Le second degré. Forme canonique

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1 1 ES Chapitre 3 Activités 1, et 3 page 6/8 I. Définition Le second degré Définition : Un trinôme du second degré est une fonction de la forme a +b+c, où a,b et c sont des réels avec a ý0 Par abus de langage, on dit aussi «le trinôme a²+b+c». II. Forme canonique On considère le trinôme a²+b+c avec a 0 La forme a b b + 4ac a 4a est appelée forme canonique du trinôme a +b+c La forme canonique d un trinôme est une forme où n intervient qu une seule fois. Eercices 1 et page 7/8 III. Résolution de l équation a²+b+c=0 Activité 4 page 6/8 1. Définition : a,b et c désignent trois nombres réels donnés avec a 0. Une équation du second degré, d inconnue, est une équation du tpe a +b+c=0 Le réel b² - 4ac, noté, est appelé discriminant du trinôme a²+b+c. résolution de l équation a +b+c=0 : Résolution de l équation a +b+c=0 avec aý0. =b 4ac Lorsque < 0, l équation n a pas de solution Lorsque = 0, l équation admet une solution (appelée racine double) : - Lorsque > 0, l équation admet deu solutions distinctes : 1 = -b a b a et = -b+ a Remarque: les solutions de l équation du second degré a +b+c=0 sont appelées les racines du trinôme a²+b+c. 1/6

2 Eemple 1 : Résoudre les équations suivantes : 3 4= ; 3=-4 ; =0 Méthode : Tout d abord, regarder si l équation peut se résoudre avec les techniques vues en seconde : membre de droite nul, puis factorisation du membre de gauche soit en identifiant un facteur commun soit en utilisant une identité remarquable Si ce n est pas le cas, alors : Ecrire l équation sous la forme a +b+c=0 Calculer. Selon le signe de, conclure en utilisant le théorème. 3 4= ñ 3=-4ñ /6

3 =0 ñ Eercices 3, 4 et 5 page 7/8 IV. Factorisation du trinôme Activité 5 page 6/8 Soit le trinôme a +b+c avec aý0. Lorsque <0, le trinôme ne se factorise pas en produit de polnômes du premier degré. Lorsque =0, alors a +b+c=a b + a Lorsque >0, alors a +b+c=a -b a -b+ a Eemple : Factoriser si possible le trinôme On ne reconnaît pas de facteurs communs ni d identité remarquable, on commence donc pas calculer le discriminant de ce trinôme : =b 4ac=5 4 (-) (-3)=5 4=1 >0 donc le trinôme admet deu racines distinctes : 1 = -b a -5 1 = (-) =- 6-4 = 3 et = -b+ a = =1 La factorisation du trinôme est donc =- 3 ( 1) 3/8

4 V. Signe et représentation graphique d un trinôme du second degré On ne sait pas encore représenter avec précision une parabole P représentative de f définie sur Ë par f()=a²+b+c. Cependant, nous admettrons les tracés suivants : a<0 < 0 f()=a La parabole est «tournée» vers le bas b + a 4a Le trinôme n a pas de racine 0 f()=a a>0 La parabole est «tournée» vers le haut b + a 4a Le trinôme n a pas de racine + f() - + f() + 0 =0 f()=a( 0 ) Le trinôme a une racine double f() f()=a( 0 ) Le trinôme a une racine double f() > 0 f()=a( 1 )( ) Le trinôme a deu racines distinctes 1 et ( 1 )( ) f()=a( 1 )( ) Le trinôme a deu racines distinctes 1 et f() f() Remarques : Les racines sont les abscisses des points d intersection de la parabole et de l ae des abscisses. 4/8

5 On retiendra alors le théorème suivant: Dans le cas >0, le trinôme a +b+c est du signe de a, sauf entre les racines. Dans le cas où Â0, le trinôme est alors de signe constant: celui de a Eemples : Etudier le signe du trinôme ++3 Etudier le signe du trinôme Résoudre l inéquation ² Comme cela a été vu en seconde pour résoudre une inéquation (autre que du premier degré) on étudie d abord le signe de l epression ²+7 15, Résoudre l inéquation -²++4 > 0 Eercices 6 à 17 pages 7 et 8/8 5/8

6 Le second degré - Activité I. Résolutions d équations simples (vues en seconde ) Résoudre dans IR chacune des équations suivantes : 1. ²=4. (3 1)(7 )=0 3. 4² 1+9=0 II. Le but de cette partie est de résoudre dans Ë l équation P()=0 avec P()=3² 1 1. Tracer à l aide de votre calculatrice graphique la courbe représentative de la fonction P (on prendra comme fenêtre graphique min =-1; ma =1; min =-1; ma =5). Conjecturer quant au éventuelles solutions de l équation P()=0 III. 3. Vérifier que 1 et - 1 sont bien deu solutions de cette équation Essaons de trouver une méthode algébrique permettant de trouver toutes les solutions de cette équation. a. Montrer que P() peut aussi s écrire b. En remarquant que = 5, puis en utilisant une identité remarquable, montrer que 1 P()= c. Résoudre alors algébriquement l équation P()=0 dans Ë. d. Vers la forme canonique Soit a, b et c trois réels avec aý0. Développer l epression a b b + 4ac a 4a. IV. Résolution de l équation a + b+c=0 Montrer que résoudre a +b+c=0 revient à résoudre + b a = (a) avec =b 4ac (on utilisera la forme canonique du trinôme) En différenciant les cas où <0, =0 et >0, résoudre l équation a +b+c=0 V. Factorisation du trinôme En utilisant la forme canonique de a +b+c et en différenciant les cas où <0, =0 et >0, factoriser lorsque cela est possible a +b+c 6/8

7 Le second degré : Eercices Eercice 1 : Les réponses de cet eercice sont sur le site internet Résoudre dans IR chacune des équations suivantes : a. (+3)++3=0 b. ( 4)²+( 4)(+)=0 c. 4=3+² d. (1+3)²=-7 e. 3(+1)=(1 ) f =0 Eercice : Les réponses de cet eercice sont sur le site internet Factoriser, si possible les deu epressions suivantes: P()=-4² ; Q()=9²+6+3 ; R()= + 1 Eercice 3 : Résoudre les équations du second degré suivantes : 3² 4+ 4 =0 3 ² 3+ =0 ²+3+5=0 Eercice 4 : Trouver deu entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à Eercice 5 : Résoudre dans Ë les équations suivantes : =0 ; = 1 +1 ; + =+6 ; + Eercice 6 : La parabole P dessinée ci contre représente l une des 4 fonctions suivantes : f 1 : 4+4 ; f : : f 3 : 4+5 et f 4 : Pour trouver de quelle fonction il s agit, voici une démarche possible : 1- la parabole est tournée vers le haut. Que peut-on en déduire? - Quelle conséquence graphique permet de déduire que <0? 3- Conclure. O Eercice 7 : f est une fonction définie sur IR par f()=² 7 a. Tracer la courbe C représentant f sur l écran de la calculatrice. b. Lire à l écran le nombre de solutions de l équation f()=0 et des valeurs approchées de celles-ci. c. Trouver par la calcul les solutions de l équation f()=0. Eercice 8 : f, g, h et k sont 4 fonctions définies sur IR par f()=-² 3 g()=² 4+3 h()=² +5 k()=² Méthode 1 : en procédant comme dans l eerice 6, retrouver les représentations graphiques de chacune des fonctions Méthode : a. Résoudre les équations f()=0, g()=0, h()=0 et k()=0. 4 b. Les 4 courbes ci-contre représentent les fonctions f, g, h et k. En utilisant les résultats du a., déterminer les courbes représentant g et k. Calculer f(0) et h(0) pour trouver les courbes représentant f et h. 7/8

8 Eercice 9 : Résoudre les inéquations suivantes : +1Ã0 ; <0 ; < 1 et ( 3) Â(1 ). Eercice 10 : 1. On cherche à résoudre l inéquation ( + 6 )(+1)Ã0. Pour cela on pose f()=( + 6 )(+1) Déterminer les racine du trinôme + 6 et à l aide d un tableau de signes, déduire le signe de f() en fonction des valeurs de. Déduire alors l ensemble des solutions de l inéquation ( + 6 )(+1)Ã0.. Résoudre l inéquation ( )( +3 4 ) <0 Eercice 11 : Résoudre l inéquation 3 1 > 4 1 Pas à pas : 1. Mettre cette inéquation sous la forme A B > 0. Résoudre -²++1=0 3. Etudier le signe de A à l aide d un tableau de signes. B 4. Quel est l ensemble de solutions de l inéquation initiale? Eercice 1 : Résoudre dans IR les deu inéquations suivantes: 1 < 1 + ; (- + 4)( ) -3² Eercice 13 : Léa a résolu l inéquation -5² Elle a trouvé [-1,4 ; 3] pour l ensemble des solutions. a. A l aide de la calculatrice graphique, représenter la fonction définie sur IR par f() = -5² b. Le résultat de Léa semble t-il eact? c. Résoudre l inéquation par le calcul et confirmer ou infirmer la réponse de Léa. Eercice 14 : Trouver le réel tel que l aire du domaine ci-contre soit strictement supérieur à 3. Eercice 15 : Dans une entreprise, on a constaté que le coût de production C(), en centaines d euros, d une quantité d un produit est égal à : C()= 3 6²+81 a. Développer f()=(+3)(² 9+7) et g()=( )(² 4 8) b. Quel est le signe de C() pour [0 ; + [? c. Pour quelles valeurs de, le coût de production est-il inférieur à 6500? Eercice 16 : Dans une salle de concert, 800 personnes sont assises sur des bancs d égale longueur. S il avait eu 0 bancs de moins, il aurait été nécessaire de faire asseoir deu personnes de plus sur chaque banc. Trouver le nombre de bancs. Indication : Appeler N le nombre de bancs et n le nombre de personnes assises sur chacun des bancs. Ecrire deu équations correspondant au données du tete et résoudre le sstème. Eercice 17 : Un capital de euros est placé au tau de t% pendant un an. L intérêt est capitalisé et le nouveau capital est placé l année suivante au tau de (t+)%. Le nouvel intérêt est capitalisé et le nouveau capital est Epliquer pourquoi t est une solution de l équation 1,5(100+t)(10+t)= Calculer le tau t. 8/8