Polynômes et Fractions rationnelles

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1 3. Polynômes CHAPITRE 3 Polynômes et Fractions rationnelles 3.. Polynômes On désigne par K l ensemble R ou l ensemble C. Les élements de K sont les scalaires Définitions. Définition 3.. Soient a 0, a,... a n n + scalaires. Toute fonction de la forme P : x P x) n a k x k a n x n + a n x n + + a x + a 0 k0 est appelée fonction polynômiale où polynôme. Les scalaires a 0, a,... a n sont les coefficients du polynome. Le degré du polynôme P est le plus grand entier i tel que a i 0. Par convention, le degré du polynôme nul est. Le degré de P est noté deg P. La valuation du polynôme P est le plus petit entier i tel que a i 0. Exemple 3.. P : x x 3 + 2x 2 est de degré 3 et de valuation 2. Proposition 3.. Le degré de la somme de deux polynômes P et Q vérifie Le degré du produit de deux polynômes est deg P + Q) max deg P, deg Q) deg P Q) deg P + deg Q Démonstration. todo Remarque. Attention, le degré de la somme P + Q peut être strictement inférieur au plus grand degré. Exemple 3.2. P x) x 2 +x, Q x) x 2 +2x+3 sont deux polynômes de degré 2, la somme est P + Q) x) 3x + 2 de degré < 2. Définition 3.2. L ensemble des polynômes sur K est noté K [X] ou K [Y ],...) L ensemble des polynômes P K [X], de degré deg P n est noté K n [X] ou K n [Y ],...). Pour tout entier k, la fonction polynômiale ou polynôme) x x k est notée X k ou Y k,...). Le polynôme P : x K n k0 a kx k peut donc être noté P n a k X k k0 et sa valeur en x K est P x) n k0 a kx k. Il est important de distinguer P qui est un polynôme et P x) qui est un nombre réel ou complexe, valeur du polynôme en x : P K [X] et P x) K Pierre Puiseux

2 2 Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles Dérivées d un polynôme. Définition 3.3. Pour tout entier k N, on désigne par P k) la dérivée d ordre k du polynôme P. Proposition 3.2. Pour tous entiers positifs n et p, on a : X n ) p) { n! n p)! Xn p si p n 0 si p > n Démonstration. Par récurrence sur n. Proposition 3.3. Soit P, Q) K [X] 2 et n N. Alors ) P Q) n) n P k) Q n k) k 0 k n Démonstration. Par récurrence sur n Racines d un polynôme. Définition 3.4. Racines) ) On appelle racine du polynôme P tout scalaire α K vérifiant P α) 0 2) On dit que la racine α est d ordre k N si P α) P α) P k ) α) 0 et P k) α) 0 Exemple 3.3. P X 3 4X 2 +5X 2 admet comme racine d ordre 2 et 2 comme racine d ordre Formule de Taylor. Théorème 3.. Taylor) Soient P K [X] un polynôme de degré n et x 0, h K. Alors P x 0 + h) 0 k n P k) x 0 ) Démonstration. Les scalaires x et h sont fixés dans K. Considérant φ h x) 0 k n il nous faut établir que ) P x + h) φ h x) P k) x), ) On voit facilement que φ h : K K est linéaire, c est à dire pour tout x, y) K 2 pour tous a, b) K 2, on a φ h ax + by) aφ h x) + bφ h y). On en déduit qu il suffit d établir la relation pour les polynômes de la forme P X p, 0 p n. 2) Pour p n fixé, et P X p, on a φ h x) 0 k n 0 k p 0 k p 0 k p x + h) p X k) x) X k) x) p! p k)! X p x + h) X p k x) p! p k)! xp k

3 3. Polynômes Divisibilité et racines. Théorème 3.2. Soient A et B deux polynômes, B 0, alors il existe un unique couple de polynômes Q, R) tel que { A B Q + R degr) < degb) Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B. Si le reste R est le polynôme nul, on dit que B divise A et on note B A. Démonstration. Unicité, puis existence par récurrence sur le degré de A. Exemple 3.4. on divise A x) x 2 3x + 2 par Q x) x + on vérifie que B x) x 4 et R x) 6. A X 2 3X +2 X + B X 2 +X X 4 Q 4X +2 4X 4 R 6 Théorème 3.3. Divisibilité et racines ) P est divisible par X α P α) 0 ; 2) α est une racine d ordre p de P si et seulement si P est divisible par X α) p. Démonstration. ) Si P est divisible par X α alors P X a) Q donc P α) 0. Réciproquement si P α) 0, effectuant la division de P par X α on obtient : P X α) Q + R avec deg R <, donc R c constante). Donc P X α) Q + c et comme P α) 0, on obtient c 0. 2) Si P est divisible par X α) p alors il existe un polynômeq tel que P X α) p Q. Donc pour 0 l p on a P l) ) [X α) p ] l) Q n l)...todo 0 k l l k Théorème 3.4. Le polynome P divise le polynome Q on note P Q) si et seulement si l une de ces propriétés équivalentes est vraie : ) le reste de la division euclidienne de Q par P est nul ; 2) toutes les racines de P sont racines de Q avec au moins le même ordre de multiplicité. Démonstration. todo Factorisation sur R et C. Soit P K n [X]. Définition 3.5. Un polynôme P K [X] est dit irréductible s il n est pas le produit de deux polynômes. Théorème 3.5. Sur R [X] les polynômes irréductibles sont les polynomes de degré et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif. Sur C [X] les polynômes irréductibles sont les polynomes de degré. Démonstration. Todo Théorème 3.6. Sur C, le polynôme P admet une factorisation de la forme P x) a n x x ) x x 2 ) x x n ) Démonstration. todo

4 4 Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles Théorème 3.7. Sur R le polynôme P admet une factorisation de la forme P x) a n x x ) x x 2 ) x x p ) x 2 + α x + β ) x 2 + α m x + β m ) avec n 2m + p, et tous les polynômes du second degré irréductibles c est à dire de discriminant négatif k α 2 k 4β k < 0, pour k m) Démonstration. todo Théorème 3.8. Un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui a au moins n+ racines distinctes ou confondues est nul. Démonstration. Un tel polynôme se factorise dans C [X] : P X x ) X x 2 )... X x n ) X x n+ ) Q où x i, i n + sont les n + racines et Q C [X]. Mais alors en développant on a P X n ) Q donc degp degq + n + n donc degq donc degq, donc Q P Division suivant les puissances croissantes. Il s agit d une forme de division autre que la classique division euclidienne : si A et B sont deux polynômes, le terme constant de B étant non nul, et si n est un entier strictement positif, alors il existe des polynômes Q et R déterminés de manière unique) tels que : { A BQ + X n+ R deg Q) n Démonstration. todo On pose cette division un peu comme la classique division euclidienne, mais en écrivant les polynômes suivant les puissances croissantes, et en cherchant à éliminer d abord les termes constants, puis les termes en X, etc... Exemple. A + X, B X, on trouve à l ordre 2 : Q + 2X + 2X 2 et R Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments simples Soit F A B une fraction rationnelle sur K [X]. On cherche à décomposer F sous la forme d une somme de fractions rationnelles les plus simples possibles, en particulier dans la suite, pour pouvoir 4 trouver une primitive de F. Par exemple pour F X )X+3) on ne connaît pas explicitement de primitive de F tandis que si l on décompose F en éléments simples : F X X+3. On trouve facilement F log X X La forme générale de la décomposition. Considérons donc une fraction rationnelle F A B ou A et B sont dans K [X], avec K R ou K C Si deg A > deg B, on peut effectuer la division euclidienne de A par B : A BQ + R avec deg R < deg B et on a donc F Q + R B. Le polynôme Q est appelé partie entière de F. On se ramène donc à calculer la décomposition de R B avec deg R < deg B. Un théorème dont nous ne donnerons pas la forme générale) dit que : si deg A < deg B alors F peut se décomposer en éléments simples : Si B est un produit d éléments de premier espèce comme par exemple B X a) X b) k..., a et b dans K), alors il existe des coefficients a, b,..., b β K tels que : F a X a + b X b + b 2 X b) 2 + b k X b) k +...

5 3.2 Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments simples 5 Si B est un produit d éléments de deuxième espèce alors la décomposition de F peut s écrire : B X 2 + ax + a ) X 2 + bx + b ) p... F a X + a X 2 + ax + a + b X + b X 2 + bx + b + b 2 X + b 2 X 2 + bx + b ) b p X + b p X 2 + bx + b ) p +... Si B est un produit d éléments de première et de deuxième espèce, alors les décompositions en éléments simples se combinent. Par exemple, si alors le décomposition de F est de la forme : B X a) 3 X 2 + bx + b ) 2 F a X a + a 2 X a) 2 + a 3 X a) 3 + b X + b X 2 + bx + b + b 2 X + b 2 X 2 + bx + b ) 2 Les étapes à suivre pour calculer la décomposition de F sont résumées ci-dessous, et décrites en détail dans les paragraphes suivants. ) Extraire, si nécessaire, la partie entière de F pour se ramener au cas où deg A < deg B division euclidienne de A par B) 2) Factoriser A et B en un produit de termes irréductibles degré dans C, degré ou 2 dans R). 3) Si A et B ont des racines communes, simplifier la fraction. 4) Écrire la forme générale de la décomposition cherchée avec des constantes à déterminer. 5) Regarder si l on peut éliminer des inconnues par parité. F doit être paire ou bien impaire pour pouvoir faire quelque chose) 6) Déterminer les coefficients de la décomposition en utilisant une ou plusieurs des trois méthodes : a) valeurs particulières ; b) division euclidienne ; c) division suivant les puissances croissantes Partie entière de F A B. Si on a deg A < deg B, alors la partie entiere de F est 0, cette étape est inutile. Sinon, la division de A par B fournit A BQ + R avec deg R < deg B, donc F BQ+R Q + R B, la partie entière de F est Q Factoriser B. B Si on décompose F sur C alors B est un produit de termes du premier degré. Si on décompose F sur R alors B est un produit de termes du premier degré et du second degré Simplifier la fraction. pour cela, on cherche si les racines complexes de B sont aussi des racines de A, si c est le cas, on peut simplifier par X α ou α est la racine en question. Ou bien on factorise A et on simplifie Si F est paire ou impaire. et seulement dans ce cas, on peut déterminer certaines relations entre les coefficients inconnus. X Par exemple : F 2 + XX 2 X+)X 2 +X+) est impaire car F X) F X). De plus F a une décomposition de la forme Donc a X) + b X)+c + X) 2 X)+ bx+c X 2 +X+ + dx+e X 2 X+ a X + bx c X 2 X+ + dx e X 2 +X+ F a X + bx + c X 2 X + + dx + e X 2 + X + d X)+e a X) 2 + X)+ X + bx+c X 2 X+ + dx+e X 2 +X+ ) ce qui donne : a X + et en comparant terme à terme les deux membres

6 6 Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles de cette égalité, on obtient : b d, c e ce qui diminue notablement la quantité de calculs à effectuer Les différentes méthodes de calcul des coefficients Méthode des valeurs particulières. A utiliser dans les cas simples, que des termes de première espèce), ou bien s il ne reste que quelques un ou deux) coefficients à calculer. On donne des valeurs particulières à X penser à ) et on en déduit des égalités entre coefficients inconnus de la décomposition en éléments simples. Quelques exemples : ) X+3)X ) a X+3 + b X on multiplie par X + 3 les deux membres de cette égalité puis on fait X 3. On obtient a 4 on multiplie par X les deux membres de cette égalité puis on fait X. On obtient b 4 2) Pour a X+3)X ) 2 X+3 + b X + c X ) 2 on multiplie par X + 3 les deux membres de cette égalité puis on fait X 3. On obtient a 6 on multiplie par X ) 2 les deux membres de cette égalité puis on fait X. On obtient c 4 on multiplie par X les deux membres de cette égalité puis on fait X +. On obtient 0 a + b donc b 6 3) Pour X 2 +X+)X ) 2 ax+b X 2 +X+ + c X + d X ) 2 on multiplie par X ) 2 les deux membres de cette égalité puis on fait X. On obtient d 3 on multiplie par X les deux membres de cette égalité puis on fait X +. On obtient 0 a + c les valeurs X 0 et X fournissent les relations b c + d et 4 b a c 2 + d 4 finalement X + F 3 X 2 + X + ) 3 X ) + 3 X ) Division euclidienne. A utiliser lorsqu on a une partie polaire de seconde espèce, de multiplicité élevée. Par exemple : F X 4 X 2 +X+) 3 a une décomposition de la forme F a X+b X 2 +X+ + a 2X+b 2 X 2 +X+) 2 + a 3X+b 3 X 2 +X+) 3 La division de X 4 par X 2 + X + fournit X 4 X 2 + X + ) X 2 X ) + X. Donc X 2 + X + ) X 2 X ) + X F X 2 + X + ) 3 X 2 X X 2 + X + ) 2 + X X 2 + X + ) 3 ce qui fournit le troisième terme de la décomposition de F : a 3, b 3 On recommence : la division de X 2 X par X 2 +X + fournit X 2 X X 2 + X + ) 2X X donc 2 X X 2 +X+) 2 X 2 +X+ 2X+ qui sont les termes et 2 de la décomposition de F X 2 +X+) 2 Finalement F X 2 +X+ 2X+ X + X 2 +X+) 2 X 2 +X+) Division suivant les puissances croissantes. A utiliser si la décomposition comprend des termes de première espèce de degré élevé.

7 3.2 Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments simples 7 Par exemple F X X 0 X 2 X+) a une décomposition de la forme ax+b X 2 X+ + i 0 a i X i. On effectue la division suivant les puissances croissantes de X par X 2 X +, à l ordre 9 c est à dire, jusqu à ce que X 0 soit en facteur dans le reste) : donc F X X + X 2) X + X 2 X 4 X 5 + X 7 + X 8) X 0 F X + X 2 ) X + X 2 X 4 X 5 + X 7 + X 8) X 0 X 0 X 2 X + ) X + X2 X 4 X 5 + X 7 + X 8 X 0 X 2 X + X 2 X + + X 2 + X 3 X 5 X 6 + X 8 + X X ) 0 X 2 3X+3) Y Y 0 Y 2 Y +) : dans ce cas on fait le changement de variable Y X, soit X Y +, donc F et on est ramené au cas précédent, avec Y au lieu de X. Donc F Y 2 Y + + Y 2 + Y 3 Y 5 Y 6 + Y 8 + Y 9 X 2 3X X ) 2 + X ) 3 X ) 5 X ) 6 + X ) 8 + X ) 9 X 9