Suites : Résumé de cours et méthodes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Suites : Résumé de cours et méthodes"

Transcription

1 Suites : Résumé de cours et méthodes Généralités ne suite numérique est une liste de nombres, rangés et numérotés : à l entier 0 correspond le nombre noté 0 à l entier correspond le nombre noté à l entier n correspond le nombre noté n (appelé terme de la suite de rang n). La suite est notée ( n ) Remarque : Ne pas confondre ( n ) qui représente la suite, et n qui est le nombre représentant le terme de la suite de rang n. Il y a principalement deux manières de définir une suite : - Suite définie de façon explicite Dans ce cas, on dispose d une formule permettant de calculer directement n en fonction de n. C est à dire qu il existe une fonction f définie sur [0;+ [ telle que, pour tout entier n, n = f (n). Exemples : ) Soit ( n ), la suite définie par n = 3n + 4. Le premier terme de la suite est alors 0 = = 4 (on remplace n par 0). = = 7 (on remplace n par ). 0 = = 34 (on remplace n par 0). Pour tout n, n+ = 3 (n + ) + 4 = 3n = 3n + 7 (on remplace n par n + ). ) Soit ( n ), la suite définie par n = n. On a : 0 = 0 = 0, = =, = = 4. Et pour tout n, n+ = (n + ) = n + n +. Représentation graphique d une suite définie de façon explicite : Dans un repère orthogonal, on place les points d abscisse n et d ordonnée n (que l on ne joint pas entre eux!). Cela revient à ne tracer que les points d abscisses entières de la courbe représentative de la fonction f. Avec la suite de l exemple ( n = n ), cela donne la représentation graphique suivante : Suite définie par une relation de récurrence Dans ce cas là, il n y a plus de formule permettant de calculer directement n en fonction de n, mais on dispose d une relation (dite de récurrence) permettant de calculer le terme de rang n + à partir de celui de rang n. Ainsi, en connaissant le premier terme 0, on peut calculer le terme suivant. Puis avec, on peut calculer le terme suivant, etc... D un point de vue mathématique, la suite est définie par : le terme initial 0 et la relation de récurrence : n+ = f ( n ) (où f est une fonction définie sur un intervalle I tel que : 0 I et pour tout x de I, f (x) I ). S - Suites c P.Brachet -

2 ) Soit ( n ), la suite définie par 0 = et n+ = 3 n. On a alors, = 3 0 = 3 = 6 (on remplace n par 0 dans le relation de récurrence). = 3 = 3 6 = 8 (on remplace n par dans le relation de récurrence). 3 = 3 = 3 8 = 54 (on remplace n par dans le relation de récurrence). ) Soit ( n ), la suite définie par 0 =,5 et n+ = 4 + n. On a alors, = = 4,5 3,6. = ,6 5,35. Détermination graphique des termes d une suite définie par une relation de récurrence : Dans un repère orthonormé, on trace d abord la représentation graphique de la fonction f définissant la relation de récurrence et la droite d équation y = x. On part de 0 en abscisse : l ordonnée du point de la courbe correspondant à cette abscisse nous donne [() sur le graphique correspondant à l exemple ]. Pour déterminer = f ( ), il nous faut rabattre sur l axe des abscisses [() sur le graphique] : pour cela on utilise la droite d équation y = x. Dès lors, est l ordonnée du point de la courbe d abscisse [(3) sur le graphique]. Pour poursuivre la construction, on répéte le procédé en rabattant sur l axe des abscisses [(4) sur le graphique]. 3 est l ordonnée du point de la courbe d abscisse [(5) sur le graphique]... y=x 3 () (3) (4) (5) y=f(x) () 0 3 Sens de variation d une suite ne suite ( n ) est dite croissante si pour tout entier n, n+ n. ne suite ( n ) est dite décroissante si pour tout entier n, n+ n. Méthodes pour étudier le sens de variation d une suite : ) Calculer et étudier le signe de n+ n pour tout n (cette méthode est valable dans tous les cas) : si pour tout n, n+ n 0 alors la suite ( n ) est croissante. si pour tout n, n+ n 0 alors la suite ( n ) est décroissante. ) Pour les suites dont les termes sont tous strictement positifs (à vérifier avant), il peut être pratique de calculer n+ d utiliser la propriété suivante : si pour tout n, n+ alors la suite ( n ) est croissante. n si pour tout n, n+ alors la suite ( n ) est décroissante. n 3) Pour les suites définies de façon explicite par n = f (n) : si la fonction f est croissante sur [0;+ [ alors la suite ( n ) est aussi croissante. si la fonction f est décroissante sur [0;+ [ alors la suite ( n ) est aussi décroissante. n et c P.Brachet - S - Suites

3 ) Soit ( n ), la suite définie par 0 = et n+ = n ( n ). S agissant d une suite définie par une relation de récurrence, nous ne pouvons utiliser que la première ou deuxième méthode. Avec la première méthode : Pour tout n, n+ n = n ( n ) n = ( n ) < 0. La suite ( n ) est donc décroissante. ) Soit ( n ), la suite définie par n = 5 3 n. Pour tout n, n > 0. On peut donc utiliser la deuxième méthode (souvent utilisée quand il y a des puissances) : Pour tout n, n+ = 5 3n+ n 5 3 n = 3. La suite ( n ) est donc croissante. 3) Soit ( n ), la suite définie par n = n. C est une suite définie de façon explicite avec n = f (n) où f est la fonction définie par f (x) = x. Or on sait que la fonction f est croissante sur [0;+ [. En utilisant la troisième méthode, on conclut que la suite ( n ) est croissante. 3 Suites arithmétiques ne suite est dite arithmétique si l on passe d un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre. Autrement dit, une suite ( n ) est arithmétique s il existe un réel r (appelé raison) tel que pour tout entier n, n+ = n + r. 0 +r +r +r n n+ 4, 7, 0, 3 et 6 sont les premiers termes d une suite arithmétique de raison 3 : Si une suite ( n ) est telle que pour tout n, n+ n = constante alors ( n ) est une suite arithmétique de raison égale à la constante. Soit ( n ), la suite définie par n = 4n + 5. Pour tout n, n+ = 4(n + ) + 5 = 4n + 9. Donc, n+ n = 4n + 9 (4n + 5) = 4. ( n ) est donc une suite arithmétique de raison égale à 4. Remarques : De façon générale, si pour tout n, n peut s écrire sous la forme n = An + B alors ( n ) est une suite arithmétique de raison A. Les points de la représentation graphique d une suite arithmétique se situent sur une même droite de coefficient directeur égal à la raison. Si ( n ) est une suite arithmétique de raison r alors pour tous entiers n et p : n = 0 + nr n = p + (n p)r S - Suites c P.Brachet - 3

4 ) Soit ( n ) la suite arithmétique de premier terme 0 = et de raison r = 3. 0 = 0 + 0r = = 3 ; 33 = r = = 0 Pour tout n, n = 0 + nr = + 3n. ) Soit ( n ) la suite arithmétique telle que = 7 et 5 = 9. Pour trouver la raison r : on a 5 = + (5 )r, d où 9 = 7 + 3r r = 4 A partir de là, on peut calculer 0 en utilisant que 0 = + (0 )r = = 39. Sens de variation d une suite arithmétique de raison r : Si r 0, la suite est croissante. Si r 0, la suite est décroissante. 4 Suites géométriques ne suite est dite géométrique si on passe d un terme au terme suivant en le multipliant toujours par le même nombre non nul. Autrement dit, une suite ( n ) est géométrique s il existe un réel q 0 (appelé raison) tel que pour tout entier n, n+ = q n. 0 xq xq xq n n+ 3, 6,, 4 et 48 sont les premiers termes d une suite géométrique de raison : x x x x Si une suite ( n ) (n ayant aucun terme nul) est telle que pour tout n, n+ raison égale à la constante. n = constante alors ( n ) est une suite géométrique de Soit ( n ), la suite définie par n = 3 4 n. Pour tout n, n+ = 3 4n+ n 3 4 n = 4. ( n ) est donc une suite géométrique de raison égale à 4. Remarque : De façon générale, si pour tout n, n peut s écrire sous la forme n = A B n alors ( n ) est une suite géométrique de raison B. Si ( n ) est une suite géométrique de raison q alors pour tous entiers n et p : n = q n 0 n = q (n p) p ) Soit ( n ) la suite géométrique de premier terme 0 = 5 et de raison q =. 4 = q 4 0 = 4 5 = 80 ; 0 = q 0 0 = 0 5 = 50 Pour tout n, n = q n 0 = 5 n. ) Soit ( n ) la suite géométrique de raison positive telle que = 7 et 4 = 63. Pour trouver la raison q : on a 4 = q 4, d où 63 = 7 q q = 9. Donc, q = 3 (car q > 0) A partir de là, on peut calculer 6 en utilisant que 6 = q 6 = = c P.Brachet - S - Suites

5 Sens de variation d une suite géométrique de premier terme 0 et de raison q : Si q < 0 alors la suite n est ni croissante, ni décroissante. Si q = alors la suite est constante. Si 0 < q <, la suite est décroissante lorsque 0 > 0 et croissante lorsque 0 < 0. Si q >, la suite est croissante lorsque 0 > 0 et décroissante lorsque 0 < 0. 5 Suites arithmético-géométriques Généralités : Ce sont des suites définies par une relation de récurrence de la forme : n+ = a n + b (avec a et b 0). Pour les étudier on utilise une autre suite (V n ) définie par V n = n α où α est en fait le réel tel que α = a α + b (α est en fait généralement donné dans l énoncé de l exercice). On montre ensuite que cette suite (V n ) est géométrique (de raison a en fait, mais le résultat n est pas à connaître). On peut alors en déduire la forme explicite de la suite ( n ). Soit ( n ) la suite définie par 0 = et n+ = n Montrons que la suite (V n ) définie par V n = n 8 est géométrique : (on remarquera que α = α + 4 α = 4 α = 8) Pour tout n : V n+ = n+ 8 = n = n 4. Or, V n = n 8. Donc, pour tout n, on a V n+ = V n. Ce qui prouve que la suite (V n ) est géométrique de raison. - On peut maintenant ( ) en déduire la forme explicite de V n, puis de n : n Pour tout n, V n = V 0. Or, V 0 = 0 8 = 8 = 6. Donc, V n = 6 Comme n = V n + 8, on en déduit que n = 6 ( ) n + 8 ( ) n. S - Suites c P.Brachet - 5

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2007/2008

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2007/2008 Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 007/008 Table des matières 1 Notion de suite numérique 1.1 Définition................................................. 1. Modes de génération d une

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Rappels et compléments 3 1.1 Fonctions affines............................................. 3 1.2 Fonctions

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - notion de suite, représentation graphique, suites arithmétiques, suites géométriques : toutes sections - somme de termes, limite de suites arithmétique et

Plus en détail

Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 1 2007 2008

Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 1 2007 2008 Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 1 La ligne droite fait partie de notre environnement naturel, mais comme tout objet mathématique, elle nécessite une définition.

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques Chapitre 7 Généralités sur les fonctions numériques Étude d une fonction réelle d une variable réelle On munit le plan d un repère orthonormé O; i, j.. Fonction réelle d une variable réelle Définition

Plus en détail

Terminale ES Chapitre III Suites numériques.

Terminale ES Chapitre III Suites numériques. Terminale ES Chapitre III Suites numériques. I- Généralités. 1) Vocabulaire. Voici une liste de nombres : 1 3 6 10 15 21 (termes) On peut les numéroter : n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 (rangs) Ainsi, le terme

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Une suite est un ensemble infini où chaque élément se voit attribuer un numéro

SUITES NUMERIQUES. Une suite est un ensemble infini où chaque élément se voit attribuer un numéro SUITES NUMERIQUES I. Présentation des suites numériques Une suite est un ensemble infini où chaque élément se voit attribuer un numéro Définition d'une suite. Une suite (u n ) est une fonction définie

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Voir des propriétés sur la calculette et de les démontrer par des calculs : ensemble de définition solutions d'équations et d'inéquations croissance et décroissance symétries

Plus en détail

Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. Lorsque le rapport

Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. Lorsque le rapport Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. f() f(a) Lorsque le rapport admet une

Plus en détail

( ) = b. Chapitre 5 : Fonction logarithme népérien. I. Fonction logarithme népérien. 1. Définition et propriétés

( ) = b. Chapitre 5 : Fonction logarithme népérien. I. Fonction logarithme népérien. 1. Définition et propriétés Chapitre 5 : Fonction logarithme népérien I. Fonction logarithme népérien 1. Définition et propriétés La fonction exponentielle est strictement croissante sur! à valeurs dans 0;+, donc d'après le théorème

Plus en détail

QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer

QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Tableaux de variations et tableaux de signes Les exercices 1 et se réfèrent au graphique

Plus en détail

b) Equation du second degré Lorsque l équation ax² + bx + c = 0 admet des solutions, celles-ci sont appelées racines du trinôme ax² + bx + c.

b) Equation du second degré Lorsque l équation ax² + bx + c = 0 admet des solutions, celles-ci sont appelées racines du trinôme ax² + bx + c. Chapitre I : Révisions I. Le second degré a) fonction trinôme La représentation graphique d une fonction f définie sur par f() = a² + b + c (a non nul) est une parabole. La fonction f est appelée fonction

Plus en détail

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE Fonctions affines Fonctions de référence Seconde Fonctions affines. Activité Trois tais T, T et T proposent les tarifs suivants : T : de prise en charge, puis 0,0 du kilomètre ; T : de prise en charge,

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Fiche BAC 01 Terminale S Raisonnement par récurrence Suites numériques Exercice n 1. [RÉSOLU] On considère la suite définie par : { u = 1 0 u n+1 = u n +2,n 0 1 ) A la calculatrice ou avec un tableur :

Plus en détail

Suites numériques Généralités Exercices corrigés

Suites numériques Généralités Exercices corrigés Suites numériques Généralités Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : définition d une suite, notion de rang et termes d une suite Exercice 2 : calcul avec les termes d une suite

Plus en détail

Seconde Chapitre III : Fonctions affines Année scolaire 2012/2013

Seconde Chapitre III : Fonctions affines Année scolaire 2012/2013 Seconde Chapitre III : Fonctions affines Année scolaire 2012/2013 I) Généralités sur les fonctions affines : 1) Définition : Une fonction f définie sur R est dite affine si il existe deux nombres réels

Plus en détail

Les fonctions numériques

Les fonctions numériques Les fonctions numériques Introduction : analogie : Dans les fonctions numériques, la première difficulté est de distinguer les concepts en jeu. Pour illustrer ces fonctions, nous allons procéder à une

Plus en détail

Mathématique -5SH - 3périodes/semaine.

Mathématique -5SH - 3périodes/semaine. Exemples : I. SUITES NUMÉRIQUES 1. Voici une suite de termes numériques : 3, 17, 87, 437, 2187, ou indice 0 1 2 3 4 5 termes Exemple 3 17 87 437 2187 p n-1 n A. DÉFINITION Intuitivement, une suite est

Plus en détail

Suites : Rappels, récurrence et limites

Suites : Rappels, récurrence et limites Suites : Rappels, récurrence et limites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/01 Table des matières 1 Généralités sur les suites 1.1 Modes de génération d une suite....................................

Plus en détail

Les fonctions numériques

Les fonctions numériques Les fonctions numériques introduction : analogie : la première difficulté est de distinguer les concepts en jeu, pour cela procédons à une comparaison avec une situation informatique : Imaginons que vous

Plus en détail

LOGARITHME NÉPÉRIEN. I Définition - Propriétés - Relation fonctionnelle. Définition. Propriétés (voir démonstration 01) Rappel.

LOGARITHME NÉPÉRIEN. I Définition - Propriétés - Relation fonctionnelle. Définition. Propriétés (voir démonstration 01) Rappel. LOGARITHME NÉPÉRIEN I Définition - Propriétés - Relation fonctionnelle e Rappel La fonction eponentielle est une fonction continue et strictement croissante sur IR. On a lim e = 0 et - lim e = +. D'après

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 3 juin 2010

Baccalauréat ES Amérique du Nord 3 juin 2010 Baccalauréat ES Amérique du Nord 3 juin 2010 EXERCICE 1 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle ( [ 2 ; 11], et on donne sa courbe représentative C f dans un repère orthogonal

Plus en détail

Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés

Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : conjecture de la limite d une suite définie par une formule explicite

Plus en détail

Fonctions logarithme décimal

Fonctions logarithme décimal CHAPITRE 6 Fonctions logarithme décimal Échauffez-vous! a) Complétez par l eposant positif ou nul. = ; = ; = 7. b) Complétez par l eposant négatif., = ;, = 2 ;, = 7. c) Cochez les cases correspondant à

Plus en détail

Chapitre 3 Étude de fonctions. Table des matières. Chapitre 3 Étude de fonctions TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Étude de fonctions. Table des matières. Chapitre 3 Étude de fonctions TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Étude de fonctions TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Étude de fonctions Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Coordonnées Équation de droites

Coordonnées Équation de droites Coordonnées Équation de droites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Coordonnées dans le plan 2 1.1 Repères coordonnées d un point.................................... 2 1.2

Plus en détail

Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires

Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires TABLE DES MATIÈRES Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires Paul Milan LMA Seconde le 6 février 200 Table des matières La fonction carrée 2. Fonction paire................................

Plus en détail

Fonctions exponentielles de base q et logarithme décimal

Fonctions exponentielles de base q et logarithme décimal Fonctions eponentielles de base q et logarithme décimal I) Fonctions eponentielles de base q : 1) Définition : q étant un nombre strictement positif différent de 1 Toute fonction qui à tout nombre réel

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques Généralités sur les fonctions numériques. Rappels sur les fonctions.. Généralités Définition : On appelle fonction f un procédé qui à tout nombre réel tente d'associer un unique nombre réel f(), appelé

Plus en détail

Dérivation Étude de fonctions

Dérivation Étude de fonctions Dériation Étude de fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2011/2012 Table des matières 1 Nombre dérié et tangente 2 2 Fonction dériée 3 2.1 Définition.............................................

Plus en détail

I. Se repérer sur le cercle trigonométrique (2 nde )

I. Se repérer sur le cercle trigonométrique (2 nde ) ère S FCHE n Trigonométrie. Se repérer sur le cercle trigonométrique ( nde ) L idée + d n enroule la droite d autour d un cercle de centre et de rayon comme ci-dessus. A chaque point d abscisse sur la

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 202/203 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative................................... 2.2

Plus en détail

Séries entières. Exercice 2. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Séries entières. Exercice 2. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Séries entières Exercice 1. Soit Une série entière. On suppose qu elle diverge pour et qu elle converge pour. Quel est son rayon de convergence? Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Déterminer le

Plus en détail

Cours de Terminale S / Suites. E. Dostal

Cours de Terminale S / Suites. E. Dostal Cours de Terminale S / Suites E. Dostal juillet 204 Table des matières Suites 2. Notion de Suites......................................... 2.2 Suites arithmétiques et suites géométriques..........................

Plus en détail

Extremums d une fonction

Extremums d une fonction Extremums d une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans, et deux réels. est le maximum de sur D si et

Plus en détail

Les fonctions affines Seconde

Les fonctions affines Seconde Les fonctions affines Seconde Dernière mise à jour : Dimanche 3 Février 2008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (EXOS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (EXOS) Fiche professeur second ordre () ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (EXOS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Résoudre à la main et à l aide de la calculatrice les équations différentielles linéaires du

Plus en détail

ETUDES DE FONCTIONS. = +. On a : a = -1, b = 4 et c = 0.

ETUDES DE FONCTIONS. = +. On a : a = -1, b = 4 et c = 0. 1 sur 9 ETUDES DE FONCTIONS I. Fonctions polynômes de degré 1. Définition Une fonction polynôme de degré f est définie sur R par f () = a + b + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0. Eemples

Plus en détail

Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points)

Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points) Terminale STG ANNALES de bac sur la fonction ln 00-0 Eercice ( Pondichér 0) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; 8] par f() = 30 ln() + 0 0.. n admet que la fonction f est dérivable

Plus en détail

Une fonction linéaire f de coefficient a est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax.

Une fonction linéaire f de coefficient a est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax. COURS ÈME FONCTIONS LINÉAIRE ET AFFINE PAGE /7 I. FONCTION LINÉAIRE : Une fonction linéaire f de coefficient a est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax. On la note : On dit que : f :

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I Limites de suites Définition Soit (u n ) une suite et l un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain

Plus en détail

I) A quoi sert une fonction affine?

I) A quoi sert une fonction affine? FICHE METHODE sur les FONCTIONS AFFINES I) A quoi sert une fonction affine? a). Il a actuellement 3 euros d économies et en ajoute 5 par semaine! Comment varient ses économies en fonction du nombre x de

Plus en détail

L essentiel sur les suites. 3.1 Définition... 4. 1.2 Monotonie... 2. 2 Suites arithmétiques 2. 3.2 Propriétés... 4

L essentiel sur les suites. 3.1 Définition... 4. 1.2 Monotonie... 2. 2 Suites arithmétiques 2. 3.2 Propriétés... 4 Table des matières L essentiel sur les suites Généralités 2. Définition.................................................... 2.2 Monotonie.................................................... 2 2 Suites

Plus en détail

Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire Exercices corrigés

Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire Exercices corrigés Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : donner la partie réelle et la partie

Plus en détail

Extremums d une fonction

Extremums d une fonction Extremums d une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans, et deux réels. est le maximum de sur D si et

Plus en détail

Ch 4 Fonctions 1 ère S

Ch 4 Fonctions 1 ère S Ch 4 Fonctions 1 ère S I. Fonctions, sens de variation...1 II. Fonctions de référence... A. Fonctions racine carrée...3 B. Fonctions inverse...3 C. Comparaison des fonctions constante, racine carrée, carré

Plus en détail

A.P soutien maths. Exercice 2 : Ci-contre, voici la représentation graphique de g dans un repère

A.P soutien maths. Exercice 2 : Ci-contre, voici la représentation graphique de g dans un repère A.P soutien maths Exercice 1 : Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = 4x 2 + 16 x + 29 a) Quelle est la nature de f? b) Déterminer les variations de f c) Tracer la représentation graphique de f dans

Plus en détail

CORRECTION. = et b = x a ȳ ) 2 V (X)V (Y ) aa = r 2. 9, on a, on a : a = 3, 5 9 et b = 24 15.

CORRECTION. = et b = x a ȳ ) 2 V (X)V (Y ) aa = r 2. 9, on a, on a : a = 3, 5 9 et b = 24 15. UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR / 8 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 55-DAKAR-Fann-Sénégal Serveur Vocal: 68 5 59 Téléfax () 864 67 9 - Tél : 84 95 9-84 65 8 M A T H E M A T I Q U E S Durée: 4 heures Séries

Plus en détail

Chapitre 11 Fonctions homographiques. Table des matières. Chapitre 11 Fonctions homographiques TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 11 Fonctions homographiques. Table des matières. Chapitre 11 Fonctions homographiques TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Fonctions homographiques TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre Fonctions homographiques Table des matières I Exercices I-................................................ I-................................................

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 2 12 OCTOBRE 2012

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 2 12 OCTOBRE 2012 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 2 12 OCTOBRE 2012 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Exercices de révision sur les matrices

Exercices de révision sur les matrices Exercices de révision sur les matrices Exercice On considère les matrices à coefficients réels et définies par : 4 où I désigne la matrice unité d'ordre.. Calculer,, en fonction de. Pour le calcul de,

Plus en détail

Chapitre 2 : Etude de fonctions

Chapitre 2 : Etude de fonctions Chapitre : Etude de fonctions I. Fonctions carrées, racine carrée et inverse Propriété : La fonction carrée est définie sur. Elle est décroissante sur ; 0 et croissante sur 0; Démonstration : Sur ; 0 :

Plus en détail

Fonctions affines par morceaux

Fonctions affines par morceaux Fonctions affines par morceaux Année scolaire 2006/2007 Table des matières 1 Fonctions affines par morceaux 2 1.1 Définition Représentation graphique................................. 2 1.2 Un cas particulier

Plus en détail

Fonctions : Limites et asymptotes

Fonctions : Limites et asymptotes Fonctions : Limites et asymptotes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 205/206 Table des matières Limite à l infini 3. Limite infinie en, en...................................... 3.2 Limite finie en, en

Plus en détail

2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS . GENERALITES SUR LES FONCTIONS. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles.. Fonction et ensemble de déinition On appelle onction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout

Plus en détail

EQUATIONS, INEQUATIONS ET SYSTEMES D EQUATIONS

EQUATIONS, INEQUATIONS ET SYSTEMES D EQUATIONS EQUATIONS, INEQUATIONS ET SYSTEMES D EQUATIONS I. Résoudre un problème par une mise en équation La mise en équation d'un problème comporte, en général, 4 étapes : 1. Choisir les inconnues La lecture de

Plus en détail

Polynômes et Fractions rationnelles

Polynômes et Fractions rationnelles 3. Polynômes CHAPITRE 3 Polynômes et Fractions rationnelles 3.. Polynômes On désigne par K l ensemble R ou l ensemble C. Les élements de K sont les scalaires. 3... Définitions. Définition 3.. Soient a

Plus en détail

Système de deux équations à deux inconnues

Système de deux équations à deux inconnues Système de deux équations à deux inconnues I) Système de deux équations à deux inconnues 1) définitions Définition 1 : Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme : où a, b, c, a, b et

Plus en détail

Intégration d une fonction trigonométrique Exercices corrigés

Intégration d une fonction trigonométrique Exercices corrigés Intégration d une fonction trigonométrique Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : calculer l intégrale de la fonction sinus ou de

Plus en détail

Ch. 10 : FONCTIONS INVERSES ET HOMOGRAPHIQUES (Les fonctions de référence partie 3)

Ch. 10 : FONCTIONS INVERSES ET HOMOGRAPHIQUES (Les fonctions de référence partie 3) Ch 10 : FONCTIONS INVERSES ET HOMOGRAPHIQUES (Les fonctions de référence partie ) I Rappel Propriétés des fractions : Le division par zéro est impossible Le diviseur, ou le dénominateur doit toujours être

Plus en détail

Les fonctions affines

Les fonctions affines Les fonctions affines Définition Une fonction f est un procédé qui permet d'associer à tout nombre x, élément d'un ensemble D, un nombre unique noté f x Définition Une fonction affine est définie sur R

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 07 mai 013 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES spécialité Coefficient : 9 Le

Plus en détail

6 SH 3 h/sem. Fonctions exponentielles et logarithmiques Note de cours. f(2) = 2.2 + 4 = 8 (On remplace x par 2.)

6 SH 3 h/sem. Fonctions exponentielles et logarithmiques Note de cours. f(2) = 2.2 + 4 = 8 (On remplace x par 2.) I. Fonctions réciproques A. Introduction Que font réellement les fonctions? Exemple : f(x) = 2x + 4 Si j évalue f(2) =? f(2) = 2.2 + 4 = 8 (On remplace x par 2.) Si j évalue f(3) =? f(3) = 2.3 + 4 = 10

Plus en détail

STATISTIQUES. 1. Définitions, vocabulaire et notations

STATISTIQUES. 1. Définitions, vocabulaire et notations STATISTIQUES Faire des statistiques, c est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat... Les plus gros

Plus en détail

Si on essayait de penser vectoriellement? Vecteur : véhicule, sens, direction, flèche du temps, index de mouvement ou de transformation. OM = x.

Si on essayait de penser vectoriellement? Vecteur : véhicule, sens, direction, flèche du temps, index de mouvement ou de transformation. OM = x. I REPÈRE DU PLAN 1 DÉFINITION On appelle repère du plan, tout triplet (O; i, ) tel que O désigne un point du plan et i, deux vecteurs non colinéaires Le point O est appelé origine du repère ; les vecteurs

Plus en détail

[ ], suit une loi de probabilité de densité f [ ] : inclus dans a;b. ( ) = f t. , l axe des abscisses, et les droites d équations x = c et x = d.

[ ], suit une loi de probabilité de densité f [ ] : inclus dans a;b. ( ) = f t. , l axe des abscisses, et les droites d équations x = c et x = d. I Généralités Dans cette partie, l'univers Ω est un intervalle de, a et b sont deu réels tels que a < b 1 Densité On appelle densité de probabilité sur [ a;b] toute fonction f continue et positive sur

Plus en détail

Classe : TES1 Le 21/05/2004. MATHEMATIQUES Devoir N 6

Classe : TES1 Le 21/05/2004. MATHEMATIQUES Devoir N 6 NOM :... Prénom :... Classe : TES1 Le 21/05/2004 MATHEMATIQUES Devoir N 6 Calculatrice autorisée Durée : 3h Exercice 1: (5 points) Le tableau suivant donne l évolution du prix d un paquet de café en francs

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Partie A : Dérivabilité Etudier la dérivabilité de la fonction : 1 en 1. On considère la fonction définie sur 1; par 1 1 Etudier la dérivabilité de en 1.

Plus en détail

Exemple de sujet oral bac S enseignement obligatoire n 1

Exemple de sujet oral bac S enseignement obligatoire n 1 Eemple de sujet oral bac S enseignement obligatoire n - Les eercices du sujet suivant constituent une base d argumentation pour l entretien : Eercice Chaque question peut avoir une seule ou plusieurs bonnes

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COURS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COURS) Auteur : Alain Ladureau ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COURS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir les équations différentielles du second ordre. Résoudre à la main et à l aide de la calculatrice

Plus en détail

Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés

Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : vecteur normal à un plan Exercice 2

Plus en détail

Relations d ordre, relations d équivalence

Relations d ordre, relations d équivalence Université de Provence Mathématiques générales 2 Relations d ordre, relations d équivalence 1 Relations d ordre Exercice 1. Dans la droite réelle, déterminer les minorants, les bornes inférieures et les

Plus en détail

Exercices : Étude de fonctions

Exercices : Étude de fonctions Exercices : Étude de fonctions Exercice : Calculer les limites suivantes :. lim + lnx+x x+e x.. lim 3. lim x4 e x +3x x x 4. lim 5. lim 6. lim e x (lnx) (e 3 ) x e 3x +x ( (lnx) 3 +x ) x 7. lim x e x +e

Plus en détail

ÉQUATIONS Définitions et principes généraux de résolutions

ÉQUATIONS Définitions et principes généraux de résolutions ÉQUATIONS Définitions et principes généraux de résolutions DÉFINITIONS Considérons deux expressions non identiques A et B dépendant d une ou plusieurs variables x, y, z, Lorsqu on remplace les variables

Plus en détail

Le second degré dans R

Le second degré dans R S-Second degré dans R-Cours Septembre 0 Livre pages à 9 Le second degré dans R Fonctions polynômes du second degré Définition P est une fonction polynôme à coefficients réels de degré n n N) si et seulement

Plus en détail

LES FONCTIONS AFFINES

LES FONCTIONS AFFINES LES FNCTINS FFINES 1. PRESENTTIN a. Définition Soit a et b deu réels. La fonction f telle que f ( ) = a+ b est appelée fonction affine. Son ensemble de définition est Df = ] ; + [ = b. Représentation graphique.

Plus en détail

EXERCICES SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. 12 ) lim 2 ; 4 ) + 7. x + ; 11 ) ; 14 ) lim.

EXERCICES SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. 12 ) lim 2 ; 4 ) + 7. x + ; 11 ) ; 14 ) lim. EXERCICE :01 EXERCICES SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Calculer les ites suivantes : + 1 + 1 1 ) ; ) ; ) 5 + + + + 5 ) ; 6 ) + + 6 + 6 + 9 ) ( + ) ; 10

Plus en détail

Première ES IE7 suites numériques S1. Première ES IE7 suites numériques S2

Première ES IE7 suites numériques S1. Première ES IE7 suites numériques S2 (u n) est une suite arithmétique telle que u 0 = -2 et u 1 = 5. 2) En déduire le treizième terme de la suite. 4) A partir de quel rang les termes u n sont-ils supérieurs à 1 000? Pour stocker des fichiers

Plus en détail

Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires

Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires DERNIÈRE IMPRESSIN LE 29 janvier 205 à 9:44 Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires Table des matières La fonction carrée 2. Fonction paire............................... 2.2 Étude de

Plus en détail

POLYNOMES. On appelle polynôme ou fonction polynôme (ou fonction polynomiale) à une indéterminée x sur R (ou C) l'expression définie par , 2 0

POLYNOMES. On appelle polynôme ou fonction polynôme (ou fonction polynomiale) à une indéterminée x sur R (ou C) l'expression définie par , 2 0 POLYNOMES.. Introduction. Nous vous proposons dans cette annee le chapitre sur les polynômes et les fractions rationnelles. Ce module est important pour la suite du cours. Il ne comporte pas d eercices

Plus en détail

Chapitre 2 Les Suites

Chapitre 2 Les Suites Chapitre 2 Les Suites A) Généralités 1) Définitions Une suite (ou suite de nombres) est un ensemble ordonné de nombres réels construit sur une règle précise et non aléatoire. On note généralement (u n

Plus en détail

Fiche méthode : équations de droites

Fiche méthode : équations de droites Table des matières 1 Coefficient directeur 2 11 Cas général 2 12 Calcul du coefficient directeur connaissant deux points de la droite 2 13 Lecture graphique du coefficient directeur 2 2 Equation réduite

Plus en détail

Fonctions de 2 et 3 variables

Fonctions de 2 et 3 variables Fonctions de 2 et 3 variables Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M 1 Définitions Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un

Plus en détail

THEOREME DE LA CONVERGENCE MONOTONE

THEOREME DE LA CONVERGENCE MONOTONE THEOREME DE LA CONVERGENCE MONOTONE.1 Suite minorée, majorée, bornée Dénition 1 minorée par m : quel que soit n, u n m majorée par M : quel que soit n, u n M bornée = minorée + majorée Exemple de suite

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat STMG Pondichéry 22 avril 2016

Corrigé du baccalauréat STMG Pondichéry 22 avril 2016 Corrigé du baccalauréat SMG Pondichéry 22 avril 206 EXERCICE 5 points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Le tableau ci-dessous donne l émission moyenne de

Plus en détail

Correction STMG Antilles-Guyane septembre 2015

Correction STMG Antilles-Guyane septembre 2015 orrection STMG Antilles-Guyane septembre 2015 Durée : 3 heures EXERIE 1 4 points Dans un supermarché ouvert de 9 h à 20 h, on a relevé le nombre de clients présents en caisse à différentes heures de la

Plus en détail

Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace

Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace Chapitre 7 Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace 7.1 Calcul vectoriel dans l espace On se place dans un repère orthonormal (O, i, j, k) de l espace E (à 3 dimensions).

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite DERNIÈRE IMPRESSION LE 4 octobre 205 à 9:20 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Table des matières Raisonnement par récurrence 2. Effet domino................................ 2.2 Intérêt du

Plus en détail

Rappels de seconde sur les fonctions

Rappels de seconde sur les fonctions Rappels de seconde sur les fonctions Table des matières I Vocabulaire des fonctions I. Définitions............................................... I. Tableau de valeurs d une fonction..................................

Plus en détail

Chapitre : MATRICES. Exercice 1. Soit le système : 2x 3y 5z = 7 x + 3y + 4z = 1 3x 4z = 5. Résoudre ce système en utilisant la calculatrice.

Chapitre : MATRICES. Exercice 1. Soit le système : 2x 3y 5z = 7 x + 3y + 4z = 1 3x 4z = 5. Résoudre ce système en utilisant la calculatrice. Exercice 1 Soit le système : Résoudre ce système en utilisant la calculatrice. 2x 3y 5z = 7 x + 3y + 4z = 1 3x 4z = 5 D. Le FUR 1/ 50 Exercice 2 Résoudre le système suivant à l aide de la calculatrice

Plus en détail

K ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 on appelle P le plan (AFH) le point I est le milieu du segment [AE]

K ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 on appelle P le plan (AFH) le point I est le milieu du segment [AE] Sujet Antilles Guyane 20 EXERCICE. [5 pts] Géométrie Description de la figure dans l espace muni du H repère orthonormé(a ; AB, AD, AE) : K ABCDEFGH désigne un cube de côté on appelle P le plan (AFH) le

Plus en détail

Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque d une fonction exponentielle. y = log c x

Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque d une fonction exponentielle. y = log c x Généralité Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque d une fonction exponentielle. Relation entre la forme exponentielle et la forme logarithmique. Forme exponentielle x = C Y x : Puissance

Plus en détail

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés...........................

Plus en détail

EXERCICES ÉTUDES DE FONCTIONS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

EXERCICES ÉTUDES DE FONCTIONS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE 0 EXERCICES ÉTUDES DE FONCTIONS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Soit la fonction f définie par f () a + b + c ; où a ; b et c sont des réels ) Calculer f () ) Déterminer

Plus en détail

retrouver la droite alors la pente ou le coefficient directeur de (T) est le quotient 1 2

retrouver la droite alors la pente ou le coefficient directeur de (T) est le quotient 1 2 BACCALAUREAT SERIE L - ANTILLES - EPREUVE FACULTATIVE JUIN 2003 Corrigé Exercice 1 ( 7 points) La courbe (Γ) ci-dessous représente dans un repère orthonormal une fonction f définie sur [1; + [ On note

Plus en détail

Organisation et gestion de données, fonctions :

Organisation et gestion de données, fonctions : Organisation et gestion de données, fonctions : «Un des objectifs est de faire émerger progressivement sur des exemples la notion de «fonction en tant que processus faisant correspondre un nombre à un

Plus en détail

COURS TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES

COURS TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES COURS TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES A. Introduction des nombres complexes Au XVIème siècle, des algébristes italiens cherchent à résoudre des équations de degré telles que, par exemple, l'équation

Plus en détail

DEVOIR MATHEMATIQUES 2 NDE A Durée : 2 heures

DEVOIR MATHEMATIQUES 2 NDE A Durée : 2 heures DEVOIR MATHEMATIQUES NDE A Durée : heures 4/0/15 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Calculatrice

Plus en détail

Travaux Dirigés. Mathématiques L1 Semestre 1. Ce dossier contient les énoncés des exercices qui seront résolus au cours des séances de TD.

Travaux Dirigés. Mathématiques L1 Semestre 1. Ce dossier contient les énoncés des exercices qui seront résolus au cours des séances de TD. Travaux Dirigés Mathématiques L1 Semestre 1 Ce dossier contient les énoncés des exercices qui seront résolus au cours des séances de TD. La présence des étudiants à ces séances est obligatoire. Les modifications

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien DERNIÈRE IMPRESSION LE 3 décembre 04 à 0:07 La fonction logarithme népérien Table des matières La fonction logarithme népérien. Définition.................................. Représentation................................3

Plus en détail