LES FONCTIONS AFFINES

Transcription

1 LES FNCTINS FFINES 1. PRESENTTIN a. Définition Soit a et b deu réels. La fonction f telle que f ( ) = a+ b est appelée fonction affine. Son ensemble de définition est Df = ] ; + [ = b. Représentation graphique. La représentation graphique de f est une droite d équation y = a + b a est appelé coefficient directeur b est appelé ordonnée à l origine ( ) = 0,5 + 2 f a = 1 1 b = Cas particuliers : - Si a = 0 alors f ( ) = est représentée par une droite parallèle à - Si b = 0 alors f ( ) = est appelée fonction linéaire et est représentée par une droite passant par 1

2 c. Variations Si a > 0 alors f est croissante Si a < 0 alors f est décroissante a + b a + b 2. LECTURES GRPHIQUES DE a ET b Soit ( ; ) et ( ; ) B yb y B B y B deu points de la droite. lors a = B ( ; ) ( ) B ; 1 1 a y B = = B y L ordonnée à l origine b est f ( 0) ou l image de 0. Dans le cas ci-dessus, b = Donc la droite représente la fonction f telle que : f ( ) = En pratique, pour la détermination de a, coefficient directeur : o n regarde d abord si la droite est croissante ou décroissante. Si elle est croissante, alors a > 0 2

3 Si elle est décroissante alors a < 0 o n choisit 2 points de la droite dont on connaît bien les coordonnées (valeurs entières de préférence) puis on lit le rapport : o Donc a ( signe) différence des ordonnées entre les 2 points différence des abscisses entre les 2 points y = y = a = de plus b = 1 1 donc f ( ) = 3. EQUTINS UNE INCNNUE a. Définition Soit une équation d inconnue. Résoudre l équation consiste à déterminer toutes les valeurs de (appelées solutions) qui vérifient l équation. b. Résolution d une équation du premier degré. L équation : a + b = 0 est appelée équation du premier degré à une inconnue (l eposant de est 1 d où «premier degré») 3

4 Eemples : résoudre les équations du premier degré suivantes : 2 5= 0 3 = 2 ( ) 2 = Graphiquement : Soit f ( ) a b = +. Résoudre a b 0 + = revient à résoudre ( ) 0 f = soit à déterminer l abscisse du point d intersection de la droite D : y = a + b avec ( ) Si a 0 D : y = a + b Une intersection donc : S = a Si a= 0 et b 0 D : y = b Pas d intersection donc : S = 4

5 Si a= 0 et b= 0 D est confondue avec ( ) donc : D: y = 0 S = c. Résolution d autres équations se ramenant au premier degré Eemples : Soit l équation : 2 = 1 0 Cette équation est du second degré (l eposant de est 2) et nous ne savons résoudre cette équation que si nous factorisons 2 1 en produit de deu facteurs du premier degré. n dit que cette équation se ramène au premier degré. Résolvons cette équation : Soit l équation : = 0. 1 De même cette équation se ramène au premier degré car après réduction au même dénominateur, on trouve une équation équivalente qui est : 5

6 Résolvons cette équation : En résumé : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un des facteurs est nul : ( ) ( B) 0 = En particulier : ( a + b)( c + d ) = 0 Un quotient est nul si, et seulement si, le numérateur est nul et le dénominateur non nul : 0 B = a + b En particulier : = 0 c + d 4. SIGNE DE f ( ) = a+ b Soit f ( ) = a+ b et D : y = a + b sa représentation graphique. Pour la partie de D située au-dessus de ( ), f ( ) 0. Sinon, f ( ) 0 a > 0 a < 0 a a a + b a + a + b a + 6

7 Ces deu tableau sont appelés tableau de signe de f ( ) = a+ b ttention : Il n y a pas de rapport entre tableau de signe et tableau de variation d une fonction f (une fonction croissante n est pas forcément positive) 5. SIGNE D UN PRDUIT, D UN QUTIENT a. Signe d un produit Si et B sont de même signe, alors B est positif Si et B sont de signe contraire, alors B est négatif b. Signe d un quotient Si et B sont de même signe, alors B est positif Si et B sont de signe contraire, alors B est negatif mais attention : Si B=0, B n a pas de sens 6. RESLUTIN D UNE INEQUTIN Résoudre une inéquation revient à comparer une epression à 0, donc à étudier son signe. Pour étudier le signe de l epression, on peut s aider d un tableau de signe. 7

8 Eemples : Résolvons : 2 5< + 3 Nous savons déjà résoudre algébriquement cette inéquation (voir chapitre sur l ordre). Nous pouvons aussi s aider d un tableau de signe : Comparaison à 0 : tableau de signe de : Donc S= Résolvons : ( + 1)( 2+ 3) ( + 1) Comparaison à 0 : Factorisation (c est du degré) : Tableau de signe de : Tableau de signe de : Regroupement des deu tableau de signe pour étudier le signe du produit : Donc S= 8

9 Résolvons : 2 > 4 3 Comparaison à 0 : Réduction au même dénominateur : Tableau de signe de et de Donc S= 9