Annales de géométrie dans l espace

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1 Annales de géométrie dans l espace Pondichéry Avril 2013 (4 points) Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question. L espace est rapporté à un repère orthonormal. Le plan a pour équation. désignent des paramètres réels. Le plan a pour représentation paramétrique La droite a pour représentation paramétrique On donne les points. 1) Une représentation paramétrique du plan est : a) b) c) d) 2) a) La droite le plan sont sécants au point b) La droite le plan sont perpendiculaires c) La droite est une droite du plan. d) La droite le plan sont strictement parallèles. 3) a) La droite la droite sont orthogonales. b) La droite la droite sont parallèles. c) La droite la droite sont sécantes. d) La droite la droite sont confondues. 4) a) Les plans sont parallèles. b) La droite de représentation paramétrique est la droite d intersection des plans c) Le point appartient à l intersection des plans d) Les plans sont perpendiculaires. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Asie juin 2012 (Extraits) Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cte affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte justifiée rapporte 1 point. 1) Dans l espace rapporté à un repère orthonormal, on considère la droite dont on donne une représentation paramétrique, le plan dont on donne une équation cartésienne :. Affirmation 1 : la droite est strictement parallèle au plan 2) Dans l espace rapporté à un repère orthonormal, on considère le point le plan d équation cartésienne :. Affirmation 2 : La distance du point au plan est égale à. Liban - Mai 2012 (Extraits) 1) Dans l espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les droites de représentations paramétriques respectives : Affirmation : Les droites sont coplanaires 2) Dans l espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les points ainsi que le plan d équation. Affirmation : Le point est le projé orthogonal du point sur le plan. Pondichéry Avril 2012 Dans le repère orthonormé de l espace, on considère : Les plans d équations : La droite ayant pour représentation paramétrique Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse. Proposition 1 : «La droite est orthogonale au plan». Proposition 2 : «La sphère de centre O de rayon 2 est tangente au plan». N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Proposition 3 : «L intersection des plans est la droite dont une représentation paramétrique est» Proposition 4 : «Les droites sont coplanaires». Centres étrangers - Juin 2012 On considère un cube d arête de longueur. On se place dans le repère orthonormal nombre réel appartenant à.. On considère les points,, avec un Les parties A B sont indépendantes. Partie A 1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ) 2) Démontrer que la droite a pour représentation paramétrique 3) Démontrer que les droites sont sécantes si, seulement si, Partie B Dans la suite de l exercice, on pose Le point a pour coordonnées. 1) Démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. 2) La figure ci-dessous fait apparaître l intersection du plan avec les faces du cube telle qu elle a été obtenue à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par le point d intersection du plan de la droite par le point d intersection du plan de la droite. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 a) Prouver que le vecteur de coordonnées est un vecteur normal au plan b) En déduire que le plan a pour équation c) En déduire les coordonnées des points. Nouvelle Calédonie Novembre 2011 L espace est rapporté à un repère orthonormal. On considère les points :. 1) a) Vérifier qu une équation du plan est : b) Calculer la distance du point au plan 2) a) Déterminer une équation du plan passant par orthogonal à la droite. b) Soit la droite intersection du plan du plan Déterminer une représentation paramétrique de la droite. Quel rôle joue cte droite dans le triangle? 3) a) Soit la médiane issue de du triangle. Montrer qu une équation paramétrique de est dans le triangle est b) Montrer que le triangle est un triangle isocèle. 4) Soit le point d intersection des droites. Montrer que le point a pour coordonnées. Que représente le point pour le triangle? 5) Montrer que le point est le projé orthogonal du point O sur le plan. Rrouver alors la distance du point O au plan. Amérique du sud Novembre 2011 L espace est rapporté à un repère orthonormal. On considère le point de coordonnées les droites de représentations paramétriques respectives : Proposition 1 : «Le point appartient à la droite». N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Proposition 2 : «Le plan perpendiculaire à la droite passant par le point O a pour équation» Proposition 3 : «Les droites D D sont orthogonales». Proposition 4 : «Les droites sont coplanaires». Proposition 5 : «La distance du point au plan d équation est égale à». Polynésie Juin 2008 (4 points) Dans l espace rapporté à un repère orthonormal O ; i ; j ; k, on considère les points : A 1; 2;3, B 0;1; 4, C 1; 3; 2, D 4; 2;5 le vecteur 2; 1;1 n. 1) a) Démontrer que les points A, B C ne sont pas alignés. b) Démontrer que n est un vecteur normal au plan ABC. c) Déterminer une équation du plan ABC. 2) Soit la droite dont une représentation paramétrique est : x 2 2t y 1 t z 4 t, a) Montrer que le point D appartient à la droite. b) Montrer que la droite est perpendiculaire au plan ABC. 3) Soit E le projé orthogonal du point D sur le plan ABC a) Déterminer les coordonnées du point. b) Calculer la distance du point D au plan ABC (c'est-à-dire la distance ). Asie- Juin 2006 (5 points) On considère le cube représenté sur la feuille annexe. Dans tout l exercice, l espace est rapporté au repère orthonormal. On note le point de coordonnées. 1) Placer sur la figure 2) Le plan coupe la droite en. Démontrer que les droites sont parallèles. 3) On note le projé orthogonal de sur la droite. a) Justifier que les deux conditions suivantes son vérifiées : i. Il existe un réel tel que N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 ii. b) Calculer les coordonnées du point. c) En déduire que la distance s exprime par. 4) Démontrer que le vecteur de coordonnées est normal au plan. En déduire une équation cartésienne du plan. 5) Démontrer que la distance du point au plan est. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6