Fonctions de plusieurs variables

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1 11 Fonctions de plusieurs variables «Les mathématiques sont un jeu que l on exerce selon des règles simples en manipulant des symboles ou des concepts qui n ont en soi, aucune importance particulière.» David Hilbert ( ) Plan de cours I Fonctions de deux variables à valeurs dans A Ensemble de définition B Représentation C Limite et continuité D Dérivées partielles premières E Dérivées partielles secondes F Application à l étude des extrema G de résolution d équations aux dérivées partielles II Généralisation aux fonctions de p variables à valeurs dans n A Limite et continuité B Complément : calcul différentiel I Fonctions de deux variables à valeurs dans Il s agit de fonctions du type : f : 2 (x, y) f (x, y) où désigne une partie de 2. A Ensemble de définition C est l ensemble des couples (x, y) 2 tels que f (x, y) existe ; on le représente graphiquement comme une partie du plan. Exercice 1 Déterminer et représenter les ensembles de définition des fonctions définies par : f 1 (x, y) = x y x 2 + y 2 ; f 2(x, y) = x y x 2 + y 2 1 ; f 3(x, y) = x y x + y 1 B Représentation La surface d équation z = f (x, y) est l ensemble des points de coordonnées (x, y, f (x, y)) pour (x, y) f. Définition 11.1 : Ligne de niveau On appelle ligne de niveau (de hauteur k) la courbe d équation f (x, y) = k. Elles permettent de visualiser la surface d équation z = f (x, y). On peut également parler d altitude au lieu de hauteur. 1

2 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES de surface Lignes de niveau 3D Lignes de niveau C Limite et continuité On note la norme euclidienne usuelle de 2. On a (x, y) = x 2 + y 2. On dit que f est bornée si : M 0 (x, y) f f (x, y) M On dit que f admet une limite l en (x 0, y 0 ) si : On dit que f est continue en (x 0, y 0 ) si ɛ > 0 η > 0 (x, y) (x 0, y 0 ) < η = f (x, y) l < ɛ lim f (x, y) = f (x 0, y 0 ), c est-à-dire : (x, y) (x 0,y 0 ) ɛ > 0 η > 0 (x, y) (x 0, y 0 ) < η = f (x, y) f (x 0, y 0 ) < ɛ La somme, le produit, la composée et le quotient dont le dénominateur ne s annule pas de fonctions continues sont des fonctions continues. Quelques remarques : ( ) Si f : est continue, l image d un segment est un segment. f est donc bornée et atteint ses bornes. On peut généraliser ce résultat à une fonction de 2 à valeurs dans : Si A est un fermé borné de 2 et f : 2 est continue alors f (A) est un fermé borné de. ( ) Si f est continue alors les applications partielles f x : y f (x, y) et f y : x f (x, y) le sont également. La réciproque est fausse. Soit f la fonction définie par f (x, y) = x y si (x, y) (0, 0) et f (0, 0) = 0. x 2 + y2 La fonction f est-elle continue en (0, 0)? La réponse est non : f (0, y) = 0 0 alors que f (x, x) = 1 y x 0 2 D Dérivées partielles premières 1 Rappels sur les fonctions d une variable réelle Si f : est de classe 1 sur, la formule de Taylor-Young nous permet d écrire : f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) ( ) L équation de la tangente à la courbe au point d abscisse x 0 est alors : y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) - 2 -

3 Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* y = f(x) f(x 0 ) y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x 0 L égalité ( ) peut s écrire : f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x 0 ) h +o(h) h 0 } {{ } partie linéaire } {{ } partie affine L application h f (x 0 ) h est linéaire. On l appelle différentielle de f en x 0 et on la note df x0. On notera que df x0 (). La notion de différentielle est cependant hors programme. 2 Fonctions de deux variables : plan tangent et différentielle f désignera désormais une fonction définie sur un ouvert de 2 à valeurs dans. Définition 11.2 Sous réserve d existence, on définit les dérivées partielles premières de f au point (x 0, y 0 ) par : x (x f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim ; h 0 h y (x f (x 0, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim k 0 k Définition 11.3 On dit que f est de classe 1 sur un ouvert de 2 si les dérivées partielles existent et sont continues en tout point de. L application (x, y) 3x 2 + 5x sin(y) est de classe 1 sur 2 et : (x, y) 2 (x, y) = 6x + 5 sin(y); x f (x, y) = 5x cos(y) x Théorème 11.4 : Formule de Taylor-Young à l ordre 1 Si f est de classe 1 sur un ouvert de 2 alors pour (x 0, y 0 ) : f (x 0 + h, y 0 + k) = (h,k) (0,0) f (x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ) h + y (x 0, y 0 ) k + o( (h, k) ) - 3 -

4 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Le plan tangent à la surface au point de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) avec z 0 = f (x 0, y 0 ) a alors pour équation : z = f (x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) C est bien une équation de plan, on peut la réécrire facilement sous la forme ax + b y + cz = d avec a = x (x 0, y 0 ), b = y (x 0, y 0 ) et c = 1. Le vecteur de coordonnées x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 ), 1 est normal au plan tangent. Considérons la sphère de centre O et de rayon 1 qui a pour équation x 2 + y 2 + z 2 = 1. On a alors z = ± 1 x 2 y 2 et on pose : f : (x, y) 1 x 2 y 2 La surface représentative de f est une demisphère. Déterminons une équation du plan tangent 1 au point de coordonnées 0, 1 2, 2. Tout d abord : x (x 0, y 0 ) = x 0 1 x 2 0 y2 0 ; La sphère et son plan tangent en (x 0, y 0, z 0 ) y (x 0, y 0 ) = y 0 1 x 2 0 y2 0 On a ici x 0 = 0 et y 0 = z 0 = 1 2 d où : z = (x 0) + ( 1) y c est-à-dire y + z = 2 Si f de classe 1 sur un ouvert de 2 et (x 0, y 0 ). L application (h, k) x (x 0, y 0 ) h + y (x 0, y 0 ) k est linéaire, on l appelle différentielle de f en (x 0, y 0 ). On la note df (x0,y 0 ). Là encore, la notion de différentielle n est pas au programme. On notera que d f (x0, y 0 ) ( 2, ). Sa matrice représentative dans les bases canoniques de 2 et de est : Définition 11.5 : Gradient x (x 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) Soit f de classe 1 sur un ouvert de 2 et (x 0, y 0 ). On appelle gradient de f au point (x 0, y 0 ) le vecteur x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 ). On le notera grad f (x 0, y 0 ) ou f (x 0, y 0 ). Autant pour la différentielle que pour le gradient, on omet quelques fois «(x 0, y 0 )» mais il faut garder à l esprit que l on parle de la différentielle et du gradient en un point donné

5 Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Proposition 11.6 Le gradient au point M 0 est orthogonal à la ligne de niveau passant par M 0. Le gradient indique en outre la ligne de plus grande pente. Voici une illustration de cette propriété pour f : (x, y) e (x 1)2 (y+1/4) 2 + ye x2 y : Représentation de la surface d équation z = f (x, y) Gradient et lignes de niveau associés 3 Notations Nous venons d introduire la différentielle de f au point (x 0, y 0 ) : df (x0, y 0 )(h, k) x (x 0, y 0 ) h + y (x 0, y 0 ) k Si l on pose dx : (h, k) h et dy : (h, k) k, on peut écrire par abus de notation : 4 Dérivées partielles et composées Considérons les deux applications définies par : df = x dx + y dy ϕ : I t (x(t), y(t)) et f : (x, y) f (x, y) où désigne un ouvert de 2 et I un intervalle de. La fonction ϕ est supposée de classe 1 sur I et f de classe 1 sur. f ϕ : I est alors de classe 1 sur I et : Démonstration t I (f ϕ) (t) = x (t) x (x(t), y(t)) + y (t) (x(t), y(t)) y 1 h [(f ϕ)(t + h) (f ϕ)(t)] = 1 [f (x(t + h), y(t + h)) f (x(t), y(t))] h f (x(t) + hx (t) + o(h), y(t) + hy (t) + o(h)) f (x(t), y(t)) = 1 h = 1 hx (t) h x (x(t), y(t)) + hy (t) (x(t), y(t)) + o(h) y = x (t) x (x(t), y(t)) + y (t) (x(t), y(t)) + o(1) y - 5 -

6 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Exercice 2 Montrer que F est de classe 1 et déterminer la dérivée de F avec f : 2 est de classe 1 et F : t f (cos(t), sin(t)). Considérons désormais les applications f : 2, ϕ : 2 et ψ : 2 de classe 1 sur 2 et : F : 2 (x, y) f (ϕ(x, y), ψ(x, y)) Alors F est de classe 1 sur 2 et pour tout (x, y) 2, F ϕ (x, y) = (x, y) x x x F ϕ (x, y) = (x, y) y y x ψ (ϕ(x, y), ψ(x, y)) + (x, y) (ϕ(x, y), ψ(x, y)) x y ψ (ϕ(x, y), ψ(x, y)) + (x, y) (ϕ(x, y), ψ(x, y)) y y Si f : 2 est de classe 1 alors il en va de même pour F : (r, θ) f (r cos(θ), r sin(θ)) et pour tout (r, θ) 2 : F f f (r, θ) = cos(θ) (r cos(θ), r sin(θ)) + sin(θ) (r cos(θ), r sin(θ)) r x y F f f (r, θ) = r sin(θ) (r cos(θ), r sin(θ)) + r cos(θ) (r cos(θ), r sin(θ)) θ x y E Dérivées partielles secondes Elles sont au nombre de 4 et définies à partir des dérivées partielles d ordre 1 : x 2 ; x y ; y x et y 2 Définition 11.7 On dit que f est de classe 2 sur un ouvert de 2 si les dérivées partielles secondes existent et sont continues en tout point de. Théorème 11.8 : Théorème de Schwarz Soit f : 2 une application de classe 2 sur un ouvert de 2. Alors, (x 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) = y x (x 0, y 0 ) Théorème 11.9 : Formule de Taylor-Young à l ordre 2 Si f est de classe 2 sur un ouvert de 2 alors pour (x 0, y 0 ) : f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ) h + y (x 0, y 0 ) k x (x 0, y 2 0 ) h x y (x 0, y 0 ) hk + 2 f y (x 0, y 2 0 ) k 2 + o(h 2 + k 2 ) - 6 -

7 Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* F Application à l étude des extrema Définition : Extremum local On dit que f : 2 adet un minimum (resp. un maximum) local en (x 0, y 0 ) s il existe un voisinage de (x 0, y 0 ) tel que : (x, y) f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 )) Définition : Point critique Soit f est de classe 1 sur un ouvert de 2. On dit que (x 0, y 0 ) est un point critique de f si : x (x 0, y 0 ) = y (x 0, y 0 ) = 0 soit grad f (x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ) y (x = 0 0, y 0 ) On admet le théorème suivant : Théorème : Condition nécessaire d existence Si (x 0, y 0 ) est un extremum local de f : de classe 1 alors (x 0, y 0 ) est un point critique de f. Les extremums locaux sont donc à rechercher parmi les points critiques. Cependant, la réciproque est fausse! Tout point critique ne correspond pas nécessairement à un extremum local. (Point selle) Considérons la fonction f : (x, y) x 2 y 2. grad f (x, y) = (2x, 2 y) Donc la fonction admet un seul point critique : (0, 0). Mais ce point ne correspond ni à un maximum, ni à un minimum. Point selle (ou point col) En effet, f (0, 0) = 0 et pour tout x, y 0, f (x, 0) = x 2 > f (0, 0) et f (0, y) = y 2 < f (0, 0) Comment reconnaître les points correspondant à des extremums parmi les points critiques? Quitte à supposer f de classe 2, utilisons la formule de Taylor-Young à l ordre 2 en un point critique (x 0, y 0 ) : f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0, y 0 ) + 1 (h,k) (0,0) 2 x (x 0, y 2 0 ) h x y (x 0, y 0 ) hk + 2 f y (x 0, y 2 0 ) k 2 + o(h 2 + k 2 ) - 7 -

8 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Comme o(h 2 + k 2 ) est négligeable devant 1 2 x 2 (x 0, y 0 ) h x y (x 0, y 0 ) hk + 2 f y 2 (x 0, y 0 ) k 2, le signe de f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) au voisinage de (x 0, y 0 ) est exactement celui de : 1 2 x 2 (x 0, y 0 ) h x y (x 0, y 0 ) hk + 2 f y 2 (x 0, y 0 ) k 2 Remarquons que l on peut réécrire la quantité entre crochets sous la forme t X HX avec : H = x 2 (x 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x X = 0, y 0 ) La matrice H s appelle la hessienne de f au point (x 0, y 0 ). Remarquons que cette matrice est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable (au moyen d une matrice de passage orthogonale). Ses valeurs propres λ et µ sont donc réelles et on a donc : avec D = h k x 2 (x 0, y 0 ) h x y (x 0, y 0 ) hk + y 2 (x 0, y 0 ) k 2 = t X HX = t Y DY = λh 2 + µk 2 λ 0 et Y = P 1 X = 0 µ h. k Le signe de la quantité f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) est donc localement celui de λh 2 + µk 2. si λ et µ sont tous les deux strictement positifs, on est en présence d un minimum. si λ et µ sont tous les deux strictement négatifs, on est en présence d un maximum. si les valeurs propres sont de signes opposés, λh 2 + µk 2 change de signe : on est en présence d un point selle. Enfin, si l une (au moins) des valeurs propres est nulle, on ne peut pas conclure. Reformulons ce résultat à l aide du déterminant de la hessienne. Théorème : Condition suffisante pour la présence d un extremum Soit f est de classe 2 sur un ouvert de 2. On suppose que (x 0, y 0 ) est un point critique de f et on note H la hessienne en ce point. Alors, si det(h) > 0 alors f admet en (x 0, y 0 ) un extremum. si det(h) < 0 alors (x 0, y 0 ) correspond à un point selle. si det(h) = 0 alors on ne peut pas conclure. On notera qu il est inutile de diagonaliser la hessienne ni même d en calculer les valeurs propres. La trace (somme des valeurs propres) est un bon moyen pour distinguer un minimum d un maximum. Attention, la méthode précédente nécessite l utilisation de la formule de Taylor-Young à l ordre 2, et donc que l on travaille avec une fonction de classe 2 sur un ouvert. On considère la fonction f : 2 définie par f (x, y) = x 4 + y 4 (x y) 2. La fonction f est de classe 2 sur 2 en tant que fonction polynomiale. Recherche des points critiques - 8 -

9 Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* grad f (x, y) = 4x 3 2(x y) = 0 x y 3 + 2(x y) = 0 = y 3 4x 3 2(x y) = 0 x = y x = y 4x 3 2(x y) = 0 x 3 x = 0 L équation x 3 = x admet trois solutions : 1, 0 et 1. Nous avons donc trois points criques : A(0, 0), B(1, 1) et C( 1, 1). Étude des extremums La hessienne en un point critique (x, y) est H(x, y) = 12x y 2 2 Extremum au point B(1, 1)? det(h) = 96 > 0 et Tr(H) = 20 > 0 donc f présente un minimum local en (1, 1) qui vaut f (1, 1) = 2. Extremum au point C( 1, 1)? det(h) = 96 > 0 et Tr(H) = 20 > 0 donc f présente un minimum local en ( 1, 1) qui vaut f ( 1, 1) = 2. Extremum au point A(0, 0)? det(h) = 0, on ne peut pas conclure directement. On remarquera cependant que f (0, 0) = 0 et que : Il n y a donc pas d extremum. f (x, x) = 2x 4 > 0 pour x 0 f (x, 0) = x 2 (x 2 1) < 0 pour x ] 1, 1[ Représentation de la surface d équation z = f (x, y) G de résolution d équations aux dérivées partielles Nous n aborderons la résolution d équations aux dérivées partielles (EDP) qu à travers des exemples relativement simples, et, à ce titre, très restreints. désignera un ouvert de 2 et f une solution des équations aux dérivées partielles proposées. (x, y) (x, y) = 0 x On peut en un certain sens dire que «f (x, y) est une constante par rapport à x». Ainsi, (x, y) f (x, y) = ϕ(y) - 9 -

10 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES où ϕ : I où I désigne désormais un intervalle de. (x, y) (x, y) = g(x, y) x (x, y) f (x, y) = g(x, y) dx + ϕ(y) (x, y) (x, y) = 0 2 x (x, y) f (x, y) = ϕ(y)x + ψ(y) avec ϕ, ψ : I. Équation des ondes, dite des cordes vibrantes ou encore de d Alembert : (x, t) x 2 (x, t) 1 (x, t) = 0 c 2 2 t ( ) u = x ct On passe par le changement de variables v = x + ct On a alors f (x, t) = g(u, v) et on cherche une équation aux dérivées partielles vérifiée par g : x = g u u x + g v v x = g u + g v 2 x 2 = g u u 2 x + 2 g v 2 g u + v u x u v x + 2 g v v 2 = 2 g x u g u v + 2 g v 2 De même, on trouve : L équation ( ) devient : 2 t 2 = g c2 u g u v + 2 g v 2 (u, v) 2 g (u, v) = 0 u v On trouve alors g(u, v) = ϕ(u) + ψ(v) ce qui donne, au final, f (x, t) = ϕ(x ct) + ψ(x + ct) II Généralisation aux fonctions de p variables à valeurs dans n Soit f : p n définie sur un ouvert de p par : f (x) = f (x 1,..., x p ) = (f 1 (x),..., f n (x)) On note sans distinction les normes euclidiennes usuelles de p et de n. Définition : Applications partielles et applications composantes On appelle applications partielles de f les applications : x j f (x) pour j 1, p. On appelle applications composantes de f les applications f i : x f i (x). Attention, ne pas confondre ces applications!

11 Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Soit f : 2 3 (u, v) (cos(u + v), u v, u 2 e v ) f possède deux applications partielles définies sur à valeurs dans 3 : u (cos(u + v), u v, u 2 e v ) et v (cos(u + v), u v, u 2 e v ) f possède trois composantes définies sur 2 à valeurs dans : (u, v) cos(u + v), (u, v) u v et (u, v) u 2 e v On parle de champ de vecteurs lorsque f : n n et de champ scalaire lorsque f : p. A Limite et continuité On dit que f est bornée sur p si : M > 0 x f (x) M On dit que f (x) tend vers l n quand x tend vers x 0 p quand : f est dite continue en x 0 p si : ɛ > 0 η > 0 x p x x 0 < η = f (x) l < ɛ ɛ > 0 η > 0 x p x x 0 < η = f (x) f (x 0 ) < ɛ La somme, le produit et la composée de fonctions continues est continue. En particulier, toute fonction polynomiale de plusieurs variables est continue. Proposition : Structure de l ensemble des fonctions continues L ensemble des fonctions continues définies sur p à valeurs dans n est un sous-espace vectoriel de l ensemble des fonctions définies sur p à valeurs dans n. Proposition : Limite, continuité et applications composantes La fonction f admet une limite en x 0 si et seulement si les fonctions f i admettent des limites en x 0, et ceci pour tout i 1, n. On a alors : lim f (x) = lim f 1 (x),..., lim f n (x) x x 0 x x 0 x x0 La fonction f est continue en x 0 si et seulement si les fonctions f i sont continues en x 0, et ceci pour tout i 1, n. Ce qui est valable pour les composantes de f ne l est pas du tout pour les applications partielles! En effet, si f est continue en x 0, toutes les applications partielles le sont également mais la réciproque est fausse. Penser notamment à l exemple déjà évoqué : f (u, v) = uv si (u, v) (0, 0) et f (0, 0) = 0 u 2 + v2-11 -

12 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Théorème : Image d un fermé borné de p par une fonction continue L image d une partie fermée et bornée de p par une fonction continue est une partie fermée et bornée de n. B Complément : calcul différentiel 1 Fonction de classe 1, différentielle et jacobienne Définition : Fonction de classe 1 Soit f : p n. f est dite de classe 1 sur un ouvert de p si pour tout i 1, n, f i : p est de classe 1, c est-à-dire si ces fonctions sont dérivables et leurs dérivées continues. Si f est de classe 1 sur, alors i x j est définie pour tout (i, j) 1, n 1, p. Ce sont des fonctions définies sur p à valeurs dans. Soit f : 3 2 (x, y, z) (2x + yz, cos(y) + x 2 ) f est de classe 1 sur 3 et comme f 1 : (x, y, z) 2x + yz et f 2 : (x, y, z) cos(y) + x 2, on a : 1 x (x, y, z) = 2, 2 (x, y, z) = sin(y) y Les définitions et propriétés suivantes ne figurent pas au programme et sont données à titre indicatif. Définition : Jacobienne Soit f : p n de classe 1. i La matrice (x) est appelée matrice jacobienne de f au point x = (x 1,..., x p ). x j 1in 1jp On la note généralement J f (x). On a J f (x) M n,p (). On notera que pour n = p, la jacobienne est une matrice carrée d ordre n. On peut alors définir son déterminant. Définition : Jacobien Soit f : n n de classe 1. On appelle jacobien le déterminant associé à la jacobienne de f en un point x p. Le jacobien 1 apparaît naturellement dans le calcul d intégrales multiples. Définition : Différentielle d une application de classe 1 Soit f : p n de classe 1. On appelle différentielle de f au point x l application linéaire de p dans n canoniquement associé à la jacobienne de f en x. On la note d f x ou plus souvent d f. La différentielle de f en un point x p est l unique application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques respectives de p et n est J f (x). 1. Charles Gustave Jacob Jacobi ( ), mathématicien allemand qui a notamment travaillé sur les équations aux dérivées partielles et la théorie des nombres

13 Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Reprenons f : (x, y, z) (2x + yz, cos(y) + x 2 ). L application f est de classe 1 sur 3 donc df existe en tout point de 3. La jacobienne, par exemple, au point (1, 0, 2) est Ainsi, df (1,0,2) : 3 2 (x, y, z) (2x + 2 y, 2x) 2 Approximation à l ordre 1 Rappels : Soit f : une fonction de classe 1 et x 0. Alors, f (x 0 + h) = h 0 f (x 0 ) + h f (x 0 ) + o(h) Ex. : sin(x + h) = sin(x) + h cos(x) + o(h). En posant df x0 : h f (x 0 )h, on a f (x 0 + h) = f (x 0 ) + df x0 (h) + o(h). Soit f : 2 une fonction de classe 1 et (x 0, y 0 ) 2. Alors, f (x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) = f (x 0, y 0 ) + h 1 (h 1,h 2 ) (0,0) x (x 0, y 0 ) + h 2 y (x 0, y 0 ) + o h h2 2 En posant df (x0,y 0 ) : h = (h 1, h 2 ) h 1 x (x 0, y 0 ) + h 2 y (x 0, y 0 ) et x = (x 0, y 0 ), on a : Généralisation : f (x + h) = h 0 f (x) + df x(h) + o( h ) Théorème : Formule de Taylor-Young à l ordre 1 Soit un ouvert de p, x et f : n de classe 1 alors : f (x + h) = h 0 p f (x) + d f x (h) + o( h ) 3 Différentielle et dérivées partielles Si h p, h = p h j e j où (e 1,..., e p ) représente la base canonique de p. j=1 Soit f : n de classe 1 sur un ouvert et x. La jacobienne de f au point x est : 1 (x)... x 1 J f (x) =. n (x)... x 1 p L application df x étant linéaire, on a : df x (h) = df x j=1 Or df x (e j ) = n p i (x) = (x)e i donc d f x (h) = x j x j i=1 j=1 1 (x) x p. n (x) x p h j e j = p h j df x (e j ). j=1 df = x 1 dx x p dx p h j x j (x) et en notant dx j les applications h h j,

14 CHAPITRE 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 4 Composition d applications Soit f : p m et g : m n, de classe 1 respectivement sur p et m. Alors g f : p n est de classe 1 sur p et : x p J g f (x) = J g (f (x)) J f (x) et d(g f ) x = dg f (x) df x. 5 Différentielle et bijections réciproques Théorème : Théorème d inversion globale Soit f : n n une application que l on suppose bijective et de classe 1 sur un ouvert de n. On suppose de plus que pour tout x, d f x est un automorphisme de n. L application f 1 est alors de classe 1 sur f ( ) et on a : x J f 1(f (x)) = (J f (x)) 1 et df 1 f (x) = (df x) 1 Pour n = 1, cette propriété se traduit par : Si f : I réalise une bijection sur un intervalle ouvert I de et si pour tout x I, J f (x) = [f (x)] M 1 () est inversible, c est-à-dire f (x) 0, alors f 1 est de classe 1 sur f (I) et on a : x I (f 1 ) (f (x)) = 1 f (x) C est le fameux théorème de dérivation d une bijection réciproque (amélioré)! Il est facile de retrouver les formules énoncées (sous réserve d existence de df 1 x ce que l on admet) en utilisant les formules de compositions : De même, d(f 1 f ) x = d(id n) x = id n = df 1 f (x) df x J f 1 f (x) = J id n (x) = I n = J f 1(f (x)) J f (x) 6 Fonctions de classe 1 à valeurs dans et extrema Définition : Point critique Soit f : p de classe 1. On dit que x p est un point critique de f si : df x = 0 ( p,) c est-à-dire (x) x 1 0 grad f (x) = J f (x) =. =. 0 (x) x n Théorème : Condition nécessaire d existence d un extremum Si f : p de classe 1 sur un ouvert admet un extremum au point x alors x est un point critique. Cela revient à dire que : grad f (x) = 0 Comme nous l avons vu pour p = 1 ou p = 2, la réciproque est fausse! Nous n étudierons pas de condition suffisante analogue au cas p =