Méthodes d estimation

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1 CHAPIRE 5 Méthodes d estimation On a vu que (B,C,Σ) ne peut être (en général) estimé par les MCO, du fait de la présence de variables endogènes explicatives dans chaque équation. Dans tous les cas, l estimation de (B,C,Σ) ne pourra se faire que si ces paramètres sont identifiables. Si on néglige les contraintes sur la forme réduite, celle-ci est estimable par les MCO équation par équation. Mais si (B,C,Σ) est sur-identifié, la forme réduite est elle aussi soumise à des contraintes, et le meilleur estimateur de (Π, Ω) devrait être les MCG sous contraintes, avec retour unique vers les paramètres structurels. Les estimateurs qui traitent globalement les n équations en tenant compte de toutes les contraintes s appellent estimateurs en information complète. Les calculs sont complexes, c est pourquoi d autres estimateurs sont examinés. Les plus simples sont obtenus en traitant chaque équation séparément, en négligeant chaque fois les contraintes relatives aux autres équations. Cela veut dire en particulier que les contraintes de premier ordre équation par équation Φ j (b j,c j )=sont des contraintes identifiantes. Les estimateurs obtenus sont dits en information limitée. Nous nous bornerons au cas (fréquent) de contraintes linéaires séparables équation par équation. Le système complet correspondant aux observations des variables endogènes et exogènes peut s écrire de façon à faire apparaître les vecteurs d observations dans R : Y (,n)(n,n) B + Z (,k)(k,n) C = U (,n) ½ E(uj )= Cov(u i,u j )=σ ij I,i,j = 1,..,n (FS) Y (,n) = Z (,k)(k,n) Π + V (,n) où Y = y 1.. y n,z = z1.. z k et U = u1.. u n. Notons que l équation (FR) peut aussi être écrite sous la forme de régressions empilées : y 1 : = Z.. π 1 : : : π 2 : + u 1 : y n.. Z u n π n En ce qui concerne le comportement asymptotique des estimateurs, les hypothèses faites sont rassemblées dans l hypothèse Hasy : ( plim Z U = plim Z Z = M zz régulière (exognit) U t i.i.d. sachant Z (chantillonage) 1. Moindres carrés indirects Le premier cas simple se rencontre lorsque (B,C,Σ) est juste-identifiée. Dans ce cas, les paramètres structurels (Π, Ω) ne sont soumis à aucune contrainte. Le meilleur estimateur de (Π, Ω) est simplement l estimateur ( Π, b Ω) b obtenu en applicant les MCO équation par équation (matrice Z bloc-diagonale et mêmes variables explicatives Z dans les n équations), le meilleur estimateur 41

2 42 5. MÉHODES D ESIMAION de (B,C,Σ) est alors obtenu par le système Id : BΠ b + C = BΩB b = Σ Ψ(B,C,Σ) = L estimateur obtenu est appelé estimateur des moindres carrés indirects. Cette condition de juste-identification réduit tout de même beaucoup l intérêt de cet estimateur, car elle n est que rarement vérifiée. Si une équation (j) est juste identifiée, cette méthode peut encore être appliquée pour estimer les paramètres de cette équation, en résolvant le système ½ bjπ b + cj = Ψ j (b j,c j )= Ce système admet bien une solution quelle que soit l estimation b Π, mais l estimateur ainsi obtenu en information limitée ne tient pas compte des éventuelles contraintes induites sur Π par l ensemble des contraintes définissant la forme structurelle. 2. Variables instrumentales Si on ne s intéresse qu aux paramètres d une équation particulière, on est amené à ne tenir compte que des contraintes linéaires liant ces paramètres entre eux, en négligeant les contraintes qui pourraient exister entre ces paramètres et ceux des autres équations (il faut alors que ces seules contraintes suffisent à identifier les paramètres de l équation d intérêt). Considérons une équation, la première par exemple. Supposons que les contraintes soient la normalisation b 11 =1et des contraintes d exclusion, et notons Y 1 et Z 1 les variables respectivement endogènes et exogènes dont les coefficients ne sont pas contraints (Y 1 et Z 1 sont simplement des blocsextraitsdey et Z). L équation (1) s écrit alors dans R, compte tenu des contraintes considérées : y 1 = Y 1 β 1 + Z 1 γ 1 + u 1 = X 1 δ 1 + u 1 On peut aussi appliquer la méthode au cas de contraintes linéaires quelconques, β 1 et γ 1 représentant un ensemble de paramètres linéairement indépendants, et les variables y 1, Y 1 et Z 1 étant transformées en conséquence. Dans ce cas, Z1 désigne une base complémentaire de Z 1 pour engendrer Im Z. On continuera à désigner respectivement par Y 1 et Z1 les variables endogènes présentes et les variables exogènes absentes de (1). Bien entendu, si on désire appliquer la méthode à toutes les équations, il sera nécessaire de se limiter aux contraintes de normalisation et d exclusion. Exemple 7. Considérons un modèle contenant 2 endogènes et 3 exogènes, dans lequel la première équation s écrit : b 11 y 1 + b 12 y 2 + c 11 x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 = u 1 On considère successivement les cas suivants : b11 b 12 c 11 c 12 c 13 = 1 b c (i) b11 b 12 c 11 c 12 c 13 = 1 b c c (ii) b11 b 12 c 11 c 12 c 13 = 1 b b c (iii) b11 b 12 c 11 c 12 c 13 = 1 1 c d (iv) b11 b 12 c 11 c 12 c 13 = 1 b c 1 c (v) Dans chacun de ces cas, il est possible de se ramener à des contraintes de normalisation et d exclusion. cas (i) : y 1 = by 2 + cx 1 + u 1 Les y 1 ; Y 1 ; Z 1 ; Z 1 correspondants sont :y 1; y 2 ; x 1 ;(x 2,x 3 )

3 3. DOUBLES MOINDRES CARRÉS 43 cas (ii) : y 1 = by 2 + c (x 1 + x 2 )+u 1 Les y 1 ; Y 1 ; Z 1 ; Z 1 correspondants sont :y 1 ; y 2 ; z =(x 1 + x 2 );(x 2,x 3 ) cas (iii) : y 1 = b (y 2 x 1 )+cx 3 + u 1 Les y 1 ; Y 1 ; Z 1 ; Z 1 correspondants sont :y 1 ;(y 2 x 1 );x 3 ;(x 1,x 2 ) cas (iv) : (y 1 + y 2 )=cx 2 + dx 3 + u 1 Les y 1 ; Y 1 ; Z 1 ; Z 1 correspondants sont :(y 1 + y 2 ); ;(x 2,x 3 );x 1 cas (v) : (y 1 + x 3 )=by 2 + c (x 3 x 2 )+u 1 Les y 1 ; Y 1 ; Z 1 ; Z 1 correspondants sont :(y 1 + x 3 );y 2 ; z =(x 3 x 2 );x 1,x 2 Les n 1 variables Y 1 ne vérifient pas (en général) la condition d exogénéité plim( Y 1 u 1 )=.On peut donc envisager une méthode d estimation par variables instrumentales. Si on choisit p variables F 1 parmi celles qui ne figurent pas dans Z 1, on pourra utiliser (F 1,Z 1 ) comme variables instrumentales à condition que p+k 1 n 1 +k 1. Il est donc nécessaire qu il y ait au moins n 1 variables exogènes absentes de (1). Ceci correspond à la condition d ordre d identifiabilité de β 1 et γ 1. Notons P F 1 la projection sur Im( F 1 Z 1 ). L estimateur de δ 1 obtenu est e δ1 (F 1 )=(X 1P F 1 X 1 ) 1 X 1P F 1 y 1. Sous Hasy, il est convergent et asymptotiquement normal : ( e δ1 (F 1 ) δ 1 ) loi N[, σ 11 Ω F 1 ] où X Ω F 1 = plim 1 P F 1 X Doubles moindres carrés 3.1. Définition de l estimateur 2MC. L estimateur par variables instrumentales optimal est celui dans lequel F 1 est l ensemble Z1 de toutes les autres variables exogènes du modèle. L ensemble des instruments est alors Z. L estimateur correspondant est appelé estimateur des doubles moindres carrés. µ βj L estimateur des doubles moindres carrés de δ j = dans l équation y γ j = Y j β j + Z j γ j + j u j,notéey j = X j δ j + u j, du système d équations simultanées YB + XC = U est : e δj2mc = X jp z X j 1 X j P z y j Cet estimateur est donc obtenu en régressant y j sur les variables ( Y b j,z j ), après avoir calculé les n j ajustements des moindres carrés Y b j = Z jπj c + Zj Π c j des Y j sur les exogènes Z du modèle. C est une méthode à information limitée, puisque l estimation des paramètres réduits qui a ainsi été faite ne tient pas compte des éventuelles contraintes sur Π que peuvent entraîner toutes les contraintes imposées à la forme structurelle. Les variables Z peuvent être utilisées comme instruments à condition que P z X j = byj Z j soit de plein rang colonnes n j + k j,etqueplim( X j PzXj ) soit inversible. Or Notons µ Πj I kj Π j P z X j = Z jπj c + Zj Π c j Z j = Z j Zj = Π(j). De P z X j = ZΠ(j) d et plim( Π(j)) d = Π(j) Ã Πj c I kj cπ j!

4 44 5. MÉHODES D ESIMAION nous déduisons que X jp z X j = d Π(j) Z Z d Π(j) et plim( X j P zx j ) = Π(j) M zz Π(j) L estimateur des doubles moindres carrés est donc défini si Π(j) M zz Π(j) est inversible, c està-dire de rang n j + k j.nousretrouvonsicilesconditionsd identifiabilité rang Π j = nj. héorème 12 (CS pour que 2MC=MCI). Lorsque l équation (j) est juste-identifiée, l estimateur 2MC de δ j est égal à son estimateur par les moindres carrés indirects. Preuve. Si l équation (j) est juste identifiable, cela signifie que le système : ½ πj Π j β j = γ j π j Π j β j = admet une solution unique et que Π j est inversible (k j = n j : la matrice est carrée). L estimateur e δj par les moindres carrés indirects est alors défini par les équations ( bπ (i) j Π c jβj f = eγ j cπ j Π c f j β j = où les paramètres réduits sont estimés par les MCO : (ii) P zy j = Z j bπ j + Z j c π j P z Y j = Z j c Πj + Z j c Π j Pour montrer que l estimateur MCI est égal à l estimateur 2MC, il suffit demontrerquelerésidu bu j = y j P z Y jβj f Z j eγ j est orthogonal à Im(P z Y j ) et à Im(Z j ). Des équations (ii) nous déduisons que P z y j P z Y jβj f = Z j bπ j Π c jβj f + Zj π c j Π c f jβ j ce qui conduit, en utilisant les équations (i) à P z y j P z Y j f βj = Z j eγ j et: bu j = y j P z Y jβj f P z y j P z Y jβj f =(I P z ) y j P z Y jβj f Le résidu bu j est donc orthogonal à Im(Z), en particulier à Im(P z Y j ) et Im(Z j ). L intérêt de ce théorème est qu il dispense d examiner la juste ou sur-identification d une équation identifiable : nous appliquerons la méthode des doubles moindres carrés à toute équation identifiable en étant certain d obtenir toujours le meilleur estimateur (en information limitée). De plus, suivant le logiciel de calcul disponible, il peut être plus facile d obtenir l estimation 2MC (procédure classique, constituée d une suite de régressions MCO disponibles dans n importe quel logiciel de régression, y compris des feuilles de calcul comme Excel) que l estimation MCI, qui demande elle aussi l estimation MCO de la forme réduite mais qui se termine par la résolution d un système d équations. héorème 13 (Propriétés asymptotiques de l estimateur 2MC). Sous l hypothèse Hasy, l estimateur 2MC : e δ j2mc = X j P zx j 1 X j P z y j est convergent, et eδj2mc δ j loi N[, σ jj Ω j ]

5 3. DOUBLES MOINDRES CARRÉS 45 où j = plim[ X j PzX j ]=Π(j) M zz Π(j) µ Πj I Π(j) = kj Π j Preuve. En tant qu estimateur par les variables instrumentales Z, l estimateur 2MC est convergent et la variance asymptotique de eδj2mc δ j est σ jj Ω j,avec j = plim[ X j P zx j ]= Π(j) M zz Π(j) ainsi que nous l avons calculé plus haut Estimation LIVE (Limited-information Instrumental Variables Efficient). Nous avons vu que l estimateur 2MC est obtenu en régressant y j sur les variables (P z Y j,z j ),aprèsavoir calculé les n j ajustements des moindres carrés des Y j sur les exogènes Z du modèle. Une difficulté de cette méthode est le nombre important de variables exogènes que peut contenir le modèle : dans des modèles économétriques de grande ou moyenne taille, le nombre d équations n est grand et si chacune d elle ne contient qu un nombre raisonnable de variables, la collection complète des variables exogènes utilisées peut rendre les 2MC difficiles, voire impossibles, à calculer. Une possibilité est de remplacer Z par (F j,z j ), constitué d un nombre restreint de facteurs principaux complétés par les exogènes figurant dans l équation (il peut être utile de prendre K j = n j + k j instrument, en sélectionnant les n j facteurs principaux qui sont le moins corrélés avec les Z j ). La méthode LIVE proposée par Brundy-Jorgenson(1) est la suivante : (i) Calculer une première estimation de ( B C ) en utilisant pour chaque équation un ensemble de (n j + k j ) variables instrumentales Wj =(F j,z j ). On a alors, pour chaque j =1,..,n : b δj = W j X j 1 W j y j (ii) En déduire l estimation de Π par Π b = bb 1 bc (iii) Sélectionnant dans Π b les coefficients de Y j, on en déduit les valeurs ajustées Y b j, puis on régresse par les MCO y j sur les variables ( Y b j,z j ). Dans la première étape, F j peut être constitué de n j variables choisies parmi les exogènes Zj absentes de (j) mais figurant par contre dans les équations structurelles relatives aux Y j,oubien F j peut être un sous-ensemble de n j facteurs principaux de Z. Lethéorèmesuivantjustifie la construction de l estimateur LIVE : héorème 14 (Propriétés asymptotiques de l estimateur LIVE). Sous l hypothèse Hasy, l estimateur LIVE est asymptotiquement équivalent à l estimateur 2MC. Preuve. La première étape fournit une estimation préliminaire convergente des paramètres structuraux : plim( b B)=B et plim( b C)=C. La deuxième étape fournit donc une estimation convergente des paramètres réduits : plim( b Π)=plim( bb 1 bc) = B 1 C = Π Posons W Lj =( b Y j,z j )=Z [ Π (j),où Π (j) est définie comme dans le théorème 15. On a alors b δjliv E = W LjW Lj 1 W Lj y j b δjliv E = W LjW Lj 1 W Lj X j δ j + W LjW Lj 1 W Lj u j

6 46 5. MÉHODES D ESIMAION Nous constatons que W Lj possède toutes les propriétés d instruments : plim( W Lj u j ) = Π (j) plim( Z u j )= plim( W Lj W Lj ) = Π (j) plim( Z Z )Π (j) =Π (j) M zz Π (j) régulière Enfin, Y j = Z j Π j + Zj Π j + u j entraîne que X j =( Y j Z j )=ZΠ (j)+( u j ) et donc : WLjX j = Π [ (j) Z ZΠ (j)+( Π [ (j) Z u j ) ce qui entraîne que : plim( W Lj X j )=Π(j) M zz Π (j) régulière L estimateur LIVE est équivalent à l estimateur par Variables instrumentales avec W Lj comme instruments, égal à WLj X 1 j W Lj y j, puisque WLj X j et WLj W Lj sont équivalentes. Nous en déduisons que plim bδjliv E = δ j +=δ j et que b δ jliv E est asymptotiquement normal, la variance asymptotique de bδjliv E δ j étant σ jj Ω Lj définie par : Lj = plim(w Lj W Lj )=Π(j) M zz Π (j) = j Les deux estimateurs LIVE et 2MC ont donc même variance asymptotique. La méthode est particulièrement intéressante lorsque toutes les équations du modèle sont à estimer, puisque les premières étapes (i) et (ii) sont les mêmes pour toutes. L intérêt de cet estimateur est qu il est asymptotiquement équivalent à l estimateur 2MC, sans jamais demander la régression directe des y j sur toutes les exogènes du modèle. 4. riples moindres carrés Les méthodes précédentes sont toutes des méthodes d estimation à information limitée, puisqu elles ne tiennent compte que des contraintes de premier ordre et traitent l estimation de chaque équation séparément. En particulier, elles ne tiennent pas compte de l existence de Σ. Deplus, ellesneper- mettent de calculer que la variance de chaque δ j et non leurs covariances cov (δ j, δ i ). La méthode la plus simple prenant en compte l existence de Σ et fournissant aussi les covariances asymptotiques des δ j est la méthode dite des riples Moindres Carrés, ou estimation 3MC. C est encore une méthode à information limitée, car elle ne tient compte que des contraintes de normalisation b jj =1et des contraintes d exclusion. La forme structurelle peut donc s écrire globalement, en tenant compte de ces contraintes : y j = Y j β j + Z j γ j + u j = X j δ j + u j, j =1,.., n soit, globalement dans R n : y 1 X 1.. δ 1 u 1 y 2 : = X 2.. δ 2 : : : : + u 2 : y n.. X n δ n u n y = Xδ + u, E (u Z) =,V (u Z) =Σ I avec plim( X u n ) 6=

7 4. RIPLES MOINDRES CARRÉS 47 Ce modèle global fait apparaître simultanément deux problèmes : d une part la présence en explicatives de variables aléatoires asymptotiquement corrélées avec les perturbations, d autre part unevariancedesperturbationsdifférente de σ 2 I n. L estimateur 2MC de δ est : b δ2mc = b δ1,2mc b δ2,2mc : b δn,2mc =[X (I n P z )X] 1 X (I n P z )y I n P z représente la matrice de projection orthogonale sur I n Z. L estimateur b δ 2MC est donc un estimateur par variables instrumentales, où les instruments sont I n Z. Les propriétés classiques des estimateurs VI ne sont toutefois pas applicables, car le modèle global dans R n n est pas standard. On connait les propriétés de chacun des blocs de paramètres correspondants à chaque équation; on sait donc que b δ 2MC est convergent, mais on ne connait pas toute sa variance asymptotique. De plus, l estimateur DMC ne tient pas compte des éventuelles covariances interéquation. On peut donc espérer l améliorer en combinant les MCG avec les VI. On transforme le modèle de départ pour se ramener à un modèle standard : on recherche une matrice A telle que Ay soit de variance I n, c est-à-dire telle que : A(Σ I )A =(I n I ) On constate qu il suffit deprendre A =(Σ 1/2 I ) Le modèle transformé, avec y = Ay est : y = X δ + v où E(v Z) =et Var(v Z) =(I n I )=I n avec encore plim( X v n ) 6=. Nous employons les mêmes instruments (I n X) que pour les DMC : l estimateur de δ est alors [X (I n P z )X ] 1 X (I n P z )y =[((Σ 1/2 I )X) (I n P z )(Σ 1/2 I )X] 1 ((Σ 1/2 I )X) (I n P z )(Σ 1/2 I )y =[X ( Σ 1/2 I )(I n P z )(Σ 1/2 I )X] 1 X ( Σ 1/2 I )(I n P z )(Σ 1/2 I )y =[X ( Σ 1/2 Σ 1/2 P z )X] 1 X ( Σ 1/2 Σ 1/2 P z )y =[X (Σ 1 P z )X] 1 X (Σ 1 P z )y Comme Σ n est pas connue, on utilise son estimation (convergente) déduite de l estimation 2MC. Définition 16 (Estimateur des riples Moindres Carrés (3MC)). L estimateur 3MC de δ est égal à b δ3mc =[X ( Σ b 1 P z )X] 1 X ( Σ b 1 P z )y avec où bu j sont les résidus 2MC. bσ ij = bu i bu j Il est évident que le calcul de l estimateur 3MC est plus difficile que celui de l estimateur 2MC. Il est donc important de savoir quand ce calcul est inutile. La définition qui a été donnée de b δ 3MC permet d utiliser les résultats connus sur l estimation dans un modèle de n régressions empilées. héorème 15. CS pour que 2MC et 3MC soient asymptotiquement équivalents : les estimateurs 2MC et 3MC sont asymptotiquement équivalents si σ ij =pour i 6= j =1,,n

8 48 5. MÉHODES D ESIMAION Preuve. Si σ ij =lorsque i 6= j, Σ 1 est diagonale. On vérifie alors immédiatement que [X (Σ 1 P z )X] 1 X (Σ 1 P z )y =[X (I n P z )X] 1 X (I n P z )y Lefaitquelerésultatnesoitqu asymptotique est dû au fait que Σ n étant pas connue, son estimation, qui est la matrice utilisée dans le calcul, ne sera que asymptotiquement diagonale. Le calcul de l estimateur 3MC commence par l estimation 2MC qui permet d estimer Σ. Avant de poursuivre la procédure d estimation 3MC, il est indispensable de tester la nullité des covariances σ ij (en utilisant le fait que les résidus bu j sont asymptotiquement Normaux, centrés et de variance σ ij ) : non seulement le théorème 18 nous permet d éviter le calcul de l estimateur 3MC lorsque les σ ij sont toutes nulles, mais encore il nous indique que le meilleur estimateur (que l on aurait si on connaissait Σ) est simplement l estimateur 2MC. héorème 16. CS pour que 2MC = 3MC. Les estimateurs 2MC et 3MC sont identiques si toutes les équations sont juste-identifiées. Preuve. Faisons apparaître les matrices de produits scalaires (de dimensions indépendantes de ) : Z.. X 1.. bx =(I n Z )X = Z.. X 2.. : : : : : :.. Z.. X n Z X 1.. bx = Z X 2.. : : :.. Z X n On voit que les estimateurs 2MC et 3MC peuvent aussi s écrire sous la forme : b δ2mc h 1 i 1 = bx I n (Z Z) X b 1 bx I n (Z Z) (I n Z ) y b δ3mc h 1 i 1 = bx Σ 1 (Z Z) X b 1 bx Σ 1 (Z Z) (I n Z ) y Un autre cas dans lequel l introduction de Σ n a pas d influence sur le résultat est celui où la matrice X b est inversible, car on a dans ce cas : b δ2mc = b h i 1 δ 3MC = bx (In Z ) y Il suffit de montrer que si toutes les équations sont juste-identifiées, alors Z X j est inversible pour tout j. Z X j est de format (k, n j + k j ). La condition d identifiabilité de δ j est que cette matrice soit de plein rang colonnes n j + k j. Lorsque l équation (j) est juste-identifiée, n j = k j = k k j.lamatricez X j est donc carrée, de format (k, k) et de rang k. Elle est donc inversible. Evidemment, ce résultat n est pas aussi intéressant que celui du théorème 18. précédent, car il est rare que toutes les équations soient juste-identifiées. Par contre, lorsqu il s applique, l égalité entre les deux estimateurs 2MC et 3MC est alors vérifiée exactement, alors qu elle n est qu asymptotiquement vérifiée dans le cas du théorème 18. héorème 17 (Propriétés asymptotiques de l estimateur 3MC). Sous l hypothèse Hasy, l estimateur 3MC de δ est convergent et asymptotiquement normal : eδ3mc δ loi N[, Ω 3MC ] 3MC = plimx Σ 1 P z X =[σ ij Π(i) M zz Π(j)] i,j=1,..,n les Π(j) étant définis comme dans le théorème 15., et σ ij i,j = Σ 1.

9 5. MOINDRES CARRÉS ASYMPOIQUES 49 Preuve. Le résultat se déduit directement de l interprétation IV de l estimateur, en utilisant le fait que Σ b est un estimateur convergent de Σ, et les résultats asymptotiques analogues à ceux du théorème 15 : X Σ 1 P z X = X (I n P z ) Σ 1 I (In P z ) X Or X =blocdiag[x j ] et (I n P z ) X = blocdiag[p z X j ]=blocdiag[zπ(j)] = [I n Z] blocdiag[π(j)] 3MC = plim X (Σ 1 P z)x = plim blocdiag[π(j) Z ](Σ 1 I )blocdiag[zπ(j)] d où µ 3MC = blocdiag[π(j) ]plim Σ 1 Z Z blocdiag[π(j)] 3MC = blocdiag[π(j) ] Σ 1 M zz blocdiag[π(j)] 3MC = 3MC = Π(1).. Π(2).. : : :.. Π(n) 3MC = σ 11 M zz Π(1) σ 12 M zz Π(2).. σ 1n M zz Π(n) σ 21 M zz Π(1) σ 22 M zz Π(2).. σ 2n M zz Π(n) : : : σ n1 M zz Π(1) σ n2 M zz Π(2).. σ nn M zz Π(n) σ 11 Π(1) M zz Π(1) σ 12 Π(1) M zz Π(2).. σ 1n Π(1) M zz Π(n) σ 21 Π(2) M zz Π(1) σ 22 Π(2) M zz Π(2).. σ 2n Π(2) M zz Π(n) : : : σ n1 Π(n) M zz Π(1) σ n2 Π(n) M zz Π(2).. σ nn Π(n) M zz Π(n) 5. Moindres Carrés Asymptotiques Les méthodes précédentes sont des méthodes d estimation en information limitée, au sens où elles ne tiennent pas compte d éventuelles contraintes interéquation. Ces contraintes inter-équation peuvent survenir par exemple dans le cas de modèles déduits de calculs d optimisation conduisant à des coefficients s interprétant comme des dérivées secondes : les propriétés de symétrie de la forme 2 f x 1 x 2 = 2 f x 2 x 1 entraînent alors des symétries dans la matrice B C. Ces contraintes inter-équation peuvent être indispensables pour assurer l identifiabilité de la forme structurelle. Ou bien elles correspondent à des hypothèses économiques qu il serait intéressant de tester. Lorsque les contraintes inter et intra équation sont juste identifiantes, la méthode des Moindres Carrés Indirecte est la seule applicable. Ces contraintes ne peuvent alors pas être testées : elles ne font que traduire l interprétation structurelle que l on donne aux paramètres. Seules sont testables les contraintes sur identifiantes. Lorsque les contraintes inter et intra équation sont sur identifiantes, les méthodes vues précédemment sont innaplicables : le système ½ BΠ + C = Ψ(B,C) = n admet aucune solution si Π b ne satisfait pas les contraintes de la forme réduite Π = B 1 C. Notant δ le paramètre libre à estimer, les équations liant δ à Π sont de la forme f (δ, Π) = tandis que les équations f δ, bπ =

10 5 5. MÉHODES D ESIMAION n admettent aucune solution. La méthode proposée ici est dite méthode des Moindres Carrés Asymptotiques et consiste à rechercher δ qui minimise la norme du vecteur f δ, Π b : Définition 17 (Moindres Carrés Asymptotiques). Etant donné le paramètre d intérêt δ de dimension K et le paramètre auxiliaire Π de dimension L liés par la relation f (δ, Π) = de dimension H, on appelle estimateur de δ par les Moindres carrés asymtotiques la statistique b f δmca =argmin δ, b 2 Π δ où Π b est un estimateur convergent de Π et k.k est une norme de R K. Il existe des résultats permettant de choisir la norme de manière à obtenir le meilleur estimateur possible, et précisant les propriétés de l estimateur MCA selon les hypothèses faites sur la fonction f et sur l estimateur auxiliaire Π b. Ce développement déborde du programme de 2ème annéemagistèreetn estcitéquepoursignalerson existence. Il est à noter que le test des contraintes sur identifiantes sera fondé justement sur le minimum atteint ξ = f bδmca, Π b 2, les contraintes étant rejetées si ce minimum est trop grand. Sous certaines hypothèses, b δ MCA est asymptotiquement normal, et ξ suit asymptotiquement une loi de χ 2 dont le degré de liberté est le degré de sur-identification (H K)