 1,α, f 2,α, f 3,α ) = ) f 1,α (h)f 2,α (h)f 3,α (h)dh (A E A E D α (E)\D α 148

149 qui est une forme trilinéaire invariante sur V 1,α V 2,α V 3,α Conjecture 6.1 (Jacquet). La fonction L(s, π 1 π 2 π 3 ) s annule en s = 1 2 si et seulement si, pour tout D α dans D et tout triplet (f 1,α, f 2,α, f 3,α ) dans V 1,α V 2,α V 3,α, l intégrale I(f 1,α, f 2,α, f 3,α ) s annule. En terme de vecteurs test, ceci signifie que la valeur de la fonction L au point critique est non nulle si et seulement si il existe une algèbre de quaternions dans D α pour laquelle il y a un vecteur test dans V 1,α V 2,α V 3,α. Dans [H-K1] et [H-K2] Harris et Kudla ont démontré cette conjecture. La démonstration repose sur une formule explicite, qui exprime la valeur de L( 1 2, π 1 π 2 π 3 ) comme une somme de termes de la forme I(f 1,α, f 2,α, f 3,α )I(f 1,α, f 2,α, f 3,α ). Dans cette formule, α est fixé et pour chaque j dans {1, 2, 3}, les fonctions f j,α et f j,α appartiennent à l espace de π j,α et sont déterminées grâce aux résultats de Prasad. D autes formules explicites reliant la la valeur de L( 1 2, π 1 π 2 π 3 ) à des intégrales de la forme I(f 1,α, f 2,α, f 3,α ) ont été établies dans des cas particuliers, par Böcherer et Schulze-Pillot [B-S] et par Watson [W]. Toutes ces formules ont été généralisées par Ichino dans un preprint récent [I]. Terminons ce paragraphe en citant, à titre d exemple, la formule que Watson a obtenue pour des formes de Maass ϕ 1, ϕ 2 et ϕ 3 de norme 1 sur SL 2 (Z)\H (2) SL 2 (Z)\H ϕ 1 (z)ϕ 2 (z)ϕ 3 (z) dxdy 2 216Λ(ϕ = π 4 1 ϕ 2 ϕ 3, 1 2 ) y 2 Λ(sym 2 ϕ 1, 1)Λ(sym 2 ϕ 2, 1)Λ(sym 2 ϕ 3, 1). La fonction Λ(ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3, s) est la fonction L complétée : pour chaque j dans {1, 2, 3}, les paramètres de ϕ j à l infini sont de la forme µ 1 ( ) = ir j et µ 2 ( ) = ir j. On a alors ( s + Λ(ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3, s) = π 4s ε1 r 1 + ε 2 r 2 + ε 3 r ) 3 Γ L(ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3, s) 2 ε j =±1 Les fonctions Λ(sym 2 ϕ j, s) sont des fonctions L du produit symétrique, convenablement complétées, qu on ne décrira pas ici Convexité et sous-convexité. Le problème de convexité, consiste à estimer le comportement de la fonction L sur la droite critique R(s) =

150 Le conducteur analytique de la fonction L, défini par Iwaniec et Sarnak dans [I-S], est la fonction C(π, t) = N(q π ) (1 + µ 1 (v) + it [Ev:R])( 1 + µ 2 (v) + it [Ev:R]) v qui fournit la borne de convexité : (3) L (π, 1 ) 2 + it << ε,e C(π, t) 1 4 +ε. La notation << ε,f signifie que cette inégalité est vérifiée modulo une constante multiplicative implicite, constante qui ne dépend que de ε et de E. Le problème de sous-convexité consiste à trouver un nombre réel strictement positif δ tel qu on puisse remplacer l exposant 1 4 par 1 4 δ dans l inégalité (3) de telle sorte que la constante implicite ne dépende pas de δ. On peut généraliser ce problème à d autres classes de fonction L, comme les fonctions L de Rankin-Selberg, L(π 1 π 2, s) ou les fonctions L de produit triple, L(π 1 π 2 π 3, s). On renvoie à [I-S] et à [M-V] pour un exposé des résultats connus, et des applications possibles. A cause des formules mentionnées au paragraphe 6.3, les vecteurs test jouent un rôle crucial dans ce problème. On travaille avec des familles de représentations automorphes pour lesquelles on s efforce de borner les intégrales I du paragraphe 6.3. On peut, par exemple, fixer le niveau des représentations et imposer t = 0. On obtient alors des estimations en fonction des paramètres µ j,1 (v) et µ j,2 (v). C est le point de vue de Bernstein et Reznikov. Ou bien on peut faire varier le niveau d une des représentations, pour obtenir des estimations en fonction de ce niveau. C est le point de vue de Michel et Venkatesh Attaque spectrale : Bernstein et Reznikov. Soient ϕ 1, ϕ 2 et ϕ λ trois formes de Maass sur SL 2 (Z)\H qui sont vecteur propre de l opérateur de Laplace-Beltrami. On fixe ϕ 1 et ϕ 2, et on note λ = r2 la valeur propre associée à ϕ λ. Soient π 1, π 2 et π λ les représentations cuspidales automorphes associées. Dans [BR1] et [BR2] Bernstein and Reznikov établissent la majoration (4) r 2 e πr 2 SL 2 (Z)\H ϕ 1 ϕ 2 ϕ λ dµ 2 << ε r 5 3 +ε qui fournit, grâce à la formule (2), une borne de sous convexité : L(π 1 π 2 π λ, 1 2 ) << ε,π 1,π 2 r 5 3 +ε. 150

151 Il ont ainsi amélioré la borne de convexité de la fonction L, qui était en r 2+ε Un point intéressant de la démonstration. De nombreuses idées et techniques ont été mises en œuvre pour obtenir ce résultat. Nous nous contenterons d expliquer où interviennent les vecteurs test. Ici, π 1, π 2 et π λ sont des représentations irréductibles et admissibles du groupe G = GL 2 (R) dans des espaces vectoriels de dimension infinie V 1, V 2 et V λ. Leur caractère central est trivial. L espace des formes linéaires G-invariantes sur π 1 π 2 π 3 est donc de dimension 0 ou 1 si bien que, pour estimer ϕ 1 ϕ 2 ϕ λ dµ on peut remplacer (ϕ 1, ϕ 2, ϕ λ ) par n importe quel triplet de vecteurs (v 1, v 2, v λ ) dans V 1 V 2 V λ. Bernstein et Reznikov utilisent alors un modèle connu des représentations π 1, π 2 et π λ dans des espaces de fonctions sur le cercle unité. Tout y est explicite : les vecteurs v 1, v 2, v λ et la forme trilinéaire qu on notera l. Il existe donc un nombre complexe a λ qui vérifie ϕ 1 ϕ 2 ϕ λ dµ = a λ l(v 1 v 2 v λ ) SL 2 (Z)\H Des techniques analytiques permettent alors d évaluer l(v 1 v 2 v λ ) tandis que des techniques algébriques sont nécéssaires de borner a λ. On aboutit à (4) Attaque par le niveau : Michel et Venkatesh. Soient π 1 et π 2 des représentations automorphes cuspidales de PGL 2 (A E ), qui sont fixées. Soit π une troisième représentation automorphe cuspidale de PGL 2 (A E ) de conducteur q. On suppose que q est un idéal premier qui est premier aux conducteurs de π 1 et π 2. Dans [V], Venkatesh a démontré que (5) L(π 1 π 2 π, 1 2 ) << π N(q) quand le niveau de π varie, sous réserve qu une version appropriée de la formule (2) soit vraie. La borne de convexité pour cette fonction L est en N(q) 1+ε Une version de la formule (5) lorsque π 1 ou π 2 est une série d Eisentstein fournit une borne de convexité pour des fonctions L de Rankin-Selberg. Par exemple, si π 1 et π sont comme ci-dessus, (6) L(π 1 π, it)2 << t,π N(q) (7) L(π, it)4 << t,π N(q) On renvoie à [M-V] pour une liste des résultats obtenus et à [V] pour plus un exposé plus détaillé. 151

152 Rappelons que le principe fondamental pour obtenir ces majorations consiste à écrire les fonctions L comme une forme trilinéaire invariante évaluée sur un vecteur test, sous forme d une intégrale I(f 1, f 2, f 3 ). Venkatesh explique dans le paragraphe 5.1 de [V] que si l on se contente d un vecteur test dont on connait théoriquement l existence, on n obtient pas vraiment la fonction L, mais une fonction holomorphe qui diffère de la fonction L par un facteur multiplicatif qui ne varie pas trop. Pour avoir un meilleur contrôle de ce facteur, il faut choisir judicieusement les vecteurs test. Malheureusement, les difficultés techniques augmentent très vite avec le conducteur des représentations en jeu. Références [A-R1] Charles Asmuth et Joe Repka, Tensor products for SL 2 (K). I. Complementary series and the special representation. Pacific Journal of Mathematics 97 no. 2, (1981), [A-R2] Charles Asmuth et Joe Repka, Tensor products for SL 2 (K). II. Supercuspidal representations. Pacific Journal of Mathematics 97 no. 1, (1981) [B] Daniel Bump, Automorpic Forms and Representations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 55. [B-H] Colin J. Busnell et Guy Henniart, The local Langlands conjecture for GL(2). Springer Series : Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 335 (2007). [B-S] Siegfried Böcherer et Rainer Schulze-Pillot On the central critical value of the triple product L-function, Number Theory (Paris ). London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press 235 (1996), [B-Z] Joseph Bernstein et Andrei Zelevinsky, Representations of the group GL(n,F) where F is a non-archimedian local field. Russian Mathematical Surveys 31 :3 (1976), [B-R 1] Joseph Bernstein et André Reznikov, Estimates of automorphic functions. Moscow Mathematic Journal 4, no.1 (2004), [B-R 2] Joseph Bernstein et André Reznikov, Periods, subconvexity and representation theory. Journal of differential geometry 70 (2005), [C] William Casselman, On some Results of Atkin and Lehner. Mathematische Annalen 201 (1973), [D] Anton Deitmar, Invariant triple products. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences vol. 2006, Article ID 48274, 22 pages, doi : /IJMMS/2006/48274 [G] Stephen S. Gelbart, Automorphic forms on Adele groups. Annals of Mathematics Studies, 83. Princeton University Press. [G-P] Benedict H.Gross et Dipendra Prasad, Test Vectors for Linear forms. Mathematische Annalen 291 (1991),

153 [H-K1] Michael Harris et Stephen Kudla, The central critical value of a triple product l-function. Annals of Mathematics 133 (1991), [H-K2] Michael Harris et Stephen Kudla, On a conjecture of Jacquet. Dans Automorphic Forms, Geometry, and Number Theory, Johns Hopkins University Press, Maryland (2004) [H-S] Michael Harris et Anthony Scholl, A note on trilinear forms for reducible representations and Beilinson conjectures. Journal of the European Mathematical Society 2001, 1 (2001), [I] Atsushi Ichino, Trilinear forms and the central values of triple product L- functions. Preprint (2008). [I-S] Henrik Iwaniec and Peter Sarnak, Perspectives on the analytic theory of L- functions. Geometric And Functional Analysis, Special Volume : GAFA 2000 (Tel Aviv 1999), part II, [J-L] Hervé Jacquet et Robert P Langlands, Automorphic Forms on GL(2). Lecture Notes in Mathematics 114 (1970). [L] Hung Yean Loke, Trilinear Forms for gl 2. Pacific Journal of Mathematics 197, no.1 (2001), [M-V] Philippe Michel and Akshay Venkatesh, Equidistribution, L-functions and Ergodic theory : on some problem of Yu. V. Linnik. In International Congress of Mathematicians 2006, Madrid, Volume II, European Mathematical Society, Zurich. [N] Louise Nyssen, Test vectors for trilinear forms, when two representations are unramified. Preprint (2007). [O] A. I. Oksak, Trilinear Lorentz invariant forms. Communications in Mathematical Physics 29 (1973), [P] Dipendra Prasad, Trilinear forms for representations of GL(2) and local ε- factors. Composotio Mathematica 75 (1990), [Rep] Joe Repka, Tensor products of unitary representations of SL 2 (R). American Journal of Mathematics 100 no. 4 (1978), Amer. J. Math. 100 (1978), no. 4, [R] André Reznikov, Ranking-Selberg without unfolding and bounds for spherical Fourier coefficients of Maass Forms. Journal of AMS, 21, no. 2 (2008), [V] Akshay Venkatesh, Sparse equidistribution problems, period bounds, and subconvexity. Preprint (2005). [W] Jean-Loup Waldspurger, Sur les valeurs de certaines fonctions L automorphes en leur centre de symétrie. Compositio Mathematica 54 (1985), [Wat] Thomas C. Watson, Rankin Triple product and quantum chaos. To appear in Annals of Mathematics. 4 avril 2008 Louise Nyssen, I3M, Université Montpellier 2, Place Eugène Bataillon, Case Courrier 051, F Montpellier Cedex 5 [email protected] 153

154

155 ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON On l-adic Galois Periods, relations between coefficients of Galois representations on fundamental groups of a projective line minus a finite number of points Z. WOJTKOWIAK

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157 ON l-adic GALOIS PERIODS, RELATIONS BETWEEN COEFFICIENTS OF GALOIS REPRESENTATIONS ON FUNDAMENTAL GROUPS OF A PROJECTIVE LINE MINUS A FINITE NUMBER OF POINTS by Zdzis law Wojtkowiak Contents 1. Introduction Shuffle relations of type I (of iterated integrals type) l-adic iterated integrals on P 1 \ {0,1, } evaluated at Z/2, Z/3 and Z/5-cycle relations Shuffle relations of type II and III (multi zeta type and regularized multi zeta type) References Abstract. The coefficients of the Drinfeld associator are known to satisfy two kind of shuffle relations. The first relations come from the formula for the multiplication of iterated integrals. The second ones come from the multiplication of multi zeta functions. Our aim is to study the analogous relations for the Ihara-Drinfeld element describing the action of the Galois group on the étale fundamental group of P Q \ {0, 1, }.

158 1. Introduction The mixed Hodge structure of the fundamental group of P 1 (C) \ {0,1, } based at 01 is described by the element 10 a (X,Y ) C{{X,Y }} 01 called the Drinfeld associator. This element is a formal power series in non commuting variable X and Y given explicitly by the formula 10 a (X,Y ) := w=x i 1 Y j 1.. Xin Y jn ( ( dz z 1 ) jn, ( dz) in,..., ( dz z z 1 ) j1, ( dz) i1 ) w z We briefly sketch the definition of iterated integrals starting from tangential points 01 or 10. If j n > 0 then we integrate from 0. If j n = 0 and i n > 0 then we integrate from 0 the iterated integral z 0 ( logz) in i n! ( dz z 1 )j n 1,... Similarly we define iterated integrals from 10 to z. Both power series whose coefficients are iterated integrals from 01 to z and from 10 to z are flat sections of the principal C{{X,Y }} -fibre bundle over P 1 (C) \ {0,1, } equipped with an integrable connection given by a one form dz z X + dz z 1 Y. Hence comparing these two flat sections which differ by a constant element we get iterated integrals from 01 to 10 and the power series a10 01 (X,Y ). (See [22] and [23] for more details as well as [4] and [16] for different approach). The element a (X,Y ) satisfies Z/2, Z/3 and Z/5-cycle relations (see [4]). The coefficients of a (X,Y ) satisfy also three types of shuffle relations. The shuffle relations of type I or iterated integrals type are consequence of the Chen formula b b ( ω 1,...,ω p ) ( ω p+1,...,ω p+q ) = b ω π(1),...,ω π(p+q) a a π Sh(p,q) for iterated integrals (see [2]) which remains true if a or (and) b are tangential points (see [22] and [23]). The shuffle relations of type II or multi zeta type relations are generalization of the following identity ( n=1 1 n 2) ( m=1 1 m 3) = n>m=1 1 m 3 n 2 + m>n=1 a 1 n 2 m n 5. n=1 158

159 The iterated integrals z are divergent when z 1 and k > 0. The iterated integrals dz dz dz,...,,( z 1 z z 1 )k dz z 1 dz dz,..., z,( z 1 )k regularized them in such a way that the Chen formula still holds (see [22], [23] and [16]) but the multi zeta type relations do not hold. These divergent iterated integrals one can also regularized in such a way that the multi zeta type relations hold. The shuffle relations of type III compare these two regularizations. The absolute Galois group G Q acts on the étale fundamental group π 1 (P 1 Q \ {0,1, }; 01), hence we get a Galois representation ϕ : G Q Aut(π 1 (P 1 Q \ {0,1, }; 01)), which was studied by Ihara (see [10]), Deligne (see [3]), Grothendieck (see [8]) and other persons. The representation ϕ is completely described by the cocycle G Q σ f p (σ) := p 1 σ(p) π 1 (P 1 Q \ {0,1, }; 01), where p is the canonical path from 01 to 10, the open interval (0,1). We embed the pro-l completion of π 1 (P 1 Q \ {0,1, }; 01) into the Q l -algebra of non-commutative formal power series Q l {{X,Y }} in two non-commuting variables X and Y sending x onto e X and y onto e Y (see [18]). Hence we get a Galois representation ϕ l : G Q Aut(Q l {{X,Y }}). Let Λ p (X,Y )(σ) Q l {{X,Y }} be the image of f p (σ) in Q l {{X,Y }}. The representation ϕ l is completely described by the cocycle G Q σ Λ p (X,Y )(σ) Q l {{X,Y }}. The element f p (σ) satisfies the Z/2, Z/3 and Z/5-cycle relations (see [11]). Hence after embedding of the pro-l completion of π 1 (P 1 Q \ {0,1, }; 01) into Q l {{X,Y }} we get some kind of Z/2 and Z/3-cycle relations satisfied by the element Λ p (X,Y )(σ) (see section 3 of this note). The cocycles f p and Λ p are respectively pro-finite and l-adic analogs of the Drinfeld associator a (X,Y ). Hence it is a natural question to ask if the elements f p (σ) and Λ p (σ) satisfy shuffle relations of type I, II and III. 159

160 In this note we shall show that the coefficients of the formal power series Λ p (X,Y )(σ) satisfy trivially shuffle relations of type I because of the very definition of the embedding of the pro-l completion of π 1 (P 1 Q \ {0,1, }; 01) into the Q l -algebra of non-commutative formal power series Q l {{X,Y }}. The formal power series Λ p (X,Y )(σ) satisfies Z/2, Z/3 and Z/5-cycle relations, as it does the Drinfeld associator a (X,Y ). However there are some differences. For example in the Z/3-cycle relation Z = X Y is replaced by (X Y ) := log(e X e Y ). Unfortunately we do not know how to formulate shuffle relations of type II and III in l-adic case. However when one passes to associated graded Lie algebras the Z/2, Z/3 and Z/5-cycle relations satisfied by the element Λ p (X,Y )(σ) become more familier and then we can formulate analogs of shuffle relations of type II and III for this element. Though we do not know how to prove them. 2. Shuffle relations of type I (of iterated integrals type) Let K be a number field. Let a 1,...,a n belong to K and let V := P 1 K \ {a 1,...,a n, }. Let v be a K-point of V or a tangential point defined over K. Let x 1,...,x n be geometric generators of π 1 (V K ;v) loops around a 1,...,a n respectively (see [18]). Let X := {X 1,...,X n }, let Q l {X} be a Q l -algebra of polynomials in noncommuting variables X 1,...,X n and let Q l {{X}} be a Q l -algebra of formal power series in non-commuting variables X 1,...,X n. Let Lie(X) be a Lie algebra of Lie polynomials in Q l {X} and let L(X) be a Lie algebra of Lie formal power series in Q l {{X}}. If A and B belong to a Lie algebra L then we set [A,B (0) ] := A and [A,B (n+1) ] := [[A,B (n) ],B] for n 0. Let k : π 1 (V K ;v) l Q l {{X}} be a continous multiplicative embedding of the pro-l completion of π 1 (V K;v) into Q l {{X}} given by k(x i ) = e X i for i = 1,...,n. Let z be also a K-point or a tangential point defined over K. Let γ be an l-adic path from v to z and let σ G K. We recall the definitions from [18] by setting f γ (σ) := γ 1 σ(γ) π 1 (V K ;v) l 160

161 and Λ γ (σ) := k(f γ (σ)) Q l {{X}}. Let W(X) be a set of all monomials in non-commuting variables X 1,...,X n. We include 1 in W(X). Then W(X) is a base of a Q l -vector space Q l {X}. Let W(X) := {w w W(X)} be the dual base, i.e., w Hom(Q l {X}, Q l ) and w (w ) = δw w for any w W(X). We extend w to a linear form on Q l {{X}} setting w (Λ) to be equal a coefficient of Λ at the monomial w. Then we can write Λ = w (Λ) w w W(X) for any Λ Q l {{X}}. If w W(X) we denote by w the degree of the monomial w. We define the group of (p,q)-shuffle permutations of the set p + q := {1,2,...,p + q} by Sh(p,q) := {π S p+q a,b p + q,a < b p or p < a < b implies π 1 (a) < π 1 (b)}. If w = X i1 X i2... X ip, w 1 = X ip+1 X ip+2... X ip+q and π Sh(p,q) then we set π(w,w 1 ) := X iπ(1) X iπ(2)... X iπ(p+q). Definition 2.1. We say that coefficients of a formal power series Λ Q l {{X}} satisfy shuffle relations of type I if w (Λ) w1 (Λ) = π(w,w 1 ) (Λ) for any w,w 1 W(X). π Sh( w, w 1 ) Let Q l {{X}} be a Q l -vector subspace of Hom Ql (Q l {{X}}, Q l ) generated by the set W(X). Then the formula w w1 := π(w,w 1 ) π Sh( w, w 1 ) defines a commutative product on Q l {{X}} and the obtained Q l -algebra we denote by Q l {{X}}. If Λ Q l {{X}} then we define a linear map ev Λ : Q l {{X}} Q l by setting ev Λ (w ) := w (Λ). Let us define a continous homomorphism of Q l -algebras : Q l {{X}} Q l {{X}}ˆ Q l {{X}} 161

162 by setting (X i ) := X i X i on topological generators X 1,X 2,...,X n,... of Q l {{X}}. We recall the classical result of Ree. Theorem 2.2. (See [17]) Let Λ Q l {{X}} be such that 1 (Λ) = 1. The following conditions are equivalent: i) the coefficients of Λ satisfy shuffle relations of type I; ii) logλ is a Lie formal power series in Q l {{X}}; iii) (logλ) = logλ logλ; iv) (Λ) = Λ Λ; v) the map ev Λ : Q l {{X}} Q l is a homomorphism of Q l -algebras. Proposition 2.3. The coefficients of the formal power series Λ γ (σ) Q l {{X}} satisfy shuffle relations of type I. Proof. It follows from the Baker-Campbell-Hausdorff formula that the image of the embedding k is contained in the subgroup exp(l(x)) of the multiplicative group of Q l {{X}}. Hence logλ γ (σ) L(X), i.e. logλ γ (σ) is a Lie formal power series. Now the proposition follows from Theorem 2.2. Iterated integrals satisfy the formula ω 1,...,ω n = ( 1) n γ 1 γ ω n,...,ω 1 (see [2]). Our next aim is to show the analogue of this formula for the power series Λ γ (σ) Q l {{X}} (see [19], pages 118 and 119, where this problem was raised). The path γ 1 is a path from z to v, hence f γ 1(σ) π 1 (V K;z). Lemma 2.4. (see [18] Lemma ) We have (γ 1 f γ 1(σ) γ) f γ (σ) = 1. The elements x i := γ x i γ 1 for i = 1,...,n are geometrical generators of π 1 (V K ;z). Let k : π 1 (V K ;z) l Q l {{X}} be a continous multiplicative embedding given by k (x i ) = ex i for i = 1,...,n. Let Λ γ 1(σ) := k (f γ 1(σ)). 162

163 Lemma 2.5. We have Λ γ 1(σ) Λ γ (σ) = 1. Proof. Observe that k(x i ) = k (x i ) for i = 1,...,n. Hence k(γ 1 f γ 1(σ) γ) = k (f γ 1(σ)). Therefore it follows from Lemma 2.4 that Λ γ 1(σ) Λ γ (σ) = 1. Let t : Q l {{X}} Q l {{X}} be a continous linear mapping given by t(x i1... X im ) = X im... X i1 on elements of W(X). Then t is an anti-automorphism of Q l -algebras, i.e. t(a b) = t(b) t(a). Proposition 2.6. Let w W(X). Then we have w (Λ γ 1(σ)) = ( 1) w (t(w)) (Λ γ (σ)). Proof. It follows from Lemma 2.5 that Λ γ 1(σ) = (Λ γ (σ)) 1. The coefficients of the power series Λ γ (σ) satisfy shuffle relations of type I by Proposition 2.3. Hence it follows from [17] Theorem 2.6 that w (Λ γ 1(σ)) = w (Λ γ (σ) 1 ) = ( 1) w (t(w)) (Λ γ (σ)). Remark 2.7. If Λ γ (z,v) is a flat section of the canonical pro-nilpotent connection on V (C) along a path γ from v to z then the formula can be written in the form w (Λ γ 1(v,z)) = ( 1) w (t(w)) (Λ γ (z,v)). 3. l-adic iterated integrals on P 1 \ {0,1, } evaluated at 1 The coefficient of the Drinfeld associator a (X,Y ) at X n 1 Y is equal 1 0 dz z 1, dz dz z,..., z = ( 1) n 1 1 dz 0 log(1 z)dz z,..., z = ( 1)n 1 Li n (1) = ( 1) n 1 ζ(n). It was shown by Euler that ζ(2k) = ( 1) k 1 (2π) 2k 2 (2k)! b 2k = (2πi)2k 2 (2k)! b 2k, where b 1 = 1 2, b 2 = 1 6,... are Bernoulli numbers. Using Z/2 and Z/3 symmetries of P 1 \ {0,1, } and the Baker-Campbell-Hausdorff formula one can reprove the Euler result (see [3]). We shall prove here the analogous result in the l-adic setting. Let V := P 1 Q \{0,1, }. Let g : V V and h : V V be given by g(z) = 1 z and h(z) = z z 1. Let p be the canonical path from 01 to 10 the interval (0,1). 163

164 Let x 0, y 1 and z be loops around 0, 1 and based at 01, 10 and 0 respectively (see Picture 1) x 0 y 1 0 z Picture 1 Let us set x := x 0 y := p 1 y 1 p and z := s 1 h(p) 1 z h(p) s, where s is a path from 01 to 0 as on Picture s Picture 2 Observe that x y z = 1 in π 1 (V Q; 01), hence 3.1. s 1 h(p) 1 z h(p) s = (p 1 y 1 p) 1 x 1 0 (see Picture 3). 164

165 0 0 1 We recall that for any σ G Q, Picture 3 f p (σ) := p 1 σ(p). The element f p has been studied by Ihara (see [11]) and also by Nakamura and Schneps (see [14]). Observe that g(p) = p 1. Hence we get g (f p ) = f g(p) = f p 1 = p f 1 p p 1, i.e. p 1 (g (f p )) p = f 1 p. The last equality implies 3.2. f p (y,x) = f p (x,y) 1. (This is of course the famous Z/2-cycle relation of Drinfeld (see for example [11]). Observe that This implies s 1 h(x) s = x and s 1 h(y) s = z s 1 f h(p) s = s 1 h (f p ) s = f p (x,z). Let χ : G Q Z l be the cyclotomic character. It follows from [18] Lemma and the equality 3.3 that 3.4. f (p 1 y 1 1 p x 1 0 )(σ) = x y (f p(x,y)(σ)) 1 y χ(σ) (f p (x,y)(σ)) x χ(σ) and 3.5. (χ(σ) 1) f (s 1 h(p) 1 z h(p) s)(σ) = z 1 x 2 (f p (x,z)(σ)) 1 z χ(σ) f p (x,z)(σ) x (χ(σ) 1)

166 Let k : π 1 (V Q; 01) l Q l {{X,Y }} be a continous multiplicative embedding given by k(x) = e X and k(y) = e Y. Then It follows from 3.2 that Λ p (X,Y )(σ) := k(f p (x,y)(σ)) Λ p (Y,X) = Λ p (X,Y ) 1. Let I 2 (resp. J 2 ) be a closed Lie ideal of L(X,Y ) generated by Lie brackets with 2 or more Y s (resp. X s). We recall that logλ p (X,Y ) l n (1)[Y,X (n 1) ] mod I 2 n=2 by the very definition of l-adic polylogarithms (see [19]). It follows from 3.6 that 3.7. logλ p (X,Y ) l 2 (1)[Y,X]+ l n (1)[Y,X (n 1) ]+ l n (1)[X,Y (n 1) ] mod I 2 J 2. Let us set n=2 n=3 X Y := log (e X e Y ). The right hand sides of 3.4 and 3.5 are equal by 3.1. Hence applying k and then taking logarithm we get the equality 3.8. ( logλ p (X,Y )) ( χ Y ) (logλ p (X,Y )) ( χ X) = ( χ 1 2 X) ( logλ p (X, (X Y )) ( χ(x Y )) (logλ p (X, (X Y )) ( χ 1 X). 2 It follows from the formulas (see [13]) and X Y X+Y [X,Y ]+ ( X) Y X = Y + n=1 n=1 1 n! [Y,X(n) ] b 2n b 2n (2n)! [Y,X(2n) ]+ (2n)! [X,Y (2n) ] mod I 2 J 2 n=1 (see [1] or [6]) and from the congruences 3.7 and logλ p (X, (X Y )) ( 1) n l n (1)[X,Y (n 1) ] mod J 2 n=2 166

167 that the left hand side of the equality 3.8 is congruent to 3.9. χ X χ Y χ l n (1)[X,Y (n) ] 1 b 2k 2 χ2 [X,Y ] (2k)! χ2k+1 [X,Y (2k) ] mod J 2 n=2 and the right hand side of the equality 3.8 is congruent to χ X χ Y 1 b 2k 2 χ2 [X,Y ] χ (2k)! [X,Y (2k) ]+ ( 1) n χ l n (1)[X,Y (n) ] mod J 2 k=1 k=1 n=2 Comparing 3.9 and 3.10 we get the following result. Proposition 3.1. b 2k l 2k (1) = 2 (2k)! (χ2k 1). (This result is stated without proof in [11] and in references given by Ihara in [11] only l n (1) for n odd is calculated.) The l-adic polylogarithm l 2k (1) is a function from G Q to Q l (2k), hence its cohomology class in H 1 (G Q ; Q l (2k)) is zero. However the related function studied in [15] and in [21], which takes values in Z l (2k) need not be zero in H 1 (G Q ; Z l (2k)). We shall show below that it determines a torsion class in H 1 (G Q ; Z l (2k)) and we shall calculate its order (see also [3]). We start by recalling the arithmetic formula for l-adic polylogarithms from [15]. Let z be a Q-point of V or a tangential point defined over Q. Let q be a path on V Q from 01 to z. Let ϕ n : π 1 (V Q; 01) l Z/l n be a homomorphism given by ϕ n (x) = 1 and ϕ n (y) = 0. Let us set Then we have x l(z)q(σ) f q (σ) H n := ker(ϕ n : π 1 (V Q; 01) l Z/l n ). (x i y x i ) κ(1 ξi l n z 1 l n 1 i=0 l n )(σ) mod (H n,h n ) where (H n,h n ) is the commutator subgroup of H n and where the coefficients κ(1 ξ i l nz 1 l n )(σ) Z l are defined by the formula ξ κ(1 ξi l n z l 1 n )(σ) σ((1 ξiχ(σ) 1 l z 1 = n l n ) 1 l k ) l k (1 ξ i+l(z)q(σ) l z 1 n l n ) 1 l k. 167

168 After the embedding k of π 1 (V Q; 01) into Q l {{X,Y }} and then taking logarithm we get ( l(z) q (σ)x) logλ q (X,Y )(σ) ( 1) m m=0 m! l n 1 ( i=0 i m κ(1 ξ i l nz 1 l n )(σ))[y,x (m) ] mod log(k((h n,h n ))). Let us denote by c m+1 (z)(σ) the coefficient of the left hand side of 3.12 at the term [Y,X (m) ]. Then we have c m+1 (z)(σ) ( 1)m m! l n 1 ( i=0 i m κ(1 ξ i l nz 1 l n )(σ))[y,x (m) ] mod l n v l((m 1)!). (The formula on the right hand side is related to the Gabber construction of the Heisenberg cover of P 1 \ {0,1, } (see [5]). It is shown in [15] that κ(z)(σ) := {κ(1 ξl i z 1 n l n )(σ)} i Z/l n, n N is a measure on Z l. We set l m+1 (z)(σ) := x m dκ(z)(σ). Z l Therefore l m+1 (z) is a function from G Q to Z l. It follows from 3.13 that c m+1 (z)(σ) = ( 1)m l m+1 (z)(σ). m! Let q be the path p from 01 to 10. Then l(1)(σ) = 0. Hence we get c m+1 (1)(σ) = l m+1 (1)(σ). Theorem 3.2. ii) Let us write i) We have l 2k (1) = b 2k 2 (2k) (χ2k 1) in Z 1 (G Q ; Z l (2k));, where a,b Z are relatively prime. The class of b 2k 2 (2k) = a b the cocycle l 2k (1) is a torsion element of H 1 (G Q ; Z l (2k)) of order l v l(b). iii) The class of the cocycle l 2k (1) is a torsion element of maximal order in H 1 (G Q ; Z l (2k)). Proof. We have already observed that l 2k (1) is a function from G Q to Z l. It follows immediately from Proposition 3.1 and the equalities 3.14 and 3.15 that l 2k (1) = b 2k 2 2k (χ2k 1). Hence l 2k (1) is in Z 1 (G Q ; Z l (2k)). The point ii) is a consequence immediate of the point i). Let us suppose that l is an odd prime. The cyclotomic character χ : G Q Z l = (1 + lz l) µ l 1 is surjective. Therefore there are torsion elements 168

169 in H 1 (G Q ; Z l (2k)) if and only if 2k 0 mod (l 1). Let us suppose that 2k = (l 1) l m 1 q with (q,l) = 1. Then it follows immediately that χ 2k 1 is divisible by l m but not by l m+1. On the other side Von Staudt Congruece (see [12], chapter 2, section 2, Corollary 2) implies that v l ( b 2k 2 2k ) = m. Hence l 2k (1) is a torsion element in H 1 (G Q ; Z l (2k)) of maximal order. The proof in case l = 2 is similar and we omit it. As a corollary we get a well known result about the Bernoulli numbers. Corollary 3.3. Let 2k 0 mod (l 1). Then v l ( b 2k 2 2k ) 0. Proof. If 2k 0 mod l 1 then χ 2k 1 is not divisible by l. Hence the point i) of the theorem implies that v l ( b 2k 2 2k ) 0. Let s : Q l {{X,Y }} Q l {{X,Y }} be an isomorphism of Q l -algebras given by s(x) = Y and s(y ) = X. We recall from section 1 that t : Q l {{X,Y }} Q l {{X,Y }} is an anti-isomorphism. Let us set τ := s t. Now we shall show the analog of the duality theorem for multi zeta values (see [9] page 53). Proposition 3.4. Let w W(X,Y ). We have w (Λ p (X,Y )(σ)) = ( 1) w (τ(w)) (Λ p (X,Y )(σ)). Proof. It follows from Proposition 2.6 and Lemma 2.5 that w (Λ p (X,Y )(σ)) = ( 1) w (t(w)) ((Λ p (X,Y )(σ)) 1 ). It follows from Z/2-cycle relation that ( 1) w (t(w)) ((Λ p (X,Y )(σ)) 1 ) = ( 1) w (t(w)) (Λ p (Y,X)(σ)). Observe that for any u W(X,Y ) we have u (Λ p (Y,X)(σ)) = s(u) (Λ p (X,Y )(σ). Hence we get w (Λ p (X,Y )(σ)) = ( 1) w (τ(w)) (Λ p (X,Y )(σ)). 169

170 4. Z/2, Z/3 and Z/5-cycle relations Let us chose generators of π 1 (V Q ; 01) as on the picture x z 0 1 y Picture 4 Then we have x y z = 1. 0 p 1 Picture 5 Calculating the element f along the path on the Picture 5 we get the Z/3-cycle relation of Drinfeld in π 1 (V Q; 01) x χ 1 2 f p (z,x) z χ 1 2 f p (y,z) y χ 1 2 f p (x,y) = 1. (see for example [11]). After the embedding k of π 1 (V Q; 01) into Q l {{X,Y }} the Z/2 and Z/3-cycle relations have the following form 2 Λ p (X,Y ) Λ p (Y,X) = 1, and 3 e χ 1 2 X Λ p ( (X Y ),X) e χ 1 2 ( (X Y )) Λ p (Y, (X Y )) e χ 1 2 Y Λ p (X,Y ) = 1. In this moment we cannot expect that shuffle relations of type II and III have the same form as in De Rham Betti setting (see [16]). However when we pass to associated graded Lie algebras the situation becomes more familiar. We recall that with the action of a Galois group on π 1 or on a torsor of paths there is associated a filtration of the Galois group (see [18] section 3). 170

171 Let I := ker(ε : Q l {{X,Y }} Q l ) be an augmentation ideal. In the case of the action of G Q on π 1 (V Q; 01) or on the torsor of paths on V Q from 01 to 10 this filtration is defined as follows G 0 (Q) := G Q, G 1(Q) := G Q(µ l ), for n > 1. G n (Q) := {σ G Q(µl ) Λ p(x,y )(σ) 1 mod I n } If we pass to a graded Lie algebra ( LieG Q := Gi (Q)/G i+1 (Q) ) Q i=1 associated with the action of G Q on π 1 (V Q; 01) the equations 2 and 3 have more familier form as we can see in the next proposition. Proposition 4.1. Let σ G n (Q). Let us set Z := X Y. Then we have 2 Λ p (X,Y )(σ) + Λ p (Y,X)(σ) = 0 mod I n+1, 3 Λ p (Z,Y )(σ) + Λ p (Y,Z)(σ) + Λ p (X,Y ) = 0 mod I n+1. The Z 5 -cycle relation can also be written in this form but we do not state it here in order not to make this paper too heavy. In the next section we formulate shuffle relations of type II and III for coefficients of Λ p (X,Y ). 5. Shuffle relations of type II and III (multi zeta type and regularized multi zeta type) We start this section by recalling some notations from [16]. Let Y := {y 1,y 2,...,y n,...} be a set of non-commuting variables. We set deg y i := i. Then the degree of a monomial y i1 y i2... y ik is k α=1 i α. We denote by Q << Y >> the Q-algebra of formal power series in non-commuting variables y 1,y 2,...,y n,... We define a coproduct of Q-algebras : Q << Y >> Q << Y >> ˆ Q << Y >> 171

172 by setting (y n ) := n y n i y i i=0 on generators (with the convention that y 0 = 1). Let W(X,Y ) ˆX be a subset of W(X,Y ) containing 1 and all monomials whose last term is Y. Let Q{{X,Y }} ˆX be a subalgebra of Q{{X,Y }} generated topologically by the set W(X,Y ) ˆX. We identify the Q-algebra Q << Y >> with the subalgebra Q{{X,Y }} ˆX of Q{{X,Y }} sending y i X i 1 Y for i = 1,2,... Hence we get a coproduct : Q{{X,Y }} ˆX Q{{X,Y }} ˆX ˆ Q{{X,Y }} ˆX, which induces a commutative product : (Q{{X,Y }} ˆX) (Q{{X,Y }} ˆX) (Q{{X,Y }} ˆX). The Q-vector space (Q{{X,Y }} ˆX) equipped with the product we denote by (Q{{X,Y }} ˆX). If we tensored by Q l or by C we obtain algebras (Q l {{X,Y }} ˆX ) and (C{{X,Y }} ˆX ). Conjecture 5.1. (associated graded Lie algebra version of shuffle relations of type II and III.) Let σ G n (Q). Then for any w,w 1 W(X,Y ) ˆX such that w + w 1 = n we have ( 1) deg Y (u) (w w1 )(u) u (Λ p (X,Y )(σ)) = 0 mod I n+1. u W(X,Y ) ˆX We point out that the shuffle relations deduced from products of multi zeta functions are also studied in greater generality in [7]. References [1] N. Bourbaki, Eléments de mathématiques, Groupes et algèbres de Lie, Diffusion C.C.L.S. Paris

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