1 Notions préliminaires

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1 1 Notions préliminaires Ce chapitre a pour but, outre de préciser la terminologie, de présenter les modes de raisonnement les plus courants ainsi que les notions fondamentales d ensemble, de fonction et de relation. La première section s intéresse à la vérité des énoncés mathématiques et à la validité des raisonnements, qui sont les moyens de déduire de nouveaux énoncés vrais à partir de ceux dont on dispose. On y introduit d abord les règles d attribution d une valeur de vérité (Vrai ou Faux) à un énoncé : cela amène à distinguer les notions de constante et de variable et à définir la quantification de ces dernières. Le reste de la section est consacré à la présentation des modes de raisonnement classiques (syllogisme, raisonnement par l absurde, par contraposition, par analyse et synthèse) qui ne sont que la mise en forme des règles logiques précédemment énoncées. L étude du raisonnement par récurrence, moulé sur la structure d ordre de l ensemble des entiers, trouvera sa place de manière naturelle au chapitre suivant. La seconde section présente les objets de base que sont les ensembles, puis les fonctions entre ensembles avec leurs propriétés usuelles. On termine avec deux types de relations binaires sur un ensemble : les relations d ordre et les relations d équivalence. CHAPITRE 1 I Bases du langage et du raisonnement mathématiques Le mathématicien travaille sur un domaine abstrait dont il définit les éléments en les munissant de propriétés qu il appelle axiomes. Un axiome est donc un énoncé qui est vrai par définition. Au moyen de règles de raisonnement, il déduit des axiomes d autres énoncés vrais qu il nomme alors assez indifféremment propositions ou théorèmes, le terme de lemme étant plutôt réservé à des résultats techniques préliminaires à l établissement d autres propriétés 1. Afin d obtenir des énoncés généraux, il est amené à introduire des variables. Dans cette section, on précise les notions de constante, de variable et d énoncé et on examine quelques modes de raisonnement. I.1. Les énoncés et leurs valeurs de vérité I.1.1. Les énoncés et les variables Les objets mathématiques de base sont les constantes, comme les nombres 2 et π, l ensemble N des entiers, la fonction sinus ou la relation entre deux réels. Elles sont de nature différente (nombres, ensembles, fonctions, relations etc.), mais on ne cherchera pas ici à les classifier ni à les recenser. Le lecteur en connaît déjà un grand nombre et il en rencontrera bien d autres dans ce livre. 1. L exemple le plus classique de cette démarche se trouve dans Les Éléments d Euclide.

2 6 Section I. Bases du langage et du raisonnement mathématiques Afin de nommer ces éléments, il est souvent fait usage de l alphabet grec. On rappelle dans le tableau 1.1 le nom et le graphisme des lettres les plus utilisées en mathématiques. Seules les majuscules principales sont indiquées. alpha α zêta ζ nu ν tau τ bêta β êta η ksi ξ Ξ phi ϕ Φ gamma γ Γ thêta θ Θ pi π Π khi χ delta δ lambda λ Λ rhô ρ psi ψ Ψ epsilon ε mu µ sigma σ Σ oméga ω Ω Tableau 1.1. Lettres grecques Au moyen des constantes, on forme des énoncés, par exemple «3 + 5 = 2 4» ou «sin( π ) > 1». Tout énoncé ainsi formé admet une et une seule des deux valeurs de 7 vérité : Vrai (noté V) et Faux (noté F). Cette valeur provient de la définition des constantes qui interviennent dans l énoncé : ainsi, le premier des énoncés précédents est vrai, tandis que le second est faux 2. L ensemble B = {V,F} est appelé l ensemble des booléens et toute application d un ensemble E dans B est appelée un prédicat sur E. Une variable est un symbole utilisé pour désigner un objet non spécifié appartenant à un ensemble fixé. Cet ensemble est appelé le domaine de la variable. Lorsqu il est clairement déterminé par le contexte, on omet de le préciser. On peut former des énoncés en utilisant des constantes et des variables, comme «x+3 = 5» ou «f (x) = 2f(3x)». Les variables d un tel énoncé sont dites libres. Le premier exemple contient x comme seule variable libre, tandis que le second en a deux, à savoir x et f. Les énoncés qui contiennent des variables libres n admettent pas de valeur de vérité : une réponse sensée à la question de la vérité de l énoncé «x + 3 = 5» est que cela dépend de la valeur de x. Pour pouvoir traiter de la vérité, il faudra donc éliminer les variables libres. On a deux méthodes : la spécialisation, qui remplace la variable par une constante et la quantification, qui la transforme en une variable liée. I.1.2. La spécialisation Soit E un énoncé ayant (au moins) une variable libre x dont le domaine est D. Pour tout élément a de D, on appelle spécialisation de E pour la valeur a de x et on note E[x a] l énoncé obtenu en remplaçant toutes les occurrences de x dans E par a. Par exemple, si E est «x+y = xy» où x et y sont des variables de domaine R, alors E[x 2] est «2+y = 2y», tandis que E[y π] est «x+π = xπ» et E[x 2,y π] est «2+π = 2π». Un cas de cette situation bien connu du lecteur est la notion d équation : si E est l équation «sin(2x) = cos(3y)» où x et y sont des variables réelles, résoudre l équation E c est trouver tous les couples (a,b) R 2 tels que l énoncé E[x a,y b] soit vrai. I.1.3. La quantification La quantification n est pas une spécificité mathématique : «tous les hommes doivent mourir» et «il existe un surdoué dans ma classe» sont des énoncés quantifiés. Afin de formaliser cela, considérons un énoncé E contenant une variable libre x, de domaine D. 2. On se permettra d écrire qu un énoncé «est vrai» ou «est faux» pour signifier qu il admet la valeur Vrai ou Faux.

3 7 L énoncé «x D, E» est dit obtenu de E par quantification universelle sur x. Il se lit «Quel que soit x appartenant à D, E» ou encore «Pour tout x dans D, E» et il ne contient plus x comme variable libre : on dit que x est devenue une variable liée (ou muette). Si x est la seule variable libre de E, on décide que «x D, E» : a la valeur Vrai lorsque pour tout élément a de D, l énoncé E[x a] est vrai ; a la valeur Faux lorsqu il existe un élément a de D pour lequel l énoncé E[x a] est faux. L énoncé «x D, E» est dit obtenu de E par quantification existentielle sur x. Il se lit «Il existe x appartenant à D tel que E». De même, la variable x est devenue liée, et si elle était seule variable libre de E, on décide que «x D, E» : a la valeur Vrai lorsqu il existe un élément a de D pour lequel l énoncé E[x a] est vrai ; a la valeur Faux lorsqu il n existe pas un tel élément. 3 Enfin, «!x D, E» est une variante du quantificateur existentiel utilisée pour dire qu il existe un unique élément a de D tel que E[x a]. Pour bien saisir la nature des énoncés quantifiés et le statut des variables liées, les deux points suivants sont essentiels. 1. Une variable liée ne représente pas un objet mathématique : ce n est qu un moyen pour expliciter un énoncé. Cet énoncé affirme une propriété des constantes qu il contient. Ainsi, l énoncé «x R, cos( x) = cos(x)» ne parle ni de x ni de cos(x), mais affirme que la fonction cosinus est paire. Cela est encore plus clair avec l énoncé «x R, ax 2 +bx+c 0», où a,b et c sont des constantes réelles : on peut le traduire par b 2 4ac < 0, expression qui ignore la variable x. Une conséquence de cet état de fait est que le nom d une variable liée est sans importance : on peut toujours la renommer, à condition toutefois d utiliser comme nouveau nom un symbole qui n est pas encore employé. Ainsi notre dernier exemple peut-il s écrire «y R, ay 2 +by+c 0», mais pas «c R, ac 2 +bc+c 0». Cette propriété rappelle sans doute au lecteur qu il est déjà familier des variables liées. Dans chacune des expressions suivantes, la variable x est liée et peut donc être renommée Chapitre 1. Notions préliminaires f : x sin(2x+1), 1 0 g(x) dx, lim h(x), x 0 n x 2. x=1 2. Pour éliminer plusieurs variables libres, on est souvent amené à superposer les quantifications 4. On retiendra les règles : Méthode Commutation des quantificateurs Lorsqu un énoncé est précédé de plusieurs quantifications : 1. on peut permuter deux quantificateurs voisins de même nature, existentielle ( ) ou universelle ( ) ; 2. on ne peut pas permuter deux quantificateurs de nature différente. 3. Ces règles ne permettent pas d attribuer une valeur de vérité à tout énoncé. Un énoncé E est dit indécidable lorsque ni E ni sa négation ne peuvent être prouvés. On peut alors ajouter soit E soit non(e) aux axiomes, obtenant ainsi deux théories mathématiques viables et distinctes. 4. On peut abréger «x 1 D, x 2 D,..., x n D, E» en «x 1,x 2,...,x n D, E».

4 8 Section I. Bases du langage et du raisonnement mathématiques Exemple 1.1. On considère les deux énoncés suivants portant sur des variables n et p de domaine N n, p, n p ; (1.1) p, n, n p. (1.2) On rappelle qu ils expriment chacun une propriété portant sur les constantes qu ils contiennent, c est-à-dire l ensemble N et son ordre. L énoncé 1.1 affirme que tout élément de N admet un majorant, ce qui est exact puisque chaque entier est majoré par lui-même (par exemple). En revanche, l énoncé 1.2 exprime que N admet un plus grand élément, ce qui est faux. Si E est un énoncé qui contient les variables libres x et y de domaine D, l énoncé «y, x, E» est plus fort que l énoncé «x, y, E». Il est en général strictement plus fort, puisqu il affirme l existence d un élément a de D tel que pour tout élément b la version spécialisée E[x b,y a] est vraie, alors que dans le second cas, on nous dit que pour chaque b on peut trouver un a qui dépend de b pour lequel E[x b,y a] est vrai. Ainsi, dans l exemple 1.1, le majorant que l on a trouvé pour b est b lui-même. Pour certains énoncés, les deux manières de quantifier peuvent donner des résultats équivalents, mais une preuve est nécessaire pour l affirmer. Comment prouver un énoncé quantifié. La preuve d un énoncé «x, E» se fait de manière usuelle en exhibant une constanteadu domaine dextelle quee[x a] soit vrai, comme dans l exemple précédent. On peut aussi utiliser des théorèmes dits d existence, comme le théorème des valeurs intermédiaires qui permet de prouver «x [0, π ], cosx = x» en 2 remarquant que la fonction f : x x cosx est continue et change de signe entre 0 et π. 2 Le cas d un énoncé «x, E» est plus délicat. Si le domaine de variation dexest fini, une méthode consiste à vérifier la vérité de chacune des spécialisations E[x a], ce qui peut être fastidieux mais efficace. L apparition de l ordinateur a redonné une actualité inattendue à cette façon de faire. Le plus souvent, le domaine de x est infini. Il faut alors trouver une preuve de E[x a] qui soit valide quelle que soit la valeur a choisie dans D. Dans cette preuve, a est une constante et donc traitée comme telle, mais la preuve doit rester correcte si l on y remplace a par toute autre constante de D. La rédaction d une telle démonstration doit donc se présenter sous la forme suivante : «Soit a un élément de D» ; démonstration de E[x a]; «On a donc x, E». On verra plus loin que, au moyen d un raisonnement par l absurde ou par contraposition, on peut aussi se ramener à une quantification existentielle. Test 1.1 solution page 695 Les variables étant réelles, trouver les valeurs de vérité des énoncés suivants : Test 1.2 solution page 695 Déterminer si la fonction f : x x 2 vérifie chacun des énoncés suivants x, y, x = y 2 x,!y, x = y 2. x R, y R +, y R +, x R, f(x+y) = f(x) f(x+y) = f(x).

5 I.1.4. Énoncés composés 9 À partir de deux énoncés E et F, on forme les énoncés suivants la négation (non E), la conjonction (E et F), la disjonction (E ou F), l implication (E F) et l équivalence (E F). Si E et F admettent des valeurs de vérité, ces nouveaux énoncés en ont aussi une, qui est donnée par la table de vérité (tableau 1.2). E F (non E) (E et F) (E ou F) (E F) (E F) V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Chapitre 1. Notions préliminaires Tableau 1.2. Table de Vérité Quelques remarques s imposent : la disjonction est non exclusive : si les deux énoncés sont vrais, leur disjonction l est aussi; deux énoncés sont équivalents si et seulement si ils ont même valeur de vérité ; l implication peut se définir à partir de la négation et de la disjonction, car (E F) équivaut à ((non E) ou F). De même (E F) équivaut à ((E F) et (F E)) ; l implication mathématique n est pas celle du langage courant : si E est faux, alors (E F) est vrai quelle que soit la valeur de F. Lorsque E implique F, on dit que F est une condition nécessaire pour E et que E est une condition suffisante pour F. Lorsqu ils sont équivalents, on dit que chacun est une condition nécessaire et suffisante pour l autre. Au moyen du tableau 1.2, on peut prouver de nombreuses équivalences. Il faut connaître parfaitement la forme de la négation d un énoncé composé ou quantifié (tableau 1.3). A (non A) non(e) E E et F (non E) ou (non F) E ou F (non E) et (non F) A (non A) x, E x, (non E) x, E x, (non E) E F E et (non F) Tableau 1.3. Négations classiques Il importe de se convaincre que la négation d une implication n est pas une implication. En effet, les implications sont des disjonctions puisque (E F) est, on l a dit, ((non E) ou F). Leurs négations sont donc des conjonctions : plus précisément, celle de (E F) est (non (non E) et (non F)) soit encore (E et (non F)) comme l indique le tableau de droite. Une conjonction ne saurait être une disjonction! Pour la pratique, on retiendra que si un énoncé est de la forme Q 1 x 1,Q 2 x 2,...,Q n x n, E, où les Q k sont des quantificateurs et les x k des variables libres de E, alors sa négation s obtient en remplaçant les par des, les par des et E par sa négation. Test 1.3 solution page 695 Écrire qu une fonction f définie sur R est périodique, puis la négation de cet énoncé. Test 1.4 solution page 695 Nier x, y,(y > x = f(y) < f(x)).

6 10 I.2. Les modes de raisonnement Section I. Bases du langage et du raisonnement mathématiques I.2.1. Le syllogisme «Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel» est l archétype du syllogisme, appelé aussi règle de détachement ou modus ponens. Règle de détachement. Si les énoncés E et (E F) sont vrais, alors l énoncé F est vrai. Dans l exemple précédent, on part de l énoncé x,(x est un homme = x est mortel) pour obtenir par spécialisation (Socrate est un homme = Socrate est mortel). Comme il est vrai que Socrate est un homme, on peut alors appliquer la règle et en déduire son caractère mortel. Mode d utilisation de la règle. Si A 1 est vrai ainsi que A 1 A 2, A 2 A 3,... et A n 1 A n, alors en appliquant n 1 fois la règle, on montre que tous les A k sont vrais, en particulier A n. Méthode Emploi de la règle de détachement Pour prouver un énoncé, on part d un autre énoncé connu comme vrai 5 et on arrive par une suite d implications au résultat demandé. Une faute courante consiste à partir du résultat à démontrer pour arriver à un énoncé vrai. En effet, il est courant, pour prouver un énoncé E, de le relier par une suite d équivalences à un énoncé E connu comme vrai, selon un enchaînement E E 1 E 2 E n E (1) Cette méthode est licite puisqu on obtient la vérité de E à partir de celle de E par la règle de détachement, en utilisant les implications dirigées de la droite vers la gauche. Mais on ne peut se contenter dans (1) de simples implications de la gauche vers la droite. En effet, obtenir un énoncé vrai par implications à partir d un énoncé E ne prouve rien sur la vérité de E. Par exemple, l énoncé 2 = 3 est manifestement faux, mais on peut en déduire pourtant l égalité 2 0 = 3 0 qui, elle, est bien vraie. I.2.2. Le raisonnement par l absurde Si l énoncé C est faux (on l appelle alors une contradiction), l énoncé E C n est vrai que si E est faux. Si l on applique cela à (non E) au lieu de E, on obtient que si (non E) C est vrai, alors E l est. Méthode Raisonnement par l absurde Pour prouver un énoncé, on peut supposer qu il est faux et en déduire une contradiction. 5. Dans un problème, c est souvent une hypothèse.

7 11 Exemple 1.2. Prouver que 2 n est pas rationnel. Solution : si on suppose que 2 est rationnel, on peut l écrire sous la forme a, où a et b sont b des entiers et la fraction non simplifiable, ce qui implique que a et b ne sont pas tous deux pairs. Par élévation au carré, 2b 2 = a 2, donc a 2 est pair. Admettons (jusqu au paragraphe suivant) que cela prouve que a est pair, c est-à-dire a = 2a. En simplifiant par 2, il reste b 2 = 2a 2 et pour la même raison b aussi est pair : voilà la contradiction. I.2.3. La contraposition La réciproque de l implication E F est F E et sa contraposée est (non F) (non E). La réciproque d une implication vraie peut être vraie ou fausse : par exemple, pour x réel, la réciproque de (x = 0 = x = 0) est vraie et celle de (x > 2 = x > 1) est fausse. De fait, une implication (vraie) est une équivalence si et seulement si sa réciproque est vraie. En revanche, toute implication équivaut à sa contraposée puisque (E F) est ((non E) ou F), soit ((non (non F)) ou (non E)), ce qui s écrit encore ((non F) (non E)). Chapitre 1. Notions préliminaires Méthode Cas d emploi de la contraposée On remplace la preuve de l implication E F par celle de sa contraposée (non F) (non E) lorsque l hypothèse E est inadaptée à la démonstration de F. Exemple 1.3. Prouver que pour tout entier a, si a 2 est pair, alors a l est aussi. Solution : le lemme de Gauss, qui sera étudié au cours de l année et que certains lecteurs ont pu rencontrer en spécialité lors de leur classe de Terminale, permettrait de conclure immédiatement : on ne le suppose pas encore connu. Il semble alors difficile de travailler directement, car on ne dispose pas de formule qui, exprimant a à partir de a 2, montre que la présence d un facteur 2 dans a 2 implique celle de ce même facteur dans a. On considère donc la contraposée : si a est impair, alors a 2 l est aussi. La preuve est maintenant simple : si a est un entier impair, il s écrit sous la forme 2b+1 où b est entier, donc a 2 = (2b+1) 2 = 4b 2 + 4b+1 est clairement impair. Une contraposition remplace les énoncés en jeu par leur négation. Cet effet peut être avantageux, car la négation d un énoncé quantifié existentiellement est un énoncé quantifié universellement et vice versa. I.2.4. Le cas des disjonctions L équivalence entre une disjonction (E ou F) et l implication (non E) F donne la méthode suivante. Méthode Preuve d une disjonction Pour prouver une disjonction (E ou F), on peut supposer que E est faux et prouver F.

8 12 Section I. Bases du langage et du raisonnement mathématiques Cette situation est très fréquente en mathématiques. Par exemple, pour prouver que deux droites parallèles du plan sont disjointes ou confondues, on montre que si elles ne sont pas disjointes, alors elles sont confondues. I.2.5. Le raisonnement par analyse et synthèse Lorsqu on doit déterminer les éléments qui vérifient une condition C, la situation la plus confortable est celle où l on peut raisonner par équivalences. Si la condition C ne s y prête pas, on a souvent recours au raisonnement par analyse et synthèse. Avant de formaliser cette technique, on va la présenter sur un exemple, en commentant son fonctionnement. Problème Déterminer les couples (n,z) Z C tels que z n = (z 1) n = 1. Phase d analyse. Si z n = 1, alors z n = 1, d où z = 1 : l image de z doit se situer sur le cercle de centre 0 et de rayon 1. Le même raisonnement montre, à partir de (z 1) n = 1, que z 1 = 1 et donc l image de z doit aussi se situer sur le cercle de centre 1 et de rayon 1. Or ces deux cercles s intersectent aux points A et B, où A a pour coordonnées ( 1, 3 ) puisque le triangle 2 2 OMA est équilatéral de côté 1. Son affixe est donc α = 1 2 +i 3 = 2 eiπ 3. Celle de B, symétrique de A par rapport à l axe réel, est le conjugué de α, soit α = e iπ 3. O A B M Fig. 1.1 Commentaire. À partir de l hypothèse C, on a montré par implications que les solutions du problème sont nécessairement de la forme (n, α) ou (n, α). Mais comme les implications utilisées ne sont pas des équivalences (par exemple z n = 1 = z = 1), rien n assure que tous ces éléments sont effectivement des solutions. Il faut donc les examiner pour ne conserver que ceux qui sont bien des solutions : c est l objet de la synthèse. Phase de synthèse. α n = e inπ 3 = cos(n π 3 )+isin(nπ ), ce qui est égal à 1 si et seulement 3 si n est un multiple de 6. Le lecteur se convaincra aisément que α 1 = e 2iπ 3 et on a donc (α 1) 6k = 1 pour tout k Z. Enfin, par conjugaison, α est solution si et seulement si α l est. Conclusion. Les solutions au problème sont les couples (6k,e iπ 3 ) et (6k,e i π 3 ), pour k Z. En résumé : pour résoudre le problème, on devait examiner tous les couples (n,z) Z C. L analyse a permis de restreindre le domaine de la recherche à l ensemble beaucoup plus maniable Z {α,α} sur lequel un calcul facile permet de conclure. On peut maintenant caractériser la méthode. Méthode Raisonnement par analyse et synthèse Pour déterminer les éléments qui vérifient une condition C la phase d analyse restreint le domaine dans lequel on doit rechercher les solutions, en déduisant de C des conditions nécessaires qu elles doivent vérifier ; la phase de synthèse consiste à examiner les éléments de ce domaine restreint pour ne retenir que ceux qui sont effectivement solution.

9 À l issue de la phase d analyse, l ensemble de recherche peut être vide (il n y a alors aucune solution) ou bien comporter un ou plusieurs éléments, voire une infinité comme dans l exemple précédent. Même s il est réduit à un singleton, la vérification de la synthèse reste nécessaire. Dans ce cas, si le problème admet une unique solution, la synthèse en prouve l existence tandis que l analyse en prouve l unicité. Exemple 1.4. Déterminer les réels k tels que x R, e kx x+1. Analyse. Si k répond à la question, alors la fonction f : x e kx x 1 est positive sur R. Comme elle s annule en 0, elle présente un minimum en ce point, ce qui impose f (0) = 0. Or f (x) = ke kx 1, donc f (0) = 0 signifie que k = 1. La seule solution possible au problème est donc 1. Synthèse. Pour k = 1 on a f(x) = e x x 1. L étude de cette fonction, élémentaire et laissée au lecteur, montre qu elle est toujours positive. On peut donc conclure que 1 est l unique solution au problème. 13 Chapitre 1. Notions préliminaires II Ensembles et applications II.1. Notions de base sur les ensembles II.1.1. Généralités On suppose le lecteur familier avec la notion d ensemble. Un ensemble est déterminé par les éléments qu il contient et deux ensembles sont égaux lorsqu ils contiennent les mêmes éléments. L appartenance d un élément a à un ensemble E se note a E. Il existe un unique ensemble qui ne contient aucun élément, c est l ensemble vide noté. Un ensemble qui contient un seul élément a est appelé un singleton et noté {a}. Si un ensemble est constitué des éléments x 1,...,x n sans répétition, on le note {x 1,...,x n }. L ordre des éléments dans cette écriture est sans importance : {1,2,3} = {3,1,2}. On dit que A est une partie ou un sous-ensemble de E lorsque tous les éléments de A appartiennent à E ; on note A E. On dit aussi que A est inclus dans E. En particulier E = F (E F et F E). Il faut bien distinguer l inclusion d un ensemble dans un autre de l appartenance d un élément à un ensemble. Si P est un prédicat sur E, les éléments x de E tels que P(x) forment une partie de E, notée {x E/ P(x) }. Exemple 1.5. {x R / x 2 1 } = [ 1,1]. Pour tout ensemble E, les parties de E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). Exemple 1.6. Si E = {0,1,2}, alors P(E) = {,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}. II.1.2. Ensembles produits et relations Si E et F sont deux ensembles, l ensemble produit E F est défini par : E F = {(x,y) / x E, y F}.

10 14 Section II. Ensembles et applications On rappelle que les couples (x,y) et (x,y ) sont égaux si et seulement si x = x et y = y. On définit de même un produit fini d ensembles E 1 E n = {(x 1,...,x n ) /x 1 E 1,...,x n E n }, que l on note E n lorsque tous les E k sont égaux à un même ensemble E. Soit E et F deux ensembles. Définir une relation R de E vers F, c est se donner une partie G R de E F. On écrit alors xry et on dit que «x est en relation avec y» pour exprimer que le couple (x,y) est dans G R. L ensemble G R est appelé le graphe de la relation. II.1.3. Opérations sur les parties d un ensemble Soit A et B deux parties d un même ensemble E. On définit (figure 1.2) A = {x E / x / A} le complémentaire de A A B = {x E / x A ou x B} la réunion de A et B A B = {x E / x A et x B} l intersection de A et B A\B = {x A / x / B} la différence de A et B E E E A A B A B A A B A B Fig Visualisation de trois opérations ensemblistes On remarque que les définitions du complémentaire 6, de la réunion et de l intersection sont basées sur les connecteurs «non», «ou», «et». Ainsi x A, x A B, x A B s écrivent respectivement non(x A), (x A ou x B) et (x A et x B). De là découlent immédiatement leurs propriétés (tableau 1.4). ( A) = A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) = ( A) ( B) (A B) = ( A) ( B) Tableau 1.4. Propriétés des opérations ensemblistes À titre d exemple, on vérifie la dernière d entre elles. Pour tout x x (A B) non (x A ou x B) (x / A et x / B) x ( A B). Deux parties dont l intersection est vide sont dites disjointes. On se gardera de confondre distinctes (non égales) et disjointes (sans élément en commun). 6. Le programme admet pour le complémentaire les notations A E,Ac,E\A et A.

11 15 Exemple 1.7. En composant les opérations précédentes, on peut en définir de nouvelles. La plus courante est la différence symétrique : A B = (A\B) (B\A) = (A B)\(A B). Test 1.5 solution page 695 Soit E un ensemble. Prouver l assertion A,B P(E), (A B B A). Test 1.6 solution page 695 Soit E un ensemble et A E. Donner une condition nécessaire et suffisante sur X E pour que X A = X (respectivement pour que X A = X). Test 1.7 solution page 695 Écrire avec des quantificateurs et les énoncés x A, x / A, x B et x / B, d abord que deux parties A et B d un ensemble E sont distinctes, ensuite qu elles sont disjointes. Chapitre 1. Notions préliminaires II.2. Applications Une fonction ou application f d un ensemble E dans un ensemble F est une correspondance qui, à tout élément x de E, associe un unique élément de F, noté f(x). Pour l exprimer, on écrit f : E F ou E f F. E s appelle l ensemble de départ ou ensemble de définition de f et F son ensemble d arrivée. La partie G f = {(x,f(x)) /x E } de E F est son graphe 7. Notation. Soit E et F deux ensembles. On note F E ou F(E,F) l ensemble des applications de E dans F. Pour prouver l égalité de deux applications f et g, il faut donc vérifier : l égalité de leurs ensembles de départ E; l égalité de leurs ensembles d arrivée F ; la relation x E, f(x) = g(x). Ainsi, x x 2 définit deux applications différentes de domaine R selon qu on considère que l ensemble d arrivée est R ou R +. Voici quelques exemples fondamentaux de définition de fonctions : 1. Pour une fonction dont l ensemble de départ est fini, on peut donner le graphe explicitement, comme dans {(Dubois, 10),(Dulac, 6),(Dumont, 11.5),(Dupont, 20),(Duval, 9.5)}. 2. Si les ensembles de départ et d arrivée sont finis, les diagrammes de Venn sont une représentation très parlante (figure 1.3) : chaque point de l ensemble de départ est joint par une flèche à son image. 3. Lorsque f(x) est défini par une formule, par exemple sin(x 2 ), on utilise la notation f : x sin(x 2 ). Ce graphe peut être dessiné ainsi que le lecteur en a l habitude, mais ce n est pas le cas pour celui de la fonction f : P(E) P(E) définie par A P(E), f(a) = A. 4. Pour tout ensemble E, on appelle identité de E l application id E : E E définie par x E, id E (x) = x. Son graphe {(x,x) /x E } est appelé la diagonale de E E. 7. Plus formellement, une application f : E F est une relation de E vers F dont le graphe G est tel que, pour tout x E, il existe un unique y F tel que (x,y) G. Cet élément y est noté f(x) et on dit que G est un graphe fonctionnel.

12 16 Section II. Ensembles et applications d c b a E δ β γ F α Ceci est une fonction. d c b a E δ β γ Ceci n est pas une fonction, b n a pas d image, c en a deux. Fig Exemples de diagrammes de Venn F α 5. Si E est un ensemble, on appelle suite d éléments de E toute application u : N E. On écrit alors u n au lieu de u(n) et la suite u se note (u n ) n 0 ou plus simplement (u n ). De même, si I est un ensemble, on appelle famille d éléments de E indexée par I toute application de I dans E, que l on note encore (x i ) i I. Par exemple, si (A i ) i I est une famille de parties d un ensemble E, on étend les définitions de la réunion et de l intersection en posant A i = {x E/ i I, x A i } et A i = {x E / i I, x A i }. i I 6. Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E, on appelle fonction indicatrice de A la fonction 1 A : E R définie 8 par : { 1 si x A 1 A (x) = 0 si x / A. Le lecteur se convaincra facilement que deux parties sont égales si et seulement si leurs fonctions indicatrices le sont et que les opérations ensemblistes se traduisent par 1 A = 1 1 A ; 1 A B = 1 A 1 B = min(1 A,1 B ) ; 1 A B = 1 A + 1 B 1 A 1 B = max(1 A,1 B ). Il résulte de ces égalités que l emploi des fonctions indicatrices ramène à de simples vérifications algébriques les calculs, souvent laborieux, sur les parties d un ensemble. Exemple 1.8. Soit A,B,C inclus dans E. Montrer que (A B) C = (A C) (B C). (On dit alors que l intersection est distributive par rapport à la différence symétrique.) La fonction indicatrice de A B est 1 A + 1 B 2 1 A 1 B, d où et 1 (A B) C = 1 A B 1 C = (1 A + 1 B 2 1 A 1 B ) 1 C = 1 A 1 C + 1 B 1 C 2 1 A 1 B 1 C 1 (A C) (B C) = 1 A C + 1 B C 2 1 A C 1 B C = 1 A 1 C + 1 B 1 C 2 1 A (1 B ) 2 1 C On a bien l égalité puisque (1 B ) 2 = 1 B. i I 8. On peut aussi prendre {0,1} pour ensemble d arrivée.

13 17 Soit E et F deux ensembles, A E et B F. Si E f F, on appelle restriction de f à A et on note f A l application x f(x) de domaine A et d ensemble d arrivée F. Si A g F, on dit que E f F est un prolongement de g lorsque g = f A. Si E f F est telle que x A, f(x) B, on appelle application induite par f l application f : A B définie x A, f(x) = f(x). Définition 1.9. Soit E f F et F g G. On appelle composée de g et f et on note g f l application x g(f(x)) de E dans G. Si l on compose trois applications E f F g G h H, on a l égalité h (g f) = (h g) f puisque ces deux applications vont de E dans H et envoient tout x E sur le même élément h(g(f(x))). Cette propriété permet d écrire une composée f n f n 1 f 1 sans se soucier de parenthésage. Chapitre 1. Notions préliminaires Test 1.8 solution page 695 Justifier que deux parties de E sont égales si et seulement si elles ont les mêmes fonctions indicatrices. Test 1.9 solution page 695 Prouver au moyen des fonctions indicatrices la relation de distributivité : A (B C) = (A B) (A C). II.2.1. Propriétés des applications Soit f : E F, x un élément de E et y = f(x). On dit que y est l image de x et que x est un antécédent de y. Par définition d une fonction, tout x E admet une et une seule image, alors qu un y F peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédent. Définition Soit f : E F. On dit que : f est injective lorsque tout élément de F possède au plus un antécédent; f est surjective lorsque tout élément de F possède au moins un antécédent; f est bijective lorsque tout élément de F possède un et un seul antécédent. On utilise en pratique les deux formulations suivantes de l injectivité de f : E F, chacune étant la contraposée de l autre. Attention Expressions de l injectivité de f x,y E, x,y E, x y = f(x) f(y) f(x) = f(y) = x = y Pour spécifier que f : E F est surjective, on dit que f est une application de E sur F. L application f est bijective si et seulement si elle est injective et surjective. On appelle permutation d un ensemble E toute bijection de E sur lui-même.

14 18 Section II. Ensembles et applications Exemple Soit f la fonction x sinx. f : R R n est pas injective puisque sin(0) = sin(π). Elle n est pas surjective puisque 2 n a aucun antécédent, mais f : R [ 1, 1] l est. f : [ π, π ] R est injective mais pas surjective. 2 2 f : [ π, π ] [ 1,1] est bijective. 2 2 d c b a E γ β α Surjection non injective : α a deux antécédents. F d c b a E δ γ ε β α Injection non surjective : ε n a pas d antécédent. F Fig Exemples Définition Soit f : E F une application bijective. On appelle application réciproque de f et on note f 1 l application de F dans E qui à tout élément y de F fait correspondre son unique antécédent x par f. x E, y F, ( y = f(x) x = f 1 (y) ). La définition de f 1 donne immédiatement f 1 f(x) = x pour tout x E et f f 1 (y) = y pour tout y F, c est-à-dire f 1 f = id E, f f 1 = id F. Exemple La fonction ln : R + R est une bijection dont la réciproque est la fonction exponentielle. 2. On considère la fonction f : x 2x+1 définie sur R\{1}, a priori à valeurs dans R. Les x 1 antécédents d un élément y R sont les solutions de l équation y = 2x+1 qui s écrit aussi x 1 y(x 1) = (2x + 1), soit x(y 2) = (y + 1). Si y = 2, il n y a aucune solution, sinon y admet pour unique antécédent le nombre y+1. Ainsi, f est bijective de R\{1} sur R\{2} et y 2 sa réciproque est y y+1. y 2 On retiendra la méthode suivante. Méthode Pour montrer que f est bijective Pour prouver qu une fonction x y = f(x) est bijective, on peut montrer qu il est possible de calculer x en fonction de y. On obtient de plus l expression de la fonction réciproque de f.

15 19 Lemme Soit E f F et F g E. Si g f = id E et f g = id F, alors f et g sont bijectives et réciproques l une de l autre. Preuve. f est surjective car tout élément y F s écrit y = f g(y) = f(g(y)) et admet donc g(y) comme antécédent par f. On suppose maintenant que x et x sont deux éléments de E tels que f(x) = f(x ). En appliquant g, on obtient g f(x) = g f(x ), c est-à-dire x = x. Ainsi, f est injective, donc bijective et f 1 existe. De g f = id E on tire alors g f f 1 = id E f 1, c est-à-dire g = f 1. De même, par symétrie, g est bijective, de réciproque f. Chapitre 1. Notions préliminaires Proposition Soit E f F et F g G. 1. Si f et g sont injectives, alors g f est injective. 2. Si f et g sont surjectives, alors g f est surjective. 3. Si f et g sont bijectives, alors g f est bijective et (g f) 1 = f 1 g Si f est bijective, alors f 1 l est aussi et (f 1 ) 1 = f. Preuve. 1. Soit x et x distincts dans E. Alors f(x) f(x ) par injectivité de f, puis g(f(x)) g(f(x )) par injectivité de g. Donc g f est injective. 2. Soit z un élément de G. Il admet un antécédent y par g car celle-ci est surjective, et de même y admet un antécédent x par f. Alors x est un antécédent de z par g f. 3. On a(g f) (f 1 g 1 ) = g (f f 1 ) g 1 = g g 1 = id G. De même,(f 1 g 1 ) (g f) = id E. Le lemme 1.14 permet alors de conclure. 4. L énoncé résulte du lemme, grâce à f 1 f = id E et f f 1 = id F. Par exemple, une application f : E E est dite involutive lorsqu elle vérifie f f = id E. Par ce qui précède, elle est alors bijective et f 1 = f. C est le cas, entre autres, des symétries en géométrie. Les deux premières implications de la proposition 1.15 admettent des réciproques partielles. Proposition Soit E f F et F g G. 1. Si g f est injective, alors f est injective. 2. Si g f est surjective, alors g est surjective. Preuve. 1. Soit x, y E. Si f(x) = f(y), alors g(f(x)) = g(f(y)) ; donc, par injectivité de g f, x = y. Ceci prouve l injectivité de f. 2. Soit z F. Par hypothèse, il existe x E tel que z = (g f)(x) = g(f(x)). Donc, z admet f(x) pour antécédent par f.

16 20 Test 1.10 solution page 695 Test 1.11 solution page 695 Section II. Ensembles et applications Soit E un ensemble et A une partie de E. L application f : X A X de P(E) dans P(A) est-elle surjective? Injective? II.2.2. Images directes et réciproques de parties Soit E et F deux ensembles et f : E F. Pour quelles valeurs de n N l application x x n de R dans lui-même est-elle bijective? Même question lorsqu elle va de C dans lui-même. Pour toute partie A de E, on appelle image de A par f et on note f(a) l ensemble des images par f des éléments de A, soit f(a) = {f(x) /x A }. On appelle simplement image de f l ensemble f(e), parfois noté Im(f). Dans le cas E = F, une partie A de E est dite stable par f lorsque f(a) A et un élément a E est appelé un point fixe de f lorsque f(a) = a. Pour toute partie B de F, on appelle image réciproque de B par f et on note f 1 (B) l ensemble des antécédents par f des éléments de B, soit f 1 (B) = {x E /f(x) B }. Exemple On reprend la fonction sin : R R. L image de la fonction est [ 1,1] et sin([0,π]) = [0,1]. L image réciproque de {0} est l ensemble {kπ/k Z } et celle de [2,3] est l ensemble vide. Les terminologies et notations précédentes sont universellement adoptées, mais dangereuses. Attention Notations dangereuses 1. f(a) n est pas l image de A par f dans le sens où on l obtiendrait en appliquant f à A, car f ne s applique qu à des éléments de E, alors que A est une partie de E. 2. L écriture f 1 (B) ne suppose pas l existence de la fonction f 1 (c est-à-dire la bijectivité de f). Même lorsque f est bijective, f 1 (B) ne s obtient pas en appliquant f 1 à B, car f 1 ne s applique qu à des éléments de F, alors que B en est une partie. Dans le tableau 1.5, A et B sont des parties de E, X et Y des parties de F. La colonne de droite ne comporte que des égalités : la prise de l image réciproque est compatible avec les opérations ensemblistes. On voit dans celle de gauche que la prise d images directes l est beaucoup moins.

17 21 A B = f(a) f(b) X Y = f 1 (X) f 1 (Y) f 1 ( X) = f 1 (X) f(a B) = f(a) f(b) f 1 (X Y) = f 1 (X) f 1 (Y) f(a B) f(a) f(b) f 1 (X Y) = f 1 (X) f 1 (Y) Tableau 1.5. Propriétés des prises d images ensemblistes (directes et réciproques) À titre d exercice, on prouve f 1 (X Y) = f 1 (X) f 1 (Y). Soit x E. La condition x f 1 (X Y) signifie que f(x) X Y, c est-à-dire que f(x) est dans X et dans Y. Elle équivaut donc à x f 1 (X) et x f 1 (Y), ou encore à x f 1 (X) f 1 (Y). Pour justifier que l on n a pas nécessairement égalité dans f(a B) f(a) f(b), on prend A = [0,π] et B = [2π,3π]. On a alors sin(a) = sin(b) = [0,1], donc sin(a) sin(b) = [0,1], tandis que sin(a B) = sin( ) =. Chapitre 1. Notions préliminaires Test 1.12 solution page 695 Prouver l égalité f 1 ( X) = f 1 (X). Test 1.13 solution page 695 Justifier par des exemples que l on ne peut donner aucune relation générale d inclusion entre l image directe d une partie et celle de son complémentaire. II.3. Relations d ordre Une relation binaire R sur l ensemble E est une relation de E vers E. On dit que R est une relation d ordre lorsqu elle est réflexive : x E, xrx; antisymétrique : x,y E, (xry et yrx) = x = y; transitive : x, y, z E, (xry et yrz) = xrz. Deux éléments x et y de E sont dits comparables lorsque (xry ou yrx) et l ordre est dit total lorsque tous les éléments de E sont comparables. Dans le cas contraire, il est dit partiel. Une relation d ordre est souvent notée. On écrit alors x < y pour abréger (x y et x y) et on lit «x est strictement inférieur à y». Exemple L ordre usuel dans N ou dans R est un ordre total. 2. Dans P(E) la relation est un ordre. Dès que E possède deux éléments distincts a et b, cet ordre est partiel car {a} {b} et {b} {a}. 3. Dans F(R,R), on dit que f g lorsque x,f(x) g(x). L ordre ainsi défini est partiel : par exemple les fonctions sinus et cosinus ne sont pas comparables. Soit E un ensemble muni d un ordre, A une partie de E et m,m deux éléments de E. On dit que M est un majorant de A (ou que M majore A) lorsque a A, a M; m est un minorant de A (ou que m minore A) lorsque a A, a m ; M est le plus grand élément de A lorsque M A et M majore A ; m est le plus petit élément de A lorsque m A et m minore A.

18 22 Section II. Ensembles et applications On peut en effet parler «du» plus grand élément de A, car si M 1 et M 2 sont deux plus grands éléments de A, on a M 1 M 2 et M 2 M 1, d où M 1 = M 2. Exemple R + admet 0 pour plus petit élément, mais n a pas de plus grand élément. Sa partie [0,1[ est majorée par 1 et admet 0 comme plus petit élément, mais n a pas de plus grand élément puisque pour tout x [0,1[ le nombre x+1 2 est dans [0,1[ et strictement plus grand que x. 2. P(E) muni de l inclusion admet et E comme plus petit et plus grand éléments. Si A = {X,Y}, X Y est un majorant de A et X Y en est un minorant. Soit (E, ) et (F, ) deux ensembles ordonnés et f : E F. On dit que f est croissante lorsque f est strictement croissante lorsque f est décroissante lorsque f est strictement décroissante lorsque x,y E, x y = f(x) f(y); x,y E, x < y = f(x) f(y); x,y E, x y = f(x) f(y); x,y E, x < y = f(x) f(y). Une fonction (strictement) monotone est une fonction (strictement) croissante ou décroissante. On retiendra que toute fonction strictement monotone définie sur un ensemble totalement ordonné est injective. Exemple Les fonctions x x 3 et x e x sont strictement croissantes sur R. 2. Soit E un ensemble. L application X X est strictement décroissante de P(E) dans lui-même, et si A est une partie de E, l application X A X est croissante de P(E) dans P(A). Test 1.14 solution page 695 Soit E et F deux ensembles. Sur l ensemble F E on définit la relation R par frg f(e) g(e). Est-ce une relation d ordre? Test 1.15 solution page 696 La fonction f : x 1 x définie de R dans lui-même est-elle monotone? II.4. Relations d équivalence On dit qu une relation binaire R sur un ensemble E est une relation d équivalence lorsqu elle est : réflexive : x E, xrx ; symétrique : x,y E, (xry yrx) ; transitive : x,y,z E, (xry et yrz) = xrz. Lorsque x et y sont en relation pour R, on dit simplement qu ils sont équivalents. Exemple La relation d égalité entre les éléments d un ensemble E est clairement une relation d équivalence. 2. Soit E et F deux ensembles et f une application de E dans F. On appelle relation nucléaire associée à f la relation R f définie sur E par x,y E, xr f y f(x) = f(y).

19 On retrouve ainsi les relations «avoir même nombre d éléments», pour les ensembles finis ; «avoir même degré», pour les polynômes ; «avoir même direction», pour les droites du plan ; «avoir même parité», pour les entiers. Plus généralement, si p est un entier non nul, on dit que m et n sont congrus modulo p lorsqu ils ont même reste dans la division euclidienne par p. Cela revient à dire que leur différence est divisible par p. 3. On généralise ce dernier exemple à R en disant, lorsque a est un réel non nul, que les nombres x et y sont congrus modulo a lorsque leur différence x y est de la forme ka pour un entier k Z. La congruence modulo 2π est d un usage universel du fait de la périodicité des fonctions trigonométriques. 23 Chapitre 1. Notions préliminaires Définition Soit E un ensemble et R une relation d équivalence sur E. Pour tout x E on appelle classe d équivalence de x pour la relation R l ensemble des éléments équivalents à x, soit C x = {y E / xry }. Exemple DansR, la classe dexpour la congruence modulo 2π est{x+2kπ/k Z}. Proposition Soit R une relation d équivalence sur un ensemble E. Les classes d équivalence pour R sont non vides, deux à deux disjointes et ont E pour réunion. On exprime ces trois propriétés en disant qu elles forment une partition de E. Preuve. La réflexivité de R donne xrx, d où x C x pour tout x. Cela prouve d abord que chaque C x est non vide, ensuite que la réunion des C x est égale à E. Si, maintenant, deux classes C x et C y ne sont pas disjointes, leur intersection contient un élément z pour lequel on a, en utilisant la symétrie de R, xrz et zry. Par transitivité, on en déduit xry et donc C x = C y. Exemple La partition de Z induite par la relation «avoir même parité» a deux éléments : la classe de 0, qui est l ensemble des nombres pairs et celle de 1 formée des nombres impairs. Test 1.16 solution page 696 Pour tout entier n 3, on note E l ensemble des parties à trois éléments de [1, n] et on définit une relation R sur E par XRY X Y. Pour quelles valeurs de n s agit-il d une relation d équivalence? Test 1.17 solution page 696 Soit R la congruence modulo 2π dans R. Les réels x,x,y et y étant quelconques, montrer que si xrx et yry, alors on a (x+y)r(x +y ). A-t-on aussi (xy)r(x y )?

20 24 III Préparation à l interrogation orale ENTRAINEMENT Colle 1.1 solution page 765 Soit E f F g G h E. On note a = h g f, b = g f h et c = f h g. 1) Montrer que si deux des trois fonctions a,b et c sont injectives et l autre surjective, alors f,g et h sont toutes bijectives. 2) Montrer que si deux des trois fonctions a,b et c sont surjectives et l autre injective, alors f,g et h sont toutes bijectives. Colle 1.2 solution page 765 On définit f : R 2 R 2 par f((x,y)) = (x+y,x y). 1) Montrer que f est bijective. 2) Déterminer f(z 2 ) et f 1 (Z 2 ). Colle 1.3 solution page 765 Soit f : E F. 1) On définit l application f # : P(E) P(F) en posant A P(E), f # (A) = f(a). Montrer que f # est injective si et seulement si f l est. 2) On définit l application f # : P(F) P(E) en posant A P(F), f # (A) = f 1 (A). Montrer que f # est injective si et seulement si f est surjective. IV Exercices 1.1 solution page 799 f étant une fonction définie sur R, que signifie chacun des énoncés suivants? Peut-on trouver une fonction qui le vérifie? Une fonction qui ne le vérifie pas? 1) x, T, f(x+t) = f(x) ; 2) x, T 0, f(x+t) = f(x) ; 3) T, x, f(x+t) = f(x). 1.2 solution page 799 Soit E un ensemble et A une partie de E. 1) Exprimer le fait que A est un singleton au moyen des connecteurs propositionnels, de variables quantifiées et des seules relations d appartenance et d égalité. 2) Donner la négation de l énoncé précédent. 1.3 solution page 799 Soit E un ensemble et A,B,C trois éléments quelconques de P(E). 1) Montrer que l un des deux ensembles X = A (B C) et Y = (A B) C contient l autre. 2) Donner une condition nécessaire et suffisante simple pour que ces deux ensembles soient égaux.