THEOREME DE LA CONVERGENCE MONOTONE

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1 THEOREME DE LA CONVERGENCE MONOTONE.1 Suite minorée, majorée, bornée Dénition 1 minorée par m : quel que soit n, u n m majorée par M : quel que soit n, u n M bornée = minorée + majorée Exemple de suite bornée : Toute suite convergente est bornée Preuve : Soit (u n ) convergente vers l. En raisonnant par l'absurde, si la suite n'était pas bornée, il serait impossible de faire entrer tous ses termes à partir d'un certain rang dans un intervalle du type [l a; l + a]. Donc elle est bornée. Remarquez que sa réciproque est fausse : u n = ( 1) n dénit une suite bornée par -1 et +1 mais non convergente..2 Convergence monotone Théorème 1 (Théorème de la convergence monotone) FONDAMENTAL Toute suite croissante majorée est convergente. Toute suite décroissante minorée est convergente. Remarques : Démonstration hors programme Notez bien que ce théorème NE FOURNIT PAS la valeur de la limite. Ce théorème très puissant est à la base de nombre d'exercices de type BAC. Avant d'en donner quelques exemples, voyons le théorème suivant qui s'avère souvent utile : Théorème : Si une suite (u n ) est dénie de façon récurrente par u n+1 = f(u n ) ET si cette suite converge Alors, sa limite l est solution de l'équation l = f(l). Remarques : Uniquement pour les suites récurrentes Il faut d'abord prouver que (u n ) converge (avec le théorème de convergence monotone par exemple) Il se peut que l'équation l = f(l) possède plusieurs solutions, MAIS UNE SEULE d'entre elles est valide. 1 G.Gremillot

2 EXEMPLE TYPE (avec correction) : 88 p 156 La suite (u n ) est dénie pour tout n N par : u 0 = 2 et u n+1 = 1 2 u n Montrer que cette suite est majorée par Montrer que cette suite est croissante. Que peut-on déduire? 3. Déterminer la limite de cette suite. 4. Retrouver cette limite après avoir prouvé que la suite dénie par v n = u n 6 est géométrique. Correction : 1. Montrer que cette suite est majorée par 6. Initialisation : u 0 = 2 < 6 Hérédité : on suppose que, pour un certain rang n, on a u n < 6 On doit prouver qu'alors u n+1 < 6 u n+1 = 1 2 u n + 3 < = 6 Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout entier n, on a u n < 6 2. Montrer que cette suite est croissante. Initialisation : u 1 = 1 2 ( 2) + 3 = 2 ; on a bien u 1 > u 0. Hérédité ; on suppose que pour un certain rang n 1, on a u n > u n 1 On doit prouver qu'alors u n+1 > u n : u n > u n u n > 1 2 u n u n + 3 > 1 2 u n u n+1 > u n Conclusion : d'après le principe de récurrence, la suite u est strictement croissante, donc croissante. Que peut-on déduire? On en déduit que la suite u est convergente, puisqu'elle est croissante majorée (d'après le théorème de la convergence monotone). On sait ainsi que l = lim u n existe MAIS on ne connaît pas sa valeur. n + Le seul élément qu'on possède est que, la suite étant majorée par 6, sa limite l est inférieure ou égale à Déterminer la limite de cette suite. u n+1 = f(u n ) avec f : x 1 2 x + 3 et on sait que (u n) converge. Alors, d'après le théorème précédent, sa limite l vérie l = f(l), à savoir : ce qui donne l = 6. l = 1 2 l G.Gremillot

3 4. Retrouver cette limite après avoir prouvé que la suite dénie par v n = u n 6 est géométrique. v n+1 = u n+1 6 = 1 2 u n = 1 2 (u n 6) = 1 2 v n Ainsi v est la suite géométrique de raison q = 1 et de premier terme 2 v 0 = u 0 6 = 8. Puisque sa raison q vérie 1 < q < 1, cette suite v converge vers 0 et donc la suite u converge vers 6. EXERCICES TYPE BAC Les corrigés sont sur le site de l'apmep I ASIE juin Exercice 2 question 2 Étude d'une suite On considère la suite (u n ) dénie par : u 1 = 2 5 u n+1 = 1 5 u n + 2 pour tout n Démontrer que la suite (u n ) est majorée par Démontrer que (u n ) est croissante. 3. Justier que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite. II Polynésie sept Exercice 3 partie B On considère la suite (v n ) dénie sur N par : v 0 = 6 et, pour tout entier naturel n, v n+1 = 1, 4v n 0, 05v 2 n 1. Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = 1, 4x 0, 05x 2. (a) Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 8]. (b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 v n < v n En déduire que la suite (v n ) est convergente et déterminer sa limite l. 3 G.Gremillot

4 III Nouvelle Calédonie mars Exercice 1 On considère la fonction f dénie sur ] ; 6[ par f(x) = 9 6 x On dénit pour tout entier naturel n la suite (U n ) par U 0 = 3 U n+1 = f (U n ) 1. La courbe représentative de la fonction f est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droite d'équation y = x. Construire, sur cette feuille annexe les points M 0 (U 0 ; 0), M 1 (U 1 ; 0), M 2 (U 2 ; 0), M 3 (U 3 ; 0) et M 4 (U 4 ; 0). Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (U n )? 9 2. (a) Démontrer que si x < 3 a alors 6 x < 3. En déduire que U n < 3 pour tout entier naturel n. (b) Étudier le sens de variation de la suite (U n ). (c) Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b.? 1 3. On considère la suite (V n ) dénie par V n = pour tout entier naturel U n 3 n. (a) Démontrer que la suite (V n ) est une suite arithmétique de raison 1 3. (b) Déterminer V n puis U n en fonction de n. (c) Calculer la limite de la suite (U n ). ANNEXE (à rendre avec la copie) 4 G.Gremillot

5 IV Pondichéry Avril Exercice 4 On cherche à modéliser de deux façons diérentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret Soit u n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année n. On pose n = 0 en 2005, u 0 = 1 et, pour tout n 0, u n+1 = 1 10 u n (20 u n ). 1. Soit f la fonction dénie sur [0 ; 20] par f(x) = 1 x(20 x) G.Gremillot

6 (a) Étudier les variations de f sur [0 ; 20]. (b) En déduire que pour tout x [0 ; 20], f(x) [0 ; 10]. (c) On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormal. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (u n ) n Montrer par récurrence que pour tout n N, 0 u n u n Montrer que la suite (u n ) n 0 est convergente et déterminer sa limite. Partie B : un modèle continu Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année x. On pose x = 0 en 2005, g(0) = 1 et g est une solution, qui ne s'annule pas sur [0 ; + [, de l'équation diérentielle (E) ; y = 1 y(10 y) On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur [0 ; + [ et on pose z = 1 y. (a) Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation diérentielle : (E 1 ) : z = 1 2 z (b) Résoudre l'équation (E 1 ) et en déduire les solutions de l'équation (E) Montrer que g est dénie sur [0 ; + [ par g(x) = 9e 1 2 x Étudier les variations de g sur [0 ; + [. 4. Calculer la limite de g en + et interpréter le résultat. 5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépasserat-il 5 millions? ANNEXE (à rendre avec la copie) 6 G.Gremillot

7 7 G.Gremillot