DEVOIR MATHEMATIQUES 2 NDE A Durée : 2 heures

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1 DEVOIR MATHEMATIQUES NDE A Durée : heures 4/0/15 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Calculatrice autorisée. Les résultats seront encadrés. Un barème probable est donné à la fin du sujet (sur un total de 40 points). Vous pouvez traiter les exercices dans l ordre que vous voulez. Exercice 1 : A un contrôle, les élèves d une classe ont obtenu les notes suivantes : 1. Quelle est l étendue de cette série?. Calculer la fréquence de la note 13 en décimale au millième près, puis en pourcentage au dixième près. 3. Déterminer la moyenne de cette série. En donner la valeur arrondie à 10 1 près. 4. Déterminer la médiane de la série, interpréter ce résultat. Exercice : Le fou de Bassan est un oiseau qui se nourrit de poissons en plongeant dans l eau depuis les falaises de l île de Bass. Soit h(x) la hauteur de l oiseau au dessus du niveau de l eau en fonction de la distance x, à l horizontale, le séparant de la rive. L oiseau décrit une parabole représentative de la fonction définie par h(x) = x² 6x + 5 pour x appartenant à [0; 6]. 1. À quelle hauteur l oiseau commence-t-il son plongeon? Justifier.. Montrer : h(x) = (x 3) 4 3. Etablir, en utilisant votre calculatrice, le tableau de variations complet de la fonction h sur [0; 6]. 4. Écrire l équation qui détermine à quelles distances du rivage l oiseau est entré puis sorti de l eau. Résoudre cette équation.

2 DEVOIR MATHEMATIQUES NDE A Durée : heures 4/0/15 Exercice 3 : Le plan est muni d un repère orthonormé (O, I, J). A( 3; 3), B(5; ) et C(1; 3) sont trois points du plan. Soit E le milieu segment [AB] et F le milieu du segment [AC]. 1. Faire une figure.. Calculer les coordonnées des points E et F. 3. a. Calculer les coordonnées des vecteurs BC et EF. b. Montrer que BC et EF sont colinéaires. c. Que peut-on en déduire? 4. a. Calculer les longueurs BC et EF. b. Que peut-on en déduire? 5. Quel théorème de géométrie vient-on de mettre en évidence? Exercice 4 : Pour deux résistances R 1 et R montées en parallèles, la résistance R du dipôle vérifie la relation : 1 R = R 1 R Les résistances sont exprimées en ohms (Ω). On donne R 1 = 4 et R = x. 1. Montrer que : R = 4x. Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f(x) = 4x a. Montrer que : f(x) = 4 16 b. A l aide de votre calculatrice, établir les variations de la fonction f pour > a. Résoudre f(x) = 3. b. En déduire la résistance R pour que la résistance R du diplôme soit égale à 3Ω. Exercice 5 : Les salaires en, pour l année 01, des employés d une entreprise sont regroupés en quatre classes. CLASSE [1000; 1500[ [1500; 1800[ [1800; 1900[ [1900; 400[ POURCENTAGE 18% 8% 30% 4% EFFECTIF Combien y a-t-il d employés dans l entreprise?. Recopier et compléter le tableau. 3. Déterminer le salaire moyen dans cette entreprise. 4. La direction annonce pour l année 013 une baisse des salaires de 8% mais une prime de fin d année de 115. Quel sera le salaire moyen en 013?

3 DEVOIR MATHEMATIQUES NDE A Durée : heures 4/0/15 Exercice 6 : Instruction «Tant que»: toujours suivie d une condition Instruction à répéter tant que la condition est réalisée. On considère l algorithme ci-contre. 1. Faire fonctionner cet algorithme pour n = 5.. Proposer deux entiers naturels différents qui donnent 5 en sortie. 3. Peut-on obtenir le nombre 11 en sortie? 4. Que fait cet algorithme? (BONUS) Exercice 7 : toute trace de recherche sera prise en compte. Dans un carré ABCD de côté 4cm, I est le milieu de [BC]. AM = DN = x On considère la fonction f qui à x associe l aire du triangle MNI. Etudier les variations de f sur l intervalle [0; 4]. Rappel : (aire du trapèze) BAREME PROBABLE Exercice n TOTAL points

4 EXERCICE 1 Correction ds commun nde A mardi 4 février 015 1) L étendue est 18 (Calcul : x max x min = 18 0) ) Fréquence de la note 13 : f = n i N = 7 0,194 = 19,4% ) Calcul de la moyenne : x = 0. = ,5. La moyenne est d environ 10,5 sur 4) Calcul de la médiane : L effectif est pair, donc la médiane est la moyenne des notes de rang N et N + 1, soit de rang 18 et 19. Donc, la médiane vaut 10. Signification : 50% des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 10. EXERCICE 1) D après le repère du graphique, l oiseau commence son plongeon à une hauteur de falaise de : h(0) = (0) 6(0) + 5 = 5, donc de 5 mètres. ) Démontrons en développant : (x 3) 4 = x 6x +9 4 = x 6x +5 = h(x). Donc : h(x) = (x 3) 4 3) D après la calculatrice, on peut dire que la fonction h est décroissante puis croissante avec un minimum de 4 atteint en 3. 4) L oiseau étant entré puis sorti de l eau aux points d ordonnée 0 d après le repère sur le graphique, trouver ces valeurs revient à résoudre : h(x) = 0 (x 3) 4 = 0 (x 3 )(x 3+) = 0 (x 5)(x 1) = 0 D après : A B = 0 A = 0 ou B = 0. Donc : x = 5 ou x = 1. Donc, l oiseau est entré dans l eau à 1m de la falaise et ressorti à 5m. EXERCICE 3 1) voir ci-contre ( xa + x B ) Soit E milieu de [AB],donc : E = 1; y A + y B = 5 ). De même pour F milieu de [AC ] :F ( 1;0) 3) a. ( ) xc x B = 4 BC ; de même : EF y C y B = 5 5 b. Montrons : BC et E F sont colinéaires. D après la question précédente, je sais : EF = BC D après : deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l un est le produit de l autre par un réel. Donc, avec un réel k =, on en déduit que EF et BC sont colinéaires. c. On en déduit donc que les droites (BC ) et (EF ) sont parallèles. 4) a. BC = (x C x B ) + ( ) y C y B = = 41 ; EF = (x F x E ) + ( ) y F y E = = 4 =. b. Donc : BC = EF 5) On vient de mettre en évidence le théorème de la droite des milieux : "si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors il est parallèle et mesure la moitié du troisième côté" Page 1 sur

5 EXERCICE R = 1 R R 1 R = x 1 R = 4x. Donc : R = 4x ( égalité prouvée). a. Réduisons au même dénominateur l expression :4 16 4() 16 4x = = = 4x 4 + x = f (x). b. D après la calculatrice, sur ]0;+ [, la fonction est croissante. 3. Sur ]0;+ [ : f (x) = 3 4x = 3 4x 4x 3() 3 = 0 = 0. D après : A B = 0,B 0 A = 0 Donc : 4x 3x 1 = 0 x = 1 S = {1} 4. La résistance vaut 3Ω lorsque R = x = 1Ω ( solution de l équation précédente) EXERCICE employés représentent 30%. Soit un nombre total de : 10 3 Il y a donc 400 employés. 10 = 400. Tableau complété : Classe [1000; 1500[ [1500; 1800[ [1800; 1900[ [1900; 400[ Fréquence 18% 8% 30% 4% Effectif Pour compléter le tableau : 18% des employés, soit = 7. Ce qui permet de compléter tout le tableau. 3. Calcul de la moyenne :Pour effectuer le calcul, on prend le centre de chaque classe, soit 150 pour le premier effectif, 1650 pour le deuxième, etc... x = = Le salaire moyen est donc de 1758 e. 4. le salaire moyen subira donc une baisse de 8% puis une hausse de 115 e. On obtient un salaire moyen de : ( baisse de 8%) ,4 e. EXERCICE 6 1. Pour : n = 5 u prend la valeur 5. 5 > 7, donc u prend la valeur > 7, donc u prend la valeur > 7, donc u prend la valeur 4.La valeur finale est 4.. En prenant n = 1, on obtient comme valeur finale 5. De même pour n = On ne peut pas obtenir 11 en sortie car : 11 > Cet algorithme enlève à la valeur de départ 7 jusqu à obtenir un nombre inférieur à 7. Par exemple, pour une valeur de départ de 15, on obtient 1. On obtient donc le reste de la division de 15 par 7, soit plus généralement de n par 7. EXERCICE 7 Calculons l aire de DN IC qui est un trapèze, sachant :DN = x, C I = (I milieu de [BC ]) et DC = 4 ( (DN +C I ) DC (x + ) 4 ABCD carré de côté 4). On obtient : A 1 = = = (x + ) = Calculons l aire de M AN, sachant : M A = x, MB = 4 AM = 4 x,an = 4 DN = 4 x et B I =. On obtient, M AN étant rectangle en A : A = M A AN x (4 x) =. Calculons l aire de MB I, MB I étant rectangle en B : A 3 = MB B I (4 x) = = 4 x. x(4 x) 4x x Donc : f (x) = A MN I = A ABCD A 1 A A 3 = 16 x 4 4+x = 8 x = 8 x x + x Donc : f (x) = x 3x + 8 Etude des variations grâce à la calculatrice : f est décroissante sur [0; 3] avec : f (0) = 8 et f (3) = 3, 5 f est croissante sur [3;4] avec f (4) = 4. Page sur