Mémoire de mathématiques. Master 2 de mathématiques. Théorie des nombres.

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1 Olivier Bouillot Université Paris Sud, Orsay. Mémoire de mathématiques. Master 2 de mathématiques. Théorie des nombres. Propriétés différentielles de formes modulaires. Sous la direction de M. Daniel Bertrand. Institut de Mathématiques de Chevaleret.

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3 Table des matières Introduction. 7 2 La fonction G Définition et propriété de la fonction G Définition Perte du caractère modulaire Fonction G e 2iπxt 2.2. Estimation de l intégrale de Fourier dt... 4 R t + iy 2+ s 2 t iy s Calcul de pour z H et s C, mz + n 2 mz + n s m,n Z 2 {0,0} Re s > Définition de la fonction G 2, et propriété Fonctions E 2 et E Formes modulaires presque holomorphes et formes quasi-modulaires Introduction des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presques holomorphes Motivations Définitions et premiers exemples Premières propriétés des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque holomorphes Utilité de la profondeur Structure d algèbre graduée sur M et M Opérateurs différentiels sur M Γ et M Γ Etude des coefficients des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque-holomorphes Isomorphisme entre M Γ et M Γ M s s 3.4 Structure de Γ et M Γ où Γ est un sous-groupe de congruence de SL 2 Z s s 3.4. Structure de M Γ et M Γ s Cas particulier de M SL s 2Z et M SL 2Z Valeurs spéciales de formes modulaires presque holomorphes : théorème de Shimura Quelques notations et rappels de propriétés Rappels de notations autour des formes modulaires

4 4..2 Notations autour des formes modulaires presques holomorphes arithmétiques Notation autour des opérateurs différentiels introduit par Shimura, et propriétés élémentaires Le théorème de Shimura Valeurs spéciales de formes modulaires arithmétiques Propriétés arithmétiques Principe de la démonstration Vers la démonstration du théorème de Shimura Des lemmes intermédiaires Démonstration de la propriété Démonstration du théorème de Shimura Autour d un problème de Katz Réseau à multiplications complexe Point de départ : un corollaire au théorème de Shimura L énoncé du problème posé par N. Katz Lien avec une conjecture de [2] Intérêt du problème de Katz Où se trouve la difficulté dans ce problème? Schématisation d une démonstration de transcendance Quelques pistes pour le problème de Katz Formes modulaires, théorie de Eichler-Shimura et équations différentielles Equation différentielle non linéaire Equation différentielle linéaire Conclusion. 83 A Fonctions elliptiques. 85 A. Théorèmes de Liouville A.2 Fonctions elliptiques de Weierstrass A.3 Fonctions elliptiques et équations différentielles A.4 Formule d addition A.5 Fonction zêta de Weierstrass B Fonctions modulaires. 89 B. Le groupe modulaire B.2 Fonctions et formes modulaires B.3 Algèbre des formes modulaires relativement à SL 2 Z B.3. Zéros et pôles d une forme modulaire B.3.2 Description de l espace des formes modulaires C Séries d Eisenstein. 93 C. Définitions C.. Le cas où est un entier supérieur à C..2 Le cas où C..3 Première propriété C.2 Développement en série, à l infini, des G

5 C.3 Lien avec les fonctions elliptiques C.3. Développement de Laurent en C.3.2 Série d Eisenstein G 2 et quasi - périodes C.3.3 Expression de E 2, E 4 et E 6 en notations elliptiques C.4 Lien avec les formes modulaires C.4. Exemples et contre - exemple de formes modulaires C.4.2 Algèbre des formes modulaires C.4.3 Equations différentielles vérifiées par E 2, E 4, E D Discriminant et invariant modulaire. 97 D. Discriminant D.2 L invariant modulaire D.2. L invariant modulaire et les courbes elliptiques D.2.2 Fonctions modulaires de poids E Autour du théorème de Nestereno. 0 E. Le théorème et ses corollaires E.2 Principe de démonstration du théorème E.3 Conjecture de Nestereno

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7 Introduction. Nous savons que les fonctions G 2, pour N, 2, définissent des formes modulaires classiques ; il n en est pas de même de la fonction G 2. Nous allons donc commencer par construire une fonction G 2 chapitre, à partir de la fonction G 2 qui vérifiera la condition de modularité de poids 2. A partir de là, nous allons essayer de comprendre les enjeux d un problème posé par Nicholas Katz en 976 chapitre 6 : «si un réseau L C est tel que les quantités G 2 L, G 4 L et G 6 L soient algébriques, le réseau L est-il nécessairement à multiplication complexe?» Cette question correspond à la réciproque d un théorème bien connu : «si L C est un réseau à multiplication complexe tel que les quantités G 4 L et G 6 L soient algébriques, alors G 2 L Q», théorème que nous démontrerons au chapitre 6. Ce problème de Katz, toujours ouvert aujourd hui, est intéressant, car il s agit d un analogue au second problème de Schneider. La problématique qu il soulève est de même nature que celle du problème de Schneider : comment une preuve modulaire peut elle distinguer si la variable complexe utilisée est un point de multiplication complexe ou non? Mais ce qui est surtout intéressant ici, c est qu il s agit d un problème ouvert, contrairement au théorème de Schneider sur τ, jτ. Il n est donc plus question de distinguer problème modulaire et problème elliptique, mais d arriver à construire une preuve, si la réponse est positive, probablement modulaire, prenant en compte le fait que τ ω si L Zω Zω 2 puisse être un point de multiplication complexe, ou non. ω 2 Pour comprendre l origine de cette question posée par Katz, nous allons poursuivre, après l étude de la fonction G 2, par l étude des deux généralisations des formes modulaires dues essentiellement à G. Shimura et D. Zagier chapitre 3. L une d elle, l étude des formes modulaires presque holomorphes, nous sera particulièrement utile pour démontrer le théorème de base concernant l algébricité de G 2 L si L est à multiplication complexe chapitre 5. Plusieurs démonstrations de ce fait existent ; elles sont de natures différentes 2, puisque modulaire, elliptique ou cohomologique. Nous exposerons ici la version modulaire, qui nécessite, elle, la démonstration d un théorème de Shimura chapitre 4, 4.2, théorème Voir [9], p Voir [9], 4 p 499 ; []. Pour le point de vue elliptique, voir aussi [4] et [34] 7

8 et : «toute fonction méromorphe modulaire presque holomorphe arithmétique est à valeurs dans le corps des nombres algébriques en des points de multiplication complexes différents de ses pôles.» La preuve passe par l étude d opérateurs différentiels qui reflête en partie les propriétés des équations différentielles algébriques satisfaites par les formes modulaires. Le chapitre 5 est consacré au problème de Katz, à la lumière du résultat d algèbricité établi plus haut. Nous verrons qu une des difficultés du problème de Katz est que l absence d holomorphie interdit l utilisation des lemmes de Schwarz qui est l un des outils principaux de transcendance. Nous illustrerons leurs utilisations dans l appendice autour du théorème de Nestereno. Ainsi, nous remarquerons que les formes quasi - modulaires se prêtent à de la transcendance, alors que les formes modulaires presques holomorphes résistent. Au chapitre 6, enfin, nous décrirons quelques aspects de la théorie de Eichler - Shimura, qui met en jeu des équations différentielles linéaires satisfaites par les formes modulaires. Nous renvoyons le lecteur à [20] et [22] pour l étude de groupes modulaires plus généraux que PSL 2 Z. 8

9 La fonction G 2. On sait que pour σ C, Re σ > 2 et tout τ H, m + nτ σ m,n Z 2 {0,0} est une famille sommable, et qu alors, pour tout N, 2, la fonction G 2 τ définit sur H une forme modulaire de poids 2, m + nτ 2 m,n Z 2 {0,0} de développement de Fourier donné par G 2 z 2ζ2 + 22iπ2! n N σ 2 n q n n N d N d n m n m + n σ 2 nq n Par ailleurs, d après le théorème de sommation par paquets des séries doubles à termes positifs, pour q {z C; z < } et N, on a successivement : d 2 q n m 2 q mn m 2 q m q < + m Ainsi, pour q {z C; z < } et N, d 2 q n n N d n En particulier, pour, on en déduit que z H, de 2inπz n N d n sommable, d où z π2 3 8π2 + n est une famille sommable. σ ne 2inπz est parfaitement définit sur H est une famille Ceci nous invite donc à vouloir tout de même considérer la fonction G 2, définie sur H, bien que la somme, pour τ H, ne soit pas m + nτ 2 absolument convergente, mais convergente. m,n Z 2 {0,0} 2. Définition et propriété de la fonction G Définition Nous allons commencer par montrer la convergence de la série + n m Z m + nτ 2, pour tout τ H. Pour cela, nous allons utiliser la formule sommatoire de Poisson 2 afin de pouvoir calculer la somme sur m. D après ce qui a été dit ci dessus, la définition, ainsi qu une expression, de la fonction G 2 en découlera facilement. Voir [26], chap. 7, 2.3 et 4.2 9

10 Lemme : z H, m Z + m + z 2 4π2 me 2imπz. m Démonstration : Soit z H, z x + iy avec x, y R R +. Notons Φ y : R C x x + iy 2 Alors : Φ y C 0 R L R M > 0, x R, Φ y x x 2 + y 2 M + x 3 2 Calculons la transformée de Fourier Φ y de Φ y : Le théorème des résidus, appliqué au lacet Γ R {Re iθ ; θ [0; π]} [ R; R], orienté dans le sens trigonométrique, puis un passge à la limite lorsque R +, permet de démontrer le lemme suivant 3 : Lemme : Soit f L R. On suppose que la fonction f admet un prolongement f, holomorphe sur H A, où A est une partie finie de H, vérifiant lim fz 0. z + + Alors, fte 2iπxt dt 2iπ Res z fze 2iπaz, a a A pour tout x > 0. Dans l optique d utiliser la formule ci dessus, considérons la fonction Φ y définie par Φy : C R C. z z + iy 2 Alors, les fonctions Φ y et z Φ y z prolongent holomorphiquement Φ y et t Φ y t sur H et H {iy} respectivement, et lim y z 0. z + Ainsi, si x < 0, Φy x Φ y te 2iπxt dt Φ y te 2iπ x t dt 2iπ 0 0 si x > 0, R Φy x Φ y te 2iπxt dt 2iπRes z Φ y ze 2iπxz, iy R 2iπ e 2iπxz iy 2iπ 2 xe 2πxy 4π 2 xe 2πxy R 2 Lemme : Formule sommatoire de Poisson. On utilisera comme définition de la transformée de Fourier de f L R la formule x R, fx fte 2iπxt dt. R Soit f C 0 R L M R telle que M > 0, α >, x R, fx + x α fn < + n Z Alors, x R, fx + n fne 2inπx. n Z n Z Pour la démonstration. voir H. Queffélec, C. Zuily : Eléments d analyse, Éd Dunod, p Voir par exemple, Amar - Matheron : Analyse complexe, Éd Cassini, p

11 + [ De plus, pour x 0, on a Φ dt y 0 t + iy 2 dt ] + 0. t + iy { On a donc Φ 0 si x 0 y x 4π 2 xe 2πxy si x > 0. Par conséquent, + Φ y n 4π 2 ne 2nπy < +, car y > 0. n Z n D après la formule de Poisson, appliqué à la fonction Φ y, on a donc : n + z 2 x + n + iy 2 Φ y x + n Φ y ne 2inπx n Z n Z n Z n Z 4π 2 n Z ne 2nπy e 2inπx 4π 2 + ne 2inπiy+x 4π 2 + ne 2inπz Il ne reste plus qu à regrouper les ingrédients pour obtenir la propriété suivante : Propriété : La fonction G 2 : H C τ n Z m Z m 0 si n0 définie, et vérifie τ H, G 2 τ π2 3 8π2 m + nτ 2 + p σ pe 2ipπτ. est correctement Démonstration : En appliquant le lemme précédent, on a : + + τ H, m + nτ 2 4π2 n m Z + n m + me 2imnπτ 4π 2 σ pe 2ipπτ, car me 2imnπτ est une famille sommable. m,n N 2 De plus, en effectuant successivement les changements d indices m m et n n, on a : τ H, m + nτ m + n τ 2 4π2 σ pe 2ipπτ n m Z n m Z p Ainsi, est convergente pour tout τ H, de somme m + nτ 2 n Z n0 m Z m 0 si n0 m Z m 0 si n0 + m + nτ 2 + n m Z m + nτ 2 + n m Z + 2ζ2 8π 2 σ pe 2ipπτ, ce qui démontre la propriété. p p m + nτ 2, ie

12 2..2 Perte du caractère modulaire. Maintenant que nous avons la définition de G 2, nous allons voir la différence essentielle entre cette série d Eisenstein et les deux séries G 4 et G 6 : il s agit de la perte du caractère modulaire. Bien sur, cela provient du fait que pour τ H, m + nτ2 m,n Z 2 {0,0} n est pas une famille sommable. Pour démontrer que G 2 n est pas invariante par l action du groupe SL 2 Z, nous allons utiliser l étude de fonctions elliptiques, et notamment les deux formules suivantes liant la fonction de réseaux G 2, définie par G 2 Zω Zω 2 ω G ω2 2 2, ω aux quasi - périodes d une fonction zeta de Weiertrass de même réseau Zω Zω 2 : Propriété : Soit Λ Zω Zω 2 de C. ρ Λ et ζ Λ respectivement la fonction elliptique de Weierstrass et la fonction zeta de Weiertrass de réseau Λ. η Λ et η 2 Λ les quasi-périodes de ζ Λ associées respectivement aux périodes ω et ω 2. { η Λ ω G2 Zω Zω 2 Alors, η 2 Λ ω 2 G2 Z ω 2 Zω Démonstration : Les calculs suivant étant identiques pour les deux quasi - périodes, nous ne les effectuerons que pour la quasi - période η Λ, quasi - période définie par : z C Λ, η Λ ζ Λ z + ω ζ Λ z, où pour tout z C Λ, ζz z + ω Λ {0} z + ω + z ω 2 ω Puisque, pour tout z C Λ, z + ω + ω z + ω + ω ω 2 une famille sommable, on a successivement, pour z C Λ : η Λ ζz + ω ζz z + ω z + z + ω + ω z + ω + ω ω 2 ω Λ {0}. λ Λ {0} ω + z + m + ω + nω 2 z + mω + nω 2 mω + nω 2 2 n Z m Z + + ω z + m + ω z + mω mω 2 + z + ω z m Z Or, en écrivant M lim et M +, puis m Z m Z M + m M lim M + en simplifiant les sommes télescopiques présentes, on obtient : η Λ ω mω + nω ω mω 2 n Z m Z m Z ω n Z m Z m + n ω ω m 2 m Z ω ω G 2 ω2 ω ω G2 Zω Zω 2 m M m est 2

13 Désormais, il n est plus difficile de démontrer que, bien qu étant holomorphe, G 2 ne vérifie pas la condition de modularité de poids 2 sous l action de SL 2 Z. Propriété :. La fonction G 2 est holomorphe sur H. 2. La fonction G 2 n est pas une forme modulaire. Démonstration :. Soit K un compact de H. { R Re z R Alors : R > 0, a > 0, z H, a Im z a. Donc : p N, τ K, σ pe 2ipπτ σ pe 2pπIm τ σ pe 2apπ. Cette majoration prouve que la série de fonctions holomorphes sur H τ σ pe 2ipπτ p N converge normalement sur tout compact de H. Ainsi, d après le théorème de Weiertrass, la fonction G 2 est holomorphe sur H. 2. Montrons que : τ H, G 2 τ τ 2 G 2 τ. Soit τ H. Notons η et η 2 les quasi - périodes de la fonction zeta de Weiertrass de réseau Z Zτ, associées aux périodes et τ de la fonction elliptique de Weiertrass de même réseau. La relation de Legendre 4 liant périodes et quasi - périodes d une fonction elliptique s écrit ici : τη η 2 2iπ, c est - à - dire d après la propriété précédente 2iπ τ G 2 Z Zτ τ G 2 Z τ Z τg 2 τ τ G 2. τ Ainsi, on a : τ H, G 2 τ 2 G 2 τ 2iτπ. τ Ceci montre que G 2 de poids 2. n est pas une forme modulaire, car sinon, elle serait 2.2 Fonction G 2. Pour compenser la perte de modularité de G 2, nous allons maintenant définir une fonction G 2, proche de G 2, qui sera invariante par l action de SL 2 Z. Evidemment, ce que l on gagne d un côté va être perdu de l autre, car sinon, on obtiendrait une forme modulaire de poids 2 sur SL 2 Z, alors qu il n en existe pas! Pour cela, nous allons suivre l idée de Hece, qui se déroule en deux temps : 4 Propriété : Relation de Legendre Les quasi - périodes η et η 2 d une fonction zeta de Weiertrass de réseau Λ, associées aux périodes ω et ω 2 de la fonction elliptique ρ de Weiertrass de même réseau Λ sont liées par la relation η η 2 ω ω 2 ω 2η ω η 2 2iπ. 3

14 rajouter un facteur de convergence à la somme définissant G 2, en considérant la fonction définie sur H {z C; Re z > 0 par : Φz, s mz + n 2 mz + n, s m,n Z 2 {0,0} 2 pouvoir définir G 2z s 0 lim Φz, s pour z H. Re s>0 Nous allons suivre la même démarche que lors de la définition de G 2, modulo quelques complications techniques : à savoir le calcul d une transformée de Fourier pour pouvoir appliquer la formule de Poisson et obtenir le développement de Fourier de Φ., s pour Re s > 0. e 2iπxt 2.2. Estimation de l intégrale de Fourier R t + iy 2+ s 2t iy s 2 Notons Log la détermination principale du logarithme, défini sur C R, par Log z log z +iarg z, où Arg z ] π; π[. Alors, pour tout s C et t R, z +it s est défini par z + it s e slogz+it et on a la minoration z + it s e πim s z + it Re s. A partir de cette considération simple, nous allons pouvoir démontrer le lemme suivant, dont le but est de changer le domaine d intégration de la transformée de Fourier de H s,y : t avec s C, Re s > 0 et y > 0, afin de pouvoir t + iy 2+ s 2 t iy s 2 en obtenir une estimation. Lemme : Soit y > 0. α, β 2 C 2, Re α + β >. Si Γ { désigne le contour ci contre, A > 0 avec 0 < y 0 < y, et Γ le contour symétrique de Γ par rapport à Re z 0, on a alors : + e ixt x > 0, t + iy α t iy dt e ixz β Γ z + iy α z iy dz. β + e ixt Γ x < 0, t + iy α t iy dt e ixz β z + iy α z iy dz. β La démonstration est une adaptation du lemme page 0 utilisé pour calculer une transformée de Fourier lors de la démonstration de l égalité, valable pour z H : + z + n 2 4π2 me 2imπz. n Z m En effet, on ne peut pas utiliser ce lemme, puisque l on devrait calculer Res z ; iy, ce que les techniques de calculs usuelles de résidus e ixz z+iy α z iy β ne permettent pas de faire, puisque α et β ne sont pas nécessairement des entiers. L idéee est alors de modifier le contour utilisé dans ce lemme page 0 afin que ce contour soit le bord orienté d un compact K à bord régulier ne contenant pas iy. dt Démonstration : Le lemme se démontre de la même facon, que x soit positif ou négatif. Nous supposerons donc x > 0. Soit A, R R +2 tel que 0 < A < R. y 0, h R 2 tel que 0 < y 0 < y < h. 4

15 Notons h α,β : C {iy; iy} C z z + iy α z iy β Considérons aussi le contour Γ R,h suivant :. La fonction z h α,β ze ixz est holomorphe sur C {iy; iy}, donc, d après le théorème des résidus, h α,β ze ixz 0 2. Γ R,h En utilisant la minoration z + it s e πim s z + it Re s pour t R, s, z C 2 avec z + it 0, on obtient : max h α,β ze ixz dz, h α,β ze ixz α+β heπim dz I VII RRe α+β max h α,β ze ixz dz, h α,β ze ixz α+β eπim dz e hx, II VI Re α + β ARe α+β d où lim lim h α,β ze ixz dz 0. h + R + I II VI VII e xt+iεax De plus, t εa + it + y α εa + it y β est intégrable sur [y 0; + [ pour e xt+iεax ε { ; +}, car pour t y 0, εa + it + y α εa + it y β eπim α+β A Re α+β e xt, lim lim h α,β ze ixz dz h α,β ze ixz dz. h + R + III d où lim lim h α,β ze ixz dz h α,β ze ixz dz. h + R + Enfin, H α,β te ixt lim V lim h + R + α+β eπim t 2 + y 2 Re α+β 2 VIII 3 h α,β ze ixz dz + h α,β te ixt dt, prouve l intégrabilité sur R de t h α,β te ixt. En conclusion, lorsque R +, puis h + dans l égalité 2., on obtient + e ixz z + iy α z iy β dt h α,β ze ixz dz + h α,β ze ixz dz 3 Γ h α,β ze ixz dz. IV car 5

16 Ainsi, nous allons pouvoir estimer R e 2iπxt t + iy 2+ s 2 t iy s 2 dt pour tout réel x. Corollaire : Pour tout x, y R ]0; + [, et pour tout s C, avec Re s >, on a : Ĥs,yx e 2iπxt dt t + iy 2+ s 2 t iy s 2 R 4 e π 2 Im s e π x y Re s + y 2 Démonstration : Pour x 0, on a successivement : Ĥs,y0 dt R t + iy 2 t 2 + y 2 s 2 d où le résultat. + Re s 4 2 3, si x 0. π y +Re s, si x 0. R dt t 2 + y 2 Re s + 2 dt y Re s R t 2 + y 2, Puisque changer x en x revient, dans le lemme précédent, à changer le chemin Γ en Γ, ce qui n a d autre contribution que de changer x en x dans les majorations suivantes, nous supposerons x > 0 pour le reste de la démonstration. On a, d après le lemme précédent : Ĥs,y0 e 2iπxz dz. z + iy 2 z 2 + y 2 s 2 En découpant Γ comme dans le lemme précédent, on a, pour A, y 0 y 2 : e ixz 3 z + iy 2+ dz 4 s 2 z iy s Re s e π 2 Im s e x y 2. 2 y Calcul de 2 C, Re s > 0. e ixz z + iy 2+ s 2 z iy s 2 dz Donc, Ĥs,yx 4 e π 2 Im s e π x y Re s y+ 2 m,n Z 2 {0,0} 4 Γ Re s y+ 2 + Re s Re s 4 2 e π 2 Im s e x y 2. 3 pour z H et s mz + n 2 mz + n s Pour effectuer ce calcul, nous allons, comme annoncé, appliquer la formule de Poisson. Ceci donne le lemme suivant : Lemme : Pour tout z x + iy H, et s C tel que Re s > 0, on a : m,n Z 2 {0,0} mz + n 2 mz + n 2 π 2ζ2 + s s 2 + s 2 + m n Z R sζ + s y +s e 2inπmx t Γ s+ 2 Γ + s 2 + t + imy 2+ s 2 t imy s où Γ et ζ désignent les fonctions gamma d Euler et zeta de Riemann. dt 6

17 Rappelons que la transformée de Fourier de f L R est donnée par la formule x R, fx fte 2iπxt dt. On note aussi, pour y > 0, z H et s C, Re s > 0, R H s,y t et Φz, s t + iy 2+ s 2 t iy s 2 mz + n 2 mz + n. s m,n Z 2 {0,0} Démonstration : Soit z x + iy H et s C, Re s > 0. Alors, si m N, on a : H s,my C 0 R L R. e πim s M > 0, t R, H s,my t t 2 + m 2 y 2 2+Re s M + t 3. πe πim s Ĥ s,my n my +Re s + 4e πim s n + e πm n y my n Z n Z e πim s π my e πm n y my +Re s my n < +. On en déduit alors, d après la formule de Poisson, que : m N, mz + n 2 mz + n s H s,my mx + n Ĥ s,my ne 2imnπx. n Z n Z n Z + Ainsi, Φz, s 2ζ2 + s + 2 Ĥ s,my ne 2imnπx 2ζ2 + s + 2 m n Z + m n Z Ĥ s,my ne 2imnπx m Ĥ s,my 0. Or, en effectuant successivement les changements de variables t mu, puis v u sur la partie où l on intègre sur ] ; 0], on obtient Ĥ s,my t 2 y 2 m +s 0 t 2 + y 2 2+ dt. s 2 De même, en effectuant successivement les changements de variables t yu, v u 2, w v +, et x, on obtient : + w t 2 y 2 2x 2 0 t 2 + y 2 2+ dt s 2 y +s x s 2 dx 0 x s + y +s β 2, s + 3 2β 2 2, 2{ Re a > 0 où β est la fonction béta d Euler définie pour a, b C 2, avec Re b > 0, par βa, b 0 x a x b dx. En utilisant les relations 5 βa, b ΓaΓb, et Γu + uγu, valables { Γa + b Re a > 0 respectivement pour a, b C 2, avec et pour u C, Re u > 0, ainsi Re b > 0 que l égalité Γ 2 π, on obtient alors : Ĥs,my 0 D où : Φz, s 2ζ2 + s m n Z Ĥ s,my ne 2imnπx + π my +s π 2sζ + s y +s s + 2 Γ s+ 2 Γ s s 2 + s + 2. Γ s+ 2 Γ s Une preuve probabiliste est donné dans J. Y. Ouvrard : Probabilité 2, Éd Cassini, p

18 2.2.3 Définition de la fonction G 2, et propriété. On sait que 6 la fonction ζ se prolonge en une fonction holomorphe sur C {}, admettant un pôle simple en de résidu. Ainsi, les deux premiers termes du membre de droite de l égalité 2.2 admettent une limite lorsque s 0, avec Re s > 0, à savoir π 2 3 et π Im z respectivement. Pour montrer que la fonction G 2 plus qu à montrer que, pour tout z H, une limite lorsque s 0 avec Re s > 0. s 0 lim Φ., s est correctement définie, il ne reste Re s>0 + + m n Z Lemme : Pour tout z x + iy H, on a : + + lim s 0 Re s>0 m n Z e 2inπmx t t + imy 2+ s 2 t imy s 2 e 2inπmx t t + imy 2+ s 2 t imy s 2 + dt 4π 2 σ pe 2ipπx. p dt admet La démonstration va s articuler en trois temps. En premier lieu, nous montrerons que s Ĥ s,my n définit une fonction holomorphe sur {z C; Re z > } pour tout m, n N Z et tout y > 0 ; ceci permettra d affirmer que lim s 0 Re s>0 Ĥ s,my n Ĥ 0,my n. Dans un second temps, nous montrerons la convergence uniforme de la somme double, grâce à l estimation donnée par le corollaire de la page 6, d où la permutation de la limite avec la somme double. Il ne restera plus qu à conclure, e 2iπxt grâce au calcul de dt effectué page 0. t + iy 2 Démonstration : R Soient m N, n Z et y > 0, et notons Ω {z C; Re z > }. e 2inπt Alors : s Ω, t est mesurable. t imy 2 t 2 + m 2 y 2 s 2 e 2inπt t R, t HΩ. t imy 2 t 2 + m 2 y 2 s 2 t t 2 + m 2 y 2 L R. si K désigne un compact de Ω, on a pour tout s Ω : e 2inπt t imy 2 t 2 + m 2 y 2 s 2 t 2 + m 2 y 2 s 2 t 2 + m 2 y 2. Ainsi, d après le théorème d holomorphie sous le signe intégral, s Ĥ s,my n HΩ. En particulier : m, n N Z, y > 0, lim Ĥ s,my n Ĥ 0,my n. s 0 Re s>0 De plus, d après l estimation donnée par le corollaire { page 2.2., Re s > 0 pour tout m N, z x + iy H, n N et s C,, on a : s Ĥ s,my ne 2imnπx 6eπ e Nmπy my e Nmπy. n Z [ N ; N ] 6 Pour une démonstration voir [7], p

19 Ceci prouve la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général Ĥs,my ne 2imnπx n Z sur {z C; Re z > 0, z }. En particulier, d après le théorème de limite termes à termes d une série de fonctions, on obtient : lim s 0 Re s>0 n Z Ĥ s,my ne 2imnπx lim Ĥs,my s 0 ne 2imnπx n Z Re s>0 Ĥ 0,my ne 2imnπx. n Z + De même, l estimation Ĥ s,my ne 2imnπx + 6eπ y e mπy, valable mm n Z mm pour M N et z x + iy H montre la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général Ĥ s,my ne 2imnπx sur {z C; Re z > 0, z }, n Z m N d où en particulier : lim s 0 Re s>0 m N n Z Ĥ s,my ne 2imnπx s 0 lim m N Re s>0 m N n Z Ĥ s,my ne 2imnπx n Z Ĥ 0,my ne 2imnπx. Enfin, pour conclure, calculons Ĥ 0,my n pour y > 0 et m, n N Z. D après le calcul de la transformée de Fourier effectué page 0, on a : e 2iπxt { 0 si x 0 y > 0, t + iy 2 dt 4π 2 xe 2πxy si x > 0. Donc : R Ĥ 0,my n R e 2iπnt t imy 2 dt e 2iπ nt { 0 si x 0. R t + imy 2 dt 4π 2 ne 2mnπy si x < 0. Ainsi : m N n Z Ĥ 0,my ne 2imnπx + 4π 2 ne 2mnπy e 2imnπx m n + ne 2imnπz 4π 2 + m n + 4π 2 σ pe 2ipπz. p Ceci finit de démontrer le lemme. En rassemblant tous les résultats intermédiaires de ce paragraphe, on en déduit donc + que pour tout z H, s 0 lim Φz, s existe, et vaut π2 3 8π2 σ pe 2ipπz π Im z, Re s>0 p d où la définition - propriété suivante : 9

20 Définition - Propriété : La fonction G 2 : H C définie pour tout z H par : G 2 z est mz + n 2 mz + n s lim s 0 Re s>0 m,n Z 2 {0,0} correctement définie, et vérifie pour tout z H : G 2z G 2 z π Im z. Désormais, nous allons pouvoir constater ce que l on a gagné et perdu, par rapport à la définition de G 2 : G 2 n est pas holomorphe, mais vérifie la condition de modularité de poids 2 sous l action de SL 2 Z. Propriété :. G 2 n est pas une fonction holomorphe sur H. a b az + b 2. SL c d 2 Z, z H, G 2 cz + d 2 G cz + d 2z. Démonstration :. On a vu que G 2 est holomorphe sur H. Seulement z Im z ne l est pas, puisque Imz z a b 2. Soit γ SL c d 2 Z. m,n Z 2 {0,0} i 2 0. Alors, pour tout z H et tout s C tels que Re s > 0, on a successivement, en notant toujours Φz, s mz + n 2 mz + n s : az + b Φγ.z, s Φ cz + d, s m,n Z 2 {0,0} Or, mz + n 2 mz + n s s C tel que Re s > 0. cz + d 2 cz + d s maz + b + ncz + d 2 maz + b + ncz + d s. m,n Z 2 {0,0} est une famille sommable pour tout { { m Donc, par la transformation ma + nc mm n mb + nd, ie d n c n m a + n, on obtient : b Φz, s m z + n 2 m z + n s m,n Z 2 {0,0} ma + ncz + mb + nd 2 ma + ncz + mb + nd s, m,n Z 2 {0,0} d où Φγ.z, s cz + d 2+s φz, s. Ainsi, par passage à la limite, on obtient G 2γ.z cz + d 2 G 2z. De la condition de modularité de poids 2, sous l action de SL 2 Z, appliquée à la fonction G 2, on déduit la transformation de G 2 sous l action de SL 2 Z : a b az + b Corollaire : γ, z H, G c d 2 cz + d 2 G 2 z 2iπccz + d. cz + d 20

21 Démonstration : a b Soit z H, et γ. c d On a alors : Im γ.z Im z { cz + d 2. G 2 γ.z cz + d 2 G 2z Les deux relations G 2z G 2 z π Im z conduisent alors au résultat. 2.3 Fonctions E 2 et E 2. De même que nous divisons G 2 par 2ζ2, pour N, 2, afin d avoir un developpement à l infini commençant par le terme, nous allons aussi diviser G 2 par 2ζ2 π2 3 : Notations : Pour {2; 3; 4}, notons E 2 G 2 2ζ2 E 2 G 2 2ζ2 3G 2 π 2 On peut donc résumer les résultats établis dans ce chapitre, en terme de fonctions E 2 et E 2 comme suit : Propriété : La fonction E 2 vérifie : τ H, E 2 τ 24 a b γ c d, z H, La fonction E 2 définie par + p σ pe 2ipπτ. E 22 γ lim s 0 Re s>0 3 π 2 z E 2 z 6i π m,n Z 2 {0,0} vérifie : z H, E 3 2 z E 2 z πim z. γ SL 2 Z, E 2 γ E 2 z. 2 c cz + d. mz + n 2 mz + n s 2

22 22

23 Formes modulaires presque holomorphes et formes quasi-modulaires. Nous avons vu au chapitre précédent qu il était naturel de considérer les fonctions E 2 et E 2. Malheureusement, celles-ci ne répondent pas à tous les axiomes vérifiés par les formes modulaires classiques, à savoir la condition de modularité et holomorphie sur H. Nous allons voir comment il est possible d affaiblir la définition d une forme modulaire afin que les fonctions E 2 et E 2 soient les exemples typiques des «formes modulaires affaiblies». 3. Introduction des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presques holomorphes. 3.. Motivations. Lorsque l on regarde différentes démonstrations 2 de transcendance du nombre e, on voit que le fait que exp exp est très important, puisqu il montre que l ensemble des exponentielles polynômes est stable par dérivation. Dans le même ordre d idée, on aimerait bien avoir un opérateur différentiel laissant stable l ensemble MΓ N M Γ des formes modulaires, où Γ est un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. Or, un calcul simple montre que si f M et α SL 2 Z, alors, pour tout z H, on a f αz f z + c fz cz + d Ceci empêche alors f d être une forme modulaire dès que f M 0 : dans le cas contraire, on aurait, pour un certain l N, f lα f pour tout α Γ, ce qui impliquerait que, pour tout z H, le polynôme z + X l z + X +2 f z z + X + fz serait le polynôme nul, ie f serait constante, ce qui n est pas. Ainsi, la dérivation usuelle ne laisse pas stable l ensemble des formes modulaires. Définition : Etant donné N et H un sous-groupe de SL 2 Z, on dira qu une fonction f : H C vérifie la condition de modularité de poids relativement à H lorsque α H, f α f. Si H SL 2 Z, on parlera plus simplement de condition de modularité de poids. 2 T. Schneider : Introduction aux nombres transcendants, chap. 2, 2, Ed Gauthier-Villars,

24 De plus, la formule 3. fait penser à la relation de transformation de E 2 : a b z H, α SL c d 2 Z, E 2 αz E 2 z + 6 c. On veut évidemment iπ cz + d grossir l algèbre des formes modulaires de manière à ce qu elle reste une algèbre, d où l idée r i c d affaiblir la condition de modularité en f αz f i z cz + d i0 pour un certain r N, certaines fonctions f 0,, f r holomorphes sur H et a b pour tout α SL c d 2 Z et tout z H. Ceci donne les formes quasi-modulaires introduite par D. Zagier. D un autre coté, on peut aussi affaiblir la condition d holomorphie plutôt que la condition de modularité. La définition de E 2 et le cahier des charges suggèrent alors d affaiblir la condition d holomorphie ainsi : il existe r N, il existe des fonctions f 0,, r f i z f r holomorphes sur H tels que pour tout z H, fz z z. i i0 Ceci donne les formes modulaires presques holomorphes, considérées par G. Shimura Définitions et premiers exemples. Commençons par rappeler la définition d une forme modulaire, afin de pouvoir constater plus facilement l affaiblissement des deux définitions suivantes : Définition 0 : Soit N et Γ un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. Une fonction f : H C est appelée une forme modulaire, de poids, relativement à Γ lorsque : f est holomoprhe sur H γ Γ, f γ f. { } n si h inf n N; Γ, alors f α admet 0 un développement de Fourier du type : + z H, f α z a n e 2inπ h z n0 f est holomorphe aux pointes. On a les définitions suivantes de formes quasi-modulaires, et de formes modulaires presque holomorphes. Définition : Soit, l Z N et Γ un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. Une fonction f : H C est appelée une forme quasi-modulaire, de poids, relativement à Γ s il existe des fonction f 0,, f l holomorphes sur H telles que :. f est holomorphe sur H. 24

25 2. γ Γ, z H, f γz l j c f j z. cz + d + z 2 p 3. p N, c > 0, i [ 0 ; l ], z H, f i z c. Im z Si f l 0, on dit que f est une forme quasi-modulaire, de poids et de profondeur l relativement à Γ. Définition 2 : Soit, l Z N et Γ un sous groupe de congruence de SL 2 Z. Une fonction f : H C est appelée une forme modulaire presque holomorphe, de poids, relativement à Γ s il existe des fonction f 0,, f l holomorphes sur H telles que :. z H, fz l f j z z z j. 2. γ Γ, f γ f. + z 2 p 3. p N, c > 0, i [ 0 ; l ], z H, f i z c. Im z Si f l 0, on dit que f est une forme modulaire presque holomorphe, de poids et de profondeur l relativement à Γ. On note désormais M l Γ resp. M l Γ l ensemble des formes quasi-modulaire resp. formes modulaires presque holomorphes de poids et de profondeur l, relativement à Γ. On constate que la condition d holomorphie à l infini d une forme modulaire s est transformée en une condition de croissance hypothèse iii. des deux définitions ci-dessus Justifions alors que si f M Sl 2 Z, f vérifie bien cette condition de croissance : si est impair ou 2 On sait 3 que M Sl 2 Z C si 0 S Sl 2 Z CG si est pair ou 4 Soit alors f M Sl 2 Z. Si {0; 2} ou si est impair, le résultat est clair. Si est pair et vérifie 4, alors f g + λe où g S Sl 2 Z et λ C. La fonction ϕ g Im 2 vérifie lim ϕz 0 et est aussi continue sur le domaine fondamental z + D {z H; Re z < et z > }. Donc elle est bornée sur D, et puisqu elle est 2 invariante par l action du groupe Γ sur le demi-plan de Poincaré, elle est bornée sur H tout entier : C 0 > 0, z H, gz 3 Voir [26], chap. 7, 3.2, p 43. C 0. Im z 2 25

26 Par ailleurs, dans la base, X, XX,, XX X 2 + de C 2 [X], il existe des complexes α 0,, α 2 C 2 tels que X 2 On a ainsi successivement : z H, E 2 z + β + n + 2 i0 σ 2 ne 2nπIm z où β R + + β n 2 Y n où Y e 2πIm z [0; [ n β α i Y i+ nn n iy n i i0 2 + β i0 + β2! ni α i i +!Y i+ Y i+2 2 i0 α i Y i+ Y i+2 α XX X i +. 2 C 0 On a alors z H, fz Im z + + β e 2i+πIm z α /2 i d où e 2πIm z i+2 i Im z 2+ Im z e 2i+πIm z z H, fz + C + z β α i + z 2 e 2πIm z. i+2 i0 2+ Im z e 2i+πIm z Or i [ 0 ; 2 ], ψ i : z α i est bornée sur H + z 2 e 2πIm z i+2 ψ i est continue sur H. car ψ i z Im z 2 i z 0 2π i+2 d où ψ i z z 0 0. Im z 2+ ψ i z O d où ψ z + + z 2 2+ e 2πIm z i+2 i z 0. z + + z 2 2+ Ceci prouve donc que : C > 0, z H, fz C, et donc que Im z si f est une forme modulaire classique, f vérifie la condition de croissance. Essentiellement, nous avons démontré au chapitre précédent la propriété suivante : Propriété :. Pour tout groupe de congruence Γ de SL 2 Z, on a : 0 0 M Γ M Γ M Γ 2. E 2 M SL 2Z 3. E 2 2Z M Pour finir, voici quelques notations : Notation : M Γ s N M Γ s N M s Γ MΓ M Γ Z M s Γ MΓ M Γ Z 26

27 3.2 Premières propriétés des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque holomorphes. Nous allons voir dans ce paragraphe trois propriétés semblables pour les deux extensions de formes modulaires. Pour cela, nous adapterons les arguments de Martin et Royer 4 pour les deux extensions possibles au cas de niveau supérieurs Utilité de la profondeur. Avant de justifier les sommes directes définissant MΓ et MΓ, nous allons voir qu il n y a pas de perte de renseignements sur la profondeur dans les notations M Γ et M Γ. Propriété : Unicité de la profondeur. Soit Γ un sous - groupe de congruence de SL 2 Z tel qu il existe a b Γ avec c 0 et Z. c d. Si f M Γ est non nulle, alors!s N, f s M Γ. 2. Si f M Γ est non nulle, alors!s N, f s M Γ. Remarquons que si f est nulle, une adaptation de l argument qui suit montre que dans les deux cas, on a nécessairement s 0 ; par contre le poids ne peut être déterminé uniquement. Démonstration : Soit N N tel que ΓN Γ. M s s. Soit f Γ M Γ. Quitte à renommer s et s, on peut supposer que s s. Alors il existe des fonctions g 0,, g s, h 0,, h s holomorphes sur H, avec g s 0 et h s 0 telles que : a b γ Γ, z H, c d f γz f γz s s c g j z cz + d j j c h j z cz + d { gs z Or z 0 H, 0 0 h s z 0 0, car les zéros de g s et h s sont isolés. a b s s Ainsi Γ, g c d j z 0 c j cz 0 + d +s j h j z 0 c j cz 0 + d +s j. pn p Puisque p Z, 2 N ΓN Γ, on obtient, pour tout p Z, N + pn s s g j z 0 N j Nz pn +s j h j z 0 N j Nz pn +s j. 4 Voir [5], chap. 7, p

28 On a ainsi l égalité polynomiale : s s N j g j z 0 X +s j N j h j z 0 X +s j Par égalité { des termes de degré inférieur à et du degré de ce polynôme, s on obtient s j [ 0 ; s ], g j z 0 h j z 0 2. Soit f s M s Γ M Γ. De même que précédemment, on peut supposer que s s. De plus, il existe des fonctions g 0,, g s, h 0,, h s holomorphes sur H, avec g s 0 et h s 0 telles que : z H, s s g j z z z j h j z z z j En appliquant p fois, pour p N, l opérateur à la dernière égalité z et en multipliant à chaque étape par z z 2, on obtient, puisque les fonctions g 0,, g s, h 0,, h s sont holomorphes : s p s j + p! g j+p z p p [ 0 ; s ], j! z z j j + p! h j+p z j! z z j. En particulier, lorsque p s, s!g s z s p j + p! j! h j+p z z z j. Si s < s, alors s s nouvelles applications de z fournirai s!h s 0, d où h s 0, ce qui n est pas. Ainsi s s. et multiplication par z z Structure d algèbre graduée sur M et M. Si Γ est un sous-groupe de congruence de SL 2 Z, on sait 5 MΓ MΓ est muni d une structure d algèbre graduée 6. N que l ensemble Nous allons montrer que les ensembles des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque holomorphes, relativement à Γ peuvent aussi être munis d une structure d algèbre graduée. 5 Pour le cas des formes modulaires classique, voir [26], chap. 7, 3.2, remarque p Définition : Une algèbre A est dite graduée s il existe une famille A i i N de sous-espaces vectoriels de A tels que : A i N A i i, j N 2, A i A j A i+j 28

29 Propriété : Soit Γ un sous - groupe de congruence de SL 2 Z.. Les sous espaces vectoriels M Γ resp. M Γ, pour Z, sont en sommes directes. 2. MΓ M Γ sont des algèbres graduées. N M Γ et MΓ N Démonstration :. Pour montrer qu un nombre infini dénombrable de sous-espaces vectoriels sont en somme directe, il suffit de vérifier qu un nombre quelconque d entre eux sont en somme directe. Montrons donc que l injectivité de l application ϕ n : M Γ M n Γ M Γ + + M n Γ f,, f n f + + f n pour tout n N et tout,, n N n. Pour n, le résultat est clair. Supposons le résultat établià l ordre n. s Soit alors f,, f n M Γ s i c Notons f ii αz f ij z cz + d a b pour tout z H, i [ ; n ] et α c d sn M n Γ telles que n f i 0. i j, l équation de transformation de f i SL 2 Z. Alors, puisque N N, p Z, pn p 2 N N + pn ΓN Γ, cette même équation de transformation implique que pour tout z H, pour tout p Z, 0 n s i i+ max f ij znz + + pn i j i n, d où en notant i s max i n s i, pour tout z H, le polynôme n s i f ij zx i+s j est nul. i En particulier, son coefficient dominant est nul, c est-à-dire f i00 0 où i 0 est tel que i0 max i. Or f i0 I 2 f i0 f i00, d où f i0 0, et l hypothèse i [ ; n ] de récurrence permet de conclure que f f n 0, d où ϕ n est injective. Ainsi, les sous-espaces vectoriels M Γ sont en somme directe. Soit f,, f n s M Γ sn M n Γ telles que n f i 0. i Par le même raisonnement que précédemment, l équation de transformation n appliquée à f i M n n Γ montre que le polynôme f i zx i est nul pour i tout z H, d où en particulier f i0 0 avec i 0 [ ; n ] tel que i0 max i [ ; n ] i. Ceci permet de conclure, d après le principe de récurrence, que les sous-espaces vectoriels M Γ sont en somme directe. i 29

30 2. Notons alors MΓ M Γ et MΓ M Γ. N N MΓ et MΓ sont évidemment munis d une structure d espace vectoriel. s s2 s s2 De plus si f, g M Γ M 2 Γ resp. f, g M Γ M 2 Γ, M s+s2 un calcul immédiat montre alors que fg + 2 Γ M + 2 Γ MΓ s+s2 resp. fg M + 2 Γ M + 2 Γ MΓ. Ainsi, MΓ et MΓ sont aussi des algèbres graduées par le poids Opérateurs différentiels sur M Γ et M Γ. On a voulu généraliser la notion de forme modulaire de manière à connaitre des opérateurs différentiels laissant stables les algèbres M Γ et M Γ, où Γ est un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. L équation de transformation des formes quasi-modulaires a été choisie de façon à avoir la propriété suivante : Propriété : Soit, s Z N et Γ un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. On a alors : M s z Γ s+ M +2 Γ. Démonstration : M s Soit f Γ. Alors, il existe des fonctions f 0,, f s holomorphes sur H telles que l équation s j c de transformation de f s écrive : γ Γ, z H, f γz f j z. cz + d a b Ainsi, si γ f γ z +2 c d z f 0z + Γ et z H, un calcul simple montre que : s f jz c + jf j z j cz + d s+ c + sf s z. cz + d Ceci montre donc le second point de la définition, le premier et le troisième point étant clair par l expression précédente. Il nous reste à trouver un opérateur similaire pour les formes modulaires presque holomorphes. Or, au cours de la démonstration de la somme directe des espaces vectoriels M Γ, nous avons naturellement appliqué l opérateur, afin d annuler z le «coefficient constant» du polynôme en, qui est une fonction holomorphe, z z puis on a multiplié par z z 2 pour simplifier l expression obtenue. Ceci invite donc à considérer l opérateur, noté ε par Shimura 7, défini sur M Γ par εf z z z 2 f z z pour tout f M Γ et z H. Nous avons alors une propriété analogue à la précédente : j 7 Voir [3], 7. 30

31 Propriété : Soit, s Z N Γ un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. On a alors : ɛ M s Γ s M 2 Γ. Démonstration : M s Soit f Γ. Alors, il existe des fonctions f 0,, f s holomorphes sur H telles que f s écrive : s f j z z H, fz z z j. Un calcul simple montre alors que : z H, εf z s j + f j+ z z z j. Ceci prouve le premier point de la définition 2, ainsi que le troisième. a b Pour le second point, on a pour tout γ Γ et z H : c d γ.z γ.z2 f εf γ z 2 cz + d 2 z γ.z z z2 cz + d 2 f γ cz + d 4 cz + d 2 z z z z2 cz + d cz + d fz z z z 2 f z z εfz Le fait d avoir un opérateur qui augmente le poids de 2 pour une approche, et un autre opérateur qui diminue le poids de 2 pour l autre approche, semble rompre la similitude entre les deux extensions possibles. Pour étudier cela, calculons l adjoint de l opérateur ε pour le produit scalaire de Peterson, puisqu alors son adjoint augmentera de 2 le poids. Rappelons 8 que si f et g sont deux formes paraboliques de poids relativement au sous - groupe de congruence Γ de SL 2 Z, alors, fx + iygx + iyy dxdy, D y 2 où D est un domaine fondamental de Γ, est convergente et indépendante de D. L application <.,. > définie sur S Γ 2 par < f, g > fx + iygx + iyy dxdy, λ D y 2 dxdy avec λ, est alors un produit scalaire. D y 2 En effet, ceci vient des trois faits suivant : f M Γ vérifie f S Γ si et seulement si z Im z 2 fz est bornée sur H, un domaine fondamental est de volume fini, et enfin f et g vérifient les conditions de modularité. Par analogie à S Γ pour un sous-groupe Γ de congruence de SL 2 Z, notons ŜΓ l ensemble des formes paraboliques presque holomorphes, ie l ensemble des formes 8 Voir [3], chap. 3, 4. 3

32 modulaires presque holomorphes dont le coefficient constant dans le développement de Fourier à l infini est nul. Par ailleurs, si f M Γ, on peut toujours écrire que f ŜΓ si et seulement si z Im z 2 fz est bornée ; néanmoins la condition de modularité n est plus vraie, ce qui empêche l indépendance par rapport à D de l intégrale, mais l application <.,. >: Ŝ Γ 2 C définit toujours un produit scalaire. Il est donc bien légitime de vouloir déterminer les adjoints de z scalaire de Pëtersonn. et ε pour le produit Pour cela, considérant εf, g, l idée est d arriver à faire porter sur g l opérateur f z, opérant à l origine sur f. Nous allons donc faire une intégration par parties. La difficulté technique provient du calcul des termes de bord, ce qui est fait dans le lemme suivant : { Lemme : Soit D z C; z, 2 Re z } un domaine fondamental de 2 SL 2 Z. f M 0 SL 2Z et g M 0 2 SL 2Z. Alors, fx + iygx + iyy 2 dxdy 0. z D Remarquons que dans ce lemme, nous réduisons l étude au seul groupe SL 2 Z. En effet, pour pouvoir calculer les deux intégrales, il est de bon augure que l intégrande soit - périodique. Le résultat reste vrai sur un sous-groupe de congruences contenant la matrice ; néanmoins, nous ne calculerons l adjoint de opérateur ε que dans 0 le cas de SL 2 Z. Mais nous vérifierons la propriété attendue pour tout sous-groupe de congruence de SL 2 Z. Pour la démonstration de ce lemme, nous utiliserons la formule de Green-Riemann 9, afin d avoir à calculer une intégrale curviligne, puis nous concluerons en invoquant l invariance par z z de l arc de cercle { e iθ ; θ [ π ; ]} 2π 3 3, l orientation étant changée. L application de la formule de Green-Riemann nécessite de se restreindre à un compact, un passage à la limite sera donc aussi nécessaire. 9 Lemme : Formule de Green - Riemann Soit un compact de R 2. + la frontière de orienté dans le sens positif. ω Pdx + Qdy une forme différentielle de classe C sur un ouvert contenant. Q Alors, x P dxdy ω. y + Voir L. Schwartz : Analyse IV, chap. 6, 0 p , Ed Hermann 32

33 Démonstration : Notons pour M >, DM {z C; z, 2 Re z 2 }, 0 < Im z M. Alors, d après l égalité de Green-Riemann, on a, car i 2 fzgzy 2 dz est une forme différentielle de classe C sur H, ouvert contenant DM : fzgzy 2 dxdy fzgzy 2 dxdy z 2 x DM 2 i 2 DM DM + DM ifzgzy 2 dxdy y fzgzy 2 dx + idy i fzgzy 2 dz 2 + DM Orientons le contour de + DM de la manière suivante : Par - périodicité de x fx + iygx + iyy pour tout y > 0, on a fzgzy dz + fzgzy dz 0. 3 De plus, 4 est sa propre image par z, l orientation étant changée, z ce qui prouve que 4 fzgzy 2 dz 0, car : fzgzy 2 dz fzgzy 2 0 dz, où S 0 4 S 4 f 4 g z z + z z 2i 2 dz z 2 2 fzgzz z 2 z z 4 z 2 z 2 4 dz 2i fzgzy 2 dz. 4 Enfin, on utilise le lemme suivant pour estimer la contribution le long de 2 : Lemme : Soit f ŜΓ où Γ est un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. Alors : c > 0, γ Γ, x R, f γ.x + iy y + Oe cy. 33

34 Ainsi, il existe c > 0, tel que fzgzy 2 dz 2 M + OM 2 e cm, d où lim fzgzy 2 dz 0. M + DM z Or, d après le théorème de convergence dominée de Lebesgue, et d après ce même lemme précédent, on a l égalité : lim fzgzy 2 dxdy fzgzy 2 dxdy. M + z z D où :: D DM fzgzy 2 dxdy 0, ce qui prouve la propriété. z Nous pouvons désormais effectuer nos deux intégrations par parties : Propriété : Si f ŜSL 2 Z, alors ε fz D 4 f Im 2 z Im z 2 z f 4 z z + 2 z z fz. Démonstration : Puisque z est une dérivation, on a, si f M Γ et g M Γ : < εf, g > 4 y 2 f λ D z zgzy 4 dxdy 4 f λ D z z gzy 2 dxdy 4 fzgzy λ D z z 2 dxdy + 4 fz gzy 2 dxdy λ D z 4 λ f; D fz z gzy 2 dxdy 4 Im 2 Ceci prouve la propriété, car ε f 4 g Im 2. z f z i 2 2Im f. Ceci nous invite à considérer l opérateur δ défini sur M Γ, où Γ est un sous-groupe de congruence de SL 2 Z, par δ f f z + 2 2iIm f pour tout f M Γ. De même que pour les propositions des pages 30 et 30, on a : Propriété : Soit, s Z N. Γ un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. On a alors : δ M s Γ s+ M +2 Γ. La démonstration est identique à celle du lemme p 36 de [3]. 34

35 Démonstration : M s Soit f Γ. Alors, il existe f 0,, f s s f j z z H, fz z z j. Un calcul simple montre que : des fonctions holomorphes sur H telles que z H, δ fz f 0z + s j f j z + j + f j z z z j + s z z s+ f sz. Ceci prouve le premier et le troisième point de la définition 2. f cz + d fz Pour le second point, on a γ.z cz + d2 z z 2iIm γ.z 2iIm z a b, si z H et γ Γ, d où : cz + d 2 c d et δ f γz +2 f cz + d +2 z γ.z + fγ.z 2iIm γ.z f γ cz + d z + z cz + d 2 2iIm z cz + d 2 f γz f z z + c cz + d + cz + d 2iIm zcz + d fz f z z + fz 2iIm z δ fz Etude des coefficients des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque-holomorphes. Soit Γ un sous groupe de congruence de SL 2 Z. Si f s s M Γ s écrit pour tout z H fz f j z, de la condition z z j de modularité de poids relativement à Γ, associée à l unicité du poids et de la profondeur, en remplacant z par z z z dans l expression de γ.z γ.z si γ Γ a b c d s l j + l et l [ 0 ; s ], on obtient alors c j f l j+l j 2l γ f l. Ceci permet d affirmer que f l M s l 2l Γ. De même, si f : H C est une forme quasi-modulaire de poids et de profondeur s j c inférieure à s, dont la condition de quasi-modularité s écrit f γ f j z, cz + d 35

36 en comparant la condition de quasi-modularité de f appliquée à γ γ 2, et celle de f γ a b appliquée à γ 2, où γ a2 b Γ et γ c d 2 2 Γ, on obtient, puisque les c 2 d 2 s a b espaces M Γ sont en somme directe : si γ SL c d 2 Z, l [ 0 ; s ] et z H, s j alors f l z c j l cz + d j+l f l j γ.z. jl Ceci permet aussi d affirmer que f l M s l 2l Γ. On a donc la propriété suivante : Propriété : Soit Γ un sous-groupe de congruence de SL 2 Z. M s. Soit f Γ, de condition de quasi-modularité s écrivant s j c sous la forme f γz f j z pour tout z H cz + d a b et γ Γ, avec pour tout j [ 0 ; s ], f c d j holomorphe sur H. Alors : j [ 0 ; s ], f j 2. Soit f M s j 2j Γ. s s M Γ, définie sur H par z H, fz f j z z z, j avec pour tout j [ 0 ; s ], f j holomorphe sur H. Alors : j [ 0 ; s ], f j M s j 2j Γ. Ceci est le premier résultat où la transcription quasi-modulaire en modulaire presque holomorphe n est pas exacte. Démonstration : M s. Soit f Γ. Alors, il existe des fonctions f 0,, f s holomorphes sur H telles que : a b s j c γ Γ, z H, f γz f c d j z. cz + d a b Soit alors γ a2 b Γ et γ c d 2 2 Γ. c 2 d 2 Ainsi : z H, f γ γ 2 z c 2 z + d 2 f γ γ 2.z s j c c 2 z + d 2 f j γ 2.z. c γ 2.z + d Notons γ γ 2 γ δ De a 2 d 2 b 2 c 2, on obtient d 2 γ c 2 δ c, ce qui implique que : 36

37 c c γ 2.z + d c c 2 z + d 2 c a 2 + d c 2 z + c b 2 + d d 2 c 2 z + d 2 d 2γ c 2 δ γz + δ c2 z + d 2 γ c 2 γz + δ c 2 z + d 2 γz + δ γ c 2 z + d 2 2 γz + δ c 2. c 2 z + d 2 Donc, d après la formule du binôme de Newton, puis en inversant l ordre de sommation, on obtient : s j l f γ γ 2 z j l j γ c j l l 2 c 2 z + d 2 l+j f j γ 2.z γz + δ l0 s s l j l j γ c j l l 2 c 2 z + d 2 l+j f j γ 2.z γz + δ l0 jl Or, la condition de quasi-modularité appliquée à f et γ γ 2 donne : s j γ f γ γ 2 z f j z pour tout z H. γz + δ D où par unicité du poids et de la profondeur des formes quasi-modulaires, on en déduit que : a b s l l [ 0 ; s ], γ Γ, f c d l j j + l c j f l j+l 2l j γ. Montrons alors par récurrence sur l [ 0 ; s ] que f s l M l 2s+2l Γ. L égalité précédente appliquée à l s impose : γ Γ, f s f γ. 2s Ainsi, l hypothèse de récurrence est vérifiée au rang 0. l Supposons que : l [ 0 ; l 0 ], f s l M 2s+2l Γ pour un certain l 0 [ ; s ]. Alors, d après l hypothèse de récurrence, il existe des fonctions f s,0, f s,0, f s,, a b f s 2,0,, f s l0+,l 0 holomorphes sur H telles que pour tout γ Γ, c d l j c l [ 0 ; l 0 ], et z H, f s l 2s+2l γ z f s l,j z. cz + d Or, d après l égalité précédente appliqué à s l 0, pour tout z H, et a b γ Γ, on a successivement : c d l 0 f s l0 z j j + s l0 c j f s l j+s l0 γ z 0 +2l0 j 2s l 0 j j j + l l + f s l0 z +2l0 2sγ l0 j i0 f s+j l0,iz c i+j cz + d. 37