Définition RACINES CARRÉES - CHAPITRE N3

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1 Définition 1 Un peu de vocabulaire Dis si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifie ta réponse. 49 est le carré de 7. Vrai, car a pour carré 64. Vrai, car a pour carré 81. Faux, car ( 9) ( 9) ( 9) 81 d. 144 est le carré de 1. Vrai, car ( 1) ( 1) ( 1) 144 e. ( 3) est le carré de 3. Vrai, car 3 ( 3) 9 4 Les nombres suivants ont-ils une racine carrée? Si oui, laquelle? 100 Oui, car 100 est positif Oui, car 9 est positif Non, car 36 est négatif. d. ( 8) Oui, car ( 8) 64 est positif e. 169 Oui, car 169 est positif f. 1 Non, car 1 est négatif. g. 5 Non, car 5 est négatif. h. π Oui, car π est positif. π 1,77 Nombre ayant pour carré Écris chaque nombre sous la forme du carré d'un nombre positif d. 0,36 0,36 0,6 e f. 0,04 0,04 0, 3 Recopie et complète les phrases suivantes. 4...,... est positif donc et est positif donc ,... est positif donc et 6 est positif donc ,01...,... est positif donc 0, ,01 0,1 et 0,1 est positif donc 0,01 0,1. 5 Peux-tu déterminer la racine carrée des nombres suivants? Justifie ta réponse est positif donc est positif et 5,4 donc 5,4 1, est positif donc d. ( 5) ( 5) 5 50 donc ce nombre n'a pas de racine carré. e. π 4 π 4 0,86 donc ce nombre n'a pas de racine carré. f ,05 est positif. 0,05 0, g. 4 π 4 π 0,86 4 π 0,86 0,93 d.... 0,5,... est positif donc 0,5. 0,5 0,5 et 0,5 est positif donc 0,5 0,5. e ,... est positif donc et 11 est positif donc RACINES CARRÉES - CHAPITRE N3

2 6 Sans utiliser de calculatrice, donne la valeur des nombres suivants d. 0,14 0,14 0,14 e f. 0,4 0,4 0,4 7 Sans utiliser de calculatrice, donne la racine carrée des nombres suivants e. 0,49 0,49 0,7 f On considère les trois séries de nombres suivantes. S 1 : 16 ; 4 ; 8 ; 3 ; 56. S : 1,5 ; 65 ; 50 ; 5 ; 5. S 3 : 7 ; 88 ; ; 1 ; 144. Dans un tableau similaire à celui de l'exercice précédent, place les trois séries de nombres dans les bonnes cases. Trouve une quatrième série S 4 où le nombre 7 sera à placer dans une des colonnes. a a a a a , , d donc g donc h. ( 4) En utilisant la calculatrice, donne la valeur arrondie au centième des nombres suivants , ,7 e ,3 f ,4 8 Sans utiliser de calculatrice, recopie et complète le tableau ci-dessous (a 0). a a a a a , ,5 1 0,88 0,88 0,54 d ,16 3 g. 7 7,65 h. i , Simplification de racines 11 Écris sous la forme a (a est un entier positif) d d RACINES CARRÉES CHAPITRE N3

3 1 Des carrés Écris sous la forme a (a est un entier positif). A 8 5 B 3 11 A B Sans effectuer de calcul, donne alors les valeurs exactes de A et de B. A² 40 B² Donne la valeur exacte des expressions d. 4,5 4,5 9 3 e Écris sans radical les expressions f d En décomposant Recopie et complète les égalités suivantes afin d'obtenir un produit de deux entiers positifs dont le premier est un carré parfait Écris alors les nombres suivants sous la forme a b, où a et b sont deux entiers positifs, b étant le plus petit possible Écris sous la forme a 3, où a est un entier Écris les nombres suivants sous la forme a b, où a et b sont deux entiers relatifs et b est le plus petit possible d e f RACINES CARRÉES - CHAPITRE N3

4 18 Écris sous la forme a b, où a et b sont deux entiers, b étant le plus petit possible d Sans utiliser de calculatrice, transforme les expressions suivantes de façon à obtenir une fraction irréductible Somme et différence de racines carrées On considère la somme A Calcule A. A On considère l'expression B 100. Calcule B. B Que peux-tu en conclure? Justifie ta réponse. Cet exemple montre que la propriété : «La somme de deux racines carrées est égale à la racine carrée de la somme.» est fausse. Il suffit en effet d'un contre-exemple. d. Trouve un exemple similaire pour la différence de deux racines carrées e. Que peux-tu déduire des deux exemples précédents? Cet exemple montre que la propriété : «La différence de deux racines carrées est égale à la racine carrée de la différence.» est fausse. Il suffit en effet d'un contre-exemple. 1 Écris les expressions suivantes sous la forme a ou a 3, où a est un entier relatif. A 4 A (4 ) A 6 B B (7 9) B D 3 5 D (3 5 1) D 1 E 4 6 E (4 6 ) E 0 0 C C (1 8 15) 3 C 8 3 F F (5 7 3) 3 F RACINES CARRÉES CHAPITRE N3

5 En deux temps Écris 8, 18 et 50 sous la forme a b, où a et b sont entiers et b le plus petit possible. Réduis l'expression G G G 5 3 G (5 3 4) 4 En raisonnant de façon identique, réduis l'expression H H H H ( 1 1) Écris les expressions suivantes sous la forme a b, où a et b sont deux entiers relatifs. A 8 7 B 5 0 C 3 75 D A B C C D D D (4 10 9) 3 4 Écris sous la forme a b, où a et b sont deux entiers relatifs, avec b le plus petit possible. A B C D A A A B B B C C C D D D Écris sous la forme a b c, où a, b et c sont des entiers relatifs avec c le plus petit possible. A A A A A B B B B C C C C 59 6 RACINES CARRÉES - CHAPITRE N3

6 6 Extrait du Brevet Écrire sous la forme a 5 avec a entier. A B A A A B B B En utilisant les résultats de la question, démontrer que A B et A B sont des nombres entiers. A B A B Écris les quotients suivants avec un dénominateur entier. d d Écris les quotients suivants sans radical au dénominateur d d Extrait du Brevet 7 Soit D Montrer que D est un nombre entier. D D 5 donc D est bien un nombre entier. Avec Pythagore 30 Théorème de Pythagore Soit ABC un triangle rectangle en A. Calcule la valeur exacte de la longueur du côté [BC] sachant que AB 5 cm et AC 7 cm. triangle ABC rectangle en A : BC AB AC BC BC 74 Calcule la valeur exacte de la longueur du côté [AB] sachant que AC 6 m et BC 11 m. triangle ABC rectangle en A : BC AB AC 11 AB 6 AB AB 85 RACINES CARRÉES CHAPITRE N3

7 O point( 1, 1 ); A4 cerclerayon( O, 4 ); A pointsur( A4, ) { croix0 }; sca symetrie( O ); B image( sca, A ) { croix0 }; A3 cerclerayon( A, 3 ) { i }; N intersection( A3, A4, 1 ) { i }; M inter section( A3, A4, ) { i }; sam segment( A, M ); smb segment( M, B ); sab segment( A, B ); C pointsur( A3, ) { croix0 }; D pointsur( A3, ) { croix0 }; arccad arc( C, A, D ); 31 Théorème de Pythagore (bis) EDF est un triangle rectangle en F. On donne ED 5 cm et DF 3 cm. Détermine la valeur exacte de EF. Tu donneras le résultat sous la forme a, où a est un entier positif. triangle EDF rectangle en F : ED EF DF 5 3 EF 5 EF 9 5 EF 9 EF EF Donne la valeur exacte du périmètre du triangle EDF puis l'arrondi au millimètre. ED EF DF Le périmètre du triangle EDF est 1 cm soit 17,0 cm environ. 3 Rectangle ou non rectangle? Dans chaque cas, détermine si le triangle GHI est rectangle ou non. Justifie ta réponse. GH 5 dm ; GI 7 dm et HI 74 dm. 74 8,6 donc HI est le plus grand côté. On calcule : D'une part : HI Soit un cercle ( ) de centre O et de rayon 4 cm. A est un point de ( ), B est le symétrique de A par rapport à O. Soit M un point de ( ) tel que AM 3 cm. Construis une figure en vraie grandeur. A M 3 cm 4 cm O Calcule la valeur exacte de BM. Le triangle ABM est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] donc il est rectangle en M. Par ailleurs, AB 4 8 cm. triangle ABM rectangle en M : AB AM BM 8 3 BM BM BM 55 La valeur exacte de BM est 55 cm. 34 Un petit calcul d'aire En utilisant les données de la figure, détermine l'aire du triangle ABC. (Les proportions ne sont pas respectées.) B D'autre part : GH GI HI GH GI donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en G. 7 cm² A 108 cm² GH 13 m ; HI 1 m et GI 6 m. B 13 3,6 donc GI est le plus grand côté. On calcule : D'une part : GI 6 36 D'autre part : GH HI On a donc GI GH HI. Or, si le triangle était rectangle, on aurait d'après le théorème de Pythagore : GH HI GI. Comme ce n'est pas le cas, le triangle GHI n'est pas rectangle. AB 7 donc AB 7 AC 108 donc AC 108 Le triangle ABC est rectangle en A donc : AB AC Aire(ABC) Aire(ABC) Aire(ABC) cm C RACINES CARRÉES - CHAPITRE N3

8 A point( -5, 5.97 );&&- 5&5.97& { i }; B point( -0.63, 5.97 );&&- 0.63&5.97& { i }; sab segment( A, B ) { noir }; perpasab perpendiculaire( A, sab );&&4.37&0&1.85& { i }; perpbsab perpendiculaire( B, sab );&&4.37&0&.7531& { i }; ceab cercle( A, B ) { i }; C intersection( perpasab, ceab, );&&-5&1.6& { i }; ceba cercle( B, A ) { i }; D intersection( perpb sab, ceba, );&&-0.63&1.6& { i }; sac segment( A, C ) { noir }; scd segment( C, D ) { noir }; sdb segment( D, B ) { noir }; polyabdc polygone( A, B, D, C ) { vert, plein0 }; anglec AB angle( C, A, B ) { noir }; angleabd angle( A, B, D ) { noir }; anglebdc angle( B, D, C ) { noir }; angledca angle( D, C, A ) { noir }; P pointsur( perpasab, 1.03 );&&-5&7& { i }; parapsab parallele( P, sab );&&0&-4.37&30.59& { i }; E intersection( parap sab, perpbsab );&&-0.63&7& { i }; dab droite( A, B );&&0&- 4.37&6.0889& { i }; dcd droite( C, D );&&0&- 4.37&6.99& { i }; Q pointsur( dab, -0. );&& &5.97& { i }; paraqperpasab parallele( Q, perpasab );&&4.37&0& & { i }; F inter section( paraqperpasab, dcd );&&-5.961&1.6& { i }; vqf vecteur( Q, F ) { noir }; vfq vecteur( F, Q ) { noir }; vpe vecteur( P, E ) { noir }; vep vecteur( E, P ) { noir fenetre(-10,10,10,-10,30,30); En lien avec la géométrie f. Prouve que CG 8 cm. CG AG AC Trace un carré ABCD de côté 1 cm. Calcule la valeur exacte de la longueur AC. A B E AB 1cm g. Compare 8 et 10. (Utilise l'un des symboles, ou.) AG 8 et AP 10. D C F Comme AG AP, P H G triangle ABC rectangle en B : AC CB BA AC 1 1 AC Place le point E sur [AB) tel que AE 3 AB. Construis ensuite le carré AEGH de telle sorte que D soit un point de [AH]. Calcule la valeur exacte de la longueur AG. triangle AEG rectangle en E : AG AE EG AG AG 18 Montre que AG est un multiple de AC. AG AC Donc AG est un multiple de AC (le carré AEGH est un agrandissement du carré ABCD). d. Place le point F sur [EG] de telle sorte que AEFD soit un rectangle. Calcule la longueur exacte de AF. triangle AEF rectangle en E : AF AE EF AF AF 10 e. Place sur [AG], le point P tel que AP AF. La longueur de [AP] est-elle un multiple de celle de [AC]? 36 On considère la figure suivante. (L'unité est le centimètre.) 5 3 A D C Écris sous la forme a b, où a et b sont des entiers relatifs, b étant le plus petit possible Quelle est la nature exacte de ABCD? Justifie ta réponse. Le quadrilatère ABCD a 4 angles droits et côtés consécutifs de même longueur donc c'est un carré. Détermine le périmètre de ABCD sous la forme la plus simple possible. Tu donneras ensuite l'arrondi au millimètre. P(ABCD) 4 AD Le périmètre de ABCD est de 0 3 cm soit environ 34,6 cm. d. Détermine la valeur exacte de l'aire de ABCD. Aire(ABCD) AD cm B AP AF AC Comme 5 n'est pas un nombre entier, AP n'est pas un multiple de AC. RACINES CARRÉES CHAPITRE N3

9 37 Cerf-volant Les mesures des diagonales de ce cerf-volant sont données en centimètres. Calcule la valeur exacte de son périmètre puis la valeur arrondie au millimètre. Notons C le grand côté et c le petit côté de ce cerf-volant. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : C d'où C c d'où c Équations du type x a 39 Un peu de vocabulaire Trouve deux nombres dont le carré est égal à et ( 6) 36 donc 6 et 6 ont pour carré 36. Trouve deux nombres a tels que a 0,49. Pour a 0,7 ou a 0,7, on a a 0,49. Peux-tu trouver un nombre dont le carré est égal à 100? Justifie ta réponse. C'est impossible car un carré est toujours positif. P C c Le périmètre est 1 5 cm soit environ 6,8 cm. 38 L'unité choisie est le centimètre. On considère un rectangle ayant pour longueur 75 et pour largeur 48. Détermine le périmètre exact de ce rectangle. (Tu donneras la réponse sous la forme a b, où a et b sont des entiers relatifs, b étant le plus petit possible.) P (L + l) P P P cm Calcule l'aire exacte du rectangle. (Tu donneras la réponse sous la forme la plus simple possible.) A L l A cm 40 On considère l'équation x 4. Transforme cette équation de telle sorte que le membre de droite soit égal à 0 puis factorise le membre de gauche. x 4 x 4 0 x 0 (x )(x ) 0 Résous l'équation ainsi obtenue. Un produit de facteur est nul si l'un des facteurs est nul. Donc x ou x Quelle(s) est (sont) alors la (les) solution(s) de l'équation x 4? Les solutions de cette équation sont et. d. Procède de la même manière pour résoudre l'équation x 14. x 14 x 14 0 x 14 0 (x 14 )(x 14 ) 0 14 et 14. RACINES CARRÉES - CHAPITRE N3

10 41 Trouve la (les) solution(s) des équations suivantes, lorsque celle(s)-ci existe(nt). x 9 x 3 et x 3. x 5 x 5 et x 5. x 5 16 x et x 5 4. d. x 0 Une seule solution à cette équation : x 0. e. x 16 Cette équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. f. 4x 49 x 49 4 x et x 7. 4 Résous les équations suivantes. x 5 0 x x 5 x 5 et x 5. 8 x 40 8 x x 3 x 16 x 4 et x 4. 7x 3 6x 7 7x 6x 7 3 x 30 x 30 et x 30. d. x x x 100 Cette équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. 43 Résous les équations suivantes. (x 1) 9 On aboutit à deux équations : x 1 9 x soit x 8 x 1 3 soit x ou x 1 3 soit x 4. x 8 et x 8. RACINES CARRÉES CHAPITRE N3