Plan de la séance du 18 septembre Cours de gestion financière (M1) Objectif pédagogiques de la séance. Risque (partie 2)

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1 Cours de gestion financière (M1) Séance du 18 septembre 015 Risque CAC 0 GR (gross return / dividendes réinvestis XPAR/quotes Variance du taux de d un portefeuille de deux titres, 1 Plan de la séance du 18 septembre 015 Rentabilité Définition du taux de Rentabilité historique et espérée Rentabilité d un portefeuille Risque écart-type (volatilité) du taux de Diversification des risques Coefficient de corrélation linéaire Diversification du risque Compléments Espérance de Caractéristiques des sociétés et s boursières Exercice : actifs risqués parfaitement corrélés Objectif pédagogiques de la séance Savoir calculer un taux de d un titre ou d un portefeuille de titres Comprendre les notions de historique et espérée et leurs limites Savoir calculer ces s historiques et espérées Comprendre les notions de risque de marché liés à l investissement en actions Savoir calculer un écart type d un taux de Comprendre la notion de diversification des risques Savoir manipuler un coefficient de corrélation 3 Risque (partie ) Placement sans risque Fluctuations des s Une approche statistique du risque Variance et écart-type des s Définition Exemples numériques L indice VIX Rappels de probabilité Propriétés de la variance et de l écart-type Exercices Corrigés

2 Placement sans risque Placement risqué 15,00% 10,00% Espérance d une variable aléatoire constante La valeur prise par ne dépend pas de l état de la nature En finance, il s agira par exemple de la d un placement sans risque Considérons un placement sans risque de 1 au taux d intérêt. Ce placement fait à la date 0 rapporte la somme à la date 1 On aura alors En mettant en facteur, on obtient Comme L espérance (moyenne) de est égale à l unique valeur prise par 5 Les taux de fluctuent beaucoup au cours du temps La variance ou l écart-type du taux de est une mesure de la dispersion des s Autour de leur moyenne C est une mesure simple et très couramment utilisée du risque lié à un titre Il en existe beaucoup d autres mesures de risque, mais l écarttype ou volatilité reste le mètre étalon (benchmark) 5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% Mètre étalon 6 Placement risqué Variance du taux de 15,00% 10,00% 5,00% Périodes de forte et faible volatilité du taux de Variance de la Définition la variance de notée Var est égale à : K Var R p( k) R( k) ER k1 écart à la moyenne écart quadratique écart quadratique moyen Par définition de l espérance mathématique Var 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% La variance est d autant plus élevée que la dispersion des s autour de la moyenne est élevée Variance de la quotidienne de l action Peugeot Var R 0,

3 Écart-type des s Définition de l écart-type des taux de R VarR L écart-type est une mesure de la dispersion des s autour de la moyenne. même dimension que la Écart-type de la quotidienne de l action Peugeot Var R,89% Plus la dispersion autour de la moyenne est élevée, plus l écarttype est élevé 9 Écart-type : illustration numérique On suppose que les dernières s quotidiennes de l action LVMH sont de Les probabilités assignées à chacune de ces quatre journées sont de %, 10 1%, 1 1%, 1 1% L espérance du taux de de l action est égale à : % La variance du taux de est égale à : L écart-type du taux de est égal à la racine carrée de la variance soit L écart-type est bien lié à la dispersion des s 10 Remarque sur la détermination des probabilités Dans l exemple précédent, on a assigné la même probabilité à chaque journée de calcul des s Ceci correspond également à l histogramme des s déjà présenté pour Peugeot Nombre total de jours Nombre de jours où la est de Fréquence correspondante On obtient donc la distribution de probabilité suivante 1% avec la probabilité 0,5 1% avec la probabilité 0,5 On peut retrouver que l espérance est égale à 0% et l écart-type à 1% On parle de distribution empirique des s 11 Écart-type : illustrations numériques (suite) Les dernières s quotidiennes de l action LVMH sont maintenant de Soit le double des valeurs retenues dans l exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces journées restent de 1 L espérance du taux de de l action est égale à : %, 10 1%, 1 1%, 1 1% La variance du taux de est égale à : L écart-type du taux de est égal à la racine carrée de la variance soit % L interprétation intuitive de l écart-type comme dispersion des s reste valide Si on multiplie toutes les s observées par, on multiplie également l écart-type par 1

4 Écart-type : illustrations numériques (suite) Les dernières s quotidiennes de l action LVMH sont maintenant de Soit l opposé des valeurs retenues dans l exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces journées restent de 1 L espérance du taux de de l action est égale à : %, 10 1%, 1 1%, 1 1% La variance du taux de est égale à : La variance du taux de reste égale à L écart-type du taux de ; égal à la racine carrée de la variance, reste égal à % comme dans le transparent précédent Si on multiplie toutes les s observées par 1, on ne change pas l écart-type. C est logique puisque la dispersion des s autour de la moyenne n a pas changé. 13 Écart-type : illustrations numériques (suite) Les dernières s quotidiennes de l action LVMH sont maintenant de On a rajouté 1% à la première suite de valeurs %, %, %, % Les probabilités assignées à chacune de ces journées restent de 1 L espérance du taux de de l action est égale à : % %, 10 1%, 1 1%, 1 1% La variance du taux de est égale à : La variance du taux de reste égale à 1. L écart-type du taux de ; égal à la racine carrée de la variance, reste égal à 1% comme dans le premier transparent. Ici, on a décalé toute les s d une quantité constante Ceci change la moyenne, mais pas les écarts à la moyenne La dispersion des s autour de la moyenne n a pas changé. 1 Les fluctuations du risque VIX : l indice de la peur Le VIX est un indice mesurant le niveau de la volatilité des taux de des actions américaines Plus il est élevé, plus le risque perçu des actions est élevé Fin 01, nous étions revenu au niveau de début 007. Qu en est il aujourd hui? Quelques propriétés de la variance : Ceci résulte directement de la définition Cas où la n est pas aléatoire : ne dépend pas de l état de la nature Notons-la cette valeur unique : taux de du placement sans risque Si la n est pas aléatoire, sa variance est nulle 15 16

5 Scalaire = grandeur non aléatoire Propriétés de la variance et de l écart-type Si est un «scalaire», alors Var R VarR R R Si ou si Alors n est pas aléatoire et Un placement dont la n est pas aléatoire est appelé placement sans risque Ou prêt sans risque risk-free On note sa R, R ou Rentabilité ne dépend pas de l état de la nature R ( k) R, k 1,, K F F F f r f Corrigés : voir transparents suivants En particulier, pas de risque de défaut 17 Corrigé de l exercice : Revenons à la définition de la variance : D après la linéarité de l espérance D où, en factorisant par : Var En utilisant la définition de l écart-type Où est la valeur absolue de NB : si Var 18 Corrigé de l exercice (suite) ou En revenant à la définition de la variance k1 Il s agit de la probabilité de l état k On en déduit que : Et donc que : Pour tout état k tel que K pk ( ) Rk ( ) E R 0 est donc constant et égal à son espérance pour tout état de la nature de probabilité non nulle Les états de probabilité nulle n ont pas importance économique Et n interviennent pas dans les calculs d espérance ou de variance On rappelle que Autre écriture de la variance Démonstration : Prenons l espérance du terme de droite est un scalaire En utilisant la linéarité de l espérance : On peut donc réécrire le terme en rouge comme 19 0

6 Un premier résumé de choses à savoir aléatoire, (scalaire) s aléatoires, Diversification du risque (partie 3) Risque d un portefeuille Variance du taux de d un portefeuille Coefficient de corrélation linéaire Définition Illustrations numériques Exercices et compléments sur la variance et le coefficient de corrélation linéaire Effets de portefeuille Comment réduire le risque sans diminuer la attendue? Combien de titres faut-il? Les limites à la diversification des risques En ordonnées, les s annuelles en % scalaires 1 Risque d un portefeuille Rentabilités annuelles du portefeuille précédent Historique de s de portefeuille Plus grandes sont les fluctuations, plus grand est le risque 3 Risque d un portefeuille Rentabilités quotidiennes de l indice footsie. Forte augmentation de la volatilité après la faillite de Lehman Brothers Approche directe : si on connaît la distribution des s d un portefeuille, on peut calculer son risque (écart type des taux de ) Histogramme des s annuelles de l indice S&P500

7 Risque d un portefeuille Ordre de grandeur de l écart-type des s annuelles de portefeuilles d actions : 0% 5