Chapitre 1. Logique et ensembles. 1.1 Rudiments de logique. Logique, tables de vérité. Quantificateurs

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1 Document créé le 29 octobre 2015 Lien vers les solutions des exercices Lien vers le cours de ce chapitre Chapitre 1 Logique et ensembles 1.1 Rudiments de logique Logique, tables de vérité Exercice ( ) Prouver que l équivalence suivante est toujours vraie : (A B) (A ou B) Exercice ( ) Prouver que l équivalence suivante est toujours vraie : (A ou (B et C)) ((A ou B) et (A ou C)) Exercice ( ) Décrire les parties de R qui sont définies par les propositions (vraies) suivantes : 1) (x > 0 et x < 1) ou x = 0 2) x > 3 et x < 5 et x 4 3) (x 0 et x > 1) ou x = 4 4) x 0 x 2. Quantificateurs Exercice ( ) Soient I un intervalle de R et f : I R une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes : 1) λ R, x I, f(x) = λ 2) x I, f(x) = 0 x = 0 3) y R, x I, f(x) = y 4) (x, y) I 2, x y f(x) f(y) 5) (x, y) I 2, f(x) = f(y) x = y Exercice ( ) Soient I un intervalle de R et f : I R une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer à l aide de quantificateurs les propositions suivantes : 1) la fonction f s annule 2) la fonction f est la fonction nulle 3) f n est pas une fonction constante 4) f ne prend jamais deux fois la même valeur 5) la fonction f présente un minimum 6) f prend des valeurs arbitrairement grandes 7) f ne peut s annuler qu une seule fois

2 1.2 Raisonnements classiques Chapitre 1 : Logique et ensembles Exercice ( ) Soient I un intervalle de R non vide et f : I R une fonction à valeurs réelles définie sur I. Exprimer les négations des propositions suivantes : 1) x I, f(x) 0 2) y R, x I, f(x) = y 3) M R, x I, f(x) M 4) (x, y) I 2, x y f(x) f(y) 5) (x, y) I 2, f(x) = f(y) x = y 6) x I, f(x) > 0 x 0 Exercice ( ) Soit f : R R. Indiquer la différence de sens entre les deux propositions proposées : 1. x R, y R, y = f(x) et y R, x R, y = f(x). 2. y R, x R, y = f(x) et x R, y R, y = f(x) 3. x R, M R, f(x) M et M R, x R, f(x) M 1.2 Raisonnements classiques Par contraposition ou par l absurde Exercice ( ) Soit n un entier, montrer que si n 2 est pair alors n est pair. Exercice ( ) Soit x un irrationnel positif. Montrer que x est irrationnel. Exercice ( ) Montrer que 2014 ne peut pas s écrire comme la somme de deux carrés. Exercice ( ) Montrer que 2 est un nombre irrationnel. Exercice ( ) Montrer que l ensemble D = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 1} ne peut pas s écrire comme le produit cartésien de deux parties de R. Exercice ( ) On considère une famille finie d ensembles distincts deux à deux. Montrer que l un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres. Raisonnement par analyse-synthèse Exercice ( ) Déterminer toutes les fonctions f : R R telles que : x R, f(x f(y)) = 2 x y. mathprepa.fr Page 2

3 1.2 Raisonnements classiques Chapitre 1 : Logique et ensembles Exercice ( ) Déterminer les fonctions f : R R telle que : x R, f(x) + xf(1 x) = 1 + x. Exercice ( ) Montrer que toute fonction f : R R s écrit de façon unique comme la somme d une fonction paire et d une fonction impaire. Préciser cette décomposition si f(x) = x + 1 x 2 + x + 1 Exercice ( ) Trouver toutes les solutions réelles de (E) : 1 x = 2x x 1 x 2. Exercice ( ) x 2 + 4yz + 2z = 0 Résoudre le système (S) : x + 2xy + 2z 2 = 0 2xz + y 2 + y + 1 = 0 dans R. Résolutions d équations Exercice ( ) Avec a, b donnés non nuls, et x inconnu, résoudre l équation 1 x + 1 a + 1 b = 1 x + a + b Exercice ( ) Résoudre dans R l équation : 2x + 3 x + 2 = 2. Exercice ( ) Résoudre dans R l équation : x 9 + x 24 = x. Exercice ( ) Résoudre l équation (E) : x x 1 + x x 1 = 1. Exercice ( ) Trouver les solutions dans R de x 2x x 3x 2 = x 2 4x Exercice ( ) Résoudre x x = 4 dans R. Exercice ( ) x 3 = 7x + 3y Résoudre le système y 3 = 7y + 3x dans R. mathprepa.fr Page 3

4 1.2 Raisonnements classiques Chapitre 1 : Logique et ensembles Résolutions d équations avec paramètre Exercice ( ) Résoudre dans R l équation suivante : x 2 + mx 1 = x + 3m (avec m réel). Exercice ( ) Résoudre dans R : Exercice ( ) x + 2x 1 + x 2x 1 = m, avec m dans R. Résoudre l équation x 2 p + 2 x 2 1 = x, où p est un paramètre réel. Exercice ( ) Étudier l existence et le signe des racines réelles de P = (m 2)x 2 + (2m + 3)x + m + 2. Exercice ( ) Étudier l existence et le signe des racines réelles de P = (m 2)x 2 (2m 5)x + m + 3. Exercice ( ) x + y + z = a Résoudre dans R le système d équations x 2 + y 2 + z 2 = b 2, avec (a, b) dans R +. xy = z 2 Exercice ( ) Discuter, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions réelles de (E m ) : x 1 = 4 x 4 + x 2 + m. On note ϕ(m) l unique solution de cette équation quand elle existe. Etudier l application ϕ (monotonie, continuité, limites aux bornes). Résolutions d inéquations Exercice ( ) ( ) 2x 2 Résoudre dans R l inéquation 1 < 2x x Exercice ( ) Résoudre l inéquation 3 x x + 1 > 1 2 dans R. Exercice ( ) Résoudre dans R l inéquation : 2x + 1 < x Exercice ( ) Résoudre dans R l inéquation : x + x 2 5x + 4 < 2. mathprepa.fr Page 4

5 1.2 Raisonnements classiques Chapitre 1 : Logique et ensembles Raisonnement par récurrence Exercice ( ) Montrer que pour tout entier naturel n, u n = 3 5 2n n+1 est divisible par 17. Exercice ( ) Montrer que pour tout entier naturel n, u n = 4 4n+2 3 n+3 est divisible par 11. Exercice ( ) Montrer que pour tout entier naturel n, 4 2n+2 15n 16 est divisible par 225. Exercice ( ) Montrer que si a est un entier impair, alors 2 n+2 divise a m 1, avec m = 2 n et n 1. Exercice ( ) On définit une suite (u n ) par : u 0 = 1, u 1 = cos θ, et pour n 2 : u n = 2u 1 u n 1 u n 2. Calculer u n, pour tout entier n. Exercice ( ) Soit n un entier naturel. Combien l équation x + y = n possède-t-elle de couples solutions (x, y) dans N 2? Combien l équation x + y + z = n possède-t-elle de triplets solutions (x, y, z) dans N 3? Généraliser au calcul du nombre de (p + 1)-uplets solutions de x 0 + x x p = n. Pour cette question, on donnera deux démonstrations, l une qui utilise une récurrence et l autre qui s appuie sur un calcul de dénombrement. Exercice ( ) On sait que pour tout entier n 1, on a l égalité Inversement soit (x k ) k 1 une suite de R +. n k=1 On suppose que pour tout entier n 1, on a l égalité Montrer que pour tout entier k on a x k = k. Exercice ( ) ( n 2. k 3 = k) n k=1 k=1 ( n ) 2. x 3 k = x k k=1 Montrer que pour tout entier n 2, u n = n n est pas un entier. Exercice ( ) Montrer que, pour tout n 1, (le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine). + 2 = 2 cos π 2 n+1 mathprepa.fr Page 5

6 1.3 Ensembles Chapitre 1 : Logique et ensembles 1.3 Ensembles Exercice ( ) Que dire de deux sous-ensembles A et B de E tels que A B = A B? Exercice ( ) Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que A B = A C B A C. Exercice ( ) A B A C Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que A B A C B C. Exercice ( ) Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A). Exercice ( ) Soient E et F deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il : 1. Entre P(E F ) et P(E) P(F )? 2. Entre P(E F ) et P(E) P(F )? 3. Entre P(E F ) et P(E) P(F )? Exercice ( ) Soient (A i ) i I et (B i ) i I deux familles de parties d un ensemble E. ( ( On suppose que pour tout indice i de I, on a E = A i B i. Montrer que E = A i) B i ). i I i I 1.4 Applications Exercice ( ) Soit f une application de P(E) dans R. On suppose que pour toutes parties A et B disjointes de E, f(a B) = f(a) + f(b). Montrer que f( ) = 0. Prouver que pour toutes parties A et B de E, f(a B) = f(a) + f(b) f(a B). Exercice Soit f une application de E dans F. Montrer que A E f(f -1 (B) A) = B f(a). Exercice ( ) Soit E un ensemble. Trouver toutes les applications f de E telles que, pour toute application g de E, on ait g f = f g. mathprepa.fr Page 6

7 1.5 Injections, surjections, bijections Chapitre 1 : Logique et ensembles Exercice ( ) Soit f une application de E dans E et S = {X E, f -1 (f(x)) = X}. 1. Soit A une partie quelconque de E. Montrer que f -1 (f(a)) appartient à S. 2. Montrer que toute intersection ou réunion d éléments de S est encore élément de S. 1.5 Injections, surjections, bijections Applications injectives ou surjectives Exercice ( ) Soient f : E F et g : F G deux applications. Montrer les implications suivantes : 1. Si g f est surjective alors g est surjective 2. Si g f est injective alors f est injective 3. Si g f est surjective et g est injective, alors f est surjective 4. Si g f est injective et f est surjective, alors g est injective Exercice ( ) Soit f une application de E dans F. Montrer l équivalence : (f est injective) (pour toutes parties A et B de E, f(a B) = f(a) f(b)). Exercice ( ) Soit f une application de E dans F. On définit l application g : P(F ) P(E) par : Y F, g(y ) = f -1 (Y ). 1. Montrer que g est injective si et seulement si f est surjective. 2. Montrer que g est surjective si et seulement si f est injective. Exercice ( ) Soit f une application de E dans F. Montrer l équivalence : (f est surjective) (pour tout ensemble G et toutes applications g, h : F G, g f = h f g = h) Exercice ( ) Soit E un ensemble. Montrer qu il n existe pas de surjection de E sur P(E). Exercice ( ) Soit f une application de E dans F. 1. Montrer que pour toute partie A de E, f -1 (f(a)) A. 2. Montrer que pour toute partie B de F, f(f -1 (B)) = f(e) B. 3. Prouver que f est injective si et seulement si A E, f -1 (f(a)) = A. 4. Prouver que f est surjective si et seulement si B F, f(f -1 (B)) = B. mathprepa.fr Page 7

8 1.5 Injections, surjections, bijections Chapitre 1 : Logique et ensembles Applications bijectives Exercice ( ) Soient f : E F, g : F G et h : G E trois applications. Montrer que si, parmi les trois applications h g f, g f h et f h g, deux sont surjectives et la troisième injective (ou deux sont injectives et la troisième surjective) alors les trois applications f, g, et h sont bijectives. Exercice ( ) Soit f une application de E dans E. Montrer que f est bijective si et seulement si pour toute partie A de E, f(a) = f(a) (on note A le complémentaire de A dans E.) Exercice ( ) Soient f : E F, g : F G et h : G H trois applications. Montrer que si g f et h g sont bijectives, alors f, g et h sont bijectives. Exercice ( ) Soient E un ensemble non vide, et A, B deux parties de E. On note [A, A B] = {X E, A X A B} et [A B, B] = {Y E, A B Y B}. On définit f : [A, A B] [A B, B] par f(x) = X B. On définit g : [A B, B] [A, A B] par g(y ) = Y A. Montrer que f et g sont des bijections réciproques l une de l autre. Exercice ( ) Soient A et B deux parties non vides d un ensemble E. On considère l application f, de P(E) dans P(A) P(B) définie par f(x) = (X A, X B). 1. Montrer que f est injective si et seulement si A B = E. 2. Montrer que f est surjective si et seulement si A B =. 3. Dans le cas où f est bijective, déterminer f 1. Exercice ( ) Soit A une partie d un ensemble E. 1 si x A On lui associe l application 1 A, de E vers {0, 1}, définie par 1 A (x) = 0 si x A Montrer que A 1 A est une bijection de P(E) sur F(E, {0, 1}). mathprepa.fr Page 8

9 1.6 Relations binaires Chapitre 1 : Logique et ensembles 1.6 Relations binaires Relations d ordre Exercice ( ) Soient E et F deux ensembles ordonnés et A une partie non vide de E. Soit f une application croissante de E dans F. Montrer que si max A existe, alors max f(a) existe et est égal à f(max A). La propriété subsiste-t-elle si on remplace «max» par «sup»? Exercice ( ) Soient R et S deux relations d ordre total sur E. 1. On définit la relation T sur E par : x T y (x R y et x S y). Est-ce une relation d ordre (total, partiel)? 2. Même question en définissant : x U y (x R y ou x S y). Exercice ( ) (x, y) R (x, y ) x x et y y Sur R R, on définit deux relations R et S par (x, y) S (x, y ) (x < x ) ou (x = x et y y ) Est-ce que R et S sont des relations d ordre? Exercice ( ) Soient E et F deux ensembles ordonnés (l ordre sur E étant total). Soit f : E F, croissante. Montrer que f est injective si et seulement si elle est strictement croissante. Montrer que le résultat n est pas vrai si on ne suppose pas que E est totalement ordonné. Exercice ( ) Cet exercice est connu sous le nom de problème des hussards. Soit (a ij ) i=1,...,n,j=1,...,p une famille de np réels. Comparer A = min i=1,...,n ( max j=1,...,p a i,j) et B = max j=1,...,p ( min i=1,...,n a i,j) Relations d équivalence Exercice ( ) On définit sur R la relation : xry x 3 y 3 = 3(x y). 1. Montrer que R est une relation d équivalence. 2. Déterminer, pour tout réel x, le cardinal de la classe d équivalence de x. Exercice ( ) Soit E un ensemble muni d une relation R réflexive et transitive. On définit sur E la relation : xsy xry et yrx. Montrer que S est une relation d équivalence. mathprepa.fr Page 9

10 1.6 Relations binaires Chapitre 1 : Logique et ensembles Exercice ( ) Déterminer l erreur dans le raisonnement suivant : Si une relation R sur un ensemble E est symétrique et transitive alors elle est réflexive car pour tous x, y de E : xry yrx puis (xry et yrx) xrx Exercice Dans R 2, la relation (x, y)r(z, t) xy = zt est-elle une relation d équivalence? Si oui quelles sont les classes d équivalence? xy = zt La relation (x, y)s(z, t) est-elle une relation d équivalence? xz 0 Exercice ( ) Dans le plan P d origine O, la relation «MRN O, M, N sont alignés» est-elle une relation d équivalence? Même question si on remplace P par P {O}. Exercice ( ) Soit R une relation réflexive et symétrique sur un ensemble E. On définit sur E la relation : xsy si et seulement si il existe une suite finie x 0, x 1,..., x n d éléments de E (avec n 1) tels que x 0 = x, x n = y, et x p Rx p+1 pour tout p de {0,..., n 1}. Montrer que S est une relation d équivalence. Exercice ( ) Soient R et S deux relations d équivalence sur un ensemble E. On définit la relation S R par : xs Ry z, xrz et zsy. Montrer que S R est une relation d équivalence S R = R S. Exercice ( ) Sur N N, on pose (m, n)r(p, q) mq = np. Est-ce une relation d équivalence? Exercice ( ) Quelle est la seule relation sur E qui soit à la fois réflexive, symétrique et antisymétrique? Exercice ( ) Soit R une relation sur un ensemble E. Montrer que R est d équivalence si et seulement si R est réflexive et, pour tous éléments x, y, z de E : (xry et yrz) zrx. Exercice ( ) Soit M une partie non vide de P(E) telle que : X, Y M, Z M, Z X Y. On définit une relation R sur P(E) par : ARB X M, A X = B X. Montrer que R est une relation d équivalence. Exercice ( ) Soit E un ensemble fini. On définit une relation R sur P(E) par : ARB card(a B) est pair. R est-elle une relation d équivalence? mathprepa.fr Page 10