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1 Résistance des Matériau / L2-SI L2-SI Résistance des Matériau. Michel SUDRE Notes de ours. Eercices. a L D E Juin 213 1

2 Résistance des Matériau / L2-SI hap: Statique lane. 1 orces 1.1 représentation d une force dans le plan π(,,) Une force est caractérisée par: - sa ligne d action définie par la droite - son sens et son intensité définis par le vecteur Il suffit donc de connaitre un point du support et le vecteur. 1.2 moment de la force par rapport à un point du plan π Le moment en de la force, noté (), est le produit vectoriel ^ e moment eprime la tendance que possède la force à provoquer une rotation autour de l ae (normal au plan π). d 2

3 Résistance des Matériau / L2-SI Il est aisé de vérifier que ce vecteur (): positif (de La norme de - ne dépend pas du point pris sur le support - est dirigé suivant + si la rotation s effectue dans le sens conventionel vers ) et suivant - dans le cas contraire. () qui mesure cette tendance à provoquer une rotation est égale au produit de l intensité de par la distance d entre le point et le support de. Sur la figure suivante, on considère 2 points et Q. + 2d d Q n remarque: - que le moment () = ^ est > alors que () = Q ^ est <. - que l intensité du moment () est double de celle du moment (). La relation qui lie () et () se démontre simplement: Q Q Q () Q = () + Q ^ 1.3 représentation d un sstème de forces dans le plan π(,,) onsidérons dans le plan π un ensemble de n forces i caractérisées par un point i de la ligne d action et par le vecteur : i 1 n 1 i i n -on définit la somme S = dont les composantes suivant les aes et sont notées X et Y. n i=1 i 3

4 Résistance des Matériau / L2-SI étant un point arbitraire, n -on définit le moment résultant = i ^ i qui est la somme des moments en de chaque force et dont la projection suivant est notée N. Du point de vue de la statique, les 3 composantes X, Y et N caractérisent complètement le sstème de forces i. n peut réduire l ensemble des forces i à X, Y et N. e sont les éléments de réduction en du sstème de forces i. Deu sstèmes aant en les mêmes éléments de réduction seront dits équivalents. i=1 onsidérons 2 points et Q et cherchons à établir la relation entre et : Q n Qi^ i n n = = (Q + i ) ^ i = Q^ i i=1 i=1 i=1 + n i ^ i=1 i = Q^ S + Q Q = + Q^ S 3 situations peuvent se présenter: (1) si S = alors l ensemble des n forces i se réduit à une force unique de vecteur S dont la ligne d action est l ensemble des points tels que =. (2) si S = alors la relation = + indique que le moment Q Q^ prend la même valeur quelque soit le point où on l eprime. n pose =. Q L ensemble des N forces i se réduit à un couple dont le moment est. = (3) si S = et =, alors, la somme est nulle et quelque soit le point où on l eprime, le moment est nul. L ensemble des N forces i se réduit à éro. (1) (2) (3) S 4

5 Résistance des Matériau / L2-SI 2 Statique plane 2.1 classification des forces près avoir choisi le solide (ou l ensemble de solides) à isoler, il convient de faire le bilan de toutes les actions etérieures. es actions sont: -soit des forces ou des couples connus -soit des actions de liaison qui introduisent autant d inconnues scalaires (forces ou couples) qu il a de mouvements interdits par la liaison. Soit par eemple le sstème constitué d une poutrelle [] de poids sur laquelle se déplace un chariot soulevant une charge Q. La poutrelle est supposée articulée en, simplement appuée en. Q près avoir isolé l ensemble (poutrelle + chariot) le bilan de toutes les actions etérieures est le suivant: -forces connues: et Q -actions inconnues en : X et Y qui correspondent au 2 mouvements interdits. -action inconnue en : Y qui correspond au seul mouvement interdit. Y Y X Q 2.2 principe de la statique Quand un solide (ou un ensemble de solides) est en équilibre, le sstème des forces etérieures qui agissent sur lui se réduit à éro. S = et = ela conduit à 3 relations scalaires X=, Y=, N=. La première traduit un bilan nul des forces suivant, la deuième traduit un bilan nul des forces suivant, la troisième traduit un bilan nul des moments suivant de toutes les actions (quelque soit le point choisi pour calculer ce moment). 5

6 Résistance des Matériau / L2-SI hap: Elasticité. 1 ontraintes 1.1 vecteur contrainte onsidérons à l intérieur d un solide, en un point, un petit cube de dimensions infinitésimales dont les faces sont perpendiculaires au aes du repère (,, )., τ τ df ds σ La matière etérieure eerce, sur le petit cube isolé, des efforts élémentaires qui sont différents sur chacune des 6 faces. Ils sont notés df n ( n représentant la normale à la face). ar eemple sur la face de normale de surface ds s eerce df. ar définition, le vecteur contrainte agissant sur la face de normale est: df =,. ds la contrainte s eprime donc en N/m 2. n utilise plus généralement le Mégaascal. our un point donné, il eiste donc un vecteur contrainte différent pour chaque face considérée. Eprimons dans la base (,, ) le vecteur contrainte agissant sur la face de normale. Sa composante suivant est la projection suivant la normale à la face. n l appelle contrainte normale et on la note σ. Une contrainte σ > correspond à une sollicitation de tension. Une contrainte σ < correspond à une sollicitation de compression., Les composantes suivant et sont appelées contraintes tangentielles et sont notées τ et τ. Le signe des composantes τ et τ ne permet aucune interprétation phsique. De façon identique, et,, sont définis sur les faces de normales et. 6

7 Résistance des Matériau / L2-SI n remarque que les 3 contraintes normales sont affectées d un seul indice qui fait référence à la facette. Les contraintes tangentielles sont affectées de 2 indices: le premier qui fait référence à la facette, le second qui fait référence à la composante. 1.2 matrice des contraintes Si on range dans une matrice les 3 vecteurs contraintes,,,,, agissant sur les 3 faces de normales +, +, +, on obtient [σ] : matrice des contraintes en. [σ] = σ τ τ τ σ τ τ τ σ Les équations traduisant l équilibre des moments agissant sur le petit cube élémentaire conduisent à montrer que: τ =τ, τ =τ, τ =τ. La matrice [σ] est donc smétrique. n en conclut qu elle ne contient que 6 termes indépendants. n peut montrer que ces 6 informations suffisent à caractériser l état de contraintes en. insi, si on veut calculer le vecteur contrainte,u agissant en sur une facette de normale u quelconque, il suffit de multiplier la matrice [σ] par le vecteur unitaire u eprimé dans la base (,, ): [σ],u u = La contrainte normale agissant sur cette facette de normale sera ensuite obtenue en projetant sur : σ u,u u ([σ] u) =.u u La contrainte de cisaillement agissant sur cette facette de normale u dans la direction u est calculée en projetant sur : 1.3 condition au limites τ uv τ uv v,u v ([σ] u) =.v onsidérons à la frontière du solide: f -un point où s eerce un effort f par unité de surface -une facette tangente en à la frontière et de normale., en, on peut poser = f. 7

8 Résistance des Matériau / L2-SI 1.4 état plan de contraintes onsidérons à la frontière du solide: -un point où ne s eerce aucune sollicitation -une facette tangente en à la frontière et de normale. Si aucune sollicitation etérieure ne s eerce en, on peut poser =,. La matrice des contraintes [σ] prend alors la forme particulière suivante: [σ] = σ τ τ σ Il s agit d un état plan de contraintes. ette situation se rencontre lors du dépouillement de jauges de déformations, les jauges étant collées à la surface libre d un solide. Dans le plan (, ), calculons, [σ] u et = [σ] u.v : σ u τ uv,u = ( ).u ( ),u = σ τ τ σ cos(α) sin(α) v u σ u = σ.cos 2 (α)+σ.sin 2 (α)+2τ.sin(α)cos(α) α τ uv =(σ -σ ).sin(α)cos(α)+τ.(cos 2 (α)-sin 2 (α)) herchons les valeurs de α telles que τ uv =. e sont les directions normales au facettes qui ne subissent pas de cisaillement. En utilisant l arc double, on obtient: τ uv= σ -σ 2.sin(2α) +τ.cos(2α) τ uv = 2τ tan(2α)= σ -σ n obtient 2 directions perpendiculaires. herchons les valeurs de α telles que σ u est mini ou mai. our cela, dérivons par rapport à α et posons que cette dérivée est nulle. 8

9 Résistance des Matériau / L2-SI 2τ n trouve à nouveau. tan(2α)= σ -σ Les 2 directions correspondantes sont appelées directions principales de contrainte. Les contraintes normales agissant dans ces directions sont appelées contraintes principales. 1.5 contraintes principales Revenons au cas général. Il eiste en tout point une base ( u 1, u 2, u 3 ) dans laquelle la matrice [σ] s écrit sous forme diagonale: σ 1 [σ] = Les 3 directions perpendiculaires définies par u 1, u 2 et u 3 correspondent en au facettes qui subissent une contrainte normale pure (pas de composante tangentielle). Les contraintes normales σ 1,σ 2,σ 3 agissant sur ces facettes sont les 3 contraintes principales. σ 2 σ 3 2 Déformations 2.1 matrice de déformation n s intéresse à la déformation de la matière en (,,). d n montre que si Q est infiniment voisin de ( Q = d ) alors il eiste la relation sui- d vante entre les déplacements de ces 2 points: u (Q) = u () + Ω ^ Q + [ε] Q. Le premier terme (1) correspond à un déplacement d ensemble (changement de place). n reconnait une relation de tpe torseur des petits déplacements. Le second terme (2) correspond à une déformation (changement de forme) de la matière au voisinage de. La matrice [ε] est la matrice des déformations en. (1) (2) [ε] = ε ε ε ε ε ε ε ε ε ette matrice est smétrique. 9

10 Résistance des Matériau / L2-SI Les termes de [ε] s epriment en fonction du déplacement u () = u v w par les relations: ε = ε = ε = u v w ε =ε = 1 2 ( ) ε =ε = v + w 1 w u 2 ( + ) ε =ε = 1 2 ( ) u + v herchons à interpréter phsiquement les termes de [ε]. o π/2 α Sur la diagonale, ε, ε et ε sont les dilatations relatives. our comprendre ce que représente ε, il faut tracer sur la pièce non déformée un petit segment de longueur dans la direction de. l application des efforts, le petit segment subit un changement de place et un changement de longueur ( ). o o - n ne s intéresse qu à ce changement de longueur en posant: ε = o. Si on veut calculer la dilatation linéaire dans une direction quelconque, il suffit de multiplier la matrice [ε] par l unitaire u puis de projeter le résultat sur u: Hors de la diagonale, ε, ε et ε sont des distorsions. ε u ([ε] u) =.u our comprendre ce que représente ε, il faut tracer sur la pièce non déformée une petite croi dont les aes sont dans les directions de et de. l application des efforts, la petite croi subit un changement de place et une distorsion. L angle initialement égal à π/2 vaut α. n ne s intéresse qu à la distorsion angulaire en posant:. u 2ε = π/2 - α o 1

11 Résistance des Matériau / L2-SI 2.2 déformations principales La matrice [ε] étant smétrique, il eiste une base ( u 1, u 2, u 3 ) dans laquelle elle s écrit sous forme diagonale. Les 3 directions perpendiculaires définies par u 1, u 2, u 3 sont en les 3 directions de distorsion nulle. 3 Lois de comportement our un matériau linéaire isotrope, il eiste des relations (appelées Lois de comportement) entre déformations et contraintes faisant intervenir 3 coefficients caractéristiques du matériau: le module de Young E [Ma], le coefficient de oisson ν [sans dimension], le coefficient de dilatation thermique α [ -1 ]. Les 4 causes de la dilatation ε d une fibre de direction sont: (1) la présence d une contrainte σ dans cette direction. est la loi de Hooke. (2) la présence d une contrainte σ par effet oisson. (3) la présence d une contrainte σ par effet oisson. (4) une variation de température T. n écrit par superposition: n obtient de manière analogue: ε σ ν σ = - ν σ + E (1) (2) (3) (4) our les relations entre cisaillement et distorsion angulaire: E - α T E ε σ ν σ = - ν σ + E E - α T E ε σ ν σ = - ν σ + E E - α T E 2ε τ = 2ε = τ 2ε τ = E avec = module de cisaillement 2(1+ν) Le module de Young E [Ma] et le coefficient de oisson ν sont obtenus par un essai de traction uniaial. S L 11

12 Résistance des Matériau / L2-SI Valeurs usuelles: Matériau E [a] ν [sans dimension] α [ -1 ] cier lliage d alu Limite élastique - ontrainte équivalente: La contrainte équivalente de VonMisès est calculée selon la formule suivante: σ eq 2 = σ 1 2 +σ 2 2 +σ 3 2 -σ 1 σ 2 -σ 2 σ 3 -σ 3 σ 1 Tous les résultats présentés dans ce chapitre supposent que la limite élastique du matériau n est pas dépassée. r,cette limite est atteinte (et le matériau commence localement à plastifier) quand σ eq = R e (limite élastique issue de l essai de traction uniaial) Les programmes de calcul permettent d afficher sur le modèle de la structure les cartes de visualisation des champs de contraintes. Les cartes donnant la variation des composantes de contrainte (σ,σ...) ne donnent qu une image partielle et ne permettent aucune interprétation sur les risques de dépassement de R e. De plus elles dépendent du repère dans lequel elles sont eprimées. La contrainte équivalente de Von Misès est une combinaison de ces composantes et ne dépend pas du repère de travail. Seule l image de la carte des contraintes équivalentes de Von Misès permet de visualiser clairement la(les) one(s) soumise(s) au risque de plastification. 12

13 Résistance des Matériau / L2-SI hap: outres. 1 Définitions et Hpothèses 1.1 définitions Une poutre est définie par une courbe () (la ligne moenne) et par une section droite perpendiculaire à () dont le centre géométrique décrit la ligne moenne: amont aval () + Nous supposerons que la forme de la section ne varie pas. Une origine, un sens de parcours et une abcisse curviligne sont mis en place. La section droite de centre et d abcisse sépare la partie amont (tronçon de poutre situé avant ) et la partie aval (tronçon de poutre situé après ), conformément au sens de parcours. Le sstème de coordonnées (,,, ) est le repère global dans lequel seront eprimés les déplacements. Un autre sstème de coordonnées (,,, ) est défini. est le repère local que nous allons préciser: est le centre géométrique de la section. est tangent en à la ligne moenne dirigé dans le sens positif, et sont les directions principales de la section droite. + Les contraintes seront eprimées dans ce repère. 13

14 Résistance des Matériau / L2-SI omment trouver les directions principales? - si la section possède un ae de smétrie, est situé sur cet ae et l ae définit une direction principale. 1.2 géométrie des sections droites Dans des aes centrés en : n désigne par S l aire de la section droite. Les coordonnées du centre sont données par les formules: ds = S. ds = S. ds est un élément surfacique. n appelle moment quadratique de la section par rapport à : I o = n appelle moment quadratique de la section par rapport à : I o = es quantités s epriment en m 4. 2 ds 2 ds Si les aes sont centrés en, alors on calcule I et I. Les formules de Hughens s écrivent: I o =I + S. I o =I + S. 2 2 Dans les aes principau centrés en : - Le moment quadratique de la section par rapport à Y est I = - Le moment quadratique de la section par rapport à Z est I = 2 ds 2 ds - Le moment quadratique de la section par rapport à X est I X = I + I 14

15 Résistance des Matériau / L2-SI 1.3 contraintes Dans les aes principau centrés en, considérons dans la section droite un point (,). En ce point s eerce un vecteur contrainte agissant sur la face de suivant et sont τ et τ. Le vecteur est le vecteur cisaille- normale. Sa composante suivant est la contrainte normale σ. Les composantes τ = τ + τ ment. amont τ τ, τ σ Hpothèse fondamentale: on considère que, dans les ones courantes (loin des liaisons et loin des points d application des efforts), les autres composantes: σ, σ et τ sont négligeables devant σ, τ et τ. La matrice des contraintes [σ] prend donc la forme particulière suivante: [σ] = σ τ τ τ τ 1.4 torseur des efforts intérieurs Nous allons eprimer sur la section droite, le torseur écrit en des efforts dus au champ des contraintes σ, τ et τ. σ ds = N (τ - τ )ds = M, ds = τ ds = T ^ ds =, σ ds = M τ ds = T -σ ds = M est le torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion en. 15

16 Résistance des Matériau / L2-SI La composante sur de la résultante est notée N : effort Normal. Les composantes sur et de la résultante sont notées T et T : efforts Tranchants. La composante sur du moment en est notée M : moment Longitudinal. Les composantes sur et du moment en sont notées M et M : moments de leion. En pratique, le calcul de ces composantes N, T, T, M, M et M va s effectuer directement à partir des efforts eercés en aval (ou en amont) de la section considérée. En effet, si on isole la partie amont, elle est en équilibre sous l effet: -du torseur des efforts intérieurs sur la section de centre, -du torseur de tous les efforts (connus ou de liaison) eercés en amont. donc: torseur en des efforts intérieurs + torseur en des efforts eercés en amont = torseur nul. n en déduit que: torseur en des efforts intérieurs = - (torseur en des efforts eercés en amont ) = + (torseur en des efforts eercés en aval ) 2 Effort Normal et Moments de leion 2.1 contraintes et déformations Dans ce cas:, ds = σ ds = N ^ ds = σ ds ds, et + -σ = M + M La matrice des contraintes [σ] prend la forme particulière suivante: σ [σ] = 16

17 Résistance des Matériau / L2-SI Si M = et M =, alors la poutre travaille à l effort normal pur. La section droite subit une translation d ensemble u suivant : u σ = N S haque fibre de direction subit le même allongement ε. La contrainte σ est donc N identique en tout point (,). n obtient: σ = et ε N = du. S d = ES our une poutre droite d ae et de longueur L, chaque tranche d épaisseur d subit une variation de longueur ε d. Donc la variation totale de longueur est: L ε d = L N ES d Si N = et M Y =, alors la poutre travaille en fleion pure dans le plan. La section droite subit une rotation d ensemble Θ autour de : u σ Θ haque point, situé à une distance de la fibre moenne, subit (dans l hpothèse des petits déplacements) un déplacement u= -Θ suivant. La déformation en de la fibre de direction et de cote est donc ε = - dθ. d 17

18 Résistance des Matériau / L2-SI σ La contrainte qui règne en dans cette fibre vaut: -E dθ. d σ n remarque que est une fonction linéaire de. Si on calcule le moment M par -σ ds, on obtient: M = E dθ 2 ds = E dθ I d où σ. d d = M I our une poutre droite d ae, on désigne par v( ) la translation d ensemble suivant de la section droite. Dans ce cas, la rotation d ensemble Θ = dv. d ela conduit, en remplaçant de la déformée: dθ d dans l epression de M, à l équation différentielle =EI d 2 d 2 v M 18

19 Résistance des Matériau / L2-SI Eercices. Eercice 1: Dans chacun des cas suivants, dessiner la force S équivalente au sstème de forces données. sstème 1: sstème 2: sstème 3: sstème 4: 1 3 3N/cm 2 échelle: 1cm 1N effort distribué Eercice 2: Dans les 2 cas suivants, tracer la force à ajouter au sstème de forces données pour que l ensemble soit équilibré. sstème 1: sstème 2: 2 2N/cm 1 effort distribué 3 échelle: 1cm 1N 19

20 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 3: Rappel des smboles utilisés pour représenter les liaisons: encastrement appui simple articulation glissière 1 2 X X X X X Y M Y M Y M Y M Y M réciser les mouvements autorisés et entourer les composantes d effort transmises par la liaison. Eercice 4: our maintenir un câble tendu (tension = 4 N) on utilise un chevalet constitué de 2 montants [] et [] articulés entre-eu en. câble Les poids étant négligés, déterminer toutes les actions de liaison. Traiter le problème graphiquement puis analtiquement. Eercice 5: Un pont roulant est constitué par une poutrelle [] de longueur 6m, de poids =15N sur laquelle se déplace un chariot soulevant une charge Q=45N. La poutrelle est supposée articulée en, simplement appuée en. Le chariot se trouve au 1/3 de la longueur. Q Quelles sont les actions en et? quelle distance de doit se trouver le chariot pour que l action en soit le double de l action en? 2

21 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 6: Soit une plaque constituée d un matériau homogène et isotrope. n a dessiné,dans l état naturel, un quadrillage orthogonal de directions et. ette plaque est ensuite soumise à des sollicitations qui la déforment. râce à des moens optiques, on a effectué les mesures suivantes: - Le petit segment devient avec: = Le petit segment devient avec: = Dans la direction qui n a pas changé, on observe un allongement relatif ε = Enfin, l angle de π/2 formé par les directions et a varié et devient: (π/ ) rd. Eprimer le tenseur de déformation [ε]. Tracer en sur la pièce: - les directions de dilatation mai et mini, - la direction de dilatation nulle, - les directions pour lesquelles il n a pas de variation angulaire. Eercice 7: Soit une plaque rectangulaire abh, sollicitée en tension dans la direction. La résultante des actions de tension est. Le matériau a pour module élastique E et pour coefficient de oisson ν. α u h a b le point, la matrice des con- n suppose que l état de contraintes est uniforme. traintes s écrit: σ [Σ] = Eprimer σ en fonction de, b et h. alculer la contrainte normale qui règne dans la fibre de direction u qui fait un angle α avec. 21

22 Résistance des Matériau / L2-SI alculer la contrainte qui cisaille cette fibre de direction u dans la direction v u. Eprimer le tenseur de déformation [ε] en fonction de E,ν,, b et h. alculer la dilatation linéaire de la fibre de direction u qui fait un angle α avec. En déduire la valeur de α pour laquelle cette dilatation est nulle. Eprimer la variation de longueur, de largeur et d épaisseur de la plaque. pplication numérique: a=2 cm b=1 cm h=5 mm =5 N E=7 a ν=.3 Eercice 8: La plaque rectangulaire abh, sollicitée en tension de résultante est maintenant percée en son centre d un trou circulaire de raon R= 1cm. E D L état de contraintes n est plus uniforme. Loin du trou (en ), le tenseur des contraintes s écrit toujours: σ [Σ] = Quelle est sa forme en et E situés en bord du trou? Une étude par éléments finis a montré que la contrainte σ varie de la manière suivante le long de D: σ (Ma) 3 avec le trou sans le trou D Y (cm) 5 Montrer qu on retrouve bien la résultante. La contrainte σ dans la fibre qui borde le trou prend la valeur de 3 Ma. alculer le coefficient de concentration de contraintes. 22

23 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 9: ompléter le tableau suivant: Y I Y I Z Z a b Y R Z e<<r Y R Z Y R Z e<<r Y R Z e<<a et b Y Z a e<<a et b b Y Z b a 23

24 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 1: Une poutre [], de longueur L=4m, est supposée articulée en, simplement appuée en. Elle subit une charge =6N dont le support passe par milieu de []. Le poids est négligé. Quelles sont les actions en et? Déterminer N, T Y et M Z. Tracer les diagrammes. Eercice 11: Une poutre [], de longueur L=4m, est supposée articulée en, simplement appuée en. Elle subit une charge =6N inclinée de 45 dont le support passe par milieu de []. Le poids est négligé. Quelles sont les actions en et? Déterminer N, T Y et M Z. Tracer les diagrammes. Eercice 12: Une poutre [], de longueur L=4m, est supposée articulée en, simplement appuée en. Elle subit une charge uniformément distribuée d intensité p=15n/m. p Quelles sont les actions en et? Déterminer T Y et M Z. Tracer les diagrammes. Eercice 13: Une poutre [], de longueur L=4m, est supposée articulée en, simplement appuée en. Elle subit un couple =1 Nm en milieu de []. Le poids est négligé. Quelles sont les actions en et? Déterminer T Y et M Z. Tracer les diagrammes. 24

25 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 14: Une poutre [], de longueur L=4m, est supposée articulée en, simplement appuée en milieu de []. Elle subit sur [] une charge uniformément distribuée d intensité p=15n/m et un couple =1 Nm en. Le poids est négligé. Quelles sont les actions en et? Déterminer T Y et M Z. Tracer les diagrammes. Eercice 15: Une poutre [], de longueur L=4m, est supposée encastrée en, simplement appuée en. Les tronçons [] et [] sont articulés en milieu de []. Elle subit sur [] une charge uniformément distribuée d intensité p=15n/m. Le poids est négligé. Quelles sont les actions en, et? Déterminer T Y et M Z. Tracer les diagrammes. Eercice 16: Reprendre l eercice 4 du chevalet constitué de 2 montants [] et [] articulés entre-eu en. L action eercée en par le bâti sur 1 est définie par: Xc=-.6 et Yc=+.6. câble o o Epliquer pourquoi la barre compression? Que vaut N? omment travaille la barre 2 1 travaille à l effort normal pur. S agit-il de tension ou de? Tacer les diagrammes

26 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 17: =a E,S,ρ a g Un câble de section droite S, de longueur L, de masse volumique ρ et de module E est suspendu en. Un effort est eercé en Tracer la variation de l effort normal N. Déterminer l allongement du câble. Eercice 18: La structure ci-contre est constituée de 3 barres en parallèle. Les barres 1 et 3 sont identiques (matériau E et section S). La barre centrale 2 a pour module E et section S. Un effort est eercé à l etrémité de l assemblage. L Quelle sera la variation de longueur de l assemblage sous l effet de? Eercice 19: Une poutre [], de longueur L=1m, est encastrée en. Elle subit 3 efforts 1 =4N, 2 =6N et 3 =15N en, et. 6cm 8cm Tracer la variation de l effort normal puis de la norme de σ de à. alculer la section sachant que ne doit pas dépasser 15 Ma. σ Déterminer le déplacement du point sachant que E=7 Ma. 26

27 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 2: S 1 S 2 1m g Un câble d ascenseur d une longueur de 2m supporte une charge de 3 tonnes. La masse volumique du câble est de 78 Kg/ m 3. Il est constitué de 2 tronçons de 1 m, de sections différentes S 1 et S 2. La contraine σ ne doit pas dépasser σ lim =15 Ma. 1m alculer les sections mini des 2 câbles. n prendra g= 1m/s 2. 3 tonnes Déterminer l allongement du câble sachant que E=21 Ma. Eercice 21: σ =c s s+ds σ =c ρgs.d s() L g La poutre verticale est un solide de révolution soumis à son propre poids et à un effort à l etrémité. La section est variable. Elle est représentée par la fonction s(). La masse volumique est ρ. n demande de déterminer la fonction s() pour que la contrainte σ soit identique en tout point (on parle de poutre d égale résistance). n pose σ = c. traiter ce problème en isolant une tranche d épaisseur d et en écrivant l équilibre suivant. Eercice 22: Une poutre [], de longueur L, subit une charge uniformément distribuée d intensité p. Déterminer la flèche mai de fleion dans les 2 cas suivants: p p 27

28 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 23: Une poutre [], de longueur 2L, est encastrée en. Elle subit un effort à L/2 et une charge uniformément distribuée d intensité p de L à 2L. pplication numérique: L=1m, =5N et p=/l. p -1- Quelles sont les actions en? -2- Déterminer M Z. -3- Tracer le diagramme de moment fléchissant. -4- u se trouve σ mai? -5- La section est rectangulaire avec a=2b Y Z a b -calculer I -calculer a et b pour que σ soit inférieure à 2 Ma. -6- La section est en I avec a=2b et e=5mm e << a et b Y Z a -calculer I -calculer a et b pour que σ soit inférieure à 2 Ma. -7- alculer le gain de masse entre -5- et -6-. Eercice 24: Une poutre [], de longueur L=1m, subit une charge uniformément distribuée d intensité p=36nm -1 sur la one centrale [ L / 3, 2L / 3 ]: b p Tracer le diagramme de moment fléchissant M. La section droite est précisée ci-contre: S=1 mm 2 I Z = mm 4 Z 4 Y 6 Dans la section où M est mai, calculer la contrainte σ au points et Q. 8 Q 28

29 Résistance des Matériau / L2-SI Eercice 25: La section droite d une poutre est précisée ci-contre: Z 1 1 Y 1 e=3mm Q Dans la section où le moment M = 8 mn et l effort normal N = 24 N, calculer la contrainte σ au points et Q. 29

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