4ème FRACTIONS N4. On simplifie les signes des fractions. On termine le calcul. On simplifie le résultat.

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1 4ème FRACTIONS N4 A) LES SIGNES DANS UNE FRACTION : 1) Règle : -a b = a -b = - a -a b -b = a b 2) Exemples : -1-3 = = -4 5 B) PRODUIT DE PLUSIEURS FRACTIONS : A = A = A = A = A = A = avec a et b nombres relatifs, b 0 On simplifie les signes des fractions On détermine le signe du produit. Ici, il n y a qu un seul facteur négatif : le produit est donc négatif. On multiplie alors les parties numériques. On cherche à simplifier la fraction en cours de calcul, en décomposant si nécessaire les numérateurs et dénominateurs. On termine le calcul A = C) SOMME ET DIFFERENCE DE FRACTIONS : B = On simplifie les signes des fractions -6 B = B = B = (-5) B = B = 12 2 = 13 6 = On cherche un dénominateur commun aux 2 fractions. Le premier multiple commun de 4 et 6 est 12. On simplifie le résultat. D) DIVISER PAR UNE FRACTION : 1) Inverse d un nombre: Deux nombres non nuls sont inverses l un de l autre si leur produit est égal à 1. L inverse d un nombre x se note x -1 ou 1 x 2) Inverse d une fraction : L inverse d une fraction a b est la fraction b avec a et b nombres relatifs non nuls. a On note ( a b )-1 = b a 3) Règle : Diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. 4) Exemples : A = : B= = = A = A = B = 7 6 : 3 2 = = =

2 4ème MULTIPLICATION ET DIVISION DE NOMBRES RELATIFS N11 A) PRODUIT DE NOMBRES RELATIFS : 1) Règle des signes: Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes différents est positif. Il suffit alors de multiplier les parties numériques. 2) Exemple: 5 (-4) = -20 (-3) (-6) = ) Attention : Il ne faut pas confondre (-2) + 3 qui est positif et (-2) 3 qui est négatif. Ce n est pas la même règle des signes! B) QUOTIENT DE 2 NOMBRES RELATIFS : 1) Règle des signes: C est la même règle des signes que pour la multiplication. Il suffit alors de diviser les parties numériques. 2) Exemples: (-10) : (-2) = +5 (-9) : 3 = : (-4) = -3 C) ENCHAINEMENT DE CALCULS : 1) Enchaînement de produits: A = (-2) 3 (-5) (-0,01) 8 (-100) (-4) On déterminee le signe du produit : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif. Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif. Ici, il y a 5 facteurs négatifs, donc le produit sera négatif. A = , Il n y a plus qu à multiplier les parties numériques, en les regroupant astucieusement. A = , A = A = = ) Priorités opératoires : Les priorités sont les mêmes qu avec les nombres positifs. B = = = = = [ -2 + (-3) (-4) ] 6 + (-18) : 3 [ ] 6 + (-6) (-6) (-6)

3 4ème PROPORTIONNALITE ET PRODUITS EN CROIX N14 A) REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE SITUATION PROPORTIONNELLE: 1) Règle : Si une situation est proportionnelle, alors sa représentation graphique dans un repère est une droite passant par l origine. Réciproquement, une droite passant par l origine d un repère est la représentation graphique d une situation proportionnelle. 2) Exemples : On a calculé les aires de différentes figures, et on a représenté l aire de ces figures en fonction de x. Situation proportionnelle: Situation non proportionnelle: Situation non proportionnelle : B) EGALITE DES PRODUITS EN CROIX : 1) Règle : 2) 3) Exemple : calcul de pourcentage : Dans une classe de 25 élèves, il y a 10 filles et 15 garçons. 40% des garçons et 20% des filles ont les yeux bleus. Calculer le nombre d élèves aux yeux bleus et le pourcentage d élèves aux yeux bleus dans cette classe. 4) Exemple : vitesse moyenne : V = D T où V est la vitesse moyenne en km/h, D est la distance parcourue en km et T le temps en h. Une automobile parcourt 91 km en 1 h 24 min. Calculons sa vitesse moyenne. 1 h 24 min = 84 min = (84 : 60) h = 1,4 h donc V = 91 = 65 km/h. 1,4 Elle roule à cette vitesse pendant encore 2h 36mn. Quelle distance va-t-elle parcourir? 2h 36min = 156 min = (156 : 60)h = 2,6 h donc 65 = D 2,6 En utilisant les produits en croix, on a D = 65 2,6 = 169 km.

4 4ème MOYENNE N18 A) MOYENNE A PARTIR D UNE LISTE: On pose la question suivante à 10 personnes : «Quel est votre salaire?» Les réponses sont : La moyenne correspond à la somme que toucheraient ces 10 personnes si elles devaient se partager équitablement la somme totale des salaires. Cette somme totale est égale à = La moyenne est donc M = : 10 = 1295 Remarque : la moyenne est obligatoirement comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs relevées, ici entre 900 et B) MOYENNE A PARTIR D UN TABLEAU : On pose la question suivante à 80 personnes : «Combien avez-vous de téléviseurs?» On range les réponses dans le tableau suivant : Nombre de TV Effectifs La moyenne correspond au nombre de téléviseurs que chacun posséderait si ces 100 personnes en avaient le même nombre. Le nombre total de téléviseurs est = 183 téléviseurs. La moyenne est donc M= 183 : 80 = 2,2875 téléviseurs. Remarque : la moyenne n est pas toujours un nombre «réel» : ici, cela n a pas de sens de parler de décimales de téléviseurs! La moyenne sert avant tout à «résumer» la série des réponses. C) MOYENNE DANS LE CAS DES INTERVALLES : On pose la question suivante à 200 personnes : «Quelle est votre taille? (en cm)» On range les réponses dans le tableau suivant : Taille t (en cm) 140 t< t< t< t<180 Effectifs t<150 signifie que la taille est entre 140 cm et 150 cm, 140 inclus et 150 exclu Pour calculer la moyenne, il faut supposer par exemple que les 12 personnes dont la taille est comprise entre 140 cm et 150 cm ont la même taille : 145cm. On fait de même pour les autres classes. On pourra alors calculer une valeur approchée de la moyenne (qui n est pas exacte car on ne connaît pas précisément la taille de chaque personne) M ( ) : 200 = 165,8 cm Remarque : Les valeurs 145 ; 155 ; 165 et 175 sont appelées centres des classes D) MOYENNE A PARTIR DE FREQUENCES (EN %): Voici un diagramme donnant la répartition des élèves d un collège en fonction du nombre de frères qu a chacun. Nombre de frères Pour calculer la moyenne du nombre de frères, on va alors supposer que l effectif total est de 100 élèves. Ainsi, on suppose qu il y a eu 15 réponses «0 frères», 30 réponses «1 frère», 25 réponses «2 frères» etc 30,00% 15,00% 10,00% 20,00% La moyenne est alors : M = ( ) : 100 = 1,8 frère. 25,00%

5 4ème CALCUL LITTERAL : DEVELOPPER ET REDUIRE N21 A) REDUIRE UNE EXPRESSION: 1) Sans parenthèses : (voir BAO N20) On calcule séparément les termes en x², en x, et les nombres. Ex : A = 5x² + 4x 3 + x² 7x + 6 A = 5x² + 4x 3 + x² 7x + 6 A = 6x² 3x + 3 2) Avec parenthèses (sans produit): a) Parenthèses en début de calcul ou précédées d un «+». On peut supprimer ces parenthèses, ainsi que le signe «+», sans changer l expression. Ex : B = (2x + 1) + (-4x + 3) + (8x 6) (les parenthèses sont précédées d un «+») B = (2x + 1) + ( -4x + 3 ) + (+8x 6) B = 2x + 1 4x x 6 B = 6x 2 (on recopie seules les expressions entre parenthèses) (on réduit l expression) b) Parenthèses précédées d un «-» Soustraire une expression, c est additionner son opposé. On transforme donc d abord les soustractions en additions, avant de supprimer les parenthèses. Ex C = 2x (-2x + 1) (8x 6) (les parenthèses sont précédées d un «-») C = 2x + (+2x 1) + (-8x + 6) C = 2x +2x 1-8x + 6 C = -4x + 5 (on transforme les soustractions en additions) (on retrouve le cas précédent) B) DEVELOPPER UN PRODUIT : 1) Réduire un produit : (voir BAO N20) Ex : D = -3x 5 = -15x E = (-4x) (-2x) = 8x² 2) Développement simple : k ( a + b) = k a + k b avec k, a, b des nombres relatifs. Ex : F = -3x ( 5 7x) F = -3x ( +5 7x ) F = -15x + 21x² F = 21x² 15x On calcule mentalement (ou au brouillon) (-3x) (+5) =( -15x) (-3x) (-7x) = (+21x²) puis on recopie les résultats, en les ordonnant (les x² avant les x ) 3) Développement double : ( a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd avec a,b,c et d des nombres relatifs. Ex : C) EXEMPLE F = (4x 3)(2 5x) F = ( +4x 3 )( +2 5x ) F = 8x 20x² x F = -20x² + 23x 6 On calcule mentalement (ou au brouillon) (+4x) (+2) = (+8x) (+4x) (-5x) = (-20x²) (-3) (+2) = (-6) (-3) (-5x) +(15x) puis on réduit. a) Exprimer en fonction de x l aire A colorée de la figure ci-contre. b) Développer et réduire l expression obtenue. c) Calculer A quand x = 5cm. a) A = x ( x + 10) 2x ( x 1) (C est l aire du grand rectangle auquel on retire l aire du petit rectangle) c) A = - 5² = = 35 cm² b) On commence par repérer les développements que l on met entre crochets A = [ x ( x + 10) ] [ 2x ( x 1) ] A = [ x² + 10x ] [ 2x² 2x ] A = [ x² + 10x ] + [ -2x² + 2x ] A = x² + 10x - 2 x² + 2 x A = - x² + 12x

6 4ème PUISSANCES N23 A) DEFINITION: 1) Puissance d un nombre quelconque : x est un nombre quelconque et n est un nombre entier positif. x n = x x x x x x - n = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 n fois le facteur x n fois le facteur x n est appelé l exposant de la puissance. Exemples : 5 3 = = = = 1 16 = 0,0625 2) Cas particuliers: les puissances de 10 : 10 n = n = 0, n zéros n zéros Exemples : 10 6 = = 0,0001 3) Multiplier par une puissance de 10. Quand on multiplie un nombre par une puissance de 10 : d exposant n positif, on décale sa virgule de n rangs vers la droite. d exposant n négatif, on décale sa virgule de n rangs vers la gauche. Exemples : 5, = , = 0,0234 4) Ecriture scientifique : Tout nombre peut s écrire sous la forme x 10 n où x est un nombre relatif et n un entier. Quand x n a qu un seul chiffre différent de 0 avant la virgule, on dit qu il s agit de l écriture scientifique. Exemples : = ,00056 = 0, = 52, = = 5, = 5, Les 2 dernières écritures sont les écritures scientifiques de et 0, B) CALCULER AVEC LES PUISSANCES : 1) Formules : a et b étant deux nombres relatifs, n et p deux nombres entiers. a n a p = a n+p a n a p = a n-p ( a n ) p = a n p ( a b ) n = a n b n ( a b )n = an b n 2) Exemples : = = 8-7 (6 100 ) 2 = ( 2 3 )3 = = ) Exercice «type brevet» Calculer et donner l écriture scientifique de A A = (10 6 ) -3 = = = = (-18) = = 2, = 2,

7 4ème RESOLUTION D EQUATIONS N24 A) RESOUDRE UNE EQUATION : 1) Définition : Une équation d inconnue x est une égalité entre 2 expressions littérales dont la variable est x. Ces deux expressions sont appelées membres de l équation. L égalité peut être vérifiée ou pas : tout dépend de la valeur de l inconnue x. Dans le cas où l égalité est vérifiée, on dit que x est une solution de l équation. Exemple : x = -3 est il solution de l équation x² + 2x + 1 = 5x 4? Le membre de gauche vaut (-3)² +2 (-3) + 1 = 9 + (-6) + 1 = 4 Le membre de droite vaut 5 (-3) 4 = = -19 Donc -3 n est pas solution de l équation. 2) Méthode de résolution : «la balance» 3) Méthode de résolution : la transposition. B) PROBLEMES A METTRE EN EQUATION: 1) Numérique : Avec la même somme, je peux m acheter soit 4 cahiers et 3 crayons à 0,4 l unité, soit 2 cahiers et 8 gommes à 0,3 l unité. Quel est le prix d un cahier? On appelle x le prix d un cahier. On a alors : 4x + 3 0,4 = 2x + 8 0,3 4x + 1,2 = 2x + 2,4 4x 2x = 2,4 1,2 2x = 1,2 x = 1,2 : 2 = 0,6 Un cahier coûte 0,6. 2) Géométrique : Calculer AM. On pose AM = x (MN)//(BC) M [AB] N [AC] D après le théorème de Thalès x x+1 = 3 On utilise alors le produit en croix (3+1,5) 4,5x = 3(x +1) Il faut d abord développer. 4,5x = 3x + 3 4,5x 3x = 3 1,5x = 3 x = 3 :1,5 = 2 Donc AM = 2cm

8 4ème DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE G11 A) DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE: Définition : La distance d un point à une droite est la longueur du segment le plus court joignant ce point à cette droite. Ce segment est obligatoirement perpendiculaire à la droite. B) DROITE TANGENTE A UN CERCLE : 1) Définition : La tangente en un point M d un cercle C de centre O est la droite passant par M et perpendiculaire au rayon [OM]. 2) Exemples : La droite (d) est tangente au cercle. Remarque : La distance du centre O à la droite (d) est égale au rayon du cercle. C) BISSECTRICE : Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est à la même distance des côtés de cet angle. Réciproquement, si un point est à la même distance de deux demi-droites, alors il appartient à la bissectrice de l angle formé par ces demi-droites. D) CERCLE INSCRIT DANS UN TRIANGLE : 1) Propriété : Les 3 bissectrices d un triangle sont concourantes en un point.(c'est-à-dire qu elles se coupent en un même point). Ce point est le centre du cercle inscrit du triangle. Ce cercle est tangent aux 3 côtés de ce triangle. 3) Remarque : Si le triangle est isocèle en A, alors la bissectrice de l angle d A est aussi médiatrice, hauteur et médiane du triangle.

9 4ème PYRAMIDE ET CONES G15 A) PYRAMIDE: 1) Définition : Une pyramide est un solide composé d une base de forme polygonale et de faces latérales triangulaires ayant un sommet commun. 2) Vue en perspective : 3) Patron : B) CONE DE REVOLUTION : 1) Définition : En faisant tourner un triangle rectangle autour d un de ses côtés de l angle droit, on génère un solide appelé cône de révolution. 2) Vue en perspective : 3) Patron : Remarque : L angle au centre de la portion de disque dépend du rayon de la base et de la génératrice. Ici, le rayon du disque de base mesure 2cm, donc son périmètre vaut 2 π 2 = 4π L arc c BC mesure donc lui aussi 4π. Le périmètre du disque de rayon 8cm est 2 π 8 = 16π. c BC est donc 4 fois plus petit. Il faut ici que l angle au centre de ce disque soit égal à 360 /4 = 90. C) VOLUME DE LA PYRAMIDE ET DU CONE: 1) Formule : V = B h 3 où B est l aire de la base (polygone ou disque) et h est la hauteur. Pour une pyramide dont la base est un carré de côté mesurant 5cm et dont la hauteur mesure 6cm : V = (5 5) 6 3 = = 50 cm3

10 4ème TRIANGLE ET DROITES PARALLELES G20 A) THEOREME DE LA DROITE DES MILIEUX: 1) Théorème : Si une droite passe par les milieux de 2 côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. Si une droite passe par les milieux de 2 côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. Ici : M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] donc (MN) // (BC) B) THEOREME DU SEGMENT DES MILIEUX : 1) Théorème : Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d un triangle, alors il mesure la moitié du troisième côté. Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d un triangle, alors il mesure la moitié du troisième côté. Ici : M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] donc MN = BC : 2 = 7,14cm C) THEOREME DE LA DROITE PARALLELE : 1) Théorème : Si une droite est parallèle à un côté d un triangle en passant par le milieu d un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté. Si un une droite est parallèle à un côté d un triangle en passant par le milieu d un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté. Ici : M est le milieu de [AB] et (d) // (BC) donc N est le milieu de [AC]

11 4ème AGRANDISSEMENT,REDUCTION ET PETIT THEOREME DE THALES G21 A) AGRANDISSEMENT ET REDUCTION: 1) Définition : Reproduire une figure à l échelle k, c est multiplier toutes ses dimensions par un nombre strictement positif k. Si k > 1, alors on effectue un agrandissement à l échelle k Si 0 < k <1, alors on effectue une réduction à l échelle k. Scorpion à la taille réelle Agrandissement à l échelle 2,3 3) Propriétés : Dans un agrandissement ou une réduction : - les mesures des angles sont conservées. - Les droites parallèles restent parallèles. - Les milieux sont conservés. B) LE PETIT THEOREME DE THALES : 1) Théorème : Si une droite est parallèle à un côté d un triangle en coupant les deux autres côtés, alors elle détermine deux triangles dont les côtés sont proportionnels. Le plus petit des deux triangles est une réduction du triangle le plus grand. On utilise le théorème de Thalès dans ABC : (MN) // (AB) M appartient à [AC] N appartient à [BC] Donc les côtés de CMN et CAB sont proportionnels. CM CA = CN CB = MN AB 2 4,5 = CN 5 = MN 6 En utilisant l égalité des produits en croix. 4,5 CN = 2 5 donc 4,5CN = 10 CN = 10 : 4,5 2,2cm. 4,5 MN = 2 6 donc 4,5MN = 12 MN = 12 : 4,5 2,7cm. Remarque : CMN est une réduction de CAB à l échelle 2 4,5

12 4ème LE THEOREME DE PYTHAGORE ET SA RECIPROQUE G23 A) LE THEOREME DE PYTHAGORE: 1) Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Calcul de l hypoténuse. Dans le triangle ABC rectangle en A On a d après le théorème de Pythagore. BC² = AB² + AC² BC² = 3² + 4² = BC² = 25 BC = 25 = 5cm 3) Exemple: Calcul d un côté de l angle droit. Dans le triangle ABC rectangle en A On a d après le théorème de Pythagore. BC² = AB² + AC² 6² = AB² + 4,8² 36 = AB² AB² = = BC = 12,96= 3,6cm B) LA RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE : 1) Théorème : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle. AB² = 6,5 ² = 42,25 BC² = 6 ² = 36 AC² = 2,5² = 6,25 donc BC² + AC² = ,25 = 42,25 BC² + AC² = AB², donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en C.

13 4ème LE COSINUS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE G24 A) VOCABULAIRE ET DEFINITION: 1) Vocabulaire : Dans le triangle ABC rectangle en B [AC] est l'hypoténuse. [AB] est le côté adjacent de l'angle d A [BC] est le côté adjacent de l'angle d C 2) Définition. Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est égal au quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse. B) CALCUL D UN ANGLE : cos( d A ) = AB AC cos( d C ) = CB CA Calculons l angle d A, arrondi à 1 près. Dans ABC rectangle en B, cos( d A ) = AB AC cos( d A ) = 2,3 4,34 A = cos -1 (2,3 : 4,34) 58 C) CALCUL DU COTE ADJACENT D UN ANGLE : Calculons AB, arrondi à 0,1 cm près. Dans ABC rectangle en B, cos( d A ) = AB AC cos(46 ) = AB 5,47 AB = 5,47 cos(46 ) 3,8 cm. D) CALCUL DE L HYPOTENUSE : Calculons AC, arrondi à 0,1 cm près. Dans ABC rectangle en B, cos( d A ) = AB AC cos(30 ) = 5,4 AC AC cos(30 ) = 5,4 AC = 5,4 : cos(30 ) 6,2 cm.

14 4ème CERCLE ET TRIANGLE RECTANGLE G25 A) CERCLE CIRCONSCRIT D UN TRIANGLE RECTANGLE: 1) Théorème : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Ici : ABC est un triangle rectangle en C donc le cercle circonscrit de ABC a pour diamètre [AB] 2) Remarque : Dans ce cas, la médiane issue du sommet de l angle droit est aussi un rayon du cercle : elle mesure donc la moitié de l hypoténuse, c'est-à-dire qu ici, OC = AB/2 B) TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE : Théorème : Si on joint un point d un cercle aux extrémités d un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle. Ici : C appartient au cercle de diamètre [AB] donc ABC est un triangle rectangle en C. C) EXEMPLE : ABC est un triangle quelconque. Le cercle de diamètre [AC] coupe [AB] en H. 1) Démontrer que (HC) est perpendiculaire à (AB). 2) Le cercle de diamètre [BC] passe-t-il par H? 1) Si on joint un point d un cercle aux extrémités d un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle. Ici : H appartient au cercle de diamètre [AC] donc AHC est rectangle en H. Donc (HC) est perpendiculaire à (AB) 2) D après 1), le triangle BHC est rectangle en H. Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Ici : BHC est un triangle rectangle en H donc le cercle circonscrit de BHC a pour diamètre [BC] Donc le cercle de diamètre [BC] passe bien par H.