Examen du cours MATH-G-1101

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1 Examen du cours MATH-G-1101 Le 6 janvier 2015 Question: Total Points: Score: Nom : Prénom(s) : Section : Matricule : Instructions Vous avez 2 heures 30 minutes pour faire cet examen! Écrivez soigneusement. Une réponse difficilement lisible sera considérée fausse. Marquez toutes les informations que vous jugez utiles mais soyez brefs. Nous tiendrons compte de votre raisonnement mais toute digression exagérément longue sera sanctionnée. Vous devez tout écrire à l encre, PAS au crayon et PAS en rouge. Ne pas détacher de feuilles (même les feuilles de brouillon)! Vous trouverez 2 feuilles de brouillon après les 8 questions. Cet examen se fait sans documents, sans calculatrice et de façon individuelle. Répondre aux questions dans le cadre prévu à cet effet. Si vous n avez pas suffisamment de place, répondez au verso de la feuille et précisez suite au verso 1

2 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 1 [ /13] (a) [ /3] Qu est-ce qu une démonstration? (b) [ /3] Expliquer ce qu est une démonstration par l absurde. (c) [ /4] Démontrer que 0 n a pas d inverse. (d) [ /3] Expliquer pourquoi une démonstration par l exemple n est pas utile pour démontrer qu une proposition est vraie.

3 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 2 [ /12] Considérer la fonction f : [ 1,3] R dessinée ci-dessous. 2 f(x) x 1 2 (a) [ /3] Dessiner g(x) = f ( x 2 + 1), être le plus précis possible.

4 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 (b) [ /3] Dessiner h(x) = 1 f(x), être le plus précis possible. 2 (c) [ /3] Dessiner j(x) = 4, être le plus précis possible. f(x)

5 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 (d) [ /3] Dessiner F (x) = x 2 f(t) dt, être le plus précis possible.

6 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 3 [ /20] Considérer la fonction (a) [ /1] Déterminer le domaine de f. ( ) 1 e x f(x) = ln. e x (b) [ /4] Calculer f.

7 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 (c) [ /4] Calculer f (d) [ /5] Faire le tableau signes permettant de déterminer sur quels intervalles la fonction est croissante/décroissante, convexe/concave, ainsi que les extremums et points d inflexion éventuels.

8 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 (e) [ /3] Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques si elles existent. Expliquer pourquoi s il n y en a pas. (f) [ /3] Représenter l allure de la fonction le plus précisément possible. Valeur utile : ln(1/2) 0,693

9 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 4 [ /10] Le Père Noël doit livrer 1 milliard de cadeaux. Il veut faire cela le plus rapidement possible. S il prend beaucoup de cadeaux en une fois, son traîneau va moins vite, mais s il doit retourner chercher les cadeaux au Pôle Nord, il perd du temps à chaque fois. Son traîneau va à une vitesse telle, qu il peut distribuer ( ) 107 cadeaux par heure, n sans compter le temps nécessaire pour aller rechercher les cadeaux au Pôle Nord. n correspond au nombre de fois qu il doit aller chercher des cadeaux au Pôle Nord. A chaque fois 2 qu il doit retourner chercher des cadeaux, il perd heures. Déterminer le nombre de fois (4,8) 2 que le Père Noël doit aller rechercher des cadeaux afin que le temps de distribution soit le plus court possible.

10 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 5 [ /12] Considérer la fonction f(x,y) = e y (x 2 + y 2 ). (a) [ /4] Déterminer les dérivées partielles de f par rapport à x et par rapport à y. (b) [ /4] Déterminer toutes les dérivées partielles de second ordre de f.

11 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 (c) [ /4] Déterminer tous les points critiques de f et dire si ce sont des minima, des maxima ou des points de selle.

12 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 6 [ /10] Considérer l équation y = y 2 1. (1) (a) [ /5] Déterminer la solution générale explicite de cette équation. 1 Indication : y 2 1 = 1 2(y 1) 1 2(y + 1) (b) [ /3] Dessiner y en fonction d y en partant de l équation (1) (c) [ /2] Désigner les points d équilibre sur le dessin et dire s ils sont stables ou instables.

13 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 7 [ /12] 4 Considérer les vecteurs a = 2 3, 1 b = (a) [ /2] Déterminer, sans calcul, la direction du produit vectoriel a b. Expliquer. (b) [ /4] Déterminer la valeur du sinus de l angle entre a et b. (c) [ /3] Déterminer la valeur du cosinus de l angle entre a et b

14 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 (d) [ /3] Soit a 1 le point de coordonnées (4, 2 3) et a 2 le point de coordonnées (1,3 3). Quel est l angle entre la droite reliant l origine au point a 1 et la droite reliant l origine au point a 2?

15 MATH-G-1101 Examen, le 6 janvier /17 Question 8 [ /11] Géraldine emmène ses deux lapins, Jeannot et Bugs, chez le vétérinaire. Avoir les dents trop longues est un problème fréquent chez les lapins domestiques, puisque cela concerne 20% des lapins. (a) [ /3] Quelle est la probabilité qu un seul lapin de Géraldine ait les dents trop longues? (un nombre) (b) [ /4] Quelle est la probabilité qu au moins un des lapins de Géraldine ait les dents trop longues? (un nombre) (c) [ /4] Quelle est la probabilité que Jeannot ait les dents trop longues si au moins un des lapins de Géraldine a les dents trop longues? (fraction la plus simple possible, numérateur et dénominateur doivent être des entiers.)

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