FONCTIONS DE DEUX VARIABLES SURFACES LIGNES DE NIVEAU EXERCICES CORRIGES

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1 Exercice n 1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES SURFACES LIGNES DE NIVEAU EXERCICES CORRIGES On considère la fonction f des variables réelles x et y définie par : 1 f ( xy, ) = x xy + 5xy La surface S est la représentation graphique de la fonction f dans l espace muni d un repère ( Oi ; ; ; ) 1) Répondre, par VRAI ou FAUX, aux affirmations suivantes, en justifiant votre réponse. Affirmation 1 La surface S contient l origine O du repère Affirmation La surface S contient le point A(0, 1, ) Affirmation La surface S contient la demi-droite [Ox) Affirmation 4 La surface S contient la demi-droite [Oy) - La représentation graphique de S pour x [ 0;] et [ 0;1] y figure parmi les quatre représentations graphiques cidessous. La déterminer en justifiant votre choix. Représentation 1 Représentation jk Représentation Représentation 4 Page 1/6

2 Exercice n. La figure ci-dessous donne la représentation sous EXCEL de la surface d équation ( )( z = x+ 1 5 y) 1) Calculer les coordonnées de A, B et D ) Lire les coordonnées de C. Exercice n. L espace et rapporté à un repère orthogonal : On a représenté ci-dessous la surface (S) d équation z ( x y) = +, avec x [ 0;1,5] et [ 0;1,5] y. Page /6

3 Partie A Exploitation du graphique On considère le plan (P) d équation z=6 1) Sur la figure donnée page précédente, placer le point A de coordonnées (1 ;1 ;6) ) Surligner en couleur la partie visible de l intersection de la surface et du plan (P) sur la figure donnée Partie B Recherche d un coût minimum Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs. On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre de cartes mères produites chaque mois. C x ; y = x + y Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d euros, est donné par ( ) ( ) On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût. 1) La production mensuelle totale est de milliers de composants. On a donc x+ y = Exprimer C( x; y) en fonction de la seule variable x. f x = x x+ 6 On note f la fonction ainsi obtenue. Vérifier que ( ) ) Montrer que, sur l intervalle [0 ;1,5], la fonction f admet un minimum atteint pour x = 0,5 ) Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production? Quel est ce coût? Exercice n 4. Associer à chaque surface représentée à gauche, sa vue de dessus représentée à droite : Page /6

4 Exercice n 5. Soit f la fonction numérique de deux variables définies par ( ) représentant cette fonction, c est-à-dire l ensemble des points ( x; yz ; ) 1) Calculer f ( 0;0), f ( 1; 0), f (1;1) et f ( ; 1) ) Déterminer trois réels x 0, f ( xy ; ) = ( x x) + ( y y) + a 0 0 En déduire que, pour tout x et tout y réels, on a l inégalité f ( ) f xy ; = x+ y 4x+ y et soit (S) la surface de tels que z = f ( x; y) y et a tels que, pour tout couple ( x; y ) de réels, on ait l égalité 0 x; y 5 ) Construire dans le repère ( Oi ; ; j les projections de l intersection de (S) et des plans z = 4 et z = -4. 4) Quelle est la section de (S) par le plan d équation y = 0 ) Page 4/6

5 Exercice n 1 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES SURFACES LIGNES DE NIVEAU - CORRECTION f 0;0 = 0 Affirmation 1 : La surface S contiendra l origine O du repère si et seulement si ( ) On calcule 1 f (0;0) = = 0, donc l affirmation est VRAIE f 0;1 = Affirmation : La surface S contiendra le point A(0, 1, ) si et seulement si ( ) 1 On calcule f (0;1) = = 0, donc l affirmation est FAUSSE Affirmation : Tous les points de la demi-droite [Ox) ayant une ordonnée et une côte nulle, la surface S contiendra la f x ;0 = 0. On calcule : Pour tout réel x, demi-droite [Ox) si et seulement si pour tout x, on a ( ) 1 1 f ( x ;0) = x x 0 + 5x 0= x 0 (sauf pour x=0). L affirmation est donc FAUSSE Affirmation 4 : Tous les points de la demi-droite [Oy) ayant une abscisse et une côte nulle, la surface S contiendra la f 0; y = 0 demi-droite [Oy) si et seulement si pour tout y, on a ( ) On calcule : Pour tout réel y, f ( ) y 1 0; y = y = 0. L affirmation est donc VRAIE ) L affirmation 1 permet d éliminer la représentation n 1 qui ne contient pas le point O L affirmation permet d éliminer la représentation n qui contient tout l axe (Ox) L affirmation 4 permet d éliminer la représentation n 4 qui ne contient pas l axe (Oy) C est donc la représentation n qui correspond à la fonction f. Exercice n 1) Concernant le point A, on lit x = 8, 9 et on calcule point A(8 ;9 ;-6). Concernant le point B, on lit 0 B D où le point B(0 ;5 ;0). Enfin, on lit et calcule le point D(7 ; ;16) ) on lit C(5 ;6 ;-5) Exercice n Partie A A y A = za ( xa 1)( 5 ya) ( 8 1)( 5 9) 6 x =, y = 5 et on calcule z ( x 1)( 5 y ) ( 0 )( ) B = + = + =. D où le = + = = 0 B B B Page 5/6

6 Partie B Recherche d un coût minimum 1) Puisque x y y + = = x, on substitue dans l expression ( ; y) ( x y) Ainsi, ( ) ( ) ( C x; y = x + x = x x+ 6= x x+ ). On note ( ) C x = +, la variable y par -x f x = x x+ 6 1 ) La fonction f étant une fonction polynôme du second degré, elle atteint son minimum lorsque x = = = 0,5 ) Le coût mensuel est minimum pour x = 0,5. Alors y x 0,5 1,5 C x ; y = 0,5 + 1,5 = 5,5 = = = et ( ) ( ) Pour minimiser le coût mensuel de production, l entreprise doit produire 500 microprocesseurs, 1500 cartes mères. Le coût mensuel sera alors égal à 550 euros Exercice n 4 La vue de dessus n a correspond à la surface n 4 car elle se compose de lignes de niveau circulaires La vue de dessus n b correspond à la surface n 1 car elle se compose de 4 lignes de niveau circulaires La vue de dessus n c correspond à la surface n car elle se compose de 4 lignes de niveau. La vue de dessus n d correspond à la surface n car elle se compose de lignes de niveau. Exercice n 5 1) f ( 0; 0) = = 0, f ( 1; 0) = ( 1) ( 1) + 0 = 5, ( ) f ( ; 1) = + ( 1) 4 + ( 1) = 5 ) Pour tout couple ( x; y ) de réels, on a f ( x; y) = ( x ) + ( y+ 1) 5. Pour tout couple ( ; ) ( x ) 0 et ( ) y donc ( x ) + ( y+ 1) 5 5, c est-à-dire f ( x; y) 5 f 1;1 = = 0 et x y de réels, on a ) La projection de l intersection de (S) et du plan d équation z = 4 est constituée de l ensemble des points tels que z = f ( x; y) ( x ) + ( y+ 1) 5= 4 ( x ) + ( y+ 1) = 9 z = 4 z = 4 z = 4 Il s agit donc du cercle de centre ( ;-1 ;4) et de rayon, situé dans le plan d équation z = 4 La projection de l intersection de (S) et du plan d équation z = -4 est constituée de l ensemble des points tels que z = f ( x; y) ( x ) + ( y+ 1) 5= 4 ( x ) + ( y+ 1) = 1 z = 4 z = 4 z = 4 Il s agit donc du cercle de centre ( ;-1 ;1) et de rayon 1, situé dans le plan d équation z = -4 4) La section de (S) par le plan d équation y = 0 est constituée de l ensemble des points tels que z = f ( x; y) z = ( x ) + ( y+ 1) z = ( x ) + 1 y = 0 y = 0 y = 0 ( ) Il s agit donc de la parabole d équation z = x + 1= z = x 4x+ 5 située dans le plan d équation y=0 Page 6/6